Метод алгебраического агрегирования в задачах контроля и технического диагностирования

PAGE 8

Лекция 4

Метод алгебраического агрегирования в задачах контроля и технического диагностирования

1. Понятие агрегированного состояния

2. Комплексная диаграмма метода алгебраического агрегирования

1

Для описания видов технического состояния как подмножеств состояний, необходимо найти признаки, общие по отношению ко всем этим состояниям. Описание имеется ввиду формальное ( а не вербальное), в виде математических конструкций.

Общеметодологической основой решения данной задачи является метод алгебраического агрегирования, сущность которого заключается в построении моделей на множествах обобщенных элементов.

Обобщенный элемент (агрегат) – это элемент модели, т.е. идеальная, математическая конструкция.

Каждый из обобщенных элементов заменяет определенное подмножество элементов исходной системы в соответствии с заданными критериями эквивалентности.

Элемент исходной системы – реальный элемент (материальное образование)

Модели, построенные на множествах обобщенных элементов (агрегатов), называются агрегированными.

В агрегированной модели обеспечивается сохранение основных свойств исходной системы, которые важны для решаемой задачи.

Применительно к задачам контроля и диагностирования в качестве обобщенных элементов агрегированной модели выступают агрегированные состояния объекта

Ei =(ei1, ei2, …, ein )т, i = 0, 1, (при контроле работоспособности)

Ei =(ei1, ei2, …, ein )т, , (при диагностирование)

Ei =(ek1, ek2, …, ekn )т, (при контроле правильности функционирования).

Агрегированные состояния образуют множество

E ={Ei}.

В дальнейшем под агрегированным состоянием

понимается совокупность признаков, характеризующих общие свойства наблюдаемых состояний моделируемого объекта (а, следовательно, и технических состояний).

По этим признакам состояния объединяются в рамках отдельных видов технического состояния. В процессе контроля и диагностирования наблюдаемое состояние идентифицируется с одним из полученных заранее агрегированных состояний.

2

Наблюдаемые состояния, относящиеся к одному и тому же виду ТС, обладают одинаковыми свойствами и неразличимы между собой в том смысле, что характеризуют или отказ одного и того же ФЭ, или один режим нормальной работы объекта. Поэтому можно считать, что они находятся между собой в отношении эквивалентности.

Отношением эквивалентности называется бинарное отношение

YY, (1)

обладающее следующими свойствами:

а) рефлексивности: Y<n>Y: (Y<n>, Y<n>);

б) симметричности:

Y1, Y2Y: (Y1, Y2) (Y2, Y1);

в) транзитивности:

Y1, Y2, Y3Y: (Y1, Y2), (Y2, Y3) (Y1, Y3).

Запись (Yi, Yj) означает, что состояния Yi и Yj находятся между собой в отношении эквивалентности , а (Yi, Yj) указывает, что данные состояния в отношении не находятся.

Примеры.

1. Пусть Y = R, где R – множество вещественных чисел. Пусть бинарное отношение – отношение нестрогого неравенства .

а). r R: r r - вещественное число находится в отношении нестрогого неравенства к самому себе. Отношение рефлексивно.

б). Пусть r1, r2 R: если r1 r2, то отношение r2 r1 неверно. Отношение антисимметрично.

в). Пусть r1, r2, r3 R: r1 r2, r2 r3, то r1 r3. Отношение транзитивно.

Отношение не является отношением эквивалентности.

2. Пусть Y = R. Пусть бинарное отношение - отношение строгого равенства =.

а). r R: r = r. Отношение = рефлексивно.

б). r1, r2 R: r1= r2 r2= r1. Отношение = симметрично.

в). r1, r2, r3 R: r1 = r2, r2 = r3, то r1 = r3. Отношение = транзитивно.

Отношение = является отношением эквивалентности.

Отношение эквивалентности задает разбиение множества Y на непересекающиеся подмножества.

Рис.1. Факторизация множества наблюдаемых состояний по отношению эквивалентности

Операция выделения подмножеств на каком-то множестве называется факторизацией этого множества.

Цель факторизации - получение фактор-множества Y/. Операцию факторизации можно записать в виде отображения

: YY/ , (2)

которое является наложением (естественным гомоморфизмом).

При контроле работоспособности

Y/ = {Yр, Y\Yр}, YрY\Yр = ;

при диагностировании

Y/ = {(Y\Yр)i | }, (Y\Yр)i = ;

при контроле правильности функционирования

Y/ = {(Yпф(t))k, Y\Yпф(t)| },

(Y\Yр)i Y\Yпф(t)= .

Таким образом, критерием отношения эквивалентности является принадлежность одному из подмножеств всех элементов множества Y, относительно которых в процессе К или Д принимается одно и то же решение.

Введение отношения эквивалентности при формировании подмножеств, представляющих собой виды технического состояния объекта, означает некоторое упрощение физических процессов в сложных системах. Предположение об эквивалентности состояний в рамках одного подмножества означает, что данные подмножества не пересекаются. В действительности, сложность структуры и многообразие режимов функционирования систем может приводить к частичному пересечению подмножеств.

Следовательно, при разработке модели К и Д целесообразно вводить отношение толерантности.

Отношением толерантности называется бинарное отношение

YY, (3)

обладающее следующими свойствами:

а) рефлексивности: Y<n>Y: (Y<n>, Y<n>) ;

б) симметричности:

Y1, Y2Y: (Y1, Y2) (Y2, Y1) ;

в) антитранзитивности:

Y1, Y2, Y3Y: (Y1, Y2) , (Y2, Y3) (Y1, Y3) .

Запись (Yi, Yj) означает, что состояния Yi и Yj находятся в отношении , а (Yi, Yj) указывает, что они в данном отношении не находятся.

Фактор-множество, полученное при разбиении множества Y по отношению толерантности, обозначим через Y/.

Факторизация множества Y по отношению толерантности описывается отображением

:Y Y/, (4)

которое является наложением (гомоморфизмом).

При контроле работоспособности

Y/ = {Yр, Y\Yр}, YрY\Yр ;

при диагностировании

Y/ = {( Y\Yр)i | }, (Y\Yр)i ;

при контроле правильности функционирования

Y/ = {(Yпф(t))k, Y\Yпф(t)| },

(Y\Yр)i Y\Yпф(t) .

Фактор-множество Y/ является покрытием исходного множества наблюдаемых состояний Y.

Рис. 1.2. Факторизация множества наблюдаемых состояний по отношению толерантности

Из существа рассматриваемой задачи вытекает, что фактор-множества Y/ и Y/ находятся во взаимно однозначном соответствии, т.е. отображение

:Y/ Y/ (5)

является биекцией (взаимно однозначным).

В соответствии с известной теоремой о гомоморфизме множеств можно построить диаграмму отображений, которая отражает одну из составных частей задачи агрегирования состояний:

(6)

Из диаграммы следует, что справедливо равенство

= , (7)

где – естественный гомоморфизм;

– биекция;

– гомоморфизм.

Композиция естественного гомоморфизма и биекции есть гомоморфизм (теорема о гомоморфизме множеств). Н. Бурбаки. Архитектура математики. – М.: Изд-во иностр. литер.,1963; Фор Р., Кофман А., Дени-Папен М. Современная математика: Пер. с франц./Под ред. А.Н. Колмогорова.- М.:Мир, 1966.

Описание в виде диаграммы (6) является инвариантным по отношению к физическим принципам, на которых основано построение и функционирование объекта, а также способам задания или учета входных воздействий и выбора КП.

Третий этап состоит в реализации отображения (биекции)

:Y/ E, (8)

где E – множество агрегированных состояний объекта.

На уровне элементов множества–образа и множества– прообраза отображение (8) имеет вид:

:YiEi.

Вопросы о том, как задавать агрегированные состояния, будут рассматриваться позже.

Четвертый заключительный этап алгебраического агрегирования заключается в реализации отображения (биекции)

: E R. (9)

Отображение (9) ставит в соответствие каждому виду технического состояния Ei конкретное решение Rf о принадлежности текущего состояния объекта этому виду ТС:

:EiRf , . (10)

Если в выражении (10) i = f, решение правильное, в противном случае – ошибочное. Ошибки при К и Д обусловлены многими факторами, в том числе методическими и метрологическими погрешностями измерений КП.

С учетом выражений (8) (лекция 3), а также (1) - (9) все этапы построения модели контроля и диагностирования в совокупности могут быть представлены обобщенной диаграммой отображений:

(11)

Диаграмма (11) отражает метод алгебраического агрегирования.

Метод алгебраического агрегирования в задачах контроля и технического диагностирования