Средние величины: сущность и их значение в статистическом анализе

6. Средние величины.

План

1. Средние величины: сущность и их значение в статистическом анализе

2. Степенные средние величины

3. Структурные средние величины

6.1. Средние величины: сущность и их значение в статистическом анализе

Средней величиной называется обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень варьирующего количественного признака на единицу однородной совокупности в определенных условиях места и времени.

Средняя величина всегда именованная, она имеет ту же размерность, что и признак у отдельных единиц совокупности.

Для средних величин приняты следующие понятия и обозначения:

х – отдельные (индивидуальное) значения изучаемого признака (варианты); - среднее значение изучаемого признака; средняя арифметическая величина признака; n - число единиц изучаемой совокупности; количество признаков совокупности; f - вес, или частота (удельный вес) повторений одинаковых вариантов (значений) признака.

Остановимся на некоторых общих принципах применения средних величин:

1. При определении средней величины в каждом конкретном случае нужно исходить из качественного содержания осредняемого признака, учитывать взаимосвязь изучаемых признаков, а также имеющиеся для расчета данные.
2. Средняя величина должна прежде всего рассчитываться по однородной совокупности. Качественно однородные совокупности позволяет получить метод группировок, который всегда предполагает расчет системы обобщающих показателей.

3. Общие средние должны подкрепляться групповыми средними.

4. Необходим обоснованный выбор единицы совокупности, для которой рассчитывается средняя.

В экономических исследованиях и плановых расчетах применяются две категории средних: 1. степенные средние, из них наиболее часто применяются средняя арифметическая и средняя гармоническая; 2. структурные средние, представителями второго категории средних являются мода и медиана.

6.2. Степенные средние величины

Степенная средняя степени «К» - корень к-ой степени из частного от деления суммы индивидуальных значений признака К-ой степени на их количество и определяется по формуле: , где к – величина степени изучаемого признака, которая и определяет вид степенной средней.

В зависимости от того, какое значение принимает показатель степени, различают следующие виды степенных средних: при к =1 получаем среднюю арифметическую; к = -1 - среднюю гармоническую; к = 0 – среднюю геометрическую; к = 2 – среднюю квадратическую; к = 3 – среднюю кубическую величину.

Средняя геометрическая применяется только при исчислении средних показателей рядов динамики, средняя квадратическая - при исчислении показателей вариации - (различия в значениях того или иного признака у отдельных единиц, входящих в данную совокупность)

Средняя арифметическая величина представляет собой частное от деления индивидуальных значений признаков на их количество и определяется по формуле: (простая - считается по несгруппированным данным);

Для интервальных вариационных рядов средняя арифметическая определяется следующим образом. Сначала определяют среднее значение каждого ряда интервала как полусумма его верхней и нижней границы. Затем найденное среднее, значение интервала подставляется в формулу среднеарифметической взвешенной в качестве признака (X): (взвешенная - считается по сгруппированным данным)

Простыми или взвешенными степенные средние могут быть в зависимости от представления исходных данных.

Математические свойства средней арифметической величины.

Сущность средней арифметической величины вполне раскрывается через её свойства, к которым относятся:

1. Сумма отклонений индивидуальных значений признака в совокупности от его среднего значения равно нулю , где - индивидуальное значение i – го признака; - средняя арифметическая величина признака; n – число признаков в совокупности.

2. Если каждое индивидуальное значение признака умножить или разделить на постоянное число, то средняя арифметическая величина так же увеличится или уменьшится во столько раз , где с – постоянное число.

3. Если к каждому индивидуальному значению признака прибавить или вычесть постоянное число, то и средняя арифметическая величина возрастет или уменьшится на это число

4. Если веса (частоты) средней арифметической величины умножить или разделить на постоянное число, то средняя величина не изменится

Средняя гармоническая величина применяется в случаях, когда имеются данные об индивидуальных значениях признака (х) и его общем объёме в совокупности (W), но не известны частоты (f) .

Средняя гармоническая представляет собой величину обратную средней арифметической из обратных значений признака и определяется по формулам: (простая) ; (взвешенная), где W – объём признаков в совокупности.

Средняя геометрическая величина применяется в вычислениях средних относительных показателей динамики (темпов роста), социально – экономических процессов и явлений, развивающихся во времени, и определяется по формуле:

(простая); (взвешенная),

где– относительные показатели динамики (темпы роста); n- число показателей, которое и определяет корень n – ой степени; – частоты повторяемости одинаковых показателей.

Средняя квадратическая величина применяется для определения средних размеров плоскостных фигур (земельных участков, площадей) и определяется по формуле: (простая) (взвешенная)

Средняя кубическая величина применяется для определения средних размеров объёмных фигур (строений, резервуаров) и определяется по формуле: (простая) (взвешенная)

6.3. Структурные средние величины

Структурные средние: мода и медиана - в отличие от степенных средних, которые в значительной степени являются абстрактной характеристикой совокупности, выступают как конкретные величины, совпадающие с вполне определенными вариантами совокупности. Это делает их незаменимыми при решении ряда практических задач.

Модой называется значение признака, которое наиболее часто встречается в совокупности (в статистическом ряду). Модой называется величина варианта признака, которая чаще всего встречается в совокупности. Применительно к дискретному вариационному ряду модой является вариант признака, обладающий наибольшей частотой.

Для интервальных вариационных рядов мода определяется следующим образом. Сначала определяется модальный интервал, т.е. интервал, обладающий наибольшей частотой, затем значение моды определяется по формуле: ;

где - нижняя граница модального интервала; - ширина модального интервала; - частота модального интервала; и - частоты, соответственно, предмодального и послемодального интервалов.

Значение структурных средних позволяет оценить вид ряда распределения:

- нормальное распределение ряда; - левосторонняя асимметрия; - правосторонняя асимметрия.

Медианой называется значение признака, которое лежит в середине упорядоченного (ранжированного) ряда и делит этот ряд на две равные по численности части.

Ранжированный ряд - ряд, расположенный в порядке возрастания или убывания значений признака.

Для нечётного дискретного ряда порядковый номер медианного варианта признака определяется (сначала определяют место медианы в ряду), используя формулу , где n – число членов ряда. Для чётного дискретного вариационного ряда величина медианы определяется как среднее значение вариантов признака с порядковыми номерами. Если ряд состоит из четного числа членов, то за медиану условно принимают среднюю арифметическую из двух срединных значений.: и + 1

Для интервальных вариационных рядов медиана определяется следующим образом. Сначала определяется медианный интервал по накопленной частоте, для которого она будет равна или больше полусуммы всех частот ряда. Затем значение медианы определяется по формуле: ; где - нижняя граница медианного интервала; - ширина медианного интервала; - сумма всех частот ряда распределения; - накопленная частота до медианного интервала; - частота медианного интервала.

Способ моментов

При исчислении средней величины в вариационном ряду с равными интервалами часто используют способ моментов. Расчет средней способом моментов: ; , где - величина момента первого порядка; - величина интервала; - центральная варианта ряда (условный 0)

Правило мажорантоности средних

Для одной и той же совокупности существует строго определенные соотношения между разными видами средних. Эти соотношения называют правилом мажорантоности средних:

Другие виды средней

Квартили - значения признака, делящие ранжированную совокупность на четыре равные части. Различают нижний квартиль (Q1), отделяющий часть совокупности с наименьшими значениями признака, и верхний квартиль (Q3), отсекающий 3/4 часть с наибольшими значениями признака. Средний квартиль (Q2) совпадает с медианой (Ме). Для расчета квартилей по интервальному вариационному ряду используют формулы: ; , где - нижняя граница интервала, содержащего нижний квартиль (верхний) квартиль; - величина интервала; - накопленная частота интервала, предшествующего интервалу, содержащему нижний квартиль (верхний) квартиль; - частота интервала, содержащего нижний квартиль (верхний) квартиль.

Децили - варианты, делящие ранжированный ряд на десять равных частей; они вычисляются по той же схеме, что и квартили: ;

Квантили - значения признака, делящие ряд на пять равных частей. Они вычисляются по той же схеме, что квартили и децили

Процентили - значения признака, делящие ряд на 100 равных частей

Средние величины: сущность и их значение в статистическом анализе