Метод алгебраического агрегирования в задачах контроля и технического диагностирования

PAGE 8

Лекция 4

1. Понятие агрегированного состояния

2. Комплексная диаграмма метода алгебраического агрегирования

Для описания видов технического состояния как подмножеств состояний, необходимо найти признаки, общие по отношению ко всем этим состояниям. Описание имеется ввиду формальное ( а не вербальное), в виде математических конструкций.

Общеметодологической основой решения данной задачи является метод алгебраического агрегирования, сущность которого заключается в построении моделей на множествах обобщенных элементов.

Обобщенный элемент (агрегат) – это элемент модели, т.е. идеальная, математическая конструкция.

Каждый из обобщенных элементов заменяет определенное подмножество элементов исходной системы в соответствии с заданными критериями эквивалентности.

Элемент исходной системы – реальный элемент (материальное образование)

Модели, построенные на множествах обобщенных элементов (агрегатов), называются агрегированными.

В агрегированной модели обеспечивается сохранение основных свойств исходной системы, которые важны для решаемой задачи.

Применительно к задачам контроля и диагностирования в качестве обобщенных элементов агрегированной модели выступают агрегированные состояния объекта

Ei =(ei1, ei2, …, ein )т, i = 0, 1, (при контроле работоспособности)

Ei =(ei1, ei2, …, ein )т, , (при диагностирование)

Ei =(ek1, ek2, …, ekn )т, (при контроле правильности функционирования).

Агрегированные состояния образуют множество

E ={Ei}.

В дальнейшем под агрегированным состоянием

понимается совокупность признаков, характеризующих общие свойства наблюдаемых состояний моделируемого объекта (а, следовательно, и технических состояний).

По этим признакам состояния объединяются в рамках отдельных видов технического состояния. В процессе контроля и диагностирования наблюдаемое состояние идентифицируется с одним из полученных заранее агрегированных состояний.

Наблюдаемые состояния, относящиеся к одному и тому же виду ТС, обладают одинаковыми свойствами и неразличимы между собой в том смысле, что характеризуют или отказ одного и того же ФЭ, или один режим нормальной работы объекта. Поэтому можно считать, что они находятся между собой в отношении эквивалентности.

Отношением эквивалентности называется бинарное отношение

YY, (1)

обладающее следующими свойствами:

а) рефлексивности: Y<n>Y: (Y<n>, Y<n>);

б) симметричности:

Y1, Y2Y: (Y1, Y2) (Y2, Y1);

в) транзитивности:

Y1, Y2, Y3Y: (Y1, Y2), (Y2, Y3) (Y1, Y3).

Запись (Yi, Yj) означает, что состояния Yi и Yj находятся между собой в отношении эквивалентности , а (Yi, Yj) указывает, что данные состояния в отношении не находятся.

Примеры.

1. Пусть Y = R, где R – множество вещественных чисел. Пусть бинарное отношение – отношение нестрогого неравенства .

а). r R: r r - вещественное число находится в отношении нестрогого неравенства к самому себе. Отношение рефлексивно.

б). Пусть r1, r2 R: если r1 r2, то отношение r2 r1 неверно. Отношение антисимметрично.

в). Пусть r1, r2, r3 R: r1 r2, r2 r3, то r1 r3. Отношение транзитивно.

Отношение не является отношением эквивалентности.

2. Пусть Y = R. Пусть бинарное отношение - отношение строгого равенства =.

а). r R: r = r. Отношение = рефлексивно.

б). r1, r2 R: r1= r2 r2= r1. Отношение = симметрично.

в). r1, r2, r3 R: r1 = r2, r2 = r3, то r1 = r3. Отношение = транзитивно.

Отношение = является отношением эквивалентности.

Отношение эквивалентности задает разбиение множества Y на непересекающиеся подмножества.

Рис.1. Факторизация множества наблюдаемых состояний по отношению эквивалентности

Операция выделения подмножеств на каком-то множестве называется факторизацией этого множества.

Цель факторизации - получение фактор-множества Y/. Операцию факторизации можно записать в виде отображения

: YY/ , (2)

которое является наложением (естественным гомоморфизмом).

При контроле работоспособности

Y/ = {Yр, Y\Yр}, YрY\Yр = ;

при диагностировании

Y/ = {(Y\Yр)i | }, (Y\Yр)i = ;

при контроле правильности функционирования

Y/ = {(Yпф(t))k, Y\Yпф(t)| },

(Y\Yр)i Y\Yпф(t)= .

Таким образом, критерием отношения эквивалентности является принадлежность одному из подмножеств всех элементов множества Y, относительно которых в процессе К или Д принимается одно и то же решение.

Введение отношения эквивалентности при формировании подмножеств, представляющих собой виды технического состояния объекта, означает некоторое упрощение физических процессов в сложных системах. Предположение об эквивалентности состояний в рамках одного подмножества означает, что данные подмножества не пересекаются. В действительности, сложность структуры и многообразие режимов функционирования систем может приводить к частичному пересечению подмножеств.

Следовательно, при разработке модели К и Д целесообразно вводить отношение толерантности.

Отношением толерантности называется бинарное отношение

YY, (3)

обладающее следующими свойствами:

а) рефлексивности: Y<n>Y: (Y<n>, Y<n>) ;

б) симметричности:

Y1, Y2Y: (Y1, Y2) (Y2, Y1) ;

в) антитранзитивности:

Y1, Y2, Y3Y: (Y1, Y2) , (Y2, Y3) (Y1, Y3) .

Запись (Yi, Yj) означает, что состояния Yi и Yj находятся в отношении , а (Yi, Yj) указывает, что они в данном отношении не находятся.

Фактор-множество, полученное при разбиении множества Y по отношению толерантности, обозначим через Y/.

Факторизация множества Y по отношению толерантности описывается отображением

:Y Y/, (4)

которое является наложением (гомоморфизмом).

При контроле работоспособности

Y/ = {Yр, Y\Yр}, YрY\Yр ;

при диагностировании

Y/ = {( Y\Yр)i | }, (Y\Yр)i ;

при контроле правильности функционирования

Y/ = {(Yпф(t))k, Y\Yпф(t)| },

(Y\Yр)i Y\Yпф(t) .

Фактор-множество Y/ является покрытием исходного множества наблюдаемых состояний Y.

Рис. 1.2. Факторизация множества наблюдаемых состояний по отношению толерантности

Из существа рассматриваемой задачи вытекает, что фактор-множества Y/ и Y/ находятся во взаимно однозначном соответствии, т.е. отображение

:Y/ Y/ (5)

является биекцией (взаимно однозначным).

В соответствии с известной теоремой о гомоморфизме множеств можно построить диаграмму отображений, которая отражает одну из составных частей задачи агрегирования состояний:

(6)

Из диаграммы следует, что справедливо равенство

= , (7)

где – естественный гомоморфизм;

– биекция;

– гомоморфизм.

Композиция естественного гомоморфизма и биекции есть гомоморфизм (теорема о гомоморфизме множеств). Н. Бурбаки. Архитектура математики. – М.: Изд-во иностр. литер.,1963; Фор Р., Кофман А., Дени-Папен М. Современная математика: Пер. с франц./Под ред. А.Н. Колмогорова.- М.:Мир, 1966.

Описание в виде диаграммы (6) является инвариантным по отношению к физическим принципам, на которых основано построение и функционирование объекта, а также способам задания или учета входных воздействий и выбора КП.

Третий этап состоит в реализации отображения (биекции)

:Y/ E, (8)

где E – множество агрегированных состояний объекта.

На уровне элементов множества–образа и множества– прообраза отображение (8) имеет вид:

:YiEi.

Вопросы о том, как задавать агрегированные состояния, будут рассматриваться позже.

Четвертый заключительный этап алгебраического агрегирования заключается в реализации отображения (биекции)

: E R. (9)

Отображение (9) ставит в соответствие каждому виду технического состояния Ei конкретное решение Rf о принадлежности текущего состояния объекта этому виду ТС:

:EiRf , . (10)

Если в выражении (10) i = f, решение правильное, в противном случае – ошибочное. Ошибки при К и Д обусловлены многими факторами, в том числе методическими и метрологическими погрешностями измерений КП.

С учетом выражений (8) (лекция 3), а также (1) - (9) все этапы построения модели контроля и диагностирования в совокупности могут быть представлены обобщенной диаграммой отображений:

(11)

Диаграмма (11) отражает метод алгебраического агрегирования.

Метод алгебраического агрегирования в задачах контроля и технического диагностирования