Ряды динамики

Тема № 10. Ряды динамики.

План

1. Понятие и классификация рядов динамики.

2. Показатели для анализа рядов динамики.

3. Методы анализа рядов динамики.

4. Интерполяция и экстраполяция рядов динамики.

10.1. Понятие и классификация рядов динамики.

Ряд динамики (динамический ряд) представляет собой ряд расположенных в хронологической последовательности статистических данных, характеризующих изменение социально-экономических явлений во времени.

Ряд динамики состоит из двух элементов:

уровней ряда, характеризующих величину изучаемого признака;
периодов (моментов), к которым относятся эти уровни.

Ряды динамики классифицируются по следующим признакам:

1) В зависимости от способа представления уровней они подразделяются ряды абсолютных, относительных и средних величин.

Первоначальным является ряд абсолютных величин, где статистические показатели (уровни ряда) представляются в абсолютных цифрах с соответствующими единицами измерения. В рядах относительных величин уровни ряда характеризуют изменение относительных показателей изучаемых явлений во времени и выражаются, как правило, в процентах или в коэффициентах. В рядах средних величин уровни ряда характеризуют изменение средних показателей изучаемых явлений во времени (средние заработные платы по годам и др.).

2) В зависимости от того, как выражают уровни ряда во времени, они подразделяются на моментные и интервальные.

Моментным называется ряд динамики, уровни которого характеризуют состояние явления на определенный момент времени (на начало месяца, квартала, года). Для моментного ряда каждый последующий показатель полностью или частично включает в себя предыдущий.

Средний уровень моментного ряда определяется по формуле: ,

где - уровни моментального ряда; n - число уровней ряда.

Интервальным (периодическим) называется такой ряд динамики, уровни которого характеризуют размер явления за какой-то период времени (месяц, квартал, год).

Средний уровень интервального ряда определяется по формуле: , где у – уровни ряда; n - число уровней ряда.

3) В зависимости от расстояния между уровнями, они подразделяются на ряды с равностоящими и неравностоящими уровнями во времени.

Средний уровень для интервального ряда с неравностоящими уровнями определяется по формуле: ,

где t - длительность интервала времени между уровнями.

Средний уровень для моментального ряда с неравностоящими уровнями определяется по формуле:

, где - уровни моментального ряда; - длительность интервалов между уровнями ряда.

10.2. Показатели для анализа рядов динамики.

Для количественной оценки динамики экономических явлений и процессов во времени применяются следующие показатели: абсолютный прирост, темп роста, абсолютное содержание 1 % прироста, темп наращивания (пункты роста).

По методу их определения они подразделяются на: базисные, цепные и средние. Расчет этих показателей осуществляется путем сравнения между собой уровней ряда динамики.

Если все уровни ряда сравниваются с каким-то одним, называемым базисным, то полученные при этом показатели называются базисными. Если каждый уровень ряда сравнивается с предыдущим, то полученные при этом показатели называются цепными.

Определение базисных и цепных показателей можно представить в виде следующей схемы:

Цепные показатели

Базисные показатели

Определение основных показателей динамики можно свести в таблицу

Метод определения	Абсолютный прирост	Темп роста, %	Темп прироста, %
Цепной
Базисный
Средний

Использованы следующие обозначения: - уровни ряда динамики; n – количество уровней (длина) ряда динамики; - уровень ряда динамики, принятый за базу сравнения.

Средние показатели для анализа рядов динамики могут определяться также по следующим формулам:

Средний абсолютный прирост: или , где - цепные абсолютные приросты; m – количество цепных абсолютных приростов в ряду динамики (m = n-1).

Средний темп роста: , где m – количество уровней ряда динамики; - цепные темпы роста в ряду динамики.

Абсолютное содержание 1 % прироста определяется по формулам: или , где - цепные абсолютные приросты (i = 1,2,3,…,m); - цепные темпы роста.

Темп наращивания (пункты роста) определяются по формуле: , где - темп роста базисный (i = 1,2,…,m)

Между цепными и базисными темпами роста существуют зависимости:

а) Произведение цепных темпов роста равно последнему базисному темпу роста

б) Отношение последующего базисного темпа роста к предыдущему равно последующему цепному темпу роста

Значения средних показателей абсолютных приростов и темпов роста могут быть применены для прогнозирования будущих уровней ряда динамики.

Если цепные абсолютные приросты примерно одинаковы, то значения будущих уровней могут быть определены по формуле:

, где - экстраполирующий (зависящий) уровень ряда; - средний абсолютный прирост; - значения последнего уровня ряда; t – срок прогноза.

Если ряд динамики имеет примерно одинаковые темпы роста, то значения будущих уровней ряда могут быть определены по формуле: , где - средний темп роста.

10.3. Методы анализа рядов динамики.

Под трендом понимается общее и довольно устойчивое изменение уровней ряда динамики, свободное от периодических и случайных колебаний. Это составляющая ряда динамики долговременного действия.

Для установления основной тенденции ряда динамики применяются следующие методы:

а) укрупнение интервалов времени динамического ряда;

б) сглаживание ряда с помощью скользящей средней;

в) аналитическое выравнивание ряда динамики.

Укрупнение интервалов времени динамического ряда заключается в том, что первоначальный ряд динамики преобразуется и заменятся другим, уровни которого относятся к большим по продолжительности периодам времени. Вновь образованный ряд может содержать либо абсолютные величины за большие периоды времени, либо средние величины.

Сглаживание ряда с помощью скользящей средней заключается в замене фактических уровней ряда расчётными – скользящими средними.

Алгоритм сглаживания имеет вид:

а) определяется длина интервала сглаживания по формуле: , где p = 1,2,3,…,n

б) разделяют ряд на участки, при этом интервал сглаживания как бы скользит по ряду с шагом, равным единице;

в) определяют скользящую среднюю по формуле: , где - значение скользящей средней; - фактическое значение i – го ряда динамики.

Например, для интервала скользящая средняя будет определяться по формулам:

Метод аналитического выравнивания ряда динамики позволяет получить аналитическую модель, выражающую основную тенденцию развития явления во времени.

В качестве вида аналитической модели могут быть приняты уравнения прямой линии, параболы, показательной функции и других видов.

Для установления вида аналитической модели применяются следующие методы:

Графический метод предусматривает нанесение на график фактических уровней ряда, где визуально подбирается форма кривой модели, которая наиболее соответствует реальному процессу. Если по фактическим уровням ряда тенденция чётко не выявляется, то проводят сглаживание ряда по скользящей средней.
Метод анализа показателей ряда динамики, который заключается в следующем:

а) если ряд динамики имеет примерно одинаковые цепные абсолютные приросты, то в качестве основной тенденции выбирается уравнение прямой линии: , где t – периоды времени; - коэффициенты уравнения.

б) если ряд динамики имеет примерно одинаковые цепные темпы роста, то в качестве основной тенденции выбирается уравнение показательной функции, имеющей вид:

в) если в ряду динамики цепные абсолютные приросты равномерно увеличиваются или уменьшаются, то в качестве основной тенденции выбирается уравнение параболы, имеющее вид:

После выбора вида уравнения определяются его параметры методом наименьших квадратов. Сущность данного метода заключается в минимизации суммы квадратов отклонений фактических уравнений динамического ряда, от соответствующих им во времени, выровненных (расчётных) уровней, определённых по уравнению, т.е. , где - расчетные (теоретические) уровни ряда; y – фактические уровни ряда.

Для определения параметров уравнения прямой линии составляется и решается система из двух уравнений:

где n – число уровней ряда; t – периоды времени; y – фактические уровни ряда.

Для определения параметров уравнения параболы составляется и решается система из трёх уравнений:

Для упрощения решения системы уравнений переносят начало координат в середину динамического ряда, где , (k – нечетное число)

Для нечётного числа уровней ряда динамики:

t = …-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3…

Для чётного числа уровней ряда динамики:

t =…-5, -3, -1, 1, 3, 5…

10.4. Интерполяция и экстраполяция рядов динамики.

При анализе рядов динамики иногда приходится прибегать к определению некоторых неизвестных уровней внутри ряда динамики.

Интерполяция применяется для определения величины промежуточных уровней на основе известных смежных уровней ряда.

Метод интерполяции применяется на известном предположении характера изменения уровней ряда динамики, который основывается на количественных оценках абсолютных приростов или темпов роста.

Если ряд динамики имеет примерно одинаковые цепные абсолютные приросты, то промежуточные неизвестные уровни ряда определяются по формуле:

где - средний абсолютный прирост; - первый уровень ряда; i – порядковый номер уровня ряда.

Если ряд динамики имеет примерно одинаковые цепные темпы роста, то неизвестные промежуточные уровни ряда определяются по формуле: , где - средний темп роста.

Экстраполяция – это определение неизвестных уровней динамического ряда, лежащих за его пределами, т. е. либо будущих уровней, либо уровней, предшествующих начальному.

При экстраполяции исходят из предположения, что характер динамики, выявленный за определённый период времени, сохраняется и в будущем (или имеет место в прошлом).

Метод экстраполяции применяют чаще всего при прогнозировании будущих значений экономических явлений и процессов.

Если ряд динамики имеет примерно одинаковые цепные абсолютные приросты, то значения будущих уровней ряда определяются по формуле: ,

где - средний абсолютный прирост; - значение последнего уровня ряда; i – срок прогноза (i = 1,2,…n)

Если ряд динамики имеет примерно одинаковые цепные темпы роста, то значения будущих уровней ряда определяются по формуле:

Ряды динамики