бучение в моделях контроля правильности функционирования на основе методов параметрической статистики

PAGE 9

Лекция 9

Обучение в моделях контроля правильности функционирования на основе методов параметрической статистики

1. Особенности исходных данных об объекте контроля как основа для применения методов параметрической статистики

2. Порядок построения модели с реализацией процесса обучения

3. Задание допустимых интервалов изменения контролируемых признаков

4. Пример

Рассматриваемые вопросы посвящены частному случаю, когда имеют место следующие особенности исходных данных для решения задачи контроля правильности функционирования.

1). Априорная информация об объекте характеризуется вероятностной определенностью.

2). Выделение отдельных режимов работы объекта, которые определяются заранее заданными алгоритмами функционирования, не представляется возможным в силу специфики его рабочих процессов.

3). Контролируемые признаки объекта изменяются в широких пределах в зависимости от изменения входных воздействий.

Указанный случай характерен для ряда механических и электромеханических систем.

Вероятностная определенность априорной информации об объекте означает, что:

- известны или могут быть заданы диапазоны изменения КП

j = [], j = , (1)

в состоянии правильного функционирования объекта;

-известны также законы распределения значений КП на этих диапазонах.

Вторая и третья особенности указывают на то, что изменение режимов работы объекта происходит случайным образом и обусловливается внешними воздействиями.

Например, двигатели внутреннего сгорания могут непрерывно изменять режим своей работы от холостого хода до номинальной мощности и выше. Если это автомобильный двигатель, то мощность изменяется в зависимости от требуемой скорости движения и качества дороги. При таком диапазоне изменения мощности все параметры, характеризующие техническое состояние ДВС, изменяют свои значения в несколько раз.

К указанным параметрам относятся:

- температуры рабочих сред (охлаждающей жидкости, смазочного масла, выхлопных газов);

- давления рабочих сред в газовых и жидкостных магистралях.

- расходы рабочих сред и т.п.

Они и применяются в качестве КП.

Для определения значений КП в состоянии правильного функционирования объекта необходимо установить зависимости выходных переменных (т.е. контролируемых признаков) от входных воздействий.

При случайном характере входных и выходных переменных зависимости между ними могут быть только стохастическими. Для установления таких зависимостей возможно использовать методы параметрической статистики, которые просты как в методологическом, так и в алгоритмическом аспектах. Эти методы позволяют синтезировать многофакторные зависимости КП от сочетаний входных переменных

yj =(U<h>), j=. (2)

где U<h>= (u1, u2,…,uh)T – вектор входных переменных.

Наиболее распространенным и хорошо отработанным методом параметрической статистики является метод регрессионного анализа. Но применение указанного метода для задания зависимостей (2) в явной форме правомерно только в том случае, если распределение значений КП правильно функционирующего объекта соответствует нормальному закону.

Гипотеза о нормальном распределении вполне обоснована. В состоянии правильного функционирования объекта на его рабочий процесс воздействует множество различных независимых факторов, среди которых нет явно превалирующих над остальными. Это и является основанием для принятия гипотезы о нормальном законе распределения значений КП. Условием правомерности этой гипотезы является адекватность синтезируемых зависимостей экспериментальным данным.

Порядок построения модели для рассматриваемого случая.

1). Выбирается состав КП

Y<n> = (y1, y2,…, yn)т. (3)

На множестве векторов Y<n> задается структура n-мерного евклидова пространства Y.

2). Выбираются входные переменные

U<h>= (u1, u2,…,uh)T (4)

На множестве векторов U<h> задается структура l-мерного евклидова пространства U.

3). Формируется обучающая выборка о состоянии правильного функционирования объекта

Y0. (5)

4). Осуществляется построение зависимостей КП от сочетаний входных переменных на основе вычислительных схем, определенных в евклидовых пространствах. К таким схемам относится метод наименьших квадратов. Указанный метод является базой для построения уравнений регрессии.

Для каждого КП синтезируется регрессионная зависимость

(U<h>), j=, (6)

где U<h>= (u1, u2,…,uh)T – вектор факторов уравнения регрессии (входных переменных).

5). Из полученных уравнений определяются оценки математических ожиданий контролируемых признаков в состоянии правильного функционирования объекта.

Указанные значения могут интерпретироваться как координаты точки, которая перемещается в n-мерном евклидовом пространстве под действием входных переменных. Таким образом, в модели учитываются любые изменения входных воздействий.

6). Выделяются допустимые интервалы относительно оценок математических ожиданий :

j = [], j=

где ; . (7)

В зависимости от условий целевого применения объекта указанные интервалы могут быть различными. В совокупности они образуют область правильного функционирования в n-мерном евклидовом пространстве:

Y0={j | j=}. (8)

Данная область также перемещается под действием входных переменных, поскольку все интервалы задаются относительно координат подвижной точки.

Исходя из этого очевидно, что предлагаемый подход позволяет производить контроль технического состояния на любых режимах функционирования объекта.

Принимается решение о правильном функционировании объекта, если установлено, что все КП соответствуют допустимым пределам, т.е. выполняется условие

. (9)

Данное условие однозначно определяет в n-мерном евклидовом пространстве гиперплоскости, которые отделяют области правильного и неправильного функционирования. Если условие (8) не выполняется:

, (10)

принимается решение о неправильном функционировании объекта (решение о том, что имеет место отказ).

Таким образом, решение о техническом состоянии принимается по критерию принадлежности наблюдаемых значений КП допустимым интервалам.

Возникает вопрос, как задавать допустимые интервалы (6). В каждом конкретном случае эти интервалы могут быть различными. В одной ситуации приоритет может быть отдан повышению достоверности принятия решения о техническом состоянии объекта. В другой ситуации на первое место выступает точность решения. В зависимости от этого ширина допустимых интервалов изменяется.

Существует способ задания допустимых интервалов, основанный на анализе обучающей выборки о состоянии правильного функционирования объекта и свойств нормального распределения. Данный способ позволяет задавать любые соотношения между методической погрешностью определения допустимых значений КП и величиной интервала j, а также определять его нижнюю и верхнюю границы. Сущность способа заключается в следующем.

Любому интервалу, заданному относительно каждой координаты , соответствует определенная доверительная вероятность Рj попадания в этот интервал значений j-го КП правильно функционирующего объекта. Это имеет место при условии, что для определения используется достаточно представительная обучающая выборка. Данная вероятность определяется графически как площадь под кривой дифференциального закона распределения значений КП или из соотношения

, j=, (11)

где f(yj) – плотность распределения значений j-го КП.

Рис. 2. Графический метод определения доверительной вероятности

Величину допустимого интервала j можно задавать через среднеквадратические отклонения j определяемых параметров соответствующих уравнений регрессии:

. (12)

Величина коэффициента с определяет ширину интервала, а следовательно, и ту доверительную вероятность, с которой текущее значение j-го КП попадает в данный интервал. Например, при с=2 доверительная вероятность равна 0,95. Это означает, что текущее значение j-го КП попадает в двухсигмовый интервал с вероятностью не менее, чем 0,95.

Наиболее рациональным является вариант, когда лицо принимающее решение может задавать любую доверительную вероятность и при этом знать, какой интервал соответствует этой вероятности.

Величина

j =1 – Рj, j= (13)

представляет собой методическую погрешность (вероятность непопадания в интервал). Существует регрессионная зависимость

c = 3,145 +3,125j – 5,701j0,5, (14)

которая построена на основе табличных значений функции Лапласа.

Эта зависимость может использоваться при задании любого соотношения между методической погрешностью и величиной допустимого интервала. Имея ввиду равенство (14), всегда будет известна доверительная вероятность, соответствующая величине выбранного интервала.

Порядок определения допустимых интервалов КП правильно функционирующего объекта.

1). Задается требуемая вероятность принятия правильного решения о техническом состоянии объекта Р.

2) Находится доверительная вероятность попадания в допустимый интервал текущего значения j-го КП Рj.

Поскольку КП независимы между собой (некоррелированы), то справедливо равенство

. (15)

Учитывая, что Р1 = Р2 =…= Рn, получаем

. (16)

3). Определяется методическая погрешность попадания КП в допустимый интервал (формула 13):

j =1 – Рj.

4). Из уравнения (14) находится коэффициент с, определяющий кратность, среднего квадратического отклонения КП при нахождении допустимого интервала.

5). Строится допустимый интервал (1):

j = [] = [], j=. (17)

Блок-схема алгоритма контроля правильности функционирования

Пример. Фрагменты построения математической модели контроля правильности функционирования дизель-генератора.

Выборочный перечень контролируемых признаков дизель-генератора

№ пп	КП	Условное обозначение	Единица измерения	Наименование
1	y1	Uг	В	Напряжение на клеммах генератора
2	y2	Qт	г/мин	Расход топлива
3	y3	Qм	г/мин	Расход смазочного масла
4	y4	Pкарт.	кПа	Давление газов в картере двигателя
5	y5	PМ.подш.	кПа	Давление масла на подшипнике турбины
6	y6	Pнадд.	кПа	Давление наддува воздуха компрессором

Перечень входных переменных дизель-генератора

№ пп	Координата входного воздействия	Условное обозначение	Единица измерения	Наименование
1	u1	Nг	кВт	Выходная мощность на клеммах генератора
2	u2	нар.	час	Наработка дизель-генератора
3	u3	Pатм.	кПа	Давление атмосферного воздуха
4	u4	tвозд.	0С	Температура атмосферного воздуха
5	u5	Nэф.	кВт	Эффективная мощность на валу дизеля

Регрессионные зависимости для определения оценок математических ожиданий контролируемых признаков в состоянии правильного функционирования дизель-генератора

№ пп	Вид зависимости	Среднекв. откл.
1	y01=380	0
2	y02=1139+2,999u1+0,034u2 –7,073u3+0,423u4	13,2
3	y03=exp(3,043+0,001u1+0,01u4)	3,10
4	y04= exp(–14,08+0,001u2+0,019u4–0,007u5+2,785)	0,8
5	y05= 363,7–0,036u2–0,840u5+21,24	11,5
6	y06 = 19,48–0,002u2+0,599u3 –0,125u4+2,764	0,74

Определение допустимых интервалов КП.

1). Пусть доверительная вероятность принятия правильного решения о техническом состоянии дизель-генератора Р = 0,85.

2). Тогда Рj = 0,97.

3). j =1 – 0,97 =0,03.

4). c = 3,145 +3,125·0,03 – 5,701·0,030,5 = 2,25.

5). Допустимые интервалы изменения КП:

j =[ y0j –2,25j; y0j + 2,25j].

1 =[ 379; 381];

2 =[ y02–29,7; y02+29,7];

3 =[ y03–7,0; y03+7,0];

4 =[ y04–1,8; y04+1,8];

5 =[ y05–25,9; y05+25,9];

6 =[ y06–1,7; y06+1,7].

Интервалы определены на основе выражения (17).

бучение в моделях контроля правильности функционирования на основе методов параметрической статистики