Устойчивость САУ

PAGE \* MERGEFORMAT 14

Лекция №4

Устойчивость САУ

Свойство системы приходить в исходное состояние после снятия возмущения называется устойчивостью.

Определение.

Кривые 1 и 2 характеризуют устойчивую систему, кривые 3 и 4 характеризуют системы неустойчивые.

Системы 5 и 6 на границе устойчивости 5 - нейтральная система, 6 - колебательная граница устойчивости.

Пусть дифференциальное уравнение САУ в операторной форме имеет вид

Тогда решение дифференциального уравнения (движение системы) состоит из двух частей Вынужденное движение того же вида что и входное воздействие.

При отсутствии кратных корней где Сi-постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий,

1, 2…, n – корни характеристического уравнения

Расположение корней характеристического

уравнения системы на комплексной плоскости

Корни характеристического уравнения не зависят ни от вида возмущения, ни от

начальных условий, а определяются только коэффициентами а0, а1, а2,…,аn, то есть параметрами и структурой системы.

1-корень действительный, больше нуля;

2-корень действительный, меньше нуля;

3-корень равен нулю;

4-два нулевых корня;

5-два комплексных сопряженных корня, действительная часть которых

положительна;

6-два комплексных сопряженных корня, действительная часть которых отрицательная;

7-два мнимых сопряженных корня.

Методы анализа устойчивости:

Прямые (основаны на решении дифференциальных уравнений);
Косвенные (критерии устойчивости).

Теоремы А.М. Ляпунова.

Теорема 1.

Если определяющее (характеристическое) уравнение имеет корни только с отрицательными вещественными частями, то невозмущенное движение устойчиво и притом асимптотически, независимо от членов выше первого порядка малости.

Теорема 2.

Когда среди корней определяющего (характеристического) уравнения находятся такие, вещественные части которых положительные, невозмущенное движение неустойчиво.

Примечания:

Если среди корней характеристического уравнения имеется два и более нулевых корня, то система неустойчива.
Если один корень нулевой, а все остальные находятся в левой полуплоскости, то система нейтральна.
Если 2 корня мнимые сопряженные, а все остальные в левой полуплоскости, то система на колебательной границе устойчивости.

Критерии устойчивости САУ.

Критерий устойчивости - это правило, позволяющее выяснить устойчивость системы без вычисления корней характеристического уравнения.

В 1877г. Раус установил:

Необходимое (но не достаточное) условие устойчивости САУ есть положительность коэффициентов характеристического уравнения системы.

1. Критерий устойчивости Гурвица

Критерий разработан в 1895г.

Пусть определено характеристическое уравнение замкнутой системы: уравнение приводим к виду, чтобы a0>0.

Составим главный определитель Гурвица по следующему правилу:

по главной диагонали записываются коэффициенты уравнения, начиная со второго по последний, столбцы вверх от диагонали заполняются коэффициентами с возрастающими индексами, а столбцы вниз от диагонали - коэффициентами с убывающими индексами. В случае отсутствия в уравнении какого-либо коэффициента и вместо коэффициентов с индексами меньше 0 и больше n пишут нуль.

Выделим диагональные миноры или простейшие определители в главном определителе Гурвица:

Формулировка критерия.

Системы первого и второго порядка устойчивости, если все коэффициенты характеристического уравнения больше нуля.

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы при положительном коэффициенте характеристического уравнения a0 главный определитель Гурвица и все его диагональные миноры были положительны.

Для систем выше второго порядка кроме положительности всех коэффициентов характеристического уравнения необходимо выполнение следующих неравенств:

Для систем третьего порядка:
Для систем четвертого порядка:
Для систем пятого порядка:

Для систем шестого порядка:

Пример. Дано характеристическое уравнение исследовать устойчивость системы по Гурвицу.

Для устойчивых систем необходимо и

2. Критерий Рауса

Критерий опубликован в 1877г.

Критерий Рауса используется при исследовании устойчивости систем высокого порядка.

Формулировка критерия:

Для того чтобы вещественные части всех корней характеристического уравнения были отрицательны, необходимо и достаточно, чтобы все элементы первого столбца таблицы Рауса были отличны от нуля и имели один и тот же знак.

Таблица Рауса.

					…
					…
					…
					…

Алгоритм заполнения таблицы: в первой и второй строках записываются коэффициенты уравнения с четными и нечетными индексами; элементы остальных строк вычисляются по следующему правилу:

Достоинство критерия: можно исследовать устойчивость систем любого порядка.

2. Критерий устойчивости Найквиста

Принцип аргумента

В основе частотных методов лежит принцип аргумента.

Проведем анализ свойств многочлена вида:

где i - корни уравнения

На комплексной плоскости каждому корню соответствует вполне определенная точка. Геометрически каждый корень i можно изобразить в виде вектора, проведенного из начала координат в точку i: |i| - длина вектора, argi - угол между вектором и положительным направлением оси абсцисс. Отобразим D(p) в пространство Фурье, тогда где j-i - элементарный вектор.

Концы элементарных векторов находятся на мнимой оси.

- модуль вектора, а аргумент (фаза)

Направление вращения вектора против часовой стрелки принимают за ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ. Тогда при изменении от до каждый элементарный вектор (j-i) повернется на угол +, если i лежит в левой полуплоскости.

Пусть D()=0 имеет m корней в правой полуплоскости и n-m корней в левой, тогда при возрастании от до изменение аргумента вектора D(j) (угол поворота D(j), равный сумме изменений аргументов элементарных векторов) будет

Принцип аргумента:

Изменение аргумента вектора D(j) при возрастании от до равно разности (n-m) корней уравнения D()=0, лежащих в левой части плоскости, и числом m корней уравнения, лежащих в правой части плоскости, умноженной на .

Критерий Найквиста базируется на частотных характеристиках разомкнутой цепи САУ, так как по виду частотных характеристик разомкнутой цепи можно судить об устойчивости замкнутой системы.

Критерий Найквиста нашел широкое применение в инженерной практике по следующим причинам:

Устойчивость системы в замкнутом состоянии исследуют по частотной передаточной функции ее разомкнутой цепи, а эта функция, чаще всего состоит из простых сомножителей. Коэффициентами являются реальные параметры системы, что позволяет выбирать их из условий устойчивости.
Для исследования устойчивости можно использовать экспериментально полученные частотные характеристики наиболее сложных элементов системы (объект регулирования, исполнительный орган), что повышает точность полученных результатов.
Исследовать устойчивость можно по ЛЧХ, построение которых несложно.
Удобно определять запасы устойчивости.

1. Система, устойчивая в разомкнутом состоянии

Пусть введем вспомогательную функцию заменим pj, тогда

Согласно принципа аргумента изменение аргумента D(j) и Dз(j) при 0<< равно Тогда то есть годограф W1(j) не должен охватывать начало координат.

Для упрощения анализа и расчетов сместим начало радиуса-вектора из начала координат в точку (-1, j0), а вместо вспомогательной функции W1(j) используем АФХ разомкнутой системы W(j).

Формулировка критерия №1

Если разомкнутая цепь системы устойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой цепи не охватывала точку

(-1, j0).

Примеры.

Отметим, что разность числа положительных и отрицательных переходов АФХ левее точки (-1, j0) равна нулю.

2. Система, имеющая полюсы на мнимой оси в разомкнутом состоянии

Для анализа устойчивости системы АФХ дополняют окружностью бесконечно большого радиуса при 0 против часовой стрелки до положительной вещественной полуоси при нулевых полюсах, а в случае чисто мнимых корней - полуокружностью по часовой стрелке в точке разрыва непрерывности АФХ.

Формулировка критерия №2

Если передаточная функция разомкнутой цепи системы имеет нулевые или чисто мнимые полюсы, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы с ее дополнением в бесконечности не охватывала точку (-1, j0).

Система с неустойчивой разомкнутой цепью

Более общий случай - знаменатель передаточной функции разомкнутой системы содержит корни, лежащие в правой полуплоскости. Появление неустойчивости разомкнутой системы вызывается двумя причинами:

Следствием наличия неустойчивых звеньев;
Следствием потери устойчивости звеньев, охваченных положительной или отрицательной обратными связями.

Xотя теоретически вся система в замкнутом состоянии может быть устойчивой при наличии неустойчивости по цепи местной обратной связи, практически такой случай является нежелательным и его надо избегать, стремясь использовать только устойчивые местные обратные связи. Это объясняется наличием нежелательных свойств, в частности появлением условной устойчивости, которая при имеющихся обычно в системе нелинейностях может в некоторых режимах привести к потере устойчивости и появлению автоколебаний. Поэтому, как правило, при расчете системы выбирают такие местные обратные связи, которые были бы устойчивыми при разомкнутой главной обратной связи.

Пусть характеристический многочлен D(p) разомкнутой системы имеет m корней с положительной вещественной частью.

Тогда

Вспомогательная функция при замене pj согласно принципа аргумента для устойчивых замкнутых систем должна иметь следующее изменение аргумента при

Формулировка критерия №3

Для устойчивости замкнутой системы, разомкнутая цепь которой неустойчива, требуется, чтобы амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой цепи (с дополнением в бесконечности для систем с нулевыми и чисто мнимыми полюсами передаточной функции разомкнутой системы) охватывала точку (-1, j0) против часовой стрелки на угол m, где m - число полюсов с положительной вещественной частью в передаточной функции неустойчивой разомкнутой цепи системы.

Формулировка Я.З. Цыпкина

Замкнутая система устойчива, если при изменении от нуля в сторону положительных значений до разность числа положительных и отрицательных переходов АФХ разомкнутой системы через полупрямую (-, -1) равна m/2.

Критерий Найквиста для ЛЧХ

Для того чтобы замкнутая система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы при всех значениях , где L()>0, разность числа положительных и отрицательных переходов фазовой характеристики разомкнутой системы через линии (2k+1) (k=0,1,2,…) равнялась m/2, где m - число полюсов с положительной вещественной частью в передаточной функции разомкнутой цепи системы.

Примечание: фазовая характеристика ЛЧХ астатических систем дополняется монотонным участком +/2 при 0.

Пример 1.

Здесь m=0 система устойчива, но при уменьшении k система может быть неустойчива, поэтому такие системы называются условно-устойчивыми.

Пример 2.

20lgk

1/T0

Здесь

При любых k система неустойчива. Такие системы называются структурно-неустойчивыми.

Пример 3.

АФХ охватывает точку с координатами (-1, j0) 1/2 раза, следовательно замкнутая система устойчива.

Пример 4.

при 0 АФХ имеет разрыв, и поэтому ее нужно дополнить дугой бесконечно большого радиуса от отрицательной вещественной полуоси.

На участке от -1 до - имеется один положительный переход и полтора отрицательных. Разность между положительными и отрицательными переходами равна -1/2, а для устойчивости замкнутой системы требуется +1/2, так как характеристический полином разомкнутой системы имеет один положительный корень - система неустойчива.

Абсолютно-устойчивой называют систему, которая сохраняет устойчивость при любом уменьшении коэффициента усиления разомкнутой цепи, иначе система условно- устойчивая.

Системы, которые можно сделать устойчивыми путём изменения их параметров, называются структурно-устойчивыми, иначе – структурно-неустойчивыми.

Устойчивость САУ

Запасы устойчивости