ОПЫТ РЕЗЕФОРДА. ПЛАНЕТАРНАЯ МОДЕЛЬ АТОМА

ЛЕКЦИЯ № 11

В начале ХХ века уже было известно, что в состав атома входят электроны. Поскольку атом электрически нейтрален, а электрон имеет отрицательный заряд, то было очевидным, что в состав атома входит и положительный заряд. Масса атома значительно превышала массу его электронов. Резерфорд поставил задачу опытным путём изучить распределение положительного заряда внутри атома.

В своём опыте он подверг бомбардировке альфа-частицами тонкую золотую фольгу. Альфа-частицы имели положительный заряд, а их масса почти в 2000 раз превышала массу электрона. Золотая фольга была очень тонкой толщиной 10–6 м, но по атомным меркам её толщина составляла около 10000 атомных слоёв. Ожидалось, что золотая фольга станет серьёзной преградой на пути альфа-частиц, но оказалось напротив. Основной поток альфа-частиц свободно пролетал сквозь преграду. Из этого вытекало, что атом внутри практически пустой, т.е. положительный заряд занимает очень малый объём атома. Однако отдельные альфа-частицы (очень малая часть) отклонились на значительные углы от первоначального направления. Из этого вытекало, что с маленьким положительным ядром атома связана практически вся его масса.

На основании результатов опыта Резерфорд предложил следующую модель атома. В центре атома расположено положительное массивное ядро, вокруг которого вращаются электроны как планеты вокруг Солнца. Из опыта оценили размер ядра как 10–14 м, когда размер атома, полученный ранее, составлял порядка 10–10м. Электроны на орбитах атома удерживала сила кулоновского притяжения, действующая между разноимёнными зарядами.

ПОСТУЛАТЫ БОРА

Планетарная модель атома была наилучшей из всех предложенных, однако имела существенные противоречия. При движении заряженной частицы с ускорением должна излучаться электромагнитная волна. В модели атома электроны имеют центростремительное ускорение, однако при этом атом не излучает волны. Более того, при излучении волны атом должен терять энергию, радиус орбиты должен уменьшаться и электрон должен упасть на ядро. Возникали непреодолимые противоречия, из которых уже следовало, что классический подход к описанию атома не совсем подходит или совсем не подходит.

Для того чтобы пассивно не ждать, когда будет придумана новая теория, а конструктивно работать с планетарной моделью атома Бор предложил принять три постулата. Постулаты это некоторые утверждения, заложенные в основу новой теории. Они могут обсуждаться или доказываться, но не в рамках этой новой теории.

Первый постулат. Существуют стационарные состояния атома, находясь в которых, он не излучает энергии.

Второй постулат. В стационарном состоянии атома электрон, двигаясь по круговой орбите, имеет квантованные (дискретные) значения момента импульса, которые удовлетворяют условию

(1)

где L = mr момент импульса электрона; m и — его масса и скорость; r — радиус его орбиты; n = 1, 2, 3,..., h постоянная Планка.

Третий постулат. Испускание (или поглощение) света атомом происходит только тогда, когда электрон переходит из одного стационарного состояния в другое. При этом испускается (или поглощается) один световой фотон, энергия которого определяется соотношением

hn = Wn Wi, (2)

где Wn и Wi энергия верхнего и нижнего состояния соответственно. Если происходит переход из состояния с меньшей энергией в состояние с большей энергией, то наблюдается поглощение энергии (света). Испускание наблюдается при уменьшении энергии атома, а поглощение при увеличении. Отсюда

(3)

ЛИНЕЙЧАТЫЕ СПЕКТРЫ И ЗАКОНОМЕРНОСТИ В НИХ

Изучая соотношение частот разных спектральных линий в видимой области спектра атома водорода, Бальмер вывел эмпирическую формулу, которая описывала наблюдаемые частоты и позволила предсказать ряд других, ранее не наблюдавшихся. Позднее другими исследователями были получены аналогичные соотношения для частот спектральных линий, входящих в другие области спектра водорода (ультрафиолетовую и инфракрасную). С учётом всех этих данных обобщённая формула Бальмера имеет вид:

(4)

где n — частота, испускаемого света; i = 1, 2, 3, 4 — целое число, характеризующее серию линий; n = i +1, i + 2, ... — целое число, характеризующее конкретную линию серии; R = 3,28·1015 с–1 — постоянная Ридберга. При i = 1 описывается так называемая серия Лаймана в ультрафиолетовой области, при i = 2 — серия Бальмера в видимой области, при n = 3, 4, 5 — серии Пашена, Брэкета и Пфунда в инфракрасной области.

Простота формулы Бальмера и точность описания спектра предполагала, что эта формула не формальна, а имеет глубокий смысл, т.е. её можно получить теоретически. Бор рассмотрел атом водорода с учётом предложенных постулатов.

БОРОВСКАЯ ТЕОРИЯ АТОМА ВОДОРОДА

Электрон, двигаясь по круговой орбите радиусом r, обладает центростремительным ускорением a = 2/ r. Между электроном и ядром действует кулоновская сила притяжения F = e2/(4pe0r2). По второму закону Ньютона запишется:

(5)

Здесь m и — масса и скорость электрона; e — заряд электрона и ядра по абсолютной величине; 0 — электрическая постоянная. Из второго постулата Бора = nh/(2pmr). Подставляя это значение в выражение (4), находим, что

(6)

Отсюда следует, что электрон движется лишь по орбитам вполне определённого, а не любого радиуса. При n = 1 получаем радиус первой боровской орбиты

r1 = e0h2/(pme2). (7)

Тогда радиусы остальных орбит определяются из соотношения

r = r1n2 . (8)

Формула (7) позволила оценить размеры атома водорода (~10–10 м), который определяется радиусом вращения электрона.

Полная энергия W атома при движении электрона по орбите радиуса r складывается из кинетической энергии Wk электрона относительно ядра и потенциальной энергии Wp взаимодействия электрона с ядром, т.е. W = Wk + Wp. Уравнение (5) преобразуем к виду:

или Wk = (1/2)Wp, (9)

поскольку Wp = потенциальная энергия взаимодействия двух зарядов и m2/2 = Wk кинетическая энергия электрона. Учитывая это и выражение (9), получаем, что W= (1/2)Wp = . Подставляя в эту формулу соотношение (6), находим:

(10)

где n может принимать только целые значения 1, 2, 3, ... . Величину n в квантовой физике называют главным квантовым числом.

На основе выше сказанного можно объяснить природу линейчатых спектров. Согласно третьему постулату Бора, энергия испущенного или поглощённого кванта с учётом (10) равна:

hn = Wn Wi = (11)

Отсюда частота кванта

(12)

Сравнивая это выражение с соотношением (4), видим, что теоретическим путём была получена формула Бальмера. Постоянная Ридберга вычисленная по формуле и найденная экспериментально совпадают.

Таким образом, теория Бора позволила вычислить энергию атома водорода, его размеры и объяснить происхождение линейчатых спектров. Слабой стороной теории Бора была внутренняя логическая противоречивость: с одной стороны, она использовала классическую теорию (закон Ньютона), с другой новые квантовые представления (постулаты Бора). После открытия волновых свойств вещества стало совершенно ясно, что теория Бора явилась только переходным этапом на пути создания новой последовательной теории атомных явлений квантовой механики.

ГИПОТЕЗА ДЕ БРОЙЛЯ

В начале ХХ века было открыто двойственное поведение света, получившее название корпускулярно-волнового дуализма. В 1923 году Луи де Бройль предположил, что двойственная природа характерна и для движущихся частиц вещества, т.е. микрочастиц: электронов, протонов, нейтронов и т.д. По аналогии со светом частицам была сопоставлена длина волны

(13)

Здесь h — постоянная Планка, m и — масса и скорость частицы. Это выражение называется формулой де Бройля, а сами волны волнами де Бройля. Волновые свойства летящих электронов были обнаружены в опытах при изучении прохождения их через тонкие плёнки кристаллических веществ. Была получена чёткая дифракционная картина, позволившая рассчитать длину волны. Эти волны не являются электромагнитными или механическими волнами, распространяющимися в среде. Из оптико-механической аналогии было показано, что волны де Бройля являются волнами вероятности.

КОРПУСКУЛЯРНО-ВОЛНОВОЙ ДУАЛИЗМ

Ранее было показано, что интенсивность электромагнитной волны пропорциональна квадрату её амплитуды I ~ . Если рассматривать свет как поток фотонов, то интенсивность пропорциональна числу фотонов N, проходящих через единичную площадку в единицу времени. Следовательно, I ~ N ~ Таким образом, N ~ , т.е. число фотонов пропорционально квадрату амплитуды напряжённости электрического поля световой волны. Для частиц вводится величина, называемая волновой функцией (пси функция). Тогда квадрат модуля волновой функции, т.е. величина 2, будет пропорциональна числу частиц, которые будут обнаружены в данной точке. Если число микрочастиц мало, то трактовка приобретает вероятностный характер. В случае одной частицы 2 определяет вероятность её нахождения в некоторой точке пространства в данный момент времени. Итак, ещё раз отметим, что квадрат модуля волновой функции 2 характеризует вероятность обнаружения частицы в данной точке.

ПРИНЦИП НЕОПРЕДЕЛЁННОСТЕЙ ГЕЙЗЕНБЕРГА

Гейзенберг путём мысленного эксперимента открыл принцип неопределённости. Произведём мысленный эксперимент по нахождению электрона. Освещая электрон, можно оценить его положение с точностью x, не превышающей длины волны , вследствие дифракции света, т.е. x . Фотон, обладающий импульсом p = h/, передает электрону при соударении весь этот импульс или часть его. Следовательно, после соударения с электроном неопределённость его импульса р будет p h/. Произведение этих двух неопределённостей составляет xp h. После детального анализа Гейзенберг получил более точное неравенство xpх h/(2), где pх — неопределённость проекции импульса на координатную ось х. Аналогичные соотношения имеют место для координатных осей у и z. Поэтому можно записать

(13)

Здесь py и pz — неопределённость проекции импульса на координатную ось y и z соответственно. Это и есть математическая формулировка соотношений неопределённостей Гейзенберга, которые справедливы не только для электронов, но и для любых объектов. Этот принцип утверждает, что нельзя измерить одновременно с абсолютной точностью положение и импульс объекта. Чем точнее измеряется положение (x 0), тем больше неопределённость в измерении импульса (p ) и наоборот.

Для обычных размеров неопределённость не имела принципиального значения, так как постоянная Планка h очень мала. Однако когда переходили к описанию атома, размеры которого порядка 10–10м, то неопределённость нахождения координаты достигала размеров самого атома. Из этого вытекало, что понятие траектории движения электрона в атоме стало бессмысленным.

Корпускулярно-волновой дуализм частиц и соотношение неопределённости окончательно показали, что для описания атома и других микрообъектов должна быть создана новая теория, название которой уже было придумано — волновая или квантовая механика.

УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА

Квантовая механика является фундаментом изучения строения вещества, она позволила выяснить природу химической связи и объяснить периодическую систему элементов. Только на основе квантовой механики удалось объяснить такие явления как ферромагнетизм, сверхтекучесть и сверхпроводимость.

Одной из задач квантовой механики является определение вероятности нахождения какой-то микрочастицы (электрона, протона и др.) в некоторой системе, например, в атоме, т.е. нахождение волновой функции, или точнее — . В квантовой механике существует основное уравнение, называемое уравнением Шрёдингера, решая которое можно это сделать. Данное уравнение играет такую же фундаментальную роль, как второй закон Ньютона в механике. Уравнение Шредингера не выводится (так же, как не выводятся и законы Ньютона), а постулируется. Однако понять, почему оно имеет такой, а не другой вид, можно, исходя из аналогии механики и классической волновой теории. В самом общем случае волновая функция зависит как от координат, так и от времени. Рассмотрим случай стационарной системы, т.е. системы, не меняющейся со временем, какой, например, является атом в обычном не возбуждённом состоянии. В этом случае уравнение Шрёдингера выглядит наиболее просто (для одной координаты):

(14)

В трёхмерном случае:

(15)

где оператор Лапласа, W — полная энергия системы, U потенциальная энергия системы, m масса частицы, h постоянная Планка

С математической точки зрения оно является уравнением в частных производных. Из этого уравнения вытекает квантование энергии. Оказывается, что уравнение Шрёдингера, составленное для какой-то атомной системы, имеет решение не при любых значениях полной механической энергии W, а лишь при некоторых вполне определённых дискретных значениях W1, W2,…, Wn, которые называются собственными значениями энергии. Каждому собственному значению энергии соответствует своё решение, т.е. своя функция , называемая собственной функцией. Таким образом, в процессе решения уравнения Шрёдингера находится энергия атомной системы, а пси-функция, которой определяет вероятность местонахождения частиц системы. Нахождение собственных значений энергии собственных функций, как правило, представляет весьма трудную математическую задачу. Поэтому точно аналитически решается только задача об атоме водорода. Другие более сложные случаи решаются численными методами на ЭВМ.

ОПЫТ РЕЗЕФОРДА. ПЛАНЕТАРНАЯ МОДЕЛЬ АТОМА