Алгебра высказываний

Практическое занятие №1

1 Наименование работы: Алгебра высказываний.

2 Цель работы: Научиться составлять и читать высказывания.

3 Подготовка к занятию: Повторите тему: Высказывания простые и составные.

4 Литература:

4.1 Конспект лекций по учебной дисциплине «Элементы математической логики»

4.2 Приложение к ПЗ №1

5 Перечень необходимого оборудования и материалов:

5.1 Бланк для отчета.

5.2 Канцелярские принадлежности.

6 Задание на занятие:

Основная часть

6.1 Определите, являются ли приведенные ниже предложения высказываниями. Объясните почему. В высказываниях определите истинностные значения:

1) Кто вы?

2) Прочтите эту главу до следующего занятия.

3) Это утверждение ложно.

4) Который час?

5) Целое число 1 есть наименьшее положительное целое число.

6) Если x = 3, то x2 = 6

7) Берегись автомобиля!

8) Новороссийск - южный город России.

9) Все четные числа делятся на 2.

10) Загрузите пакеты в машину.

11) Москва - столица Франции.

6.2 Пусть P, Q, R обозначают следующие высказывания:

P: Путешествие на Марс является дорогостоящим.

Q: Я совершу путешествие на Марс.

R: У меня есть деньги.

Запишите в символической форме такие высказывания:

a) У меня нет денег, и я не совершу путешествие на Марс.

b) У меня нет денег, и путешествие на Марс является дорогостоящим, или я совершу путешествие на Марс.

c) Неверно, что у меня есть деньги, и я полечу на Марс.

d) Путешествие на Марс не является дорогостоящим и я полечу на Марс, или путешествие на Марс является дорогостоящим, и я не полечу на Марс.

6.3 Пусть P, Q, R обозначают следующие высказывания:

P: Эта игра очень трудна.

Q: Я играю в шахматы.

R: Игра в шахматы требует затрат времени.

Интерпретируйте следующие выражения как обычные высказывания:

а) QR

б)

в) (P R) Q

г) P Q R

6.4 Преобразуйте следующие высказывания к виду: «Если P, то Q»

a) Он кентавр, только если он имеет шесть ног.

b) Чтобы быть преуспевающим политиком, нужно быть избранным.

c) Достаточно иметь деньги, чтобы быть популярным.

6.5 Приведите в качестве примеров 7 составных высказываний. Введите буквенные обозначения и запишите высказывания в символьной форме.

Вариативная часть:

6.6 Пусть P,Q,R – высказывания:

P: Я умираю от жажды;

Q: Мой стакан пуст;

R: Сейчас 3 часа.

Интерпретируйте следующие выражения как обычные высказывания:

а)

б)

в)

г)

д)

6.7 Укажите, какие из следующих предложений являются высказываниями, определите, истинны они или ложны.

а) Все треугольники равнобедренные.

б) Вы были вчера в кино?

в) Она играет в шахматы.

6.8 Для каждого из следующих высказываний найдите символическую форму. Воспользуйтесь буквенными обозначениями:

X – «Джо умен»

Y – «Джим глуп»

Z – «Джо получит приз»

а) Если Джо умен, а Джим глуп, то Джо получит приз.

b) Джо получит приз в том и только в том случае, если он умен, или если Джим глуп.

c) Если Джим глуп, а Джо не удается получить приз, то Джо не умен.

6.9 Пусть P, Q, R обозначают следующие высказывания:

P: Он купит компьютер.

Q: Он будет праздновать всю ночь.

R: Он выиграет в лотерею.

S: Он читает комиксы.

T: Он любит научную фантастику.

U: Он – ученый – информатик.

Интерпретируйте следующие выражения как обычные высказывания:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

6.10 Пусть P, Q, R обозначают следующие высказывания:

P: Он удачлив.

Q: Он популярен.

R: Он богат.

Интерпретируйте следующие выражения как обычные высказывания:

а)

б)

в)

г) .

7 Порядок выполнения работы:

Выполните практическую работу в соответствии с заданиями (основная часть п.п. 6.1 – 6.5) и сдайте зачет. В случае получения зачета, выполните вариативную часть (п.п.6.6 – 6.10).

8 Содержание отчета:

Решения задач в соответствии с заданием.

9 Контрольные вопросы:

1 Что называется высказыванием?

2 Приведите примеры, отличные от примеров конспекта лекций и приложения к ПЗ №1, повествовательных предложений, не являющихся высказываниями.

3 Как обозначаются высказывания?

4 Что используется в русском языке для построения составных высказываний из простых?

5 Что имеет значение в алгебре высказываний: смысловое значение или истинностное значение?

6 Как обозначаются и читаются логические связки: отрицание, конъюнкция, импликация, эквиваленция (эквивалентность)?

Приложение к практическому занятию по ЭМЛ № 1

Высказывания. Понятия. Простые высказывания

Математическая логика – это анализ методом рассуждений, при этом в первую очередь исследуются формы рассуждений, а не их содержание, т.е. математическая логика исследует соотношения между основными понятиями математики, на базе которых доказываются математические утверждения. Простейшую из формальных логических теорий называют алгеброй высказываний.

Высказыванием называется повествовательное предложение, о котором в данной ситуации можно сказать, что оно истинно или ложно, но не то и другое одновременно. Высказывания будем обозначать прописными буквами латинского алфавита A, B, C…, P, Q…, X,Y, Z.

Рассмотрим примеры.

1) Волга впадает в Каспийское море.

2) Два меньше трех.

3) «2 2 = 4».

4) «5<6».

5) Река Дон в 2002 году н.э. впадала в Каспийское море.

6) «x<2, xR». (Вещественное число меньше чем два).

7) Площадь отрезка меньше длины куба.

8) Является ли x=3 корнем уравнения x2 - 5x = 0?

9) Меньше один в является два при.

10) Слава российским студентам!

11) 3 5

В приведенных примерах высказываниями являются 1), 2), 3), 4), 5), 11).

Причём, 1), 2), 3), 4) – истинные высказывания, а 5) и 11) – ложные.

Пример 7) – это пример связного повествовательного предложения, которое не является высказыванием, так как о нем нельзя сказать, истина оно или ложь (из-за отсутствия какого-либо смысла).

8) и 10) не являются высказываниями, так как не являются повествовательными предложениями.

9) не является высказыванием, несмотря на его повествовательность (в конце стоит точка), по причине его несвязности, а значит, и отсутствия смысла.

Предложение примера 6) не является высказыванием, несмотря на свою повествовательность, связность и осмысленность. В нем содержится переменная, и из-за ее присутствия это предложение обладает свойством превращаться в высказывание при фиксации значения этой переменной. Если через P(x) обозначить предложение примера 6, то P(-1) – истинное высказывание, P(3) – ложное высказывание. Ясно, что объекты такого типа являются обобщением понятия высказывания. К изучению этих объектов мы приступим позже.

В дальнейшем нас будет интересовать не то, о чем идет речь в высказывании (его содержательная часть), а лишь какое значение истинности («истина», «ложь») оно имеет. В алгебре высказываний все высказывания, имеющие одинаковые значения истинности, взаимно заменяемы.

Составные высказывания

В русском языке (как и в любом другом) из простых связных повествовательных предложений с помощью некоторых стандартных связок (конструкций) можно образовывать новые (составные) повествовательные предложения.

Поставим в соответствие высказыванию логическую переменную x, которая принимает значение 1, если высказывание истинно, и 0 если высказывание ложно.

Составные высказывания будем получать из простых с помощью логических операций: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность, которые осуществляются при помощи логических связок: , , , , .

Название	Прочтение	Обозначение
Отрицание	не	, ,
Конъюнкция	и	, или знак может быть опущен
Дизъюнкция	или
Импликация	если…то
Эквивалентность	тогда и только тогда, когда	~

Пример. Пусть А, В обозначают следующие высказывания:

A: «Солнце светит», В: «Трава зеленеет». Тогда

1. можно интерпретировать как «Солнце светит, и трава зеленеет».
2. «Солнце светит, или трава зеленеет».
3. «Солнце светит, но трава не зеленеет».
4. «Если солнце светит, то трава зеленеет».
5. «Трава не зеленеет, тогда и только тогда, когда солнце не светит».

Работу составила преподаватель Т.С. Пронина

Алгебра высказываний