АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Глава I. Векторная алгебра.

§1. Векторы в пространстве. Основные определения.

Определение 1. Вектором в пространстве называется направленный отрезок.

Таким образом, векторы в отличие от скалярных величин имеют две характеристики: длину и направление. Будем обозначать векторы символами , или а.

(Здесь А и В – начало и конец данного вектора (рис.1)) а В

Длина вектора обозначается символом модуля: . А рис.1

Различают три вида векторов, задаваемых отношением равенства между ними:

Закрепленные векторы называются равными, если у них совпадают начала и концы соответственно. Примером такого вектора является вектор силы.
Скользящие векторы называются равными, если они расположены на одной прямой, имеют одинаковые длины и направления. Примером таких векторов является вектор скорости.
Свободные или геометрические векторы считаются равными, если они могут быть совмещены с помощью параллельного переноса.

В курсе аналитической геометрии рассматриваются только свободные векторы.

Определение 2. Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором, или ноль –

вектором.

Очевидно, начало и конец нулевого вектора совпадают. Нулевой вектор не имеет определенного направления или имеет любое направление.

Определение 3. Два вектора, лежащих на одной прямой или параллельных прямых называются

коллинеарными (рис.2). Обозначают: . a

Нулевой вектор можно считать коллинеарным любому. рис.2

Определение 4. Два коллинеарных и одинаково направленных вектора называются

сонаправленными. Обозначают: .

Теперь можно дать строгое определение равенства свободных векторов:

Определение 5. Два свободных вектора называются равными, если они сонаправлены и имеют

одинаковую длину.

Определение 6. Три вектора, лежащих в одной или параллельных плоскостях называются

компланарными.

Два перпендикулярных вектора называют взаимно ортогональными:.

Нулевой вектор можно считать ортогональным любому.

Определение 7. Вектор единичной длины называется единичным вектором или ортом.

Орт, сонаправленный ненулевому вектору а называют ортом вектора а : ea .

§2. Линейные операции над векторами.

На множестве векторов определены линейные операции: сложение векторов и умножение вектора на число.

I. Сложение векторов.

Суммой 2 – х векторов называется вектор, начало которого совпадает с началом первого, а конец с концом второго, при условии, что начало второго совпадает с концом первого.

Легко видеть, что сумма двух векторов, определенная

таким образом (рис.3а), совпадает с суммой векторов,

построенной по правилу параллелограмма (рис.6). b

Однако, данное правило позволяет строить a

сумму любого числа векторов (рис.3б).

a+b

рис.3а

b a+b+c

рис.3б c

II. Умножение вектора на число.

Произведением вектора а на число называется вектор, a

длина которого равна , сонаправленный вектору а при > 0 -0.7a

и противоположно направленный при < 0. рис.4

Вычитание векторов определяется как действие обратное сложению:

Определение. Разностью векторов а и b называется такой вектор c = a b, который при сложении с вектором b дает вектор a : b + c = a (рис.5).

Из рис.5 следует, что строить вектор разности удобнее, поместив

b ab начала векторов a и b в общую точку.

Очевидно следующее равенство: a + (1)a = a a = 0.

a (Строгое доказательство предоставляется читателям)

рис.5

Замечание. Ноль в правой части последнего равенства есть нулевой вектор, а не число.

Равенство (1)b = b дает еще один способ построения разности векторов: аb = a+(b). Т.е. при вычислении разности можно у вычитаемого вектора изменить направление на противоположное и построить сумму полученных векторов.

Свойства линейных операций.

Переместительное свойство сложения (коммутативность).

a + b = b + a. {рис.6}

Сочетательное свойство сложения (ассоциативность).

(a + b) + c = a + (b + c). {рис.7}

3. Дистрибутивность умножения

а) (+)а = а + а. {Очевидно}

б) (a+b) = a + b. {Следует из подобия (рис.8)}

4. (а) = ()а . {Очевидно }

b b

a+b = b+a b+c b (a+b)

a+b b

a (a+b)+c=a+(b+c) a+b

a a a

рис.6 рис.7 рис.8

§3. Проекция вектора на ось.

Определение 1. Осью называется прямая, на которой задано положительное направление.

Числовой осью называют ось, на которой заданы начало отсчета и масштаб (единичный отрезок).

Все точки числовой оси находятся во взаимно – однозначном соответствии с множеством действительных чисел. Началу отсчета, естественно, ставится в соответствие число 0.

Соответствующие точкам числа являются координатами точек относительно этой числовой оси.

Рассматривая некоторую ось u (не числовую), будем предполагать (по умолчанию) наличие единого масштаба во всем пространстве, содержащем эту ось.

Определение 2. Величиной отрезка [АВ] (обозначается АВ) называется число, равное длине этого отрезка и взятое со знаком «+», если направлен по оси и со знаком «», если против, т.е. .

А' В' и

рис.9

Основные свойства величин отрезков (будем считать, что тт. А, В и С лежат на оси и ):

АВ = ВА {Очевидно}

{При расположении точек в указанном порядке по направлению оси равенство очевидно.

Пусть точки расположены иначе, например: В, С, А ВА = ВС + СА

АВ = ВС АС АС = АВ + ВС. Остальные случаи доказываются аналогично}

Пусть и – числовая ось, а Аи и Ви координаты точек А и В на этой оси. Тогда

АВ = Ви Аи . {Очевидно}

Рассмотрим теперь произвольный вектор и ось u (рис.9).

Определение 3. Ортогональной проекцией вектора на ось и называется величина отрезка А'В', где А' и В' ортогональные проекции точек А и В на эту ось (рис.9).

При = А'В' .

Из определения сразу следует, что проекция вектора на ось есть число.

Если начало вектора поместить на ось и угол между вектором и осью обозначить через , то для вычисления проекции имеем очевидное соотношение: При = При этом необходимо учитывать, что угол отсчитывается от оси в положительном направлении, т.е. против часовой стрелки. Если еи орт, сонаправленный оси и, то в частном случае .

Замечание. Можно рассматривать и не ортогональные проекции вектора на ось. Для этого следует провести из концов вектора параллельные прямые, не перпендикулярные оси до пересечения с ней. Все основные свойства ортогональных проекций будут выполняться. Однако, в дальнейшем, по умолчанию, все проекции мы будем считать ортогональными.

Линейные свойства проекций.

I. Проекция произведения вектора на число равна произведению числа на проекцию этого вектора:

{Доказательство следует из подобия. Необходимо рассмотреть 2 случая: > 0 и < 0}

II. Проекция суммы векторов сумме проекций этих векторов:

{Для доказательства следует использовать св.2 величин отрезков}

Определение 3. Линейной комбинацией векторов а1,…,ап называется сумма следующего вида: , где все коэффициенты линейной комбинации.

(В общем случае, аi элементы некоторого множества, которые можно складывать и умножать на действительные числа)

Используя понятие линейной комбинации, можно оба линейных свойства проекций записать одной формулой: : проекция линейной комбинации векторов равна линейной комбинации проекций.

§4. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов.

Определение 1. Система векторов {a1,…,an} называется линейно зависимой, если найдутся коэффициенты 1,…,n не все равные нулю, линейная комбинация с которыми равна нулю, т.е.

Определение 2. Система векторов {a1,…,an} называется линейно независимой, если ее линейная

комбинация равна нулю только с нулевыми коэффициентами: .

Имеют место несколько простых утверждений.

Теорема 1 (необходимое и достаточное условие линейной зависимости). Векторы а1,…,an – линейно зависимы когда хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных.

{1.(необходимость: {ak} – л.з. ): Пусть, для определенности,

, т.е. а1 линейная комбинация остальных.

2.(достаточность: am – л.к.): система лин. зав.}

Теорема 2. Если один из векторов системы равен нулю, то вся система линейно зависима.

{0a1 + … + 0an-1 +}

Теорема 3. Если подсистема линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

{}

Примеры.

1) . 2) они компланарны.

Отсюда следует, что три вектора на плоскости всегда линейно зависимы.

3) Четыре вектора в пространстве всегда линейно зависимы.

4) {f1 = 1, f2 = x, f3 = x2 } – линейно независимы.

5) {sin2x, cos2x, 1} линейно зависимы.

§5. Базис. Координаты. Размерность.

Определение 1. Базисом векторного пространства L называется система элементов,

удовлетворяющая двум условиям:

1) система {e1,…,en} линейно независима.

2) Любой вектор L линейно выражается через базисные (т.е. является линейной комбинацией элементов е1, е2, … , еn): .

Примеры. Базис на плоскости (V2 – 2 неколлинеарных вектора), в пространстве (V3 – 3 некомпланарных вектора), в пространстве многочленов степени n : (1,х,х2,…,хn).

Теорема 1. Коэффициенты разложения по базису – единственны.

{Пусть }

Определение 2. Координатами вектора в некотором базисе называются коэффициенты разложения по этому базису: а = () или .

Замечания. 1. В силу Т.1 данное определение – корректно.

В качестве стандарта можно рассматривать как векторы – строки , так и векторы – столбцы.
Координаты базисных векторов е1,е2,е3 (в пространстве) в собственном базисе равны:

е1 = (1,0,0), е2 = (0,1,0), е3 = (0,0,1).

Определение 3. Размерностью векторного пространства L (обозначается dimL) называется максимальное число линейно независимых векторов этого пространства.

Если такого числа не существует – пространство называется бесконечномерным.

Теорема 2. Размерность линейного пространства равна числу базисных векторов. {б/д}

Отсюда, в частности, следует, что все базисы одного пространства состоят из одинакового числа векторов.

Примеры. V2 ; V3 ; Rn; C[a,b].

Результаты линейных операций легко вычисляются в координатной форме.

Теорема 3. При сложении векторов их соответствующие координаты складываются:

{}

Теорема 4. При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число:

а = (1,…,n). {д – во аналогично}

В заключение рассмотрим пример базиса, который используется наиболее часто.

Определение 4. Ортонормированным базисом в пространстве называется базис, состоящий из трех взаимно ортогональных векторов единичной длины (на плоскости – из двух).

Эти векторы обозначают буквами i, j и k и называют

базисными ортами. Таким образом, выполняются соотношения

а a3k , а произвольный вектор а

k a2 j может быть представлен в следующем виде (рис.10):

j a = a1 i + a2 j + a3 k = ( a1, a2, a3 ).

a1i i

рис.10

§6. Скалярное произведение.

Определение 1. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное

произведению их модулей (длин) на косинус угла между ними:

Из §3 сразу следует, что скалярное произведение может быть записано в виде:

Свойства скалярного произведения.

1. (a,b) = (b,a) {Следует из коммутативности произведения чисел и четности косинуса}

2. .

3. (а , b + c) = (a , b) + (a , c) .

{Два последних свойства следуют из соответствующих свойств проекций (§3) }

4. {Очевидно}

Скалярное произведение вектора на себя называют скалярным квадратом вектора. Последнее свойство утверждает, что скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.

Следующая теорема имеет принципиальное значение не только для векторного пространства, но и для любого его обобщения.

Теорема (необходимое и достаточное условие ортогональности). Два вектора взаимно ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю:

{Н.( )

Д.( ) }

Указанные свойства позволяют легко вычислять скалярные произведения по известным характеристикам векторов.

Пример. Вычислить , если

{}

В действительности, более существенным является обратное утверждение: зная скалярные произведения, можно находить как длины векторов, так и углы между векторами:

Однако, для того, чтобы пользоваться данными формулами, необходимо уметь вычислять скалярное произведение, зная только координаты векторов.

§7. Скалярное произведение в координатной форме.

Пусть векторы a и b заданы своими координатами в ортонормированном базисе { i, j, k }:

и . Умножая скалярно a на b, получим

Для выбранного базиса выполняются соотношения: Отсюда

получаем: Скалярное произведение в ортонормированном базисе

равно сумме попарных произведений координат.

Таким образом, имеем:

Пример. Вычислить длины векторов и косинус угла между ними:

{}

Замечание. В косоугольном базисе формула для выражения скалярного произведения через координаты будет, естественно, отличаться.

§8. Направляющие косинусы вектора.

Рассмотрим еще одну важную характеристику вектора.

Пусть задан ортонормированный базис { i, j, k } и произвольный вектор а .

Определение 1. Направляющими косинусами вектора а в данном базисе называются косинусы

углов между вектором а и базисными ортами: .

Теорема 1. Направляющие косинусы единичного вектора равны его координатам.

{Пусть В координатах:}

Теорема 2. Сумма квадратов направляющих косинусов равна единице:

{Пусть а = (а1,а2,а3). Обозначим Аналогично

}

Пример. Найти направляющие косинусы вектора а = (4, 2, 4).

{}

§9. Ориентация базиса в пространстве.

Рассмотрим произвольную тройку некомпланарных векторов.

Определение. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой , если

а) кратчайший поворот от первого вектора ко второму, видимый из конца третьего происходит против часовой стрелки (т.е. в положительном направлении), или б) по правилу винта, или

в) по правилу правой руки. В противном случае левой. И в том и в другом случае тройка называется ориентированной.

Например, на рис.10 базис { i, j, k } левый, а тройка {a, b, c} на рис.11 – правая.

с Очевидно, что все одинаково ориентированные ортонормированные базисы могут

b быть совмещены друг с другом с помощью параллельного переноса и поворота,

a а противоположно ориентированные только с точностью до коллинеарности.

Рис.11 Легко проверить, что тройки a b c, c a b и b c a одинаково ориентированы, а

тройки a c b, b a c и c b a им противоположны. Т.е. круговая перестановка векторов не

меняет ориентацию, а не круговая – меняет.

Изменение знака у одного из векторов меняет ориентацию всей тройки.

§10. Векторное произведение.

Определение. Векторным произведением векторов a и b : [a,b] называется вектор,

удовлетворяющий трем условиям:

Векторное произведение ортогонально своим составляющим:
Длина векторного произведения равна произведению длин векторов на синус угла между ними:
Тройка векторов правая.

Свойства векторного произведения.

Все свойства векторного произведения можно условно разбить на две группы.

Алгебраические свойства.
Антикоммутативность: .{ Первые два условия определения не зависят

от порядка векторов, но тройки a, b, и b, a, ориентированы противоположно (§9)}

2) {Доказать самим}

3) {б/д}

II. Геометрические свойства.

1) равенство нулю векторного произведения является необходимым и достаточным условием коллинеарности. { Доказать самим }

2) площадь параллелограмма, построенного на двух векторах равна модулю векторного произведения этих векторов. {Очевидно}

Для вывода координатной формы векторного произведения поступим так же, как и в случае скалярного: .

Здесь уже использованы соотношения: и т.д.

Легко заметить, что формула векторного произведения может быть записана в виде символического определителя: .

Пример. Вычислить SABC , если даны тт. А(1,2,0), В(3,0,3), С(5,2,6).

{}

§11. Смешанное произведение трех векторов.

Определение. Смешанным произведением векторов a,b и c называется число, равное

Свойства смешанного произведения.

1. Модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на этих

векторах: { Так как

то модуль проекции с на него равен h }

(Н. и д. условие компланарности) Три вектора компланарны т. и т.т., когда их смешанное

произведение равно нулю. {доказательство следует из св – ва 1.}

3. (В правой части равенства сначала, естественно, выполняется векторное

произведение) { доказательство так же следует из св – ва 1}

Из последнего свойства следует, что знаки можно ставить в любом порядке. Поэтому

смешанное произведение обозначают символом abc.

Для записи смешанного произведения в координатах лучше всего использовать форму

Если теперь представить векторное произведение в виде символического определителя и заменить первую строку на строку координат вектора а , то при разложении определителя

по первой строке, получится скалярное произведение первого вектора на векторное произведение второго на третий. Таким образом, для смешанного произведения в координатной форме имеем

следующую формулу:

Пример. Исследовать векторы a = (3,1,2), b = (2,1,4) и c = (7,1,6) на линейную зависимость.

{Так как линейная зависимость трех векторов в пространстве эквивалентна их компланарности,

вычислим их смешанное произведение: векторы линейно зависимы}

Глава II. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве.

§1. Декартова система координат.

Определение 1. Три взаимно перпендикулярные числовые оси, имеющие общее начало отсчета и одинаковые масштабы, называются декартовой системой координат данного пространства.

Координатные оси обычно обозначают буквами x, y и z или символами OX, OY и OZ . Любая

точка М пространства находится во взаимно однозначном соответствии с множеством упорядоченных троек действительных чисел – координатами своих ортогональных проекций

на осях х, у и z, называемых координатами самой точки М: М(Мх,Му,Мz).

В качестве базиса векторного пространства выбираются орты i, j и k, сонаправленные координатным осям x, y и z соответственно (рис.12). Рассмотрим вектор .

Вектор с началом в точке О и концом в точке М называется радиус вектором точки М.

Пусть его координаты в данном базисе равны rx,ry и rz , т.е.

z Из определения суммы векторов (§2) сразу следует, что

вектор . В свою очередь, каждое

Mz из слагаемых правой части равно проекции вектора r на

М координатную ось (§3), умноженную на соответствующий

k r базисный орт: и

О j My y . В силу единственности разложения

i вектора по базису (§4, Т1) имеем следующий результат:

Мх

x рис.1

В декартовой системе координат координаты вектора в ортонормированном базисе равны

его проекциям на координатные оси.

§2. Простейшие задачи аналитической геометрии.

В этом параграфе будут рассмотрены три задачи: вычисление координат вектора по координатам точек А и В, вычисление длины отрезка и деление отрезка в данном отношении.

1. Вычисление координат вектора .

В Пусть произвольный вектор пространства (рис.2). Точки А'

М и В' с координатами Ах и Вх проекции точек А и В на ось ОХ.

А Координаты вектора равны его проекциям на координатные оси (§1).

Следовательно, его первая координата равна Вх Ах (гл.I ,§3,св.3).

А' М' В' ОХ Аналогичный результат получается для остальных координатных

Рис.2 осей. Таким образом: .

2. Вычисление длины отрезка.

Так как длина отрезка АВ (|AB|) равна , то |AB| =

(гл.1, §7).

Деление отрезка в данном отношении.

Рассмотрим т. (рис.2). Требуется определить число , где АМ и МВ величины направленных отрезков , называемое отношением, в котором т. М делит

направленный отрезок . Из курса элементарной геометрии и полученных результатов имеем: . Отсюда легко получаем координаты точки М:

Замечания.

Наиболее важным частным случаем является деление отрезка пополам:

Полученный результат сохраняется для любого расположения точек, лежащих

на одной прямой. В случае, когда т. величина будет отрицательной.

§2. Аналитическая геометрия на плоскости.

В этом и нескольких последующих параграфах будут рассмотрены основные задачи аналитической геометрии на плоскости.

Пусть дана некоторая фиксированная координатная плоскость, т.е. плоскость, на которой

задана декартова система координат XOY и ортонормированный базис {i, j}, орты которого сонаправлены координатным осям х и у соответственно.

Любая точка плоскости определяется двумя координатами – координатами своих ортогональных проекций на эти оси: М(х, у).

Любой вектор плоскости так же определяется двумя координатами – коэффициентами разложения по базису или, что то же самое, своими проекциями на координатные оси: а = (ах , ау).

Линия на плоскости определяется как геометрическое место точек плоскости (гмт), удовлетворяющих некоторому геометрическому или аналитическому условию. Геометрическое условие необходимо перевести в аналитическое (геометрия – аналитическая!), а у аналитического

выяснить геометрический смысл (аналитическая геометрия). Аналитическим заданием линии является уравнение с двумя переменными: F(x, y) = 0, т.е. линия на плоскости определяется как

геометрическое место точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

Иногда линия задается в параметрической форме:

Замечание. В математическом анализе уравнение F(x, y) = 0 называют неявным заданием функции

(частный случай y = f (x) называется явным заданием), т.е. используются понятия функции и аргумента. В аналитической геометрии, вообще говоря, переменные х и у считают равноправными.

§3. Прямая на плоскости.

Определим прямую l на плоскости следующим образом:

Пусть заданы произвольная фиксированная т. М0(х0,у0) и произвольный фиксированный

ненулевой вектор , перпендикулярный данной прямой, который называется

нормальным вектором прямой или просто нормалью.

Прямой, проходящей через т. М0 , с данным нормальным вектором называется геометрическое место концов векторов на плоскости, имеющих начало в т. М0 и ортогональных вектору (рис.3).

Используя данное определение, легко написать аналитическое задание или уравнение этой прямой.

у Пусть т. М(х,у) произвольная точка прямой.

Из условия сразу следует:

М0

М х Итак, уравнение прямой, проходящей

Рис.3 через точку (х0,у0) и перпендикулярной вектору

Если обозначить выражение Ах0 Ву0 через С , то получим

общее уравнение прямой на плоскости:

§4. Специальные виды уравнения прямой.

Уравнение с угловым коэффициентом.

Хорошо известное уравнение y = k x + b, где k = tg тангенс угла наклона прямой к оси ОХ ,

а b величина отрезка от начала координат до точки пересечения прямой с осью OY .

II. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Так как прямая полностью определяется двумя точками, естественно написать соответствующее уравнение. Пусть даны две различные точки, принадлежащие прямой l:

. В этом случае . Отсюда :

уравнение прямой через две точки.

III. Каноническое и параметрические уравнения прямой.

Любой вектор, коллинеарный прямой l называется направляющим вектором прямой.

(В частности, вектор (пункт II) направляющий) Если дана точка на

прямой и направляющий вектор , то последнее уравнение можно переписать в виде:

каноническое уравнения прямой. Если полученную пропорцию приравнять

к параметру t , то получим параметрические уравнения прямой: .

IV. Уравнение прямой в отрезках.

Пусть известны точки пересечения прямой с осями координат: .

Отсюда : уравнение прямой в отрезках.

§5. Основные задачи, связанные с прямой.

Угол между прямыми.

Рассмотрим две прямые l1 и l2 . Если эти прямые заданы своими общими уравнениями, то

косинус угла между ними может быть найден как косинус угла между их нормалями или направляющими векторами с помощью скалярного произведения: .

Замечание. Направляющий вектор из нормального (и наоборот) легко получить следующим образом:

В случае задания прямых уравнениями с угловым коэффициентом, имеем соотношение:

Условия параллельности и ортогональности двух прямых.

Расстояние от точки до прямой.

Вычислим расстояние от произвольной точки плоскости M*(x*, y*) до прямой l: Ax+By+C = 0.

Пусть М(х,у) произвольная точка прямой, нормаль (рис.4).

Расстояние от т.M* до прямой, очевидно, равно модулю проекции

•М* вектора на вектор нормали:

Т.к. точка , то Ах + Ву = С и окончательно получаем:

Рис.4

Замечание. Знак выражения Ах*+Ву*+С меняется при переходе точки через прямую.

§6. Алгебраические линии на плоскости.

Линии, описываемые алгебраическим уравнением n го порядка от двух переменных, называют линиями или кривыми n го порядка на плоскости.

Линии 1 – го порядка описываются уравнением Ах + Ву + С = 0 () представляют собой прямые.

Уравнения 2 – го порядка : ,() называют

кривыми 2 – го порядка и представляют собой целое семейство плоских кривых.

§7. Окружность.

Определение. Окружность геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от

заданной фиксированной точки плоскости, называемой центром окружности. Расстояние от

точек окружности до центра – радиус окружности.

Если центр окружности находится в т. М0(х0,у0), а радиус равен r, то уравнение окружности может быть написано в следующем виде:

§8. Эллипс.

Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная.

Для вывода уравнения эллипса выберем фокусы в точках F1(-c,0) и F2(c,0) (c > 0) , а сумму расстояний обозначим через 2а (2a >2 c). Пусть М(х,у) – произвольная точка эллипса. Тогда:

b М

a F1 F2 a x Обозначив a2 c2 = b2 , окончательно

b получим:

рис.5

Числа a и b называются полуосями эллипса (точки пересечения эллипса с осями координат имеют своими координатами числа а и b (рис.5)).

Отношение расстояния между фокусами эллипса к длине большой оси называется эксцентриситетом эллипса: Эксцентриситет характеризует форму

эллипса. При = 0 эллипс превращается в окружность, при = 1 вырождается в отрезок.

Написанное выше уравнение называется каноническим уравнением эллипса. (Вообще, в геометрии словами каноническое уравнение, обычно, называют уравнение, содержащее в явном виде все основные геометрические характеристики объекта. См. например, каноническое уравнение прямой (§4))

Это уравнение является частным случаем уравнения 2 – го порядка (§6). Нетрудно видеть,

что любое уравнение представляет собой эллипс при условии

AC > 0. (Более общие условия будут выведены позже)

Пример. эллипс

с центром в т.(1,2) и полуосями 2 и 4. F1(1, ) и F2(1, ).

Замечания. 1) Фокусы эллипса всегда расположены на больших полуосях .

2) Если правая часть = 0, то вырожденный эллипс (точка), если = 1 – мнимый эллипс.

§9. Гипербола.

Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, разность расстояний от каждой из которых до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная и не равная нулю.

Снова выберем фокусы в точках F1(-c,0) и F2(c,0) (c > 0) , а модуль разности расстояний обозначим через 2а (2a < 2 c). Для произвольной точки гиперболы М(х,у) имеем:

После проведения элементарных преобразований, аналогичных предыдущим, получим

каноническое уравнение гиперболы:

y Из уравнения сразу следует, что

b При гипербола имеет асимптоты .

а F2 x Эксцентриситет гиперболы определяется так же, как и

у эллипса, и равен

рис.6

Замечания. 1) При исследовании уравнения 2 – го порядка могут быть получены уравнения

следующего вида: Центр таких гипербол находится в точке (х0,у0), а

1 в правой части означает, что гипербола повернута вокруг начала координат на 900 .

Уравнение описывает две пересекающиеся прямые.
«Школьное» уравнение гиперболы представляет собой частный случай, когда ось

гиперболы повернута на 450, а асимптотами являются координатные оси.

Пример. Определить вид и характеристики кривой:

§10. Парабола.

Определение. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, расстояние от каждой из которых до фиксированной точки плоскости, называемой фокусом параболы, равно расстоянию до фиксированной прямой, называемой директрисой параболы.

у Пусть фокус имеет координаты (p/2,0): F(p/2,0), а директриса

записывается уравнением х = р/2. Расстояние между фокусом

•M(x,y) и директрисой равно р параметру параболы (рис.7).

Точки параболы удовлетворяют уравнению:

р/2 F х

После простых преобразований получим каноническое уравнение

параболы: у2 = 2рх.

Рис.7

§11. Кривые второго порядка – заключение.

В предыдущих параграфах были рассмотрены три вида кривых второго порядка: эллипсы,

гиперболы и параболы, а также их частные и вырожденные случаи. Два первых вида называют

центральными кривыми. Параболы – не центральные. Можно доказать (это будет сделано

позже), что этими тремя видами исчерпываются все кривые второго порядка. Из примера §8 видно, что слагаемые 1 – ой степени в уравнении кривой (§6) влияют только на параллельный перенос кривых. В дальнейшем будет доказано, что слагаемое 2Вху определяет поворот

кривой вокруг начала координат.

§12. Аналитическая геометрия в пространстве.

Поверхности в пространстве задаются либо уравнением с тремя переменными:

либо в параметрической форме:

Линии в пространстве задаются пересечением двух поверхностей, или параметрически:

т.е.

При решении задач в пространстве особенно важно знать геометрический смысл параметров, входящих в уравнения.

§13. Плоскость в пространстве.

Определение. Плоскостью называется геометрическое место концов векторов, имеющих общее начало и ортогональных данному ненулевому вектору, называемому нормальным вектором плоскости.

Для вывода уравнения плоскости Р зафиксируем т. и нормальный вектор

(рис.8).Тогда . Отсюда получаем:

уравнение плоскости, проходящей через

т. и ортогональной вектору .

Если раскрыть скобки и обозначить , то получим общее уравнение плоскости:

Замечание. И в общем уравнение плоскости коэффициенты А, В и С являются координатами

вектора нормали.

§14. Специальные случаи уравнения плоскости.

Уравнение плоскости, проходящей через три точки.

Пусть тт. Необходимым и достаточным условием принадлежности т. М той же плоскости является компланарность векторов В свою очередь, условие компланарности (гл.I,§11,св.2) приводит к следующему уравнению:

Уравнение плоскости в отрезках.

Возьмем в качестве предыдущих точек точки пересечения с осями координат:

c Уравнение плоскости примет вид:

• М0

b y

х рис.8

§15. Основные задачи, связанные с плоскостью.

Условия параллельности, перпендикулярности, угол между плоскостями.

Даны две плоскости:

Все перечисленные условия следуют из геометрического смысла коэффициентов (§13).

Расстояние от точки до плоскости.

Вычисляется так же, как в случае прямой на плоскости (§5). Пусть произвольная точка пространства. Расстояние от точки до плоскости равно модулю проекции

После простых преобразований получим

(#) III. Связка и пучок плоскостей.

Определение1. Множество плоскостей, проходящих через единственную общую точку М0 , называется связкой плоскостей с центром в т. М0 ( Обозначение S(M0)).

Рассмотрим три плоскости, принадлежащие S(M0):

……………………..(*)

Теорема. Уравнение описывает связку плоскостей с центром в данной точке.

{Нужно доказать 2 утверждения: 1) 2) .

Так как все слагаемые Q равны нулю в т. М0 , то и Q = 0 в этой точке.
Так как СЛАУ (*) имеет единственное решение (x0,y0,z0), то из правила Крамера следует,

что определитель системы отличен от нуля, т.е. векторы линейно независимы и

. Значение D = D* , т.к. все плоскости проходят через т. М0 }

Определение2. . Множество плоскостей, проходящих через общую прямую – ось плоскостей,

называется пучком плоскостей.

Теорема. Уравнение пучка плоскостей имеет вид:

, при условии

§16. Прямая в пространстве.

Наиболее простым заданием прямой в пространстве является ее задание, как линии пересечения двух плоскостей: .

(Естественно предполагать, что плоскости не совпадают и не параллельны)

Однако, такое задание имеет большой недостаток: оно не содержит в явном виде ни одной геометрической характеристики прямой. Удобнее пользоваться каноническим уравнением прямой, в котором она определяется как геометрическое место концов векторов, имеющих общее начало и коллинеарных данному ненулевому вектору направляющему вектору прямой.

Если обозначить любую фиксированную точку прямой через М0 , а направляющий вектор , то для произвольной точки прямой М получим соотношение:

каноническое уравнение прямой в пространстве. (См. §4,п.III)

Замечание. На самом деле, каноническое уравнение представляет собой систему двух линейных уравнений с тремя переменными, т.е. линию пересечения двух плоскостей. Но, во – первых, это

особые плоскости (параллельные координатным осям) и, во – вторых, в записи системы геометрические характеристики прямой фигурируют в явном виде.

Пример. Перейти к каноническому заданию:

{Положим z = 0. Тогда x =2, y = 1; . Отсюда: }

От канонического уравнения легко перейти к параметрическому заданию. Приравняем полученную пропорцию к новой переменной и выразим через нее переменные x, y и z:

Пример. Найти точку пересечения прямой с плоскостью x – y +2z – 11 = 0.

{x = 1 + 2t, y = 3t, z = 2 + t 7t 14 = 0 t = 2 (5, 6, 0) }

Уравнение прямой через две точки можно написать, взяв в качестве направляющего вектора вектор :

(#) В некоторых задачах удобно пользоваться векторным представлением прямой. В этом случае прямая задается радиус – вектором (§1) текущей точки прямой.

(рис.9)

Здесь :

M r0 радиус – вектор т. М0

M0 l = (p, q, r) направляющий вектор прямой.

рис.9

§17. Основные задачи.

Две задачи, связанные с прямой были уже рассмотрены на примерах в предыдущем параграфе.

Задачи, связанные с вычислением углов между прямыми, прямой и плоскостью, включая условия ортогональности и параллельности, решаются с использованием направляющих векторов прямых и нормальных векторов плоскостей. Так, например, синус угла между прямой и плоскостью будет равен модулю косинусу угла между соответствующими направляющим и нормальным векторами:

Условия ортогональности и параллельности прямой и плоскости записываются следующим образом:

Рассмотрим две прямые с направляющими векторами и проходящие через точки М1 и М2 соответственно. Прямые могут пересекаться, быть параллельными или скрещиваться. В двух первых случаях смешанное произведение Если же прямые скрещиваются, то

Оба условия являются необходимыми и достаточными. Так как расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между параллельными плоскостями, в которых они лежат, то оно может быть найдено по формуле объем параллелепипеда

деленный на площадь основания.

Пример. Как расположены прямые и ?

Если они пересекаются – найти общую точку. Если нет – расстояние между ними.

{прямые скрещиваются.

}

§18. Поверхности в пространстве.

Общая постановка задач в пространстве была дана в §12. Рассмотрим сейчас несколько специальных задач.

Цилиндрические поверхности.

Рассмотрим уравнение с двумя переменными в пространстве : F(x,y) = 0. На плоскости XOY

оно описывает некоторую кривую. В пространстве каждой точке (x*,y*) этой кривой будет соответствовать прямая , т.е. прямая, проходящая через точку (x*,y*,0) и параллельная оси OZ. Поверхность, образованная множеством всех таких прямых, называется цилиндром с направляющей F(x,y) = 0 в плоскости XOY и образующей параллельной оси OZ.

Аналогично рассматриваются цилиндры, образующие которых параллельны другим координатным осям: F(x, z) = 0 и F(y, z) = 0.

Замечание. Естественно, существуют наклонные цилиндры, в уравнения которых входят все переменные в явном виде. Однако, должен существовать такой поворот системы координат, после которого одна из переменных будет отсутствовать в записи уравнения.

Примеры. 1) прямой круговой цилиндр радиуса r и осью OZ.

2) эллиптический цилиндр с образующей, параллельной оси OY.

3) у2 = 8z параболический цилиндр с образующей, параллельной оси OХ.

§19. Поверхность вращения.

В этом параграфе будут рассмотрены поверхности, образованные вращением плоской кривой вокруг одной из координатных осей. Для определенности, возьмем кривую F(y, z) = 0 в плоскости YOZ и ось вращения ОZ . Зафиксируем произвольное значение z* и выразим из уравнения F(y, z*) = 0 соответствующее значение у = f(z*). При вращении, в плоскости z = z* получится окружность

x2 + y2 = f 2(z*). Уравнение самой поверхности вращения будет иметь вид x2 + y2 = f 2(z) (рис.10).

Необходимо отметить, что аналитическое решение уравнения

z F(y, z*) = 0 относительно у совсем не обязательно, тем более,

F(y, z) = 0 что оно может быть достаточно трудоемким, либо невозможным.

Поэтому, уравнение поверхности вращения в данном случае

записывается следующим образом:

рис.10

Правило записи уравнения поверхности вращения плоской кривой вокруг координатной оси: Поверхность вращения плоской кривой вокруг координатной оси может быть получена заменой второй переменной в уравнении кривой на квадратный корень из суммы квадратов этой и отсутствующей переменных (в рассмотренном случае ).

Пример. Написать уравнения поверхностей, полученных в результате вращения кривой у2 = 6х вокруг осей ОХ и OY. {

}

Замечание. Если в уравнении некоторой поверхности две переменные присутствуют только

в связке как сумма квадратов, то эта поверхность является поверхностью вращения вокруг координатной оси третьей переменной.

§20. Проекция линии пересечения двух поверхностей на координатную плоскость.

Одной из важнейших задач исследования взаимного расположения двух поверхностей является определение линии их пересечения. Формально, линия пересечения записывается как система двух уравнений с тремя переменными (см. §12 и §16): . Для анализа линии пересечения исключим в данной системе одну из переменных, например z. В результате получится одно уравнение с двумя неизвестными: f(x,y) = 0, которое можно воспринимать как кривую на плоскости XOY. Любой точке этой кривой (x*,y*) , будет соответствовать некоторое

значение z*, при котором точка (x*,y*, z*) принадлежит линии пересечения поверхностей. Следовательно, прямая параллельная оси OZ, проходящая через точку линии пересечения поверхностей, на плоскости XOY пересекает кривую f(x,y) = 0. Множество таких прямых образуют цилиндр с направляющей f(x,y) = 0 в плоскости XOY и образующей параллельной оси OZ (§18). Таким образом, доказано следующее утверждение:

Если исключить одну из переменных из уравнений двух поверхностей, то получится уравнение проекции линии пересечения этих поверхностей на координатную плоскость двух оставшихся переменных.

Пример. Найти проекцию линии пересечения поверхностей и на

плоскость YOZ. {Исключим х: гипербола. Из уравнения первой поверхности (круговой цилиндр) следует, что верхняя ветвь, }

§21. Поверхности второго порядка. Исследование методом сечений.

Общий вид алгебраической поверхности второго порядка представляет собой многочлен второй степени относительно трех переменных:

Одним из наиболее продуктивных методов изучения поверхностей в пространстве является метод сечений. Он заключается в исследовании кривых, получающихся в сечениях поверхности плоскостями, параллельными координатным. Для этого достаточно зафиксировать одну из переменных в уравнении поверхности и получить, тем самым, уравнение кривой в плоскости, параллельной двум другим координатным осям. Этот метод будет использован в последующих параграфах при исследовании поверхностей второго порядка. При этом будут рассматриваться только уравнения, непосредственно сводящиеся к каноническим.

§22. Эллипсоид.

Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением , коэффициенты А, В и С числа одного знака, а L имеет знак им противоположный.

При этих условиях уравнение эллипсоида может быть написано в каноническом виде:

где .

Для определения формы эллипсоида применим метод сечений. Пусть z = h фиксировано.

Сечение эллипсоида плоскостью z = h будет иметь вид эллипс с данными полуосями. Отсюда следуют несколько выводов:

1) ; при h = c эллипс вырождается в точку.

2) Наибольшие полуоси эллипс будет иметь при h = 0.

3) Аналогичная картина будет иметь место в сечениях

x = h или y = h. (рис.11)

рис.11

Как и в случае эллипса, числа a, b и c называются полуосями эллипсоида. Если они все разные, то эллипсоид называется трехосным. Если две полуоси равны друг другу, то мы получим эллипсоид вращения (§19). В случае равенства всех полуосей – имеем сферу: .

§23. Гиперболоиды и конус.

Гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением , где коэффициенты А, В и С числа разных знаков, а L – отлично от нуля. Для определенности будем считать, что А и В больше нуля, а

С – меньше нуля: A > 0, B > 0, C < 0. В зависимости от знака L имеем два типа гиперболоидов.

I. L < 0. После стандартных преобразований (§22) получим уравнение: .

Снова воспользуемся методом сечений.

Плоскости z = h поверхность пересекает по эллипсам .

С увеличением h ( или z) полуоси эллипса увеличиваются. Минимальные полуоси будут при

h = 0 , т.е. в плоскости ХОY.

В плоскостях x = h (или y = h ) получаются гиперболы . (рис.12а)

При h < a или h > a (для y h < b или h > b ) гиперболы ориентированы противоположно.

При h = a (h = b) сечениями являются прямые. Это свидетельствует о наличии у однополосного гиперболоида прямолинейных образующих.

При a = b имеем гиперболоид вращения.

Поверхность, описываемая уравнением называется однополосный гиперболоид.

Пример. Доказать, что т. (5,4,2) принадлежит гиперболоиду и найти прямолинейные образующие, проходящие через эту точку. {1)1+11=1;2) l:x=pt+5,y=qt+4,z=rt+2

Подставим в уравнение: приравняем коэффициенты нулю и положим r = 1 и вторая образующая

}

II. L > 0. В этом случае уравнение будет иметь вид: .

При z = h имеем , откуда сразу следует ограничение на h и, тем самым, на величину z: . В сечениях, как и в предыдущем случае будут эллипсы. При z = ±1 эллипсы вырождаются в точки (0,0,±1).

При x = h или y = h в сечениях опять получатся гиперболы, но в отличие от однополостного гиперболоида не меняющие ориентацию в зависимости от величины h (рис.12б).

При a = b получим гиперболоид вращения.

Поверхность называется двуполостным гиперболоидом.

Пусть теперь при тех же ограничениях на А, В и С L = 0. Уравнение примет вид:

Сечения плоскостями z = h опять будут эллипсами с увеличивающимися полуосями при возрастании модуля z, а в сечениях x = h или y = h пересекающиеся прямые (рис.12в).

Такие поверхности называются коническими или конусами.

§24. Параболоиды.

Параболоидом называется поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат

определяется уравнением , где коэффициенты А, В и K не равны нулю.

Возможны два случая: AB > 0 и AB < 0. Для определенности будем считать A > 0, K < 0.

A > 0, B > 0, K < 0. Уравнение приводится к виду .

В сечениях z = h (h > 0) получаем эллипсы , полуоси которых растут с ростом h.

В сечениях x = h и y = h параболы и (рис.13а).

Поверхность называется эллиптическим параболоидом.

z z

y y

рис.13а рис.13б

II. A > 0, B < 0, K < 0. Уравнение имеет вид: гиперболический параболоид.

В сечениях z = h получаются гиперболы, ориентация которых меняется при изменении знака h.

В сечениях x = h и y = h параболы, имеющие противоположное направление ветвей (рис.13б).

Позднее, при изучении общих свойств линейных пространств, будет доказано, что никаких других поверхностей второго порядка не существует. Возможны только некоторые частные и вырожденные случаи. Любое уравнение второго порядка от трех переменных приводится к одному из рассмотренных типов.

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ