ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИГНАЛОВ

PAGE 24

РОСТОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

СЕРВИСА И ТУРИЗМА

________________________________________________________________

Кафедра Радиоэлектроника

Лазаренко С.В.

ЛЕКЦИЯ № 1

ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИГНАЛОВ

по дисциплине “Радиотехнические цепи и сигналы”

Ростов-на-Дону

2010

ЛЕКЦИЯ 1

ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИГНАЛОВ

По дисциплине РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ЦЕПИ И СИГНАЛЫ

Время: 2 часа

Изучаемые вопросы: 1. Предмет, цель и задачи курса

2. Краткий обзор курса, связь с другими дисциплинами

3. Краткая история развития дисциплины

4. Общая методика работы над курсом, виды занятий,

формы отчетности, учебная литература

5 Энергетические характеристики сигнала

6 Корреляционные характеристики детерминированных сигналов

7 Геометрические методы в теории сигналов

8 Теория ортогональных сигналов. Обобщенный ряд Фурье

В данной лекции реализуются следующие элементы квалификационной характеристики:

Студент должен знать основные законы, принципы и методы анализа электрических цепей, а также методы моделирования электрических цепей, схем и устройств.

Студент должен владеть приемами выполнения расчетов цепей в установившемся и переходном режимах.

1. ПРЕДМЕТ И ЗАДАЧИ КУРСА

Предметом изучения дисциплины РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ЦЕПИ И СИГНАЛЫ являются электромагнитные процессы в линейных и нелинейных радиотехнических цепях, методы расчета цепей в установившемся и переходном режимах, непрерывные и дискретные сигналы и их характеристики.

От практики дисциплина берет объекты исследования - типовые цепи и сигналы, от физики - ее законы электромагнитного поля, от математики - аппарат исследования.

Целью изучения дисциплины является привитие студентам навыка расчета простейших радиотехнических цепей и ознакомление их с современными алгоритмами оптимальной обработки сигналов.

В результате изучения дисциплины каждый студент должен

ИМЕТЬ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ:

- о современных алгоритмах оптимальной обработки сигналов;

- о тенденциях развития теории радиотехнических цепей и сигналов,

ЗНАТЬ:

- классификацию радиотехнических сигналов;

- временные и спектральные характеристики детерминированных сигналов;

- случайные сигналы, их характеристики, корреляционный и спектральный анализ случайных сигналов;

- дискретные сигналы и их характеристики;

- алгоритмы цифровой обработки сигналов,

УМЕТЬ ИСПОЛЬЗОВАТЬ:

- методы аналитического и численного решения задач прохождения сигналов через линейные и нелинейные цепи;

- методы спектрального и корреляционного анализа детерминированных и случайных сигналов,

ВЛАДЕТЬ:

- приемами измерения основных параметров и характеристик радиотехнических цепей и сигналов;

- приемами анализа прохождения сигналов через цепи,

ИМЕТЬ ОПЫТ:

- исследования прохождения детерминированных сигналов через линейные стационарные цепи, нелинейные и параметрические цепи;

- расчета простейших радиотехнических цепей.

Эксплуатационная направленность подготовки по дисциплине обеспечивается проведением лабораторного практикума, в ходе которого каждому студенту прививаются практические навыки:

- работы с электро- и радиоизмерительными приборами;

- проведения экспресс-анализа нештатных ситуаций в работе фрагментов радиотехнических цепей по результатам измерений.

2 КРАТКИЙ ОБЗОР КУРСА, СВЯЗЬ С ДРУГИМИ ДИСЦИПЛИНАМИ

Дисциплина "Радиотехнические цепи и сигналы" базируется на знаниях "Математики", "Физики", "Информатики", и обеспечивает усвоение студентами общенаучных и специальных дисциплин, "Метрология и радиоизмерения", "Устройства генерирования и формирования радиосигналов", "Устройства приема и обработки сигналов", "Основы телевидения и видеотехники", "Статистическая теория радиотехнических систем", "Радиотехнические системы", курсовое и дипломное проектирование.

Изучение дисциплины "Радиотехнические цепи и сигналы" развивает у студентов инженерное мышление, готовит их к освоению специальных дисциплин.

Преподавание дисциплины направлено:

- на глубокое изучение студентами основных законов, принципов и методов анализа электрических цепей, физической сущности электромагнитных процессов в устройствах радиоэлектроники;

- на привитие твердых навыков по анализу установившихся и переходных процессов в цепях, а также по проведению экспериментов с целью определения характеристик и параметров электрических цепей.

Дисциплина состоит из 5 разделов:

1 Сигналы;

2 Прохождение сигналов через линейные цепи;

3 Нелинейные и параметрические цепи;

4 Цепи с обратными связями и автоколебательные цепи

5 Принципы цифровой фильтрации сигналов

3. КРАТКАЯ ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

Возникновение теории электрических и радиотехнических цепей неразрывно связано с практикой: со становлением электротехники, радиотехники и радиоэлектроники. В развитие указанных областей и их теории внесли свой вклад многие отечественные и зарубежные ученые.

Явления электричества и магнетизма были известны человеку давно. Однако лить во второй половине ХУШ века они начали изучаться серьезно, с них стали срываться ореолы таинственности и сверхъестественности.

Уже Михаил Васильевич Ломоносов (1711 - 1765) предполагал, что в природе существует одно электричество и что электрические и магнитные явления органически связаны между собой. Большой вклад в науку об электричестве внес русский академик Франс Эпинус (1724 - 1802).

Бурное развитие учения об электромагнитных явлениях произошло в XIX веке, вызванное интенсивным развитием машинного производства. В это время человечество изобретает для своих практических нужд ТЕЛЕГРАФ, ТЕЛЕФОН, ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ОСВЕЩЕНИЕ, СВАРКУ МЕТАЛЛОВ, ЗЛЕКТРОМАШИННЫЕ ГЕНЕРАТОРЫ и ЭЛЕКТРОДВИГАТЕЛИ.

Укажем в хронологической последовательности наиболее яркие этапы развития учения об электромагнетизме.

В 1785 году французский физик Кулон Шарль Ответ (1736 - 1806) установил закон механического взаимодействия электрических зарядов (закон Кулона).

В 1819 году датчанин Эрстед Ханс Кристиан (1777 - 1851) обнаружил действие электрического тока на магнитную стрелку, а в 1820 году французский физик Ампер Андре Мари (1775 - 1836) установил количественную меру (силу), действующую со стороны магнитного поля на участок проводника (закон Ампера).

В 1827 году немецкий физик Ом Георг Симон (1787 - 1854) получил экспериментально связь между тоном и напряжением для участка металлического проводника (закон Ома).

В 1831 году английский физик Фарадей Майкл (1791 - 1867) установил закон электромагнитной индукции, а в 1832 году русский физик Ленц Эмилий Христианович (1804 - 1865) сформулировал принцип общности и обратимости электрических и магнитных явлений.

В 1873 году на основании обобщения экспериментальных данных по электричеству и магнетизму английский ученый Дж. К. Максвелл выдвинул гипотезу существования электромагнитных волн и разработал теорию для их описания.

В 1888 году немецкий физик Герц Генрих Рудольф (1857 - 1894) экспериментально доказал существование излучения электромагнитных волн.

Практическое использование радиоволн впервые осуществил русский ученый Александр Степанович Попов (1859 - 1905), который 7 мая 1895 года продемонстрировал на заседании Русского физико - химического общества передатчик (искровой прибор) и приемник электромагнитных волн (грозоотметчик) .

В конце XIX века в России работали известные инженеры и ученые Лодыгин Александр Николаевич (1847 - 1923), создавший первую в мире лампу накаливания (1873); Яблочков Павел Николаевич (1847 - 1894), разработавший электросвечу (1876); Доливо-Добровольский Михаил Осипович (1861 - 1919), создавший трехфазную систему токов ( 1889 ) и основавший современную энергетику.

В XIX веке анализ электрических цепей составлял одну из задач электротехники. Электрические цепи изучались и рассчитывались по чисто физическим законам, описывающим их поведение под действием электрических зарядов, напряжений и токов. Эти физические законы легли в основу теории электрических и радиотехнических цепей.

В 1893 - 1894 годах трудами Ч.Штейнметца и А.Кеннелли был развит так называемый символический метод, который сначала был применен для механических колебаний в физике, а затем перенесен в электротехнику, где комплексные величины стали использоваться для обобщенного представления амплитудно-фазовой картины установившегося синусоидального колебания.

На основе работ Герца (1888), а затем Пупина (1892) по резонансу и настройке RLC-контуров и связанных колебательных систем возникли проблемы определения передаточных характеристик цепей.

В 1889 году А.Кеннелли разработал формально - математический метод эквивалентного преобразования электрических цепей.

Во второй половине XIX века Максвелл и Гельмгольц разработали методы контурных токов и узловых напряжений (потенциалов), которые легли в основу матричных и топологических методов анализа более позднего времени. Весьма важным было определение Гельмгольцем принципа СУПЕРПОЗИЦИИ, т.е. отдельного рассмотрения нескольких простых процессов в одной и той же цепи с последующим алгебраическим суммированием этих процессов в более сложное электрическое явление в той же цепи. Метод суперпозиции позволил теоретически решать большой круг задач, которые до этого считались неразрешимыми и поддавались только эмпирическому рассмотрению.

Следующим существенным шагом в становлении теории электрических и радиотехнических цепей было введение в 1899 году понятия комплексного сопротивления электрической цепи переменному току.

Важным этапом формирования теории электрических и радиотехнических цепей было исследование частотных характеристик цепей. Первые идеи в этом направлении также связаны с именем Гельмгольца, который использовал для анализа принцип суперпозиции и метод гармонического анализа, т.е. применил разложение функции в ряд Фурье.

В конце XIX века были введены понятия Т- и П- образных цепей (их стали называть четырехполюсниками). Почти одновременно с этим возникло понятие электрических фильтров.

Фундамент современной теории радиотехнических цепей и радиотехники вообще заложили наши соотечественники М.Б.Шулейкин, Б.А.Веденский, А.И.Берг, А.Л.Минц, В.А.Котельников, А.Н.Мандельштамм, Н.Д.Папалекси и многие другие.

4 ОБЩАЯ МЕТОДИКА РАБОТЫ НАД КУРСОМ, ВИДЫ ЗАНЯТИЙ, ФОРМЫ ОТЧЕТНОСТИ, УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА

Изучение дисциплины осуществляется на лекциях, лабораторных и практических занятиях.

Лекции являются одним из важнейших видов учебных занятий и составляют основу теоретического обучения. Они дают систематизированные основы научных знаний по дисциплине, концентрируют внимание обучаемых на наиболее сложных и узловых вопросах, стимулируют их активную познавательную деятельность, формируют творческое мышление.

На лекциях наряду с фундаментальностью обеспечивается необходимая степень практической направленности обучения. Изложение материала увязывается с войсковой практикой, конкретными объектами специальной техники, в которых находят применение электрические цепи.

Лабораторные занятия имеют целью обучить студентов методам экспериментальных и научных исследований, привить навыки научного анализа и обобщения полученных результатов, навыки работы с лабораторным оборудованием, контрольно-измерительными приборами и вычислительной техникой.

При подготовке к лабораторным занятиям студенты самостоятельно или (при необходимости) на целевых консультациях изучают соответствующий теоретический материал, общий порядок проведения исследований, оформляют бланки отчетов (вычерчивают схему лабораторной установки, необходимые таблицы).

Эксперимент является основной частью лабораторной работы и реализуется каждым студентом самостоятельно в соответствии с руководством к лабораторной работе. Перед проведением эксперимента проводится контрольный опрос в форме летучки, цель которого - проверка качества подготовки студентов к лабораторной работе. При этом необходимо обращать внимание на знание теоретического материала, порядка выполнения работы, характер ожидаемых результатов. При приеме отчетов следует учитывать аккуратность оформления, соблюдение студентами требований ЕСКД, наличие и правильность необходимых выводов.

Практические занятия проводятся с целью выработки навыков в решении задач, производстве расчетов. Главным их содержанием является практическая работа каждого студента. На практические занятия выносятся задачи, имеющие прикладной характер. Повышение уровня компьютерной подготовки осуществляется на практических занятиях путем выполнения расчетов с помощью программируемых микрокалькуляторов или персональных ЭВМ. В начале каждого занятия проводится контрольный опрос, цель которого - проверка подготовленности студентов к занятию, а также - активизация их познавательной деятельности.

В процессе усвоения содержания дисциплины у студентов систематически формируются методические навыки и навыки самостоятельной работы. Студентам прививаются умения правильно задать вопрос, поставить простейшую задачу, доложить сущность проделанной работы, пользоваться доской и наглядными пособиями.

Для привития первичных навыков подготовки и проведения учебных занятий предусматривается привлечение студентов в качестве помощников руководителя лабораторных занятий.

К числу важнейших направлений активизации познавательной деятельности студентов относится проблемное обучение. Для его реализации создаются проблемные ситуации по курсу в целом, по отдельным темам и вопросам, которые реализуются:

- с помощью введения новых проблемных понятий с показом того, как исторически они появились и как они применяются;

- путем столкновения студента с противоречиями между новыми явлениями и старыми понятиями;

- с необходимостью выбора нужной информации;

- использованием противоречий между имеющимися знаниями по результатам решения и требованиями практики;

- предъявлением фактов и явлений, необъяснимых на первый взгляд с

помощью известных законов;

- путем выявления межпредметных связей и связей между явлениями.

В процессе изучении дисциплины предусмотрен контроль усвоения материала на всех практических видах занятий в форме летучек, а по темам 1 и 2 форме двухчасовой контрольной работы.

Для определения качества обучения в целом по дисциплине проводится экзамен. К экзамену допускаются студенты, выполнившие все требования учебной программы, отчитавшиеся о всех лабораторных работах, получившие положительные оценки по курсовой работе. Экзамены проводятся в устной форме с необходимыми письменными пояснениями на классной доске (формулы, графики и т.п.). На подготовку каждому студенту предоставляется время не более 30 минут. Для подготовки к ответу студенты могут использовать разрешенные начальником кафедры методические и справочные материалы. Подготовка к ответу может осуществляться письменно. Начальник кафедры может освобождать от сдачи экзамена студентов, показавших отличные знания по результатам текущего контроля, с выставлением им оценки "отлично".

Таким образом, дисциплина "Радиотехнические цепи и сигналы" является системой концентрированных и в то же время достаточно полных и завершенных знаний, позволяющих радиоинженеру свободно ориентироваться в важнейших вопросах эксплуатации специальных радиотехнических устройств и систем.

ОСНОВНАЯ УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА:

1. БАСКАКОВ С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. 3-е издание. М.: Высшая школа, 2000 .

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

2. БАСКАКОВ С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. Руководство к решению задач: Учеб. пособие для радиотехн. спец. вузов. - 2-е издание. М.: Высшая школа, 2002.

3. ПОПОВ В.П. Основы теории цепей. Учеб. для вузов.-3-е изд. М.: Высшая школа, 2000 .

5 ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИГНАЛА

Основными энергетическими характеристиками вещественного сигнала являются:

1) мгновенная мощность , определяемая как квадрат мгновенного значения сигнала

.

Если — напряжение или ток, то — мгновенная мощность, выделяемая на сопротивлении и 1 Ом.

Мгновенная мощность не аддитивна, т. е. мгновенная мощность суммы сигналов не равна сумме их мгновенных мощностей:

.

2) энергия на интервале времени выражается как интеграл от мгновенной мощности

.

3) средняя мощность на интервале определяется значением энергии сигнала на этом интервале, отнесенной к единице времени

,

где .

Если сигнал задан на бесконечном интервале времени , то средняя мощность определяется следующим образом:

.

Системы передачи информации проектируются так, чтобы информация передавалась с искажениями меньше заданных при минимальной энергии и мощности сигналов.

Энергия и мощность сигналов, определяемые на произвольном интервале времени, могут быть аддитивными, если сигналы на этом интервале времени ортогональны. Рассмотрим два сигнала и , которые заданы на интервале времени . Энергия и мощность суммы этих сигналов выражаются так:

, (1)

. (2)

Здесь , и , — энергия и мощность первого и второго сигналов, , — взаимная энергия и взаимная мощность этих сигналов (или энергия и мощность их взаимодействия). Если выполняются условия

,

,

то сигналы и на интервале времени называют ортогональными, и выражения (1) и (2) принимают вид

;

.

Понятие ортогональности сигналов обязательно связано с интервалом их определения.

Применительно к комплексным сигналам также пользуются понятиями мгновенной мощности, энергии и средней мощности. Эти величины вводят так, чтобы энергетические характеристики комплексного сигнала были действительными величинами.

1. Мгновенная мощность определяется произведением комплексного сигнала на комплексно-сопряженный сигнал

.

2. Энергия сигнала на интервале времени по определению равна

.

3. Мощность сигнала на интервале определяется как

Два комплексных сигнала и , заданные на интервале времени , являются ортогональными, если их взаимная мощность (или энергия ) равна нулю.

6 КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ

Одной из важнейших временных характеристик сигнала является автокорреляционная функция (АКФ), позволяющая судить о степени связи (корреляции) сигнала с его сдвинутой по времени копией.

Для вещественного сигнала , заданного на интервале времени и ограниченного по энергии, корреляционная функция определяется следующим выражением:

, (3)

где - величина временного сдвига сигнала.

Для каждого значения автокорреляционная функция выражается некоторой числовой величиной.

Из (3) следует, что АКФ является четной функцией временного сдвига . Действительно, заменяя в (3) переменную на , получим

.

При сходство сигнала с его несдвинутой копией наибольшее и функция достигает максимального значения, равного полной энергии сигнала

.

С увеличением функция всех сигналов, кроме периодических, убывает (не обязательно монотонно) и при относительном сдвиге сигналов и на величину, превышающую длительность сигнала, обращается в нуль.

Автокорреляционная функция периодического сигнала сама является периодической функцией с тем же периодом.

Для оценки степени подобия двух сигналов и используется взаимная корреляционная функция (ВКФ), которая определяется выражением

Здесь и — сигналы, заданные на бесконечном интервале времени и обладающие конечной энергией.

Значение не меняется, если вместо задержки сигнала рассматривать опережение первого сигнала .

Автокорреляционная функция является частным случаем ВКФ , когда сигналы и одинаковы.

В отличие от функция в общем случае не является четной относительно и может достигать максимума три любом .

Значение определяет взаимную энергию сигналов и

7 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ СИГНАЛОВ

При решении многих теоретических и прикладных задач радиотехники возникают такие вопросы: 1) в каком смысле можно говорить о величине сигнала, утверждая, например, что один сигнал значительно превосходит другой; 2) можно ли объективно оценивать, насколько два неодинаковых сигнала «похожи» друг на друга?

В XX в. был создан функциональный анализ — раздел математики, обобщающий наши интуитивные представления о геометрической структуре пространства. Оказалось, что идеи функционального анализа дают возможность создать стройную теорию сигналов, в основе которой лежит концепция сигнала как вектора в специальным образом сконструированном бесконечномерном пространстве.

Линейное пространство сигналов. Пусть - множество сигналов. Причина объединения этих объектов — наличие некоторых свойств, общих для всех элементов множества .

Исследование свойств сигналов, образующих такие множества, становится особенно плодотворным тогда, когда удается выражать одни элементы множества через другие элементы. Принято говорить, что множество сигналов наделено при этом определенной структурой. Выбор той или иной структуры должен быть продиктован физическими соображениями. Так, применительно к электрическим колебаниям известно, что они могут складываться, а также умножаться на произвольный масштабный коэффициент. Это дает возможность в множествах сигналов ввести структуру линейного пространства.

Множество сигналов образует вещественное линейное пространство, если справедливы следующие аксиомы:

1. Любой сигнал при любых принимает лишь вещественные значения.

2. Для любых и существует их сумма , причем также содержится в . Операция суммирования коммутативна: и ассоциативна: .

3. Для любого сигнала и любого вещественного числа определен сигнал=.

4. Множество М содержит особый нулевой элемент , такой, что для всех .

Если математические модели сигналов принимают комплексные значения, то, допуская в аксиоме 3 умножение на комплексное число, приходим к понятию комплексного линейного пространства.

Введение структуры линейного пространства, является первым шагом на пути к геометрической трактовке сигналов. Элементы линейных пространств часто называют векторами, подчеркивая аналогию свойств этих объектов и обычных трехмерных векторов.

Ограничения, налагаемые аксиомами линейного пространства, весьма жестки. Далеко не каждое множество сигналов оказывается линейным пространством.

Понятие координатного базиса. Как и в обычном трехмерном пространстве, в линейном пространстве сигналов можно выделить специальное подмножество, играющее роль координатных осей.

Говорят, что совокупность векторов {}, принадлежащих , является линейно независимой, если равенство

возможно лишь в случае одновременного обращения в нуль всех числовых коэффициентов .

Система линейно независимых векторов образует координатный базис в линейном пространстве. Если дано разложение некоторого сигнала в виде

,

то числа {} являются проекциями сигнала относительно выбранного базиса.

В задачах теории сигналов число базисных векторов, как правило, неограниченно велико. Такие линейные пространства называют бесконечномерными. Естественно, что теория этих пространств не может быть вложена в формальную схему линейной алгебры, где число базисных векторов всегда конечно.

Нормированное линейное пространство. Энергия сигнала. Для того чтобы продолжить и углубить геометрическую трактовку теории сигналов, необходимо ввести новое понятие, которое по своему смыслу соответствует длине вектора. Это позволит не только придать точный смысл высказыванию вида «первый сигнал больше второго», но и указать, насколько он больше.

Длину вектора в математике называют его нормой. Линейное пространство сигналов является нормированным, если каждому вектору однозначно сопоставлено число — норма этого вектора, причем выполняются следующие аксиомы нормированного пространства:

1. Норма неотрицательна, т. е. . Норма тогда и только тогда, если .

2. Для любого числа справедливо равенство .

3. Если и — два вектора из , то выполняется неравенство треугольника: .

Можно предложить разные способы введения нормы сигналов. В радиотехнике чаще всего полагают, что вещественные аналоговые сигналы имеют норму

(4)

(из двух возможных значений корня выбирается положительное). Для комплексных сигналов норма

где * — символ комплексно-сопряженной величины. Квадрат нормы носит название энергии сигнала

Именно такая энергия выделяется в резисторе с сопротивлением 1 Ом, если на его зажимах существует напряжение .

Определять норму сигнала с помощью формулы (4) целесообразно по следующим причинам:

1. В радиотехнике о величине сигнала часто судят, исходя из суммарного энергетического эффекта, например количества теплоты, выделяемой в резисторе.

2. Энергетическая норма оказывается «нечувствительной» к изменениям формы сигнала, может быть, и значительным, но происходящим на коротких отрезках времени.

Линейное нормированное пространство с конечной величиной нормы вида (1.15) носит название пространства функций с интегрируемым квадратом и кратко обозначается .

8 ТЕОРИЯ ОРТОГОНАЛЬНЫХ СИГНАЛОВ. ОБОБЩЕННЫЙ РЯД ФУРЬЕ

Введя во множестве сигналов структуру линейного пространства, определив норму и метрику, мы, тем не менее, лишены возможности вычислить такую характеристику, как угол между двумя векторами. Это удается сделать, сформулировав важное понятие скалярного произведения элементов линейного пространства.

Скалярное произведение сигналов. Напомним, что если в обычном трехмерном пространстве известны два вектора и , то квадрат модуля их суммы

,

где - скалярное произведение этих векторов, зависящее от угла между ними.

Действуя по аналогии, вычислим энергию суммы двух сигналов и :

. (5)

В отличие от самих сигналов их энергии неаддитивны - энергия суммарного сигнала содержит в себе так называемую взаимную энергию

. (6)

Сравнивая между собой формулы (5) и (6), определим скалярное произведение вещественных сигналов и :

Скалярное произведение обладает свойствами:

1. ;
2. ;
3. , где - вещественное число;
4. .

Линейное пространство с таким скалярным произведением, полное в том смысле, что оно содержит в себе все предельные точки любых сходящихся последовательностей векторов из этого пространства, называется вещественным гильбертовым пространством .

Справедливо фундаментальное неравенство Коши — Буняковского

.

Если сигналы принимают комплексные значения, то можно определить комплексное гильбертово пространство, введя в нем скалярное произведение по формуле

,

такое, что .

Ортогональные сигналы и обобщенные ряды Фурье. Два сигнала и называются ортогональными, если их скалярное произведение, а значит, и взаимная энергия равны нулю:

.

Пусть — гильбертово пространство сигналов с конечным значением энергии. Эти сигналы определены на отрезке времени , конечном или бесконечном. Предположим, что на этом же отрезке задана бесконечная система функций , ортогональных друг другу и обладающих единичными нормами:

.

Говорят, что при этом в пространстве сигналов задан ортонормированный базис.

Разложим произвольный сигнал в ряд:

(7)

Представление (7) называется обобщенным рядом Фурье сигнала в выбранном базисе.

Коэффициенты данного ряда находят следующим образом. Возьмем базисную функцию с произвольным номером , умножим на нее обе части равенства (7) и затем проинтегрируем результаты по времени:

. (8)

Ввиду ортонормированности базиса в правой части равенства (8) останется только член суммы с номером , поэтому

Возможность представления сигналов посредством обобщенных рядов Фурье является фактом большого принципиального значения. Вместо того, чтобы изучать функциональную зависимость в несчетном множестве точек, мы получаем возможность характеризовать эти сигналы счетной (но, вообще говоря, бесконечной) системой коэффициентов обобщенного ряда Фурье .

Энергия сигнала, представленного в форме обобщенного ряда Фурье. Рассмотрим некоторый сигнал , разложенный в ряд по ортонормированной базисной системе:

и вычислим его энергию, непосредственно подставив этот ряд в соответствующий интеграл:

(9)

Поскольку базисная система функций ортонормирована, в сумме (9) отличными от нуля окажутся только члены с номерами . Отсюда получается замечательный результат:

.

Смысл этой формулы таков: энергия сигнала есть сумма энергий всех компонент, из которых складывается обобщенный ряд Фурье.

Старший преподаватель кафедры Радиоэлектроника С. Лазаренко

ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИГНАЛОВ