ВНУТРЕННЯЯ ЭНЕРГИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА

ЛЕКЦИЯ №16

Рассмотрим внутреннюю энергию идеального газа. В идеальном газе притяжение между молекулами отсутствует. Поэтому их потенциальная энергия равна нулю. Тогда внутренняя энергия этого газа будет складываться только из кинетических энергий отдельных молекул. Вычислим сначала внутреннюю энергию одного моля газа. Известно, что число молекул, находящихся в одном моле вещества, равно числу Авогадро NА. Средняя кинетическая энергия молекулы находится по формуле . Следовательно, внутренняя энергия Um одного моля идеального газа равна:

(1)

так как kNA = R — универсальная газовая постоянная. Внутренняя энергия U произвольной массы газа M равна внутренней энергии одного моля, умноженной на число молей n, равной n = M / m , где m — молярная масса газа, т.е.

(2)

Таким образом, внутренняя энергия данной массы идеального газа зависит только от температуры и не зависит от объёма и давления.

КОЛИЧЕСТВО ТЕПЛОТЫ

Внутренняя энергия термодинамической системы под воздействием ряда внешних факторов может меняться, о чём как видно из формулы (2), можно судить по изменению температуры этой системы. Например, если быстро сжать газ, то его температура повышается. При сверлении металла также наблюдается его нагревание. Если привести в контакт два тела, имеющих разные температуры, то температура более холодного тела повышается, а более нагретого — понижается. В первых двух случаях внутренняя энергия изменяется за счёт работы внешних сил, а в последнем — происходит обмен кинетическими энергиями молекул, в результате чего суммарная кинетическая энергия молекул нагретого тела уменьшается, а менее нагретого — возрастает. Происходит передача энергии от горячего тела к холодному без совершения механической работы. Процесс передачи энергии от одного тела к другому без совершения механической работы получил название теплопередачи или теплообмена. Передача энергии между телами, имеющими разные температуры, характеризуется величиной, называемой количеством теплоты или теплотой, т.е. количество теплоты — это энергия, переданная путём теплообмена от одной термодинамической системы к другой вследствие разницы температуры этих систем.

ПЕРВЫЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ

В природе существует закон сохранения и превращения энергии, согласно которому энергия не исчезает и не возникает вновь, а лишь переходит из одного вида в другой. Этот закон применительно к тепловым процессам, т.е. процессам, связанным с изменением температуры термодинамической системы, а также с изменением агрегатного состояния вещества, получил название первого закона термодинамики.

Если термодинамической системе сообщить некоторое количество теплоты Q, т.е. некоторую энергию, то за счёт этой энергии в общем случае происходит изменение её внутренней энергии DU и система, расширяясь, совершает определённую механическую работу A. Очевидно, что, согласно закону сохранения энергии, должно выполняться равенство:

(3)

т.е. количество теплоты, сообщённое термодинамической системе, расходуется на изменение её внутренней энергии и на совершение системой механической работы при её расширении. Соотношение (4) носит название первого закона термодинамики.

Выражение первого закона удобно записывать для малого изменения состояния системы при сообщении ей элементарного количества теплоты dQ и совершения системой элементарной работы dA, т.е.

(4)

где dU — элементарное изменение внутренней энергии системы. Формула (4) представляет собой запись первого закона термодинамики в дифференциальной форме.

РАБОТА ГАЗА ПРИ ИЗМЕНЕНИИ ЕГО ОБЪЁМА

Рис. 1

Пусть газ находится в цилиндрическом сосуде, закрытом подвижным поршнем. Нагреем газ, в результате чего его объём изменяется. Обозначим первоначальный и конечный объём газа через V1 и V2, а площадь поперечного сечения поршня — через S (рис. 1). Найдём работу, совершаемую газом при его расширении. Она равна работе, которую совершают силы, действующие на поршень при его перемещении. При движении поршня давление газа изменяется. Поэтому и сила приложенная к поршню, также изменяется. Тогда механическая работа A находится по формуле:

(5)

В данном случае a = 0 (a — угол между силой и элементарным перемещением ) и cosa = 1. Модуль силы F находим через давление P, которое оказывает газ на поршень: F = PS. С учётом этого, для элементарной работы dA получаем, что dA = F·dl·cosa = PS·dl = P·dV, где dV = S·dl — элементарное приращение объёма. Подставляя это выражение в (5), имеем:

(6)

ПРИМЕНЕНИЕ ПЕРВОГО ЗАКОНА ТЕРМОДИНАМИКИ К РАЗЛИЧНЫМ ПРОЦЕССАМ

1. Изохорический процесс. Процесс, протекающий при постоянном объёме (V = const), называют изохорическим (изохорным). Поскольку V = const, то элементарное изменение объёма dV = 0, и элементарная работа газа dA = P·dV = 0, т.е. при этом процессе газ не совершает механической работы. Тогда первый закон термодинамики запишется:

dQV = dU. (7)

Следовательно, при изохорическом процессе количество теплоты, сообщённое газу, полностью расходуется на изменение его внутренней энергии. Отметим, что в (7) использовано принятое в термодинамике обозначение. Если какой-либо параметр при данном процессе не изменяется, то он служит индексом при интересующей нас величине.

Количество теплоты, переданное или отданное термодинамической системе, определяется через её теплоёмкость. Теплоёмкость — это физическая величина, измеряемая количеством теплоты, которую необходимо сообщить для нагревания системы на один градус. Очевидно, что количество теплоты, необходимое для нагревания системы на один градус, зависит от массы вещества. Поэтому вводят понятие удельной и молярной теплоёмкости. Удельная теплоёмкость c характеризуется количеством теплоты, необходимым для повышения температуры единицы массы вещества на один градус. Молярная теплоёмкость C — это количество теплоты, требуемое для повышения температуры одного моля вещества на один градус. Эти теплоёмкости связаны между собой соотношением

C = mc, (8)

где m — молярная масса.

Если одному молю вещества сообщить количество теплоты dQm и при этом его температура изменится на dT градусов, то по определению

(9)

Теплоёмкость зависит от внешних условий, при которых происходит нагревание термодинамической системы. Различают теплоёмкости при постоянном давлении (изобарная теплоёмкость) и при постоянном объёме (изохорная теплоёмкость). Обозначим молярную изохорную теплоёмкость через CmV. Согласно выражению (9), она равна:

(10)

так как из (7) следует, что dQV = dU . Из формулы (10) получаем, что

dUm = CmV dT. (11)

Для нахождения внутренней энергии одного моля вещества надо проинтегрировать выражение (11), т.е.

(12)

В не слишком широких интервалах температур CmV остаётся постоянной. Тогда её можно вынести за знак интеграла и (12) запишется

Um = CmV T. (13)

Для произвольной массы вещества M внутренняя энергия U равна внутренней энергии Um одного моля, умноженной на число молей n = M / m, т.е.

(14)

2. Изобарический процесс. Процесс, происходящий при неизменном давлении (P = const), называется изобарическим (изобарным). Работу газа при увеличении объёма от V1 до V2 находим, используя формулу (6):

(15)

так как P = const, то её вынесли за знак интеграла. Первый закон термодинамики в дифференциальной форме, учитывая, что dA = PdV, запишется в виде

dQ = dU + P·dV. (16)

Молярная изобарная теплоёмкость CmP равна

(17)

Теплоёмкости газа при постоянном давлении и объёме связны соотношением:

CmP = CmV + R. (18)

Соотношение (18) носит название уравнения Майера. Из него следует, что теплоёмкость при изобарическом процессе больше, чем при изохорическом.

3. Связь теплоёмкости идеального газа со степенями свободы молекул. Сравнивая выражения и Um = CmV T, находим, что молярная изохорная теплоёмкость равна:

(19)

где i — число степеней свободы молекулы. Молярную изобарную теплоёмкость находим, воспользовавшись уравнением Майера и формулой (19):

(20)

Если молекулу считать жёсткой, то для одноатомных газов i = 3, для двухатомных — i = 5 и для многоатомных — i = 6. Подставляя эти значения в (19) и (20), можно вычислить молярные теплоёмкости газов. Из опытных данных следует, что теплоёмкость реальных одноатомных газов (гелий, аргон, неон и др.) близка к расчётным значениям в довольно широком температурном интервале. Теплоёмкость же двухатомных и многоатомных газов близка к расчётным величинам лишь при температурах, мало отличающихся от комнатной температуры. В широком же температурном интервале наблюдается зависимость теплоёмкости от температуры, в то время как, с точки зрения классической теории, она должна быть постоянной. Объяснение такого поведения теплоёмкости даётся квантовой механикой.

4. Изотермический процесс. Процесс, происходящий при постоянной температуре (T = const), называют изотермическим.

а) Рассмотрим первый закон термодинамики для данного процесса. Внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры. Поэтому при постоянной температуре внутренняя энергия постоянна (U = const), и следовательно, DU = 0. Тогда первый закон термодинамики принимает вид:

QT = AT, (21)

т.е. количество теплоты, сообщённое газу при изотермическом процессе, полностью превращается в работу, совершаемую газом.

б) Вычислим работу, совершаемую идеальным газом, при данном процессе при изменении объёма от V1 до V2. Зависимость давления газа от объёма и температуры находим из уравнения Менделеева — Клапейрона: Тогда с учётом выражения (3) имеем, что

(22)

поскольку T = const, то её также вынесли за знак интеграла.

7. Адиабатический процесс. Уравнение Пуассона.

а) Процесс, протекающий в термодинамической системе без теплообмена с окружающей средой, называется адиабатическим (адиабатным). Для практического осуществления такого процесса газ помещают в сосуд с теплоизоляционными стенками. Поскольку любой материал в той или иной степени проводит теплоту, то процесс можно считать адиабатическим лишь приближённо. Хорошим приближением к адиабатическому процессу являются быстро протекающие процессы. Кратковременность процесса приводит к тому, что система не успевает обменяться теплотой с окружающей средой. При адиабатическом процессе газ не отдаёт и не получает количество теплоты, т.е. dQ = 0. Тогда первый закон термодинамики имеет вид:

0 = dU + dA или dA = – dU , (23)

т.е. работа, совершаемая газом при адиабатическом процессе, производится только за счёт изменения его внутренней энергии. Если газ расширяется, то dV > 0 и dA = P·dV > 0. Из формул (23) следует, что dU < 0, а следовательно, температура газа понижается. Если же газ сжимается, то dA < 0 и dU > 0, а его температура повышается. Этим объясняется, например, нагревание воздуха в цилиндре дизельного двигателя при его сжатии.

б) Уравнение, которое описывает адиабатический процесс, происходящий в газе, таково:

PV = const, (24)

Рис. 2

где P — давление газа, V — объём, занимаемый газом, g = CmP / CmV — отношение молярных теплоёмкостей при изобарическом и изохорическом процессах. Это соотношение называется уравнением Пуассона. Уравнение Пуассона можно записать в ином виде, воспользовавшись уравнением Менделеева — Клапейрона. Из него находим, что Подставляя это выражение в (24) и учитывая, что величины M, m и R постоянные, получаем:

TV –1 = const. (25)

Используя выражения (19) и (20), находим: где i — число степеней свободы молекулы. График, соответствующий уравнению Пуассона, называется адиабатой (рис. 2). Поскольку всегда g > 1, то адиабата идёт круче изотермы, соответствующей закону Бойля — Мариотта.

ВНУТРЕННЯЯ ЭНЕРГИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА