Предмет теорії ймовірностей. Елементи комбінаторики
еорія ймовірностей та математична статистика
Лекція 1. Предмет теорії ймовірностей. Елементи комбінаторики
План лекції
- Актуалізація опорних знань:
- Поняття множини, форми задання множин, потужність.
- Логіка висловлювань, істинність висловлювань.
- Викладення нового матеріалу:
- Предмет теорії ймовірностей;
- Елементи комбінаторики.
- Контрольні питання:
- Що включає в собі поняття випробовування, випадкової події?
- Предмет теорії ймовірностей?
- Предмет математичної статистики?
- Предмет комбінаторики.
- Правило додавання та добутку?
- Перестановки, розміщення та сполучення без повторень?
- Перестановки, розміщення та сполучення з повтореннями?
- Коментарі до самостійної роботи: Розв’язування задач з теми «Елементи комбінаторики».
Предмет теорії ймовірностей.
У повсякденному житті нам часто доводиться зустрічатися з різними явищами і фактами, які ми називаємо випадковими. Зокрема, інформація, на основі якої розв’язуються практичні задачі в економіці, зазвичай носить наближений, неточний, випадковий характер. Наприклад, власник магазину не знає, скільки буде покупців, бізнесмен – яким буде завтра курс гривні, банкір – чи повернуть йому позику. Але й у випадкових фактах за певних умов можуть бути виявлені певні закономірності. Ці закономірності вивчає теорія ймовірностей. Для розв’язання задач, пов’язаних з аналізом економічної інформації, використовують ймовірнісні та статистичні методи, оскільки характерною особливістю теорії ймовірностей є те, що вона розглядає явища, в яких в тій чи іншій формі присутня невизначеність.
Широко розповсюджене уявлення пов’язує невизначеність і, отже, ймовірність з такими ситуаціями як гра в кості, в рулетку, витягування карт з колоди і т.п. Саме потреба у розв’язуванні практичних задач, пов’язаних з азартними іграми, а також з питаннями страхування і демографії, якими в середині 17 ст. займались такі відомі вчені як Ґюйгенс, Паскаль, Ферма і Яків Бернуллі, призвела до виникнення теорії ймовірностей як самостійної науки.
Як і в кожній математичній дисципліні, в теорії ймовірностей існують деякі початкові, первісні поняття, які покладені в її основу. Першим таким поняттям є поняття випадкової події.
Випадкова подія – це подія, яка може відбутись або не відбутись в результаті здійснення деякого експерименту, тобто в результаті реалізації певного комплексу умов.
Якщо під час кожної реалізації заданого комплексу умов подія обов’язково відбувається , то вона називається вірогідною.
Якщо ж в результаті експерименту подія обов’язково не відбудеться , то це – неможлива подія .
Очевидно, що після одноразового здійснення експерименту , ми не виявимо закономірностей , які властиві для конкретної випадкової події . Однак закономірності можна виявити , якщо здійснювати експеримент багаторазово в однакових умовах .
Наприклад, дані реєстрації народжувань дітей в невеликому населеному пункті за невеликий період часу не дають стійких співвідношень між кількістю народжених хлопчиків і дівчаток. Однак якщо зібрати статистичні дані по всій країні за тривалий період (кілька десятиріч ) і проаналізувати їх , то виявиться певна закономірність : на кожну 1000 народжених припадає в середньому 515 хлопчиків .
Отже, другим з початкових понять теорії ймовірностей є поняття масовості явищ (подій ).
Масові явища розглядаються як протилежність до одиничних і масовість може проявлятись : 1) в часі ; 2) в просторі ; 3) і в часі , і в просторі .
Тепер ми можемо остаточно сформулювати , що є предметом теорії ймовірностей.
Предметом теорії ймовірностей є вивчення кількісних закономірностей, характерних для масових однорідних випадкових подій .
Теорія ймовірностей є теоретичною базою для математичної статистики.
Предмет математичної статистики – дослідження закономірностей, яким підпорядковані масові випадкові явища, на підставі статистичних даних – результатів спостережень .
Ці закономірності вивчають за допомогою методів теорії ймовірностей .
Елементи комбінаторики
Правила суми і добутку:
Комбінаторика – це розділ математики, що вивчає розташування, впорядкування, вибір і розподіл елементів з фіксованої множини. Наприклад, маємо множину В={0,1}. Скільки комбінацій двозначних чисел можнаутворити з цих символів:10, 11 – 2 числа.
При великому числі можливих наслідків випробування процедури прямого перебору можливих варіантів малоефективне. На допомогу приходять комбінаторні методи, в основі яких лежать два настутних правила.
Правило додавання. Якщо дві взаємовиключні дії можуть бути виконані відповідно n1 та n2 способами, тоді якусь одну з цих дій можна виконати n1 + n2 способами.
Приклад 1. З міста А в місто В можна добратися 4 потягами, 2 літаками, 6 автобусами. Скількома способами можна добратися з міста А у місто В.
Розв’язання. Проїзд з А у В на потягу, літаку або автобусом є взаємовиключними операціями, тому загальну кількість маршрутів можна одержати як суму способів пересування, тобто N = n1 + n2 + n3 = 4 + 2 + 6 =12 способів.
Правило множення. Нехай дві виконувані одна за одною дії можуть бути здійснені відповідно n1 та n2 способами. Тоді обидві вони можуть бути виконані N = n 1 n 2 способами.
Приклад 2. У чемпіонаті країни з футболу беруть участь 16 команд. Скількома способами можуть бути розподілені золота, срібна і бронзова медалі?
Розв’язання. Одна з медалей може бути розподілена 16-ма способами, тоді друга – 15-ма, третя – 14-ма способами. Ці три дії виконуються одночасно, тобто N = n1 n2 n3 = 161514 =3360 способів.
Іноді для розрахунку кількості способів виконання дії треба застосувати і правило множення і додавання.
Приклад 3. Скільки сигналів можна подати з корабля за допомогою чотирьох прапорів різного кольору, розміщуючи їх на щоглі, якщо використовувати різну кількість прапорів?
Розв’язання. Сигнали можна подавати чотирма, трьома, двома і одним прапорами. Відповідно до правила множення, кількість можливих способів подачі сигналу з 4 прапорів складе n1 = 4 3 2 1 = 24 способів, для сигналу з 3 прапорів – n2 = 432 = 24 способів, для сигналу з 2 прапорів маємо n3 = 43 = 12, а для сигналу з 1 прапора n4 = 4 способа. Загальну кількість сигналів можна одержати як суму способів для сигналів з 4, 3, 2 або 1 прапорів, N = n1 + n2 + n3 + n4 = 24 + 24 + 12 + 4 = 60 способами.
Приклад 4. Код Морзе – символ до 5 знаків (·, - ). Скільки таких символів існує?
Розв’язання. З 1 знака – n1 = 21 = 2 символи, з 2 знаків – n2 = 22 = 4 символи, з 3 – n3 = 23 = 8, з 4 – n4 = 24 = 16, з 5 – n5 = 25 = 32, всього – N = n1 + n2 + n3 + n4 + n5 = 62 символи.
Перестановки та розміщення без повторень
Упорядковані підмножини з k елементів множини М – називаються k-перестановками. Наприклад, M={1,6,7}, упорядковані підмножини тієї ж потужності, що і множина: (1,6,7), (1,7,6), (6,1,7), (6,7,1), (7,1,6), (7,6,1).
Кількість перестановок з k елементів множини називається перестановкою по k і розраховується по формулі Pk = k!
k-перестановки множини М з n елементів називають розміщення з n по k елементів. Наприклад, M={1,6,7} - множина містить 3 елементи, упорядковані підмножини з2-х елементів: (1,6), (1,7), (6,1), (6,7), (7,1), (7,6).
Кількість розміщень з n по k розраховуємо по формулі Ank = n!/(n-k)!
Розміщення з n по n є перестановка по n: Ann =Pn = n!
Приклад 4.: Для множини М = (1, 2, 3) знайти кількість перестановок по 2 і 3 елементи.
Розв’язання Кількість перестановок з 3-х по 3 - n1 = P3, а з 3-х по 2 - n2 =A32. Перестановки з 2-х або 3-х елементів є взаємовиключними, то ж виконання однієї ї них можна здійснити N=способами.
Приклад 5. Скільки різних двозначних чисел можна скласти за допомогою трьох карток з цифрами 1, 2, 3?
Розв’язання .Загальна кількість можливих двозначних чисел визначається відповідно до виразу : .
Сполучення без повторень
В тих випадках, коли не цікавить порядок елементів в підмножині, говорять про сполучення. Неупорядковані підмножини з k елементів множини М з n елементів називаються сполученнями. Наприклад, M={1,6,7}, неупорядковані підмножини з 2 х елементів: {1,6}, {1,7}, {6,7}.
Кількість сполучень з k елементів множини М з n елементів називаються сполученнями з n по k і розраховується по формулі:
Приклад 6 У футбольному чемпіонаті беруть участь 17 команд. За умовою, що 3 останні покидають вищу лігу, скільки варіантів такого завершення чемпіонату?
Розв’язання. - кількість сполучень з 17-х команд по 3.
Приклад 7 В ящику 100 деталей, з них 10 – браковані. Навмання витягнуто 4 деталі. Знайти загальну кількість події А – наявність серед витягнутих деталей рівно трьох стандартних.
Розв’язання. Три стандартні деталі з 90, що є в ящику, можна витягнути n1=способами. З кожною отриманою вибіркою з 3 стандартних деталей може поєднуватися одна нестандартна деталь з 10, що може бути взята n2=способами.
Отже, N= n1 n2= =88891510 = 1174800.
Розміщення, сполучення і перестановки з повторенням:
Упорядковані вибірки з повторенням: З множини М=(1, 2, 3) вибірки по 5 елементів з повторенням: (1,2,1,3,1), (1,2,2,3,3), (2,1,1,3,2)…
Даний приклад дає уяву про розміщення з n по k з повторенням елементів і розраховується по формулі
Приклад 8 З букв слова БРАТ скласти всі можливі комбінації слів по 3 або 4 букви. Букви можуть повторюватись: 44+43 = 256 + 64 = 320.
Формулювання: множина складається з елементів кількох типів,
Скільки існує таких n-перестановок з повтореннями, які містять n1 елементів 1-го типу, n2 елементів 2-го типу, … nk елементів k-го типу
Приклад 9 Маємо 4 жовті повітряні кульки, 3 червоні і 2 зелені. Їх треба в будь-якій послідовності розвісити на сцені. Скільки таких комбінацій існує?
Сполучення з повтореннями. Маємо предмети n типів, кожного типу не меньше ніж k екземплярів. Скільки існує неупорядкованиз k-вибірок предметів з можливими повтореннями елементів.
Позначимо а1 елемент в кількості k1, елемент а2 в кількості k2 ,… , елемент аn в кількості kn, тоді k=k1+ k2+ k3+ …kn.
Приклад 10: В кондитерській є тістечка 4-х сортів (n=4): а1 – бізе, а2 – наполеон, а3 – пісочне, а4– еклери. Скільки існує комбінацій придбання 7 тістечок?
Якщо в кортежі 1-е місце – кількість куплених бізе, 2-ге – кількість куплених наполеонів, 3-ге – кількість куплених пісочних, 4-е – кількість куплених еклерів, то ці кортежі мають вигляд:
(1,1,1,4), (1,2,0,4), (3,1,1,2), (0,1,5,1), (6,0,1,0),…
1.1. Скількома способами можна розташувати на полиці в ряд три різні книги?
1.2. Скількома способами можна розсадити за круглим столом п'ять гостей на 5 стільцях?
1.3. Скількома способами можна призначити трьох чоловік на три різні посади?
1.4. У вагоні трамваю 15 двомісних крісел. Скількома способами на них можуть розміститися 30 пасажирів?
1.5. Скільки різних тризначних чисел можна скласти за допомогою цифр 1, 2, 3, 4, 5?
1.6. На станції є 8 запасних шляхів. Скількома способами на них можна розставити три різних потяги?
1.7. Група з 8 чоловік вибирає делегацію на збори у складі трьох чоловік. Скільки різних варіантів делегації можна скласти?
1.8. Скількома способами можна з групи в 25 чоловік призначити:
а) три людини на рівноцінні посади;
б) чотири людини на різні посади?
1.9. Команду з восьми чоловік розбивають на дві групи з рівною кількістю людей. Скількома способами можна це зробити?
1.10. Скількома різними способами можна розкласти в дві кишені 10 монет різної вартості по рівній кількості монет?
1.11. Номер автомобіля складається з двох букв, за якими слідує тризначне число. Скільки існує різних автомобільних номерів?
1.12. Знайти кількість можливих номерів, якщо в номері:
а) 2 букви і 4 цифри;
б) 3 букви і 4 цифри;
одночасно використовуються номери обох типів.
1.13. При передачі повідомлень по телеграфу використовують код Морзе. Вказати:
а) чи достатньо комбінацій, що складаються не більше ніж з п'яти символів, щоб закодувати будь-яке повідомлення на російській мові;
б) чи достатньо для цього комбінацій, що складаються не більше ніж з чотирьох символів?
1.14. Скільки чотиризначних чисел можна скласти, використовуючи цифри 1,2,3,4,5 якщо:
а) ніякі цифри не повторюються більше одного разу;
б) повторення цифр допустимі;
в) числа повинні бути непарними, без повторень цифр.
1.15. З пункту А в пункт Би ведуть 4 дороги, а з Б у В сім доріг. Скільки існує маршрутів пройти:
а) з А у В;
б) з В в А;
в) з А у В і назад;
г) з А у В і назад, якщо повертатися потрібно новим шляхом?
1.16. Скільки сигналів можна подати за допомогою 6 прапорців різного кольору?
1.17. Скільки натуральних чисел можна скласти за допомогою цифр 1, 2, 3, 4, 5 так, щоб перша цифра була 1, друга – 2 і щоб отримані числа ділилися на 5?
1.18. Біжать 8 спортсменів. Знайти кількість варіантів:
а) розподіли на фініші;
б) утворити трійку призерів;
в) скласти трійку нагороджених золотою, срібною і бронзовою медалями.
PAGE 6
Предмет теорії ймовірностей. Елементи комбінаторики