Системы счисления

Тема 1.1. Системы счисления

1.1.1. Числа, цифры и коды

1.1.2. Десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления

1.1.3. Контрольные вопросы по теме «Системы счисления»

1.1.4. Тестовые задания по теме «Системы счисления»

1.1.1. Числа, цифры и коды

Число - основное понятие математики, которое обычно означает либо количество, размер, вес и тому подобное, либо порядковый номер, расположение в последовательности, код, шифр и тому подобное. В простейшем случае мы будем иметь дело с множеством целых неотрицательных чисел, которое начинается с нуля и продолжается до бесконечности: 0, 1, 2, 3, 4, … В информатике эти числа, начинающиеся с нуля, называются натуральными.

Цифра – специальные графические знаки, используемые для представления и записи чисел. Например, число 256 состоит из трех цифр 2, 5 и 6, число 16 состоит из двух цифр 1 и 6, а число 0 – из одной цифры 0. Цифра – условный знак для обозначения чисел. Числа записываются при помощи цифр. Цифра в узком смысле – один из 10 знаков десятичной системы счисления: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Код – это правило отображения одного набора объектов или знаков в другой набор знаков без потери информации. Чтобы избежать потерь информации, это отображение должно быть таким, чтобы можно было всегда однозначно возвратиться к прежнему набору объектов или знаков. Например, любую информацию можно передать русским языком с помощью 33 букв русского алфавита и добавочных знаков препинания.

Кодирование – это представление, моделирование одного набора знаков другим с помощью кода. Кодовая таблица — это соответствие между набором знаков и их кодами, обычно разными числами. Так, например, однозначными десятичными числами можно закодировать 10 предметов, приписав каждому предмету одно из 10 однозначных чисел, а двузначными десятичными числами – 100 предметов. В качестве примера можно привести универсальную компьютерную кодовую таблицу ASCII.

Система счисления, или просто счисление, — набор конкретных знаков-цифр вместе с системой приемов записи, которая представляет числа этими цифрами. Различные системы счисления могут отличаться друг от друга по следующим признакам:

разное начертание цифр, которые обозначают одни и те же числа;

разные способы записи чисел цифрами;

разное количество цифр.

По способу записи чисел цифрами системы счисления бывают позиционные и непозиционные.

Непозиционная система счисления – система, в которой значение символа не зависит от его положения в числе. Непозиционные системы счисления возникли раньше позиционных систем. Примером непозиционной системы счисления служат цифры в римской системе, обозначающиеся знаками: 1- I , 3 - III, 5 - V, 10 - X, 50 - L, 100 - C, 500- D, 1000 - M. Тогда, например, десятичное число 27 будет представляться как XXVII = 10+10+5+1+1, то есть количественное значение числа представляется суммой значений символов. Основной недостаток непозиционных систем - большое число разных знаков и сложность выполнения арифметических операций.

Позиционная система счисления – система, в которой значение символа зависит от его места в ряду символов (цифр), изображающих число. Это значение меняется в однозначной зависимости от позиции, занимаемой цифрой, по некоторому закону. Например, в числе 7382 первая цифра слева означает количество тысяч, вторая – количество сотен, третья – количество десятков, четвертая — количество единиц. Номер позиции, определяющий вес единицы, называется разрядом.

Позиционные системы счисления более удобны для вычислительных операций, поэтому они и получили наибольшее распространение. Позиционная система счисления характеризуется основанием или базисом.

Основание (базис) позиционной системы счисления - количество знаков или символов, используемых в разрядах для изображения числа в данной системе счисления.

Для позиционной системы счисления справедливо равенство:

(1.1)

где: q – основание позиционной системы счисления – целое положительное число; x(q) – произвольное число, записанное в системе счисления с основанием q; – коэффициент ряда (цифры системы счисления); n, m – количество целых и дробных разрядов.

1.1.2. Десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления

Кроме десятичной системы счисления, в вычислительной технике используются позиционные системы счисления с основанием 2, 8, 16. Значения шестнадцати целых чисел в этих системах приведены в таблице 1.1.2-1.

Таблица 1.1.2-1

q=10

q=16

q=8

q=2

0

0

0

0000

1

1

1

0001

2

2

2

0010

3

3

3

0011

4

4

4

0100

5

5

5

0101

6

6

6

0110

7

7

7

0111

8

8

10

1000

9

9

11

1001

10

A

12

1010

11

B

13

1011

12

C

14

1100

13

D

15

1101

14

E

16

1110

15

F

17

1111

В десятичной системе счисления (q=10) любое целое число записывается как сумма величин 100, 101 , 102 и т.д., каждая из которых может быть взята 0-9 раз. Например, числа 4627 и 674.25 соответственно представляют собой сокращенную запись выражения:

4627 = 4103 + 6102 + 2101 + 7100

674.25 = 6102 + 7101 + 4100+210-1+510-2.

В двоичной системе (q=2) счисления для записи чисел используются две цифры: 0 и 1. Основание системы q=2. В данной системе любое число может быть представлено последовательностью двоичных цифр. Эта запись соответствует сумме степеней цифры 2, взятых с указанными в ней коэффициентами:

x(2)=an 2n + an-12n-1+…+ a121 + a020 + a-12-1 + a-22-2 + ….

Например, числа в двоичной системе счисления (q=2):

1012 = 122+ 021+ 120 = 510

101011012 = 12 7+ 02 6+12 5+02 4+12 3+12 2 + 02 1+120=17310

11011.12 = 124 + 123 +022 + 121 + 120 + 12-1 = 27.510.

Подобным же образом записываются числа и в других системах.

Например, числа в восьмеричной системе счисления (q=8):

118 = 181 + 180 = 910

1158 = 182 + 181 + 580 = 7710

355.448 = 382 + 581 + 580 + 48-1 + 48-2 = 237.562510.

Числа в шестнадцатеричной системе счисления (q=16):

1116= 1161+ 1160 =1710

1F16= 1161 + F160= 1161 + 15160 =3110

A116= A161 + 1160 = 10161 + 1160 = 16110

ED.916=E161 +D160 + 916-1 =14161 +13160 + 916-1 =237.562510.


1.1.3. Контрольные вопросы по теме «Системы счисления»

Что такое число?

Что такое цифра?

Что такое коды и кодирование?

Что такое система счисления?

Какие системы счисления называются позиционными?

Какие позиционные и непозиционные системы счисления вы знаете?

Что такое основание (базис) позиционной системы счисления?


1.1.4. Тестовые задания по теме «Системы счисления»

Система счисления – это

  1. способ представления чисел различными цифрами и символами
  2. способ подсчета различных объектов
  3. способ записи чисел арабскими или римскими цифрами
  4. способ записи чисел латинскими буквами

Системы счисления бывают

  1. позиционные и непозиционные
  2. цифровые и буквенные
  3. цифровые
  4. все ответы верные

В непозиционной системе счисления

  1. количественное значение каждой цифры не зависит от ее положения в числе
  2. число записано только латинскими буквами
  3. число записывается цифрами и буквами
  4. могут быть записаны только целые числа

В позиционных системах счисления

  1. количественное значение каждой цифры зависит от ее положения в числе
  2. число записано арабскими цифрами
  3. число записано цифрами и буквами
  4. в разных разрядах числа стоят разные цифры

Основание (базис) позиционной системы счисления определяет

  1. количество различных символов, которые используются для записи числа
  2. количество способов представления числа разными символами
  3. количество разрядов, которые могут быть задействованы для записи числа
  4. все вышеперечисленное верно

В позиционной системе счисления с натуральным основанием Р должно быть использовано

  1. ровно Р различных цифр
  2. Р+1 различных цифр
  3. Р-1 различных цифр
  4. любое количество цифр

Тремя цифрами в двоичной системе счисления можно записать наибольшее десятичное число

7

4

100

15


Тремя цифрами в восьмеричной системе счисления можно записать наибольшее десятичное число

511

512

255

777

Тремя цифрами в шестнадцатеричной системе счисления можно записать наибольшее десятичное число

4095

256

4096

1000

Существует ### позиционных систем

бесконечное количество

четыре (десятичная, двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная)

пять (латинская, десятичная, двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная)

нет правильного ответа

Чисел меньше числа 1016

  1. 16
  2. 15
  3. 9
  4. 10

Десятичное число 1610 равно

  1. 208
  2. 188
  3. 1008
  4. нет правильного ответа

За числом 178 следуют

  1. 208 , 218
  2. 188 , 198
  3. 208 , 308
  4. нет правильного ответа

Перед числом 2116 находятся

  1. 2016 , 1F16
  2. 2016 , FF16
  3. 2016 , 1916
  4. нет правильного ответа

Числам 102, 108, 1016 предшествуют целые числа

12, 78, F16

102, 028, 1716

112, 178, 1A16

012, 018, 0116

Четное двоичное число заканчивается цифрой.

02

102

002

12

Нечетное двоичное число заканчивается цифрой

12

012

02

112

За числами 12, 18, F16 следуют целые числа

102, 28, 1016

112, 118, 1816

102, 028, 1716

112, 118, 1116

За числами 1012, 78, 1F16 следуют числа

1102, 088, 2016

1112, 118, 1016

1012, 108, FF16

1102, 108, 2016

За числами 1112, 378, FF16 следуют числа

10002, 408, 10016

1112, 388, 10116

1112, 368,10016

1012,408, FD16

За числами 11112, 1778, 9AF916 следуют числа

100002, 2008, 9AFA16

11102, 2008, 10AF16

100012, 2018, 10AF16

100012, 2018, 9AFF16

За числами 1010112, 77778, CDEF16 следуют числа

1011002, 100008, CDF016

10101112, 777718, CDEF116

1101112,777008,CDF116

ема 1.1. Системы счисления Страница 13

Системы счисления