Випадкові події та операції над ними

Лекція 2. Випадкові події та операції над ними.

План лекції

Актуалізація опорних знань:
Предмет теорії ймовірностей та математичної статистики.
Логіка висловлювань, істинність висловлювань.
Викладення нового матеріалу:
Випадкові події;
Операції над подіями.
Контрольні питання:
Що включає в собі поняття випробовування, дослід, експеримент?
Випадкові події, достовірні, неможливі, протилежні, їх позначки;
Повна група елементарних подій;
Операції над подіями;
Співвідношення, що є слідством з формул операцій над подіями.
Приклади задач ща темою.
Коментарі до самостійної роботи: Розв’язування задач з теми «Випадкові події та операції над ними».

Випадкові події

Забезпечення певного комплексу умов називають випробуванням або дослідом, а можливий результат випробування —подією. Наприклад, підкидання монети є випробуванням, а випадання «герба» або «номіналу» —подіями. Події позначатимемо великими латинськими літерами: А, В, C.

Подію називають випадковою, якщо вона може відбутися або не відбутися в даному випробуванні.

Достовірною називають подію, яка обов'язково відбудеться в даному випробуванні.

Неможливою називають подію, яка точно не відбудеться в даному випробуванні.

Зауважимо, що будь-яка подія пов'язана з певним випробуванням.

Дві події називають сумісними, якщо поява однієї з них не виключає появи іншої в одному й тому самому випробуванні.

Дві події називають несумісними, якщо вони не можуть відбутися одночасно в одному й тому самому випробуванні.

Попарно несумісні випадкові події А1,А2,...,Ап утворюють повну групу подій, якщо внаслідок випробування одна з них обов'язково відбудеться. Наприклад, події «виграш», «програш» і «нічия» (для певного гравця) утворюють повну групу подій у випробуванні —грі в шахи двох суперників.

Елементарними подіями (наслідками) у певному випробуванні називають усі можливі результати цього випробування, які не можна розкласти на простіші. Множину всіх можливих елементарних подій називають простором елементарних подій, який позначають . Наприклад, при підкиданні грального кубика простір елементарних подій утворюють події і = {випаде і очок}, і = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Елементарні події, при появі яких відбувається певна подія, називають сприятливими для цієї події. Наприклад, при підкиданні грального кубика для події А={випаде парне число очок} сприятливими є елементарні події 1, 3, 5.

Кожну подію можна розглядати як деяку підмножину простору елементарних подій у даному випробуванні. Зокрема, подія А = є достовірною, а подія В = —неможливою.

Приклад 1. Монету підкидають двічі. Для даного випробування описати простір елементарних подій.

Розв'язання. При двократному підкиданні монети можливі чотири елементарних наслідки: (А, А); (А, Р); (Р, А); (Р, Р),

де А —випадання аверса (зображення «герба»), Р —випадання реверса (зображення «номіналу»). Очевидно, вони утворюють повну групу подій, тому

= {(А, А); (А, Р);(Р, А); (Р, Р)}

є простір елементарних подій даного випробування.

Операції над подіями

Сумою двох випадкових подій А і В називають таку подію, яка полягає в появі хоча б однієї з подій А або В, і позначають А + В (або А В).

Сумою п випадкових подій А1,А2,...,Аn називають таку подію, яка полягає в появі принаймні однієї з цих подій (позначається).

Добутком двох випадкових подій А і В назівають таку подію, яка полягає в сумісній появі обох подій А і В, і позначають А •В (або А В).

Добутком п випадкових подій А1,А2,...,Ап називають таку подію, яка полягає в сумісній появі всіх цих подій (позначається ).

Різницею двох випадкових подій А і В називають таку подію, яка полягає в виконанні події А і не виконанні події В, позначається як А –В, або А \ В.

Подію називають протилежною до події А в даному випробуванні, якщо вона відбувається, якщо не відбувається подія А, тобто = –А. Очевидно, протилежні події не сумісні і утворюють повну групу подій.

Поняття суми і добутку подій можуть бути узагальнені на випадки будь-якого числа подій.

З визначення операцій додавання і множення слідують співвідношення:

1) A + А = A; A А = A ;

2) A + U = U; A U = A;

3) A+ = A ; A = ;

4) A + B = B + A ; A B = B A;

5) (A + B) + C = A + (B + C); (A B) C = A (B C);

6) A (B + C) = A B + A C.

Приклад 1. У ящику містяться кульки білого та чорного кольору. Навмання з нього виймають одну кульку. Подія А = {вийнято кульку білого кольору}, подія В = {вийнято кульку чорного кольору}. Сумісні чи несумісні ці події?

Розв’язання. Ці події несумісні, тому що поява події А виключає виконання події В, також події А і В утворюють повну групу події і є протилежні: = В, = А.

Приклад 2. Підкидають два гральних кубики. Нехай події Аі = {випаде і очок та першому кубику}, і = 1, 2, 3,4, 5, 6, Bj = {випаде і очок та другому кубику}, і = 1, 2, 3,4, 5, 6. Виразити через Аі,і Bj такі події:

а) сума очок на двох кубиках дорівнює п'яти;

б) випаде в сумі хоча б десять очок;

в) випаде в сумі не більше трьох очок.

Розв'язання.

а) Нехай С1= {сума очок на двох кубиках дорівнює п’яти}. Ця подія можлива тільки тоді, коли на першому кубику випаде і очок, а та другому j очок так, щоб і + j = 5, тобто і =1, j =4, або і = 2, j = 3, або і = 3, j = 2, або і = 4, j = 1. Отже,

С1= А1•В4 + А2 •В3 + А3 •В2 + А4 •В1.

б) Позначимо С2 = {випаде в сумі хоча б десять очок}. Подія С2 відбудеться тоді, коли на двох кубиках у сумі випаде або 10, або 11, або 12 очок, тобто і =4, j =6 або і =5, j =5 або і =6, j = 4 або і =6, j =5 або і =5, j =6 або і =6, j =6. Отже

С2= А4•В6 + А5 •В5 + А6 •В4 + А6 •В5. + А6 •В6. + А5 •В6.

в) Нехай Сз={випаде в сумі не більше трьох очок}. Оскільки найменша кількість очок, яка може випасти на кожному кубику, дорівнює одиниці, то подія Сз можлива лише тоді, коли сума очок на двох кубиках дорівнюватиме двом або трьом. Тому

Сз = А1 •В1 + А2 •В1 + А1 •В2..

Приклад 3. Два стрільці роблять постріл у мішень по одному разу. Позначимо події А = {у мішень влучив перший стрілець}, В = {у мішень влучив другий стрілець}. Виразити через А і В такі події: С = {два влучення в мішень} D = {жодного влучення в мішень} Е = {хоча б одне влучення в мішень} F = {лише одне влучення в мішень}.

Розв'язання. Простір елементарних подій складається з чотирьох подій

А •В, •В, А •, •.

Подія С відбудеться тоді, коли обидва стрільці влучать с мішень. Тому вона є добутком двох подій А і В. Отже С = А •В

Подія D полягає в тому, що в мішень не влучить жодний стрілець, тобто не влучить ані перший (), ані другий (). Тому D =.•.

Подія Е відбудеться тоді, коли влучить хоча б один стрілець. Це може бути толі, коли обидва стрільці влучать с мішень, або влучить перший, але не влучить другий, або не влучить перший, але влучить другий. Тоді

лець. Це може бути тоді, коли або обидва стрільці влучать у мішень, або перший влучить, другий не влучить, або перший не влучить, а другий влучить. Тому

Е = АВ + В + А, тобто Е = А + В.

Подія F полягає в тому, що перший стрілець влучить в мішень, а другий не влучить, або другий влучить, а перший не влучить. Тому

F =В + А.

Приклади оформлення задач до розділу

Задача 1. Підкидають двічі гральний кубик. Нехай Аі = {випаде і очок при першому підкиданні} Ві = {випаде і очок при другому підкиданні } Виразити через Аі і Ві такі події:

А = {обидва рази випаде парна кількість очок},

В = {сума очок при двох підкиданнях дорівнює 6},

С = { сума очок при двох підкиданнях більше 8},

D = {обидва рази випаде однакова кількість очок}.

Відповідь. А =;

В=А1В5+ А2В4+ А3В3+ А4В2+ А5В1;

С= А3В6+ А4В5+ А4В6+ А5В4+ А5В5+ А5В6+ А6В3+ А6В4+ А6В5+ А6В6;

D= А1В1+ А2В2+ А3В3+ А4В4+ А5В5+ А6В6;

Задача 2. Студент на екзамені відповідає на білет, у якому три питання. Нехай Аі = {студент відповів на і-те питання}. Виразити через Аі такі події:

А = {Студент відповів принаймні на два питання },

В = {Студент не відповів на жодне питання },

С = {студент відповів тільки на одне питання }.

Відповідь. А = ; В=;

С=.

Задача 3. Підкидають три монети. Для даного випробування записати простір елементарних подій і розкласти на елементарні такі події:

А = {на двох монетах випаде «аверс»},

В = {на жодній монеті не випаде «реверс»},

С = {хоча б на одній монеті випаде «реверс»}.

Відповідь. = {(А, А, А); (А, А, Р); (А, Р, А); (А, Р, Р); (Р, А, А); (Р, А, Р);(Р, Р, А); (Р, Р, Р)}, А = {(А, А, Р); (А, Р, А); (Р, А, А)}; В = {(А, А, А)}; С = {(А, А, Р); (А, Р, А); (А, Р, Р); (Р, А, А); (Р, А, Р); (Р, Р, А); (Р, Р, Р)}.

Задача 4. Стрілець виконує чотири постріли в мішень. Нехай подія Аі = {влучення в мішень при і-му пострілі}. Виразити через Аі такі події:

А = {три влучення },

В = {хоча б один промах },

С = {не більше одного влучення },

D = {хоча б одне влучення}.

Відповідь. А = ; В =;

С =; D =.

Задача 5. Підкидають чотири рази монету. Розкласти на елементарні такі події:

А = { на двох монетах випаде «аверс»}

В = {випаде не більше одного «реверса» }

Відповідь. А = {(А, А, Р, Р); (А, Р, А, Р); (А, Р, Р, А); (Р, А, А, Р); (Р, А, Р, А); (Р, Р, А, А)}, В = {(А, А, А, А); (А, А, А, Р);(А, А, Р, А); (А, Р, А, А);(Р, А, А, А)}.

Теорія ймовірностей та математична статистика

Випадкові події та операції над ними