Исследование качества САУ

PAGE \* MERGEFORMAT 13

Лекция №5

Исследование качества САУ

Сформулируем определения терминов:

1. Качество САУ – комплекс свойств САУ, оцениваемых многовекторным критерием соответствия процесса управления в установившемся и переходном режимах множеству требований к объекту.
2. Показатель – величина, характеризующая существенное свойство объекта, по которому судят о предпочтительности объекта или процесса в нем.
3. Анализ САУ – установление (выявление) влияния структуры системы и ее параметров, начальных условий и входных воздействий на показатели качества процесса управления.
4. Ошибка отработки системой входного воздействия – (мера динамической точности системы; количественный показатель качества регулирования) функция, образованная разностью между фактическим процессом на выходе исследуемой системы и требуемым (желаемым, эталонным) видом выходной функции.
5. Критерий – (греч. kriterion – мерило, средство суждения; средство установления истинности соответствия знаний об объекте самому объекту) – существенная характеристика объекта, служащая средством оценки уровня качества.

Требования, предъявляемые к системам автоматического управления:

1. Выполнять главную функцию – автоматическое управление объектом;
2. Устойчивость работы САУ;
3. Система должна быть надежной и живучей;
4. Безопасна для обслуживающего персонала;
5. Экономична;
6. Соответствовать заданным показателям качества в статике (в установившемся режиме работы) и динамике (в переходных режимах).\;
7. Компенсация возмущений;
8. Робастность.

Приоритетными в системах стабилизации являются свойства системы в установившихся режимах работы, в следящих системах – качество переходного процесса (быстрый и плавный).

Обычно анализ работы САУ выполняется при типовых воздействиях, близким к реальным управляющим и возмущающим воздействиям в нормальных или наиболее трудных режимах работы.

Необходимое условие функционирования – устойчивость САУ.

Достаточное условие рационального использования системы – выполнение требований по точности, быстродействию, плавности.

Анализ качества САУ в установившемся режиме работы

Одно из основных требований, которым должна удовлетворять САУ – обеспечение необходимой точности воспроизведения входного воздействия в установившемся режиме. Ошибка отработки системой входного воздействия зависит от структуры системы, параметров звеньев, типа и производных входного воздействия.

Показатели качества:

1. Статическая ошибка;
2. Установившаяся динамическая ошибка;
3. Статизм системы;
4. Коэффициент ошибки по положению C0;
5. Коэффициент ошибки по скорости C1;
6. Коэффициент ошибки по ускорению C2.

Большинство известных методов анализа качества САУ в статике ориентировано на анализ рассогласования (называемого ошибкой) в системе в установившемся режиме. Рассмотрим такую постановку задачи.

Пусть структурная схема исходной САУ приведена к типовой (рис.1).

При исследовании точности системы управления в установившемся режиме целесообразно располагать выражениями для передаточных функций ошибки замкнутой системы по управляющему и возмущающему воздействиям.

На основании принципа суперпозиции с помощью передаточных функций замкнутой системы определим изображение сигнала рассогласования называемое в технической литературе сигналом ошибки:

,

где Ex(p) – рассогласование по каналу управления,

Ef(p) – рассогласование по каналу возмущения,

Wx(p) – передаточная функция ошибки по каналу управления,

Wf(p) – передаточная функция ошибки по каналу возмущения.

Типовые режимы движения состоят в подаче на вход системы сигналов с нормированными метрологическими характеристиками.

Для оценки точности работы системы при единичных ступенчатых входном воздействии и возмущении определяется статическая ошибка, которая может быть получена из последнего выражения с помощью теоремы о конечном значении функции:

.

Передаточный коэффициент системы по каналу задания в установившемся режиме:

В статических системах , в астатических системах .

Установившаяся приведенная ошибка (статическая ошибка) по каналу задания в статической системе при единичном ступенчатом воздействии (коэффициент позиционной ошибки ):

в астатической системе 1-го порядка при [x(t)=t] динамическая установившаяся ошибка (коэффициент скоростной ошибки):

в астатической системе 2-го порядка динамическая установившаяся ошибка при [x(t)=0,5t2] (коэффициент ошибки по ускорению C2/2):

Таблица значений установившейся ошибки

Порядок астатизма системы	X(p)	Добротность системы
	1(t)	t	t2/2
	1/p	1/p2	1/p3
	C0	C1	C2/2
0	1/(1+Kp)
1	0	1/Kv
2	0	0	1/Ka

Для статических САУ средней точности C0 = 0,01 – 0,1. Коэффициенты C1 и C2 характеризуют скорость и ускорение сигнала задания, при которых ошибка слежения мала.

Группы точности электроприводов:

1. Малой точности C = (1 – 5)%;
2. Средней точности C = (0,1 – 1)%;
3. Точные C = (0,01 – 0,1)%;
4. Высокоточные C до 0,01%.

Если управляющее воздействие x(t) имеет произвольную форму, но достаточно плавную вдали от начальной точки процесса в том смысле, что через некоторое время существенное значение имеет только конечное число m производных

dx/dt, d2x/dt2, . . . , dmx/dtm ,

то приведенную ошибку системы по каналу задания можно найти с помощью коэффициентов ошибок:

где передаточную функцию представим в виде ряда

сходящегося при малых p, что соответствует установившемуся режиму работы. Коэффициенты этого ряда называются коэффициентами ошибок и определяются с помощью выражений:

.

Разложение в ряд можно получить непосредственным делением полинома числителя на полином знаменателя передаточной функции. Коэффициенты C0, C1 и C2 называются соответственно коэффициентами позиционной, скоростной ошибки и ошибки ускорения.

Переходя к оригиналу, выразим квазиустановившуюся ошибку через коэффициенты ошибок, управляющее воздействие и его производные:

.

Аналогично вводится понятие коэффициентов ошибок по возмущающему воздействию.

В системах с неединичной обратной связью ошибка системы

(t)=y(t)-yэт(t) ,

где yэт(t) – требуемая (эталонная, безошибочная) выходная функция, равная, обычно,

x(t)/Kос .

Анализ качества САУ в динамике

Оценка качества САУ в динамике проводится по показателям качества процесса управления, которые делятся на:

- прямые оценки переходного процесса, вызываемого наиболее характерным единичным ступенчатым воздействием;

- косвенные приближённые оценки качества: частотные, интегральные, корневые.

К частотным оценкам относятся: запасы устойчивости (оценивают удалённость САУ от границы устойчивости) по модулю L и по фазе , оценки переходных процессов по ВЧХ и АФХ, показатель колебательности М.

Интегральные оценки оценивают обобщённые свойства САУ: точность, запас устойчивости, быстродействие - (линейная, квадратичная, улучшенная квадратичная) одним числом характеризуют и отклонение регулируемой функции, и продолжительность переходного процесса.

Корневые оценки характеризуют степень устойчивости и колебательность (диаграмма И.А. Вышнеградского, корневые годографы).

Прямые показатели качества САУ

Рассматривается САУ с единичной ООС.

1. Показатели точности работы САУ.

1.1.Установившаяся ошибка выходной функции, определяющая статическую точность системы:

1.2. Динамическая ошибка системы

2. Показатели быстродействия САУ.

2.1. Время регулирования (время затухания переходного процесса) tp – время от начала процесса отработки входного воздействия до момента, после которого регулируемая функция отличается от своего установившегося значения на величину менее рег=5%hуст.

рег=(15%)hуст – ошибка регулирования – заданное значение, определяющее точность регулирования.

2.2. Время нарастания переходной функции до максимального значения tм.

3. Показатели плавности протекания переходного процесса (показатели демпфирования системы).

3.1. Перерегулирование

3.2. Число перерегулирований N за время регулирования, определяемое как число максимумов, для которых hmax-hуст > рег.

3.3. Частота колебаний переходного процесса где Tк – период затухания колебаний.

3.4. Скорость затухания переходного процесса оценивается по значению показателя огибающей экспоненты

или

3.5. Степень колебательности переходного процесса

3.6. Число колебаний за время регулирования tp

,

где Tк – период колебаний, равный расстоянию вдоль оси t между двумя смежными максимумами.

Переходная характеристика по каналу возмущения у астатических систем имеет вид

Здесь hf()=0. Вместо перерегулирования здесь используется максимальное отклонение выходной функции hfmax1. Если f(t)=a1(t), то оценка плавности hmax1/a. Ошибка регулирования =(0,010,05)hp, где hp – установившееся значение выходной функции по каналу возмущения объекта управления, либо принимается такой же, как и по каналу управления.

Время регулирования, скорость затухания и степень колебательности переходного процесса определяются аналогично показателям h(t).

Методы исследования качества САУ

1. Прямые методы исследования качества САУ.

Этими методами производится расчет кривых переходных процессов и оценка качества САУ ведется по прямым показателям качества.

1. Аналитические методы (математическое моделирование).
   1. Классические методы решения дифференциальных уравнений.
   2. Метод пространства состояний.
   3. Операторный метод (использование преобразования Лапласа).
      1. Преобразование Лапласа дифференциального уравнения.
      2. Использование передаточных функций (представление САУ в виде структуры динамических звеньев).
   4. Частотный метод (используется преобразование Фурье).
   5. Численные методы решения дифференциальных уравнений.

1. Графо-аналитические и графические методы.

1. Модельно-экспериментальные методы.

В этих методах эксперименты проводятся на моделях в программных средах

микроЭВМ, на прототипах, макетах, стендах, первых образцах проектируемой

САУ.

1. Косвенные методы исследования САУ.

Эти методы позволяют оценить качество работы системы без построения кривых переходного процесса. Оценка качества САУ производится по косвенным показателям качества:

1. Корневой метод;
2. Частотный метод;
3. Методы, основанные на использовании интегральных оценок качества САУ.

Наибольшая точность построения переходных функций может быть получена классическими методами, однако для систем высокого порядка они связаны с громоздкими вычислениями, поскольку требуется знание распределения корней характеристического уравнения, расчет постоянных интегрирования и определение вынужденной составляющей решения. Причем, классические методы неприменимы к системам с запаздыванием. Для анализа систем с запаздыванием используют методы корневых годографов, трапецеидальных частотных характеристик, метод Z-преобразования и др.

Управляемость, наблюдаемость, инвариантность и чувствительность систем управления

Управляемость САУ

Система является управляемой на сегменте [t0, tf], если существует входной сигнал u(t) такой, что из любого произвольного начального состояния X(t0) систему можно перевести в любое требуемое состояние X(tf) за конечное время tf - t0> 0.

Управляемость системы, описываемой уравнением

= Ax + Bu,

можно определить, исследуя алгебраическое условие

ранг [B AB A2B . . . An-1B] = n.

Для системы с одним входом и одним выходом вводится понятие матрицы управляемости Рс, которая выражается через А и В как

Рс = [B AB A2B . . . An-1B],

и имеет размерность nx n. Если определитель матрицы Рс отличен от нуля, то система является управляемой.

Если изобразить граф системы в переменных состояния, то при наличии путей от управляющего сигнала u(t) к каждой из переменных состояния система может быть управляема.

Пример

Рассмотрим систему, переменные состояния которой описываются дифференциальными уравнениями

и найдем условие, при котором система будет управляемой.

Из графа системы, представленного на рис.1, видно, что y = х2.

Анализ графа показывает, что система будет управляемой, если d ‡ 0, ибо при d = 0 сигнал u(t) не имеет пути к переменной х2.

Построим матрицу Рс:

Рс = [B AB] =[], так как В = [], АВ = [][] = [].

Определитель этой матрицы равен d, и он будет отличен от нуля, только если d ‡ 0.

1 1/p d 1/p 1

U(p) Y(p)

x1 x2

-2 -3

Рис.1. Граф САУ

Наблюдаемость САУ

Система является наблюдаемой на сегменте [t0, tf], если любое её начальное состояние X(t0) однозначно определяется наблюдением выходной переменной y(t) на сегменте [t0, tf] при заданном управлении u(t).

Все корни характеристического уравнения системы можно разместить в заданных точках р-плоскости только в том случае, когда система является наблюдаемой и управляемой.

Наблюдаемость связана со способностью оценивать переменные состояния. Система может быть наблюдаемой, если каждая переменная состояния вносит свой вклад в выходной сигнал системы. Это эквивалентно тому, что на модели системы в виде графа от каждой переменной состояния существует путь к выходной переменной.

Рассмотрим систему с одним входом и одним выходом, описываемую уравнениями

где C есть вектор-строка, а x – вектор-столбец.

Система является наблюдаемой, если определитель матрицы наблюдаемости

размерности отличен от нуля.

Пример

Рассмотрим систему, описываемую уравнениями

Так как матрицы C и CA имеют вид

det(Q)=0,

то система не наблюдаема.

Инвариантность САУ

Система является инвариантной по отношению к задающему воздействию, если компенсируется ошибка системы по каналу управления независимо от формы входного воздействия.

Система является инвариантной по отношению к возмущающему воздействию, если выходная функция системы не зависит от возмущающего воздействия.

Принцип инвариантности – принцип компенсации динамической и установившейся ошибок независимо от формы входного воздействия по каналу управления или компенсации возмущающего воздействия.

Чувствительность САУ

При анализе и синтезе систем управления понятие чувствительности приобретает особую важность.

Чувствительность системы – это отношение изменения её передаточной функции к изменению передаточной функции объекта управления при условии их малости.

Чувствительность системы к изменению передаточной функции прямого канала определяется выражением:

в пределе, переходя к малым изменениям,

Пример

Структурная схема системы управления бурильной машины

В рассматриваемой системе

тогда

,

.

Из выражения для разомкнутой системы видно, что чувствительность разомкнутой системы равна единице.

Чувствительность замкнутой системы

можно сделать значительно меньше чувствительности разомкнутой системы путём увеличения Wп(p).

Чувствительность замкнутой системы к изменению параметров передаточной функции обратной связи равна

и близка к 1, если произведение Wп(p)Woc(p) достаточно велико. Поэтому в качестве элементов обратной связи необходимо выбирать такие, которые обладали бы стабильными характеристиками, не зависящими от внешних факторов.

Робастность системы

Обычно регулятор строится на основе некоторых приближенных (номинальных) моделей объекта управления (а также приводов и датчиков) и внешних возмущений. При этом поведение реального объекта и характеристики возмущений могут быть несколько иными. Поэтому требуется, чтобы разработанный регулятор обеспечивал устойчивость и приемлемое качество системы при малых отклонениях свойств объекта и внешних возмущений от номинальных моделей. В современной теории управления это свойство называют робастностью (грубостью). Иначе его можно назвать нечувствительностью к малым ошибкам моделирования объекта и возмущений.

Различают несколько задач, связанных с робастностью:

• робастная устойчивость - обеспечить устойчивость системы при всех допустимых отклонениях модели объекта от номинальной;
• робастное качество - обеспечить устойчивость и заданные показатели качества системы при всех допустимых отклонениях модели объекта от номинальной;
• гарантирующее управление - обеспечить заданные показатели качества системы при всех допустимых отклонениях модели возмущения от номинальной (считая, что модель объекта известна точно).

Для того чтобы исследовать робастность системы, нужно как-то определить возможную ошибку моделирования (неопределенность). Ее можно задать различными способами:

1. Параметрическая неопределенность

Параметрическая неопределенность означает, что структура модели известна, а параметры могут отличаться от номинальных, например,

,

где k0 и T0 - номинальные значения коэффициента усиления и постоянной времени, а и -

малые ошибки моделирования.

Предположим, что такой объект управляется регулятором-усилителем с передаточной функцией . Тогда характеристический полином замкнутой системы принимает вид

.

Робастный регулятор должен обеспечивать устойчивость этого полинома при всех допустимых и . В данном случае условия устойчивости сводятся к тому, что коэффициенты полинома и имеют одинаковый знак (оба положительные или оба отрицательные).

В более сложных случаях часто используют теорему Харитонова, которая позволяет проверить робастную устойчивость характеристического полинома

,

где коэффициенты точно неизвестны, но принадлежат интервалам

.

Оказывается, полином устойчив при всех возможных значениях коэффициентов тогда и только тогда, когда устойчивы четыре полинома Харитонова:

,

,

,

.

Таким образом, для проверки устойчивости бесконечного числа возможных характеристических полиномов достаточно проверить устойчивость четырех полиномов Харитонова.

Исследование качества САУ