СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ

§ 2. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ

Одной из центральных задач математической статистики является задача оценивания теоретического распределения случайной величины на основе выборочных данных.

При этом часто предполагается, что вид закона распределения генеральной совокупности известен, но неизвестны параметры этого распределения, такие как математическое ожидание, дисперсия. Требуется найти приближенные значения этих параметров, то есть получить статистические оценки указанных параметров.

Определение. Статистической оценкой параметра теоретического распределения называют его приближенное значение, зависящее от данных выбора.

----------------------------------------------------------------------------------------------------

Рассматривая выборочные значения как реализации случайных величин , получивших конкретные значения в результате опытов, можно представить оценку как функцию этих случайных величин: . Это означает, что оценка тоже является случайной величиной.

Если для оценки взять несколько выборок, то получим столько же случайных оценок .

Если число наблюдений невелико, то замена неизвестного параметра оценкой приводит к ошибке, которая тем больше, чем меньше число опытов.

----------------------------------------------------------------------------------------------------

2.1. Точечные оценки

Статистические оценки могут быть точечными и интервальными.

Точечные оценки представляют собой число или точку на числовой оси. Чтобы оценка была близка к значению параметра , она должна обладать свойствами состоятельности, несмещенности и эффективности.

Определение. Оценка параметра называется состоятельной, если она сходится по вероятности к оцениваемому параметру, то есть для любого :

Пусть - очень малое положительное число. Тогда данное равенство означает, что чем больше объем выборки , тем ближе оценка приближается к оцениваемому параметру .

----------------------------------------------------------------------------------------------------

Свойство состоятельности нужно проверять в первую очередь. Оно обязательно для любого правила оценивания. Несостоятельные оценки не используются.

Определение. Оценка параметра называется несмещенной, если , то есть математическое ожидание оценки равно оцениваемому параметру. Если, то оценка называется смещенной.

Это свойство оценки желательно, но не обязательно. Часто полученная оценка бывает смещенной, но ее можно поправить так, чтобы она стала несмещенной.

Иногда, оценка бывает асимптотически несмещенной ,

то есть .

Требования несмещенности особенно важно при малом числе опытов.

--------------------------------------------------------------------------------------------

Определение. Несмещенная оценка параметра называется эффективной, если она среди всех несмещенных оценок, в определенном классе оценок данного параметра, обладает наименьшей дисперсией.

Можно показать, что:

- является состоятельной, несмещенной и эффективной оценкой в классе линейных оценок;

- является состоятельной, смещенной оценкой ;

- является состоятельной, несмещенной оценкой ;

(при больших разница между и мала.

используется при малых выборках, обычно при ) ;

----------------------------------------------------------------------------------------------------

- относительная частота появления события в независимых испытаниях является состоятельной, несмещенной и эффективной оценкой, в классе линейных оценок, неизвестной вероятности (- вероятность появления события в каждом испытании);

Поясним смысл этого равенства.

- эмпирическая функция распределения выборки является состоятельной, несмещенной оценкой функции распределения случайной величины .

Для нахождения оценок неизвестных параметров используют различные методы. Наиболее распространенными являются: метод моментов, метод максимального правдоподобия (ММП), метод наименьших квадратов (МНК).

----------------------------------------------------------------------------------------------------

2.2. Интервальные оценки

При выборке малого объема точечная оценка может существенно отличаться от оцениваемого параметра. В этом случае целесообразно использовать интервальные оценки.

Определение. Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала.

Пусть найденная по данным выборки величина служит оценкой неизвестного параметра . Оценка определяет тем точнее, чем меньше , то есть чем меньше в неравенстве .

Поскольку - случайная величина, то и разность - случайная величина. Поэтому неравенство , при заданном может выполняться только с некоторой вероятностью.

----------------------------------------------------------------------------------------------------

Определение. Доверительной вероятностью ( надежностью) оценки параметра называется вероятность , с которой выполняется неравенство .

Обычно задается надежность и определяется . Чаще всего надежность задается значениями от 0,95 и выше, в зависимости от конкретно решаемой задачи.

Неравенство можно записать .

Определение. Доверительным интервалом называется интервал , который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью .

--------------------------------------------------------------------------------------------

2.2.1. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии

Пусть случайная величина имеет нормальное распределение: .

Известно значение и задана доверительная вероятность (надежность) . Требуется построить доверительный интервал для параметра по выборочному среднему .

Чтобы подчеркнуть случайный характер обозначим его .

Примем без доказательства, что если случайная величина распределена нормально, то и выборочное среднее , найденное по независимым наблюдениям, также распределено нормально.

Параметры распределения таковы: ; .

----------------------------------------------------------------------------------------------------

Из теории вероятности известна формула для нормально распределенной случайной величины :

где - функция Лапласа, значение которой в точке

находим по таблице (Приложение 2).

----------------------------------------------------------------------------------------------------

Учитывая, что имеет нормальное распределение можно записать

или ,

где

Из последнего равенства по таблице Лапласа находим (Приложение 2).

Тогда и доверительный интервал

покрывает с надежностью математическое ожидание .

----------------------------------------------------------------------------------------------------

Пример 6. Случайная величина имеет нормальное распределение с известным средним квадратическим отклонением . Найти доверительный интервал оценки неизвестного математического ожидания по выборочной средней , если объем выборки , а надежность оценки .

1. Находим :

По таблице значений функции Лапласа .

2. Определяем .

Доверительный интервал запишется в виде: .

--------------------------------------------------------------------------------------------

2.2.2. Доверительный интервал для оценки

математического ожидания при неизвестной дисперсии

Пусть случайная величина имеет нормальное распределение: , причем - неизвестно, - задана.

Если неизвестна, то пользуются оценкой .

Введем случайную величину ,

где - исправленное среднее квадратическое отклонение случайной величины , вычисленное по выборке:

;

----------------------------------------------------------------------------------------------------

Случайная величина имеет распределение Стьюдента с степенью свободы.

Тогда доверительный интервал для оценки имеет вид:

где - выборочное среднее;

- исправленное среднее квадратическое отклонение;

- находим по таблице квантилей распределения Стьюдента (Приложение 4) в зависимости от числа степеней свободы и доверительной вероятности .

----------------------------------------------------------------------------------------------------

Пример 7. Произведено пять независимых наблюдений над случайной величиной . Результаты наблюдений таковы:

, , , , .

Построить для неизвестного доверительный интервал, если .

1. Находим :

----------------------------------------------------------------------------------------------------

2. Находим :

3. По таблице квантилей распределения Стьюдента (Приложение 4) для и находим :

Доверительный интервал:

или .

--------------------------------------------------------------------------------------------

2.2.3. Доверительный интервал для оценки

среднего квадратического отклонения нормального распределения

1. Если неизвестно, то доверительный интервал для оценки имеет вид:

где - объем выборки; - исправленное среднее квадратическое отклонение:

, - квантили- распределения, определяемые по таблице (Приложение 3)

при и , .

----------------------------------------------------------------------------------------------------

Пример 8. Для оценки параметра нормально распределенной случайной величины была сделана выборка объема в 25 единиц и вычислено .

Найти доверительный интервал, покрывающий с вероятностью .

Имеем , .

Доверительный интервал имеет вид:

или .

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2. Другой вид доверительного интервала для оценки нормального распределения имеет вид:

при ;

где - исправленное среднее квадратическое отклонение;

находим по таблице значений (Приложение 5).

Пример 9. Для оценки параметра нормально распределенной случайной величины была сделана выборка объема в 25 единиц и вычислено .

Найти доверительный интервал, покрывающий с вероятностью .

Имеем , ,

По таблице значений находим .

Доверительный интервал имеет вид:

или .

----------------------------------------------------------------------------------------------------

Замечание. Доверительные интервалы в примерах 8 и 9 получили разные при одинаковых данных, но они с вероятностью покрывают среднее квадратическое отклонение .

СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ