Перевод чисел из одной системы счисления в другие
Тема 1.2. Перевод чисел из одной системы счисления в другие
1.2.1. Перевод целых десятичных чисел
1.2.2. Перевод целых восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему
1.2.3. Перевод действительных (с дробной частью) десятичных чисел
1.2.4. Перевод действительных чисел в десятичную систему счисления
1.2.5. Контрольные вопросы по теме «Перевод чисел из одной системы счисления в другие»
1.2.1. Перевод целых десятичных чисел
Общее правило перевода целых чисел из одной системы счисления с основанием q в другую систему счисления с основанием p следующее: Допустим, что число Х из системы счисления с основанием q требуется перевести в систему счисления с основанием р. Перевод осуществляем по следующему правилу:
целое число делим на основание р; полученный от деления первый остаток является младшей цифрой целого числа с новым основанием р;
целую часть полученного числа снова делим на основание р; в результате определим второй остаток, равный следующей после младшей цифре числа с основанием р;
деление будем производить до тех пор, пока не получим частное, меньшее делителя; это последнее частное дает старшую цифру числа с основанием р новой системы.
Пример 1.2.1-1. Перевод числа в двоичную систему.
А10 = 53
|
53
-
52
|
2
|
2
|
5310=1101012
|
|
|
26
-
|
|
|
|
1
|
26
|
13
-
|
2
|
|
|
|
0
|
12
1
|
6
|
2
|
|
|
|
|
|
|
-
6
|
3
-
2
|
2
|
|
|
|
|
|
0
|
|
1
|
|
|
|
|
|
|
1
|
|
|
Пример 1.2.1-2. Перевод числа в восьмеричную систему.
1) А10=65
|
65
-
64
|
8
|
8
|
6510=1018
|
|
|
8
-
|
|
|
|
1
|
8
|
1
|
|
|
|
|
0
|
|
|
|
|
|
2) А10=44
Пример 1.2.1-3. Перевод числа в шестнадцатеричную систему:
1) А10=48
2) А10=225
|
225
-
224
|
16
|
|
22510=Е116
|
|
|
14(E)
|
|
|
|
1
|
|
|
|
|
1.2.2. Перевод целых восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему
Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления являются вспомогательными системами при подготовке задачи к решению:
2 =21
8 =23
16 =24
.
Удобство использования этих чисел состоит в том, что числа соответственно в 3 и 4 раза короче двоичной системы, а перевод в двоичную систему и наоборот несложен и выполняется простым механическим способом.
Для перевода восьмеричного (шестнадцатеричного) числа в двоичную форму достаточно каждую цифру этого числа заменить соответствующим трехразрядным (четырехразрядным) двоичным числом, при этом отбрасывают ненужные нули в старших разрядах.
Пример 1.2.2-1. Перевести число 137.458 в двоичную систему счисления.
Перевод осуществляется заменой каждой восьмеричной цифры трехзначным двоичным числом (триадой):
1 3 7 4 5
001 011 111 100 101 .
То есть, 137.4510 = 001011111.1001012= 1011111.1001012 .
И наоборот, заменой каждой триады слева и справа от запятой эквивалентным значением восьмеричной цифры, образуется восьмеричное число.
Если в крайней слева или справа триаде окажется меньше трех двоичных чисел, то эти тройки дополняются нулями.
Пример 1.2.2-2. Перевести число 5F.9416 в двоичную систему счисления.
Перевод осуществляется заменой каждой шестнадцатеричной цифры четырехзначным двоичным числом (тетрадой):
5 F 9 4
0101 1111 1001 0100
То есть, 5F.9416 = 01011111.100101002 = 1011111.1001012 .
Пример 1.2.2-3. Перевести число А=19110 в двоичную систему счисления различными способами.
1) А10 ® А2
|
191
-
-190
|
2
|
|
|
|
|
|
|
95
-
|
2
|
|
|
|
|
1
|
94
|
47
-
|
2
|
|
|
|
|
|
1
|
46
1
|
23
-
|
2
|
|
|
|
А2 = 101111112
|
|
|
|
|
22
|
11
-
|
2
|
|
|
|
|
|
|
|
1
|
10
|
5
-
|
2
|
|
|
|
|
|
|
|
1
|
4
|
2
-
|
2
|
|
|
|
|
|
|
|
1
|
2
|
1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0
|
|
|
2) А10 ® А8 ® А2
|
191
-
184
|
8
|
8
|
А8 = 2778 = 0101111112
|
|
|
23
-
|
|
|
|
7
|
16
|
2
|
|
|
|
|
7
|
|
|
|
|
|
3) А10 ® А16 ® А2
|
191
-
176
|
16
|
|
А16 = ВF16 = 101111112
|
|
|
11(B)
|
|
|
|
15(F)
|
|
|
|
|
Из примера следует, что перевод десятичного числа в двоичное число проще выполнять через шестнадцатеричную систему счисления.
1.2.3. Перевод действительных (с дробной частью) десятичных чисел
Перевод числа с дробной частью в систему с произвольным основанием р производится следующим образом. При преобразовании дробной части числа выполняется последовательное умножение на основание р дробной части десятичного числа, а затем дробной части произведения с выделением в каждом цикле целых частей произведения, которые и являются цифрами дробной части преобразованного числа с новым основанием р. Этот процесс преобразования (т.е. умножения и выделения целых частей) продолжается до тех пор, пока после очередного умножения на основание р дробная часть не окажется равной 0 (что означает точное преобразование в дробь с новым основанием) или пока мы не получим достаточное количество разрядов дроби, удовлетворяющее нас с точки зрения точности преобразования.
Для смешанного числа, имеющего целую и дробную часть, перевод осуществляется отдельно для каждой части, а затем число “собирается”.
Пример 1.2.3-1. Перевести в двоичную систему счисления правильные десятичные дроби:
Пусть имеем дробное десятичное число В < 1. Требуется определить двоичную дробь, то есть в соответствии с (1.1)
В = b-12-1 + b-22-2 + ... = S b -i 2-i ,
i=1
где b-1, b-2 ... b -i — двоичные цифры (т.е. 0 или 1).
Эти двоичные цифры дробного числа определяем следующим образом:
а) умножаем заданное число В на 2, определяем целую часть числа 2В (это будет первая цифра b-1) и дробную часть В1.
b) умножаем В1 на 2, снова отделяем целую часть от 2В1 (это будет вторая цифра b-2) и дробную часть В2 и т. д.
Пусть, например, В10 = 0,31. Найти В2.
а) 0.312 = 0.62 b-1 = 0 В1= 0.62
b) 0.622 = 1.24 b-2 = 1 В2= 0.24
c) 0.242 = 0.48 b-3 = 0 В3= 0.48
d) 0.482 = 0.96 b-4 = 0 В4= 0.96
e) 0.962 = 1.92 b-5 = 1 В5= 0.92
f) 0.922 = 1.84 b-6 = 1 В6= 0.84 и т.д.
Ответ: 0.3110 = 0.010011...2 .
Пусть, например, В10 = 0.25. Найти В2.
а) 0.252 = 0.5 b-1 = 0 В1 = 0.5
b) 0.52 = 1.0 b-2 = 1 В2 = 0.
Ответ: 0.2510 = 0.012
Пример 1.2.3-2. Перевести в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления десятичное число 12.1510.
1) А10 ® А2
а) перевод целой части
|
12
-
12
|
2
|
2
|
1210 = 11002
|
|
|
6
-
|
|
|
|
0
|
6
|
3
-
|
2
|
|
|
|
0
|
2
|
1
|
|
|
|
|
|
|
1
|
|
|
|
|
b) перевод дробной части числа
0.152 = 0.3 b-1 = 0
0.32 = 0.6 b-2 = 0
0.62 = 1.2 b-3 = 1
0.22 = 0.4 b-4 = 0 - период
0.42 = 0.8 b-5 = 0 0.1510 = 0.00(1001)2
0.82 = 1.6 b-6 = 1
0.62 = 1.2 b-3 = 1
А2 = 1100.00(1001)2.
2) А10 ® А8
а) перевод целой части
b) перевод дробной части числа
0.158 = 1.2 b-1 = 1
0.28 = 1.6 b-2 = 1
0.68 = 4.8 b-3 = 4
0.88 = 6.4 b-4 = 6 - период
0.48 = 3.2 b-5 = 3 0.1510 = 0.1 (1463)8
0.28 = 1.6 b-6 = 1
А8=14.1(1463)8=001100.001001100110011...2= 1100.00(1001)2
3) А10 ® А16
а) перевод целой части
1210 = С16
b) перевод дробной части числа
0.1516 = 2.4 b-1 = 2
0.416 = 6.4 b-2 = 6 - период 0.1510 = 0.2 (6)16
0.416 = 6.4 b-3 = 6
А16 = С.2(6)16 = 1100.001001100110011...2 =1100.00(1001)2.
Подтверждается вывод, что, как и в примере 1.2.2-3, перевод десятичного числа в двоичное число быстрее всего происходит через шестнадцатеричную систему.
1.2.4. Перевод действительных чисел в десятичную систему счисления
Этот перевод осуществляется непосредственным применением закона (1.1).
Пример 1.2.4-1. Перевести числа в десятичную систему счисления.
1011.011012=123+022+121+120+02-1+12-2+12-3+02-4+12-5=1113/32 =11.40610
27.448 = 2 81 + 780 + 48-1 + 48-2 = 23.562510
F2A.416 = 15162 + 2161 + 10160 + 416-1 = 3882.2510
Пример 1.2.4-2. Перевести число 11010012 в десятичную систему счисления.
1) Применим закон (1.1):
11010012 = 126 + 125 + 024 + 123 + 022 + 021 + 120 = 10510
2) Выполним перевод в десятичную систему счисления через восьмеричную систему счисления:
11010012 = 1518 = 182 + 581 + 180 = 10510
3) Выполним перевод в десятичную систему счисления через шестнадцатеричную систему счисления:
11010012 = 6916= 6161 + 9160 = 96 + 9 = 10510.
1.2.5. Контрольные вопросы по теме «Перевод чисел из одной системы счисления в другие»
Как производится перевод целых десятичных чисел в другие системы счисления?
Как производится перевод восьмеричных чисел в двоичную систему счисления?
Как производится перевод шестнадцатеричных чисел в двоичную систему счисления?
Как производится перевод восьмеричных чисел в шестнадцатеричную систему счисления и, наоборот – из шестнадцатеричной системы в восьмеричную?
Правило перевода действительных (с дробной частью) десятичных чисел в другие системы счисления.
Правило перевода действительных чисел в десятичную систему из других систем счисления.
1.2.6. Тестовые задания по теме «Перевод чисел из одной системы счисления в другие»
Перевод целого десятичного числа в восьмеричную систему счисления осуществляют
делением числа и получаемых целых частей на 8 до тех пор, пока целая часть не станет меньше 8, и записью получаемых остатков от деления, начиная с последней целой части
заменой каждой десятичной цифры на три восьмеричные
делением числа и получаемых целых частей на 8 до тех пор, пока целая часть не станет меньше 8 и записью получаемых остатков от деления, начиная с первого остатка
через двоичную систему
Перевод целого восьмеричного числа в десятичную осуществляют
нет верного ответа
делением числа и получаемых целых частей на 10 до тех пор, пока целая часть не станет меньше 10 и записью получаемых остатков от деления, начиная с последней целой части
делением числа и получаемых целых частей на 10 до тех пор, пока целая часть не станет меньше 10 и записью получаемых остатков от деления, начиная с первого остатка
через двоичную систему
Перевод дробного десятичного числа в шестнадцатеричную систему осуществляют
последовательным умножением числа и получаемых дробных частей произведений на 16 до нужного числа разрядов или до нулевого значения дробной части и записью получаемых целых частей с начала
последовательным умножением числа и получаемых дробных частей произведений на 16 до нужного числа разрядов или до нулевого значения дробной части и записью получаемых целых частей с конца
заменой каждой десятичной цифры на шестнадцатеричную
через двоичную систему
Перевод дробного шестнадцатеричного числа в десятичную систему осуществляют
нет верного ответа
последовательным умножением числа и получаемых дробных частей произведений на 10 до нужного числа разрядов или до нулевого значения дробной части и записью получаемых целых частей с начала
последовательным умножением числа и получаемых дробных частей произведений на 10 до нужного числа разрядов или до нулевого значения дробной части и записью получаемых целых частей с конца
через двоичную систему
Перевод целого числа из двоичной системы в восьмеричную осуществляют
заменой каждой триады двоичных цифр одной восьмеричной, начиная с младшего разряда
заменой каждой триады двоичных цифр одной восьмеричной, начиная со старшего разряда
делением числа и получаемых целых частей на 8 до тех пор, пока целая часть не станет меньше 8 и записью получаемых остатков от деления, начиная с последней целой части
нет верного ответа
Перевод целого восьмеричного числа в двоичную систему осуществляют
заменой каждой восьмеричной цифры тремя двоичными
заменой каждой восьмеричной цифры четырьмя двоичными
делением числа и получаемых целых частей на 2 до тех пор, пока целая часть не станет меньше 2 и записью получаемых остатков от деления, начиная с последней целой части
нет верного ответа
Перевод целого числа из двоичной системы в шестнадцатеричную осуществляют
заменой каждой тетрады двоичных цифр одной шестнадцатеричной, начиная с младшего разряда
заменой каждой тетрады двоичных цифр одной шестнадцатеричной, начиная со старшего разряда
делением числа и получаемых целых частей на 16 до тех пор, пока целая часть не станет меньше 16 и записью получаемых остатков от деления, начиная с последней целой части
нет верного ответа
Перевод целого шестнадцатеричного числа в двоичную систему осуществляют
заменой каждой шестнадцатеричной цифры четырьмя двоичными
заменой каждой шестнадцатеричной цифры тремя двоичными
делением числа и получаемых целых частей на 2 до тех пор, пока целая часть не станет меньше 2 и записью получаемых остатков от деления, начиная с последней целой части
нет верного ответа
Перевод действительного восьмеричного числа в двоичную систему осуществляют
заменой каждой восьмеричной цифры тремя двоичными
заменой каждой восьмеричной цифры четырьмя двоичными
делением целой части числа на 2 с выделением остатков и умножением дробной части числа на 2 с выделением целых частей
нет верного ответа
Перевод действительного шестнадцатеричного числа в двоичную систему осуществляют
заменой каждой шестнадцатеричной цифры четырьмя двоичными
заменой каждой шестнадцатеричной цифры тремя двоичными
делением целой части числа на 2 с выделением остатков и умножением дробной части числа на 2 с выделением целых частей
через десятичную систему счисления
Перевод действительного числа из двоичной системы в восьмеричную осуществляют
заменой каждой триады двоичных цифр на одну восьмеричную, предварительно дописав нули перед старшим разрядом целой части и за последним разрядом дробной части так, чтобы количество двоичных цифр стало кратно 3
заменой каждой тетрады двоичных цифр на одну восьмеричную, предварительно дописав нули перед старшим разрядом целой части и за последним разрядом дробной части так, чтобы количество двоичных цифр стало кратно 4
заменой каждой триады двоичных цифр одной восьмеричной, начиная с младшего разряда
заменой каждой триады двоичных цифр одной восьмеричной, начиная со старшего разряда
Перевод действительного числа из двоичной системы в шестнадцатеричную осуществляют
заменой каждой тетрады двоичных цифр на одну шестнадцатеричную, предварительно дописав нули перед старшим разрядом целой части и за последним разрядом дробной части так, чтобы количество двоичных цифр стало кратно 4
заменой каждой триады двоичных цифр на одну шестнадцатеричную, предварительно дописав нули перед старшим разрядом целой части и за последним разрядом дробной части так, чтобы количество двоичных цифр стало кратно 3
заменой каждой триады двоичных цифр одной шестнадцатеричной, начиная с младшего разряда
заменой каждой триады двоичных цифр одной шестнадцатеричной, начиная со старшего разряда
Перевод действительного числа из восьмеричной системы в шестнадцатеричную осуществляют
через двоичную систему
через десятичную систему
делением целой части числа на 16 с выделением остатков и умножением дробной части числа на 16 с выделением целых частей
заменой двух восьмеричных цифр на одну шестнадцатеричную
Перевод действительного числа из шестнадцатеричной системы в восьмеричную осуществляют
через двоичную систему
через десятичную систему
делением целой части числа на 8 с выделением остатков и умножением дробной части числа на 8 с выделением целых частей
заменой каждой шестнадцатеричной цифры двумя восьмеричными
При переводе числа 9810 из десятичной системы в двоичную систему счисления получается
11000102
11001102
10011102
11100102
При переводе числа 10010 из десятичной системы в восьмеричную систему счисления получается
1448
1428
1548
1208
Число 2010 равно
101002
100102
1616
228
При переводе числа 10510 в двоичную систему получается
11010012
10010012
11100112
10010112
При переводе числа 10 37510 в восьмеричную систему получается
12 38
12 408
22 38
нет верного ответа
При переводе двоичного числа 1110 110112 в шестнадцатеричную систему получается
E D816
E D116
1D B16
нет верного ответа
При переводе числа ABC16 в двоичную систему получается
1010101111002
1100101110102
101010111102
нет верного ответа
При переводе числа 2016 в восьмеричную систему получается
408
2008
1008
нет верного ответа
При переводе числа А А16 в десятичную систему получается
10 62510
10 110
1010 10110
нет верного ответа
При переводе числа 328 в двоичную систему получается
110102
11002
1100102
нет верного ответа
При переводе числа 15 516 в восьмеричную систему получается
25 248
25 218
15 58
нет верного ответа
При переводе числа 10010 1012 в шестнадцатеричную систему получается
12 А16
22 516
90 А16
90 516
При переводе числа 1АF 416 из шестнадцатеричной системы в двоичную систему счисления получается
110101111 012
10011100 1112
11010111 1012
110001010 112
При переводе числа 73 168 из восьмеричной системы в двоичную систему счисления получается
111011 001112
100111 001112
1111000 00112
11001 100112
При переводе числа 714210 из десятичной системы в шестнадцатеричную систему счисления получается
1ВЕ616
61411116
6ЕВ116
11114616
При переводе числа 76 58 из восьмеричной системы в шестнадцатеричную систему счисления получается
3Е А16
310 1416
3Е А16
АЕ 316
1Е А16
ема 1.2. Перевод чисел из одной системы счисления в другие Страница 25
Перевод чисел из одной системы счисления в другие