МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

ТЕМА № 6 (3лц+3пр+6ср)

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О КОЛЕБАНИЯХ

Колебаниями называются процессы (движения или изменения состояния), в той или иной степени повторяющиеся во времени.

В зависимости от физической природы повторяющегося процесса различают:

механические колебания (колебания маятников, струн, частей машин и механизмов, мостов, крыльев самолетов и т.п.);

электромагнитные колебания (колебания переменного электрического тока в цепи, колебания напряжения между обкладками конденсатора в контуре радиоприемника и т.п.);

электромеханические колебания (колебания мембраны телефона, диффузора электродинамического громкоговорителя и т.п.).

В зависимости от характера воздействия на колеблющуюся систему различают свободные (собственные) колебания, вынужденные колебания, автоколебания и параметрические колебания.

Свободными (собственными) колебаниями называются колебания, происходят в отсутствие переменных внешних воздействий на колебательную систему и возникают вследствие какого-либо начального отклонения этой системы от состояния ее устойчивого равновесия. Примером могут служить колебания шарика, подвешенного на нити (маятник).

Вынужденными колебаниями называются колебания, возникающие в какой-либо системе под влиянием переменного внешнего воздействия. Примером служат колебания моста, возникающие при прохождении по нему людей, шагающих в ногу.

Колебания называются периодическими, если значения всех физических величин, характеризующих колебательную систему и изменяющихся при ее колебаниях, повторяются через равные промежутки времени.

Наименьший промежуток времени , удовлетворяющий этому условию, называется периодом колебания. За период колебаний система совершает одно полное колебание.

Частотой периодических колебаний называется величина

, (1)

равная числу полных колебаний, совершающихся за единицу времени.

Круговой (циклической) частотой периодических колебаний называется величина

, (2)

равная числу полных колебаний, совершающихся за единиц времени. Величину при вращательном движении твердого тела называют угловой скоростью, а в электротехнике – угловой частотой.

2. СВОБОДНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

Важнейшим среди периодических колебательных движений являются так называемые простые или гармонические колебания, т.е. такие колебания, при которых колеблющаяся величина (например, отклонения маятника) изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Этот вид колебаний особенно важен по следующим причинам: во-первых, колебания в природе и в технике часто имеют характер, очень близкий к гармоническим, и, во-вторых, периодические процессы сложной формы (с другой зависимостью от времени) могут быть представлены как наложение нескольких гармонических колебаний.

2.1. Свободные незатухающие гармонические колебания

При периодических колебаниях зависимость колеблющейся величины от времени удовлетворяет условию

. (3)

Периодические колебания величины называются незатухающими гармоническими, если

, (4)

где – максимальное значение колеблющейся величины , называемое амплитудой колебаний. Значение в произвольный момент времени определяется значением фазы колебаний . Постоянная величина представляет собой начальную фазу колебаний, т.е. значение в момент начала отсчета времени: . Величина – круговая (циклическая) частота гармонических колебаний;

Запишем первую и вторую производные по времени от гармонически колеблющейся величины :

, (5)

. (6)

Из соотношения (6) следует дифференциальное уравнение гармонических колебаний

. (7)

Решением этого уравнения является выражение (4).

Таким образом, совершает гармонические колебания в том и только в том случае, если она удовлетворяет уравнению (7).

Кинетическая энергия материальной точки периодически изменяется от до , совершая гармонические колебания с циклической частотой и амплитудой около среднего значения, равного .

Потенциальная энергия материальной точки также периодически изменяется от до , совершая гармонические колебания с циклической частотой и амплитудой около среднего значения, равного .

Колебания потенциальной и кинетической энергии совершаются со сдвигом по фазе на , так что полная механическая энергия материальной точки не изменяется при гармонических колебаниях:

. ()

Графики зависимостей , и от времени для случая показаны на рис. 2.

Рис. 2.

Маятники

Рассмотрим примеры систем, совершающих свободные гармонические колебания. Обратимся к маятникам. В физике под маятником понимают твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной точки или оси.

Пружинный маятник – груз массы , подвешенный на пружине и совершающий прямолинейные колебания под действием упругой силы , где – коэффициент, характеризующий упругие свойства пружины (рис. 5).

Линейный гармонический осциллятор – материальная точка массы , совершающая прямолинейные гармонические колебания под действием упругой силы .

Физический маятник – твердое тело, которое может вращаться под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси , не проходящей через центр тяжести тела (рис. 7) и называемый осью качения маятника. Центр тяжести маятника совпадает с его центром масс . Точка пересечения оси качения маятника с вертикальной плоскостью, проходящей через центр тяжести маятника и перпендикулярной оси качения, называется точкой качения маятника.

Рис. 7.

Математический маятник – материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити и совершающая колебания в вертикальной плоскости под действием силы тяжести (рис. 8). Математический маятник представляет собой предельный случай математического маятника, вся масса которого сосредоточена в его центре масс.

Рис. 8.

Сложение гармонических колебаний

Сложение гармонических колебаний одинакового направления.

А. Частоты колебаний одинаковы.

Б. Частоты колебаний различны.

В. Частоты колебаний отличаются незначительно.

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

А. Частоты колебаний одинаковы.

Б. Частоты колебаний различны.

В. Частоты колебаний отличаются незначительно.

2.2. Затухающие колебания

Затуханием колебаний называется постепенное ослабление колебаний с течением времени, обусловленное потерей энергии колебательной системой.

3. АВТОКОЛЕБАНИЯ

При затухающих колебаниях энергия системы расходуется на преодоление сопротивления среды. Если восполнять эту убыль энергии, колебания станут незатухающими. Пополнение энергии системы может осуществляться за счет толчков извне, однако эти толчки должны сообщаться системе в такт с ее колебаниями, в противном случае они могут ослабить колебания и даже прекратить их совсем. Можно сделать так, чтобы колеблющаяся система сама управляла внешним воздействием, обеспечивая согласованность сообщаемых ей толчков со своим движением. Такая система называется автоколебательной, а совершаемые ею незатухающие колебания – автоколебаниями.

В качестве примера автоколебательной системы рассмотрим часовой механизм. Маятник часов насажен на одну ось с изогнутым рычагом – анкером (рис. 14).

Рис. 14.

На концах анкера имеются выступы специальной формы, называемы палеттами. Зубчатое ходовое колесо находится под воздействием цепочки с гирей или закрученной пружины, которые стремятся повернуть его по часовой стрелке. Однако большую часть времени колесо упирается одним из зубьев в боковую поверхность той либо иной палетты, скользящей при качении маятника по поверхности зуба. Только в моменты, когда маятник находится вблизи среднего положения, палетты перестают преграждать путь зубьям и ходовое колесо проворачивается, толкая анкер зубьев, скользящим своей вершиной по скошенному торцу палетты. За полный цикл качаний маятника (за период) ходовое колесо проворачивается на два зуба, причем каждая из палетт получает по толчку.

Посредством этих толчков за счет энергии поднятой гири или закрученной пружины и восполняется убыль энергии маятника, возникающая вследствие трения.

4. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Переменная внешняя сила, приложенная к системе и вызывающая ее вынужденные колебания, называется вынуждающей или возмущающей силой.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний, происходящих вдоль оси под влиянием переменной внешней силы , отличается от уравнения затухающих колебаний только правой частью, равной отношению к массе тела :

. ()

Рассмотрим вынужденные колебания, происходящие под действием вынуждающей силы, которая изменяется по гармоническому закону с циклической частотой :

, ()

где – амплитуда возмущающей силы.

Решением уравнения () является выражение

. ()

Выражение () описывает установившиеся вынужденные колебания. Они представляют собой гармонические колебания с частотой, равной частоте вынуждающей силы. Амплитуда вынужденных колебаний пропорциональна амплитуде вынуждающей силы.

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы приводит к тому, что при некоторой определенной для данной системы частоту амплитуда колебаний достигает максимального значения. Колебательная система оказывается особенно отзывчивой на действие вынуждающей силы при этой частоте. Это явление называется резонансом, а соответствующая частота – резонансной частотой.

Резонансная частота определяется выражением:

.

Выражение для амплитуды при резонансе имеет вид:

.

5. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

В рассмотренном в предыдущем случае приложенная извне сила обусловливала непосредственно смещение системы из положения равновесия. Оказывается, иной вид воздействия извне, с помощью которого можно сильно раскачать систему. Этот вид воздействия заключается в совершаемом в такт с колебаниями периодическом изменении какого-либо параметра системы, вследствие чего само явление называется параметрическим резонансом.

Возьмем для примера простейший маятник – шарик на нитке. Если периодически изменять длину маятника , увеличивая ее в моменты, когда маятник находится в крайних положениях, и уменьшая в моменты, когда маятник находится в среднем положении (рис. 15), то маятник сильно раскачается.

Рис. 15.

Увеличение энергии маятника при этом происходит за счет работы, которую совершает сила, действующая на нить. Сила натяжения нити при колебаниях маятника не постоянна: она меньше в крайних положениях, когда скорость обращается в нуль, и больше в среднем положении, когда скорость маятника максимальна. Поэтому отрицательная работа внешней силы при удлинении маятника оказывается меньше по величине, чем положительная работа, совершаемая при укорочении маятника. В итоге работа внешней силы за период колебания оказывается больше нуля.

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ