Совместная деятельность учителя и учащихся при формировании вычислительных навыков

ВВЕДЕНИЕ

Начальная школа в нашей стране давно уже перестала быть замкнутым звеном в системе образования. Естественно поэтому, что обучение математике в 1 – 4 классах должно рассматриваться лишь как начальная ступень в овладении школьным курсом математики в целом. Поэтому, работая в начальных классах, необходимо учитывать те общие задачи, которые преследует обучение математике в средней школе, и правильно оценивать роль начального обучения в решении этих задач.

Многие вопросы, относящиеся к программе математики для средней школы, должны быть усвоены уже в начальных классах в такой форме и так прочно, чтобы они стали достоянием учащихся на всю жизнь, другие же вводятся на начальной ступени обучения только в целях подготовки к основательному их рассмотрению в следующих классах или чтобы получить возможность повысить уровень осознанности в процессе формирования тех или иных умений и навыков.

Эти соображения необходимо учитывать, когда речь идёт о том, что в начальных классах школы дети должны прочно овладеть определённым, намеченным в программе кругом знаний, умений и навыков в области математики.

Одной из важнейших задач начального обучения всегда было и остаётся формирование прочных (во многих случаях доведённых до автоматизма) навыков вычислений.

К таким задачам относиться прочное усвоение таблицы умножения и деления.

В связи с этим очевидна актуальность темы.

Цель исследования: поиск эффективных путей формирования вычислительных навыков умножения и деления.

Объект исследования: совместная деятельность учителя и учащихся при формировании вычислительных навыков.

Предмет исследования: эффективные методические приёмы формирования вычислительных навыков табличного умножения и деления у учащихся младших классов.

Гипотеза исследования: использование различных видов работы и умелое их сочетание в процессе обучения табличному умножению и делению способствуют наиболее эффективному формированию вычислительных навыков.

Цели и предмет исследования определили постановку следующих задач:

-изучить историческую, психолого-педагогическую и научно методическую литературу по теме исследования;

- проанализировать программу и учебник по теме исследования;

- определить методические пути повышения эффективности работы при формировании вычислительных навыков табличного умножения и деления;

- разработать систему упражнений по данной теме;

- разработка дидактического и наглядного материала;

- экспериментально проверить разработанную систему.

При решении поставленных задач нами были выбраны следующие методы исследования:

- изучение и анализ психолого-педагогической и научно-методической литературы;

- анализ программы и учебника по теме исследования;

- педагогический эксперимент;

- статистическая обработка данных.

Новизна исследования заключается в подборе различных заданий современных методистов с опорой на программу Республики Казахстан.

Практическая значимость:

- разработка уровней сформированности вычислительных навыков табличного умножения и деления;

- разработка системы упражнений для формирования вычислительных навыков табличного умножения и деления;

- определение истинности нашей гипотезы.

Экспериментальная база: 3 класс Усть-Каменогорской школы – детского сада №14 для детей с нарушением зрения.

1 ИЗ ИСТОРИИ РАЗВИТИЯ АРИФМЕТИКИ

Математика, как и все другие науки, возникла из потребностей практической деятельности людей. На очень ранней ступени развития у человека возникла необходимость подсчитывать количество добычи или урожая, измерять земельные участки, определять вместимость сосудов, вести счёт времени. Для удовлетворения этих практических потребностей возникли примитивные способы счёта и измерения, т.е. начала арифметики и геометрии.

При дальнейшем развитии общества усложнялась практическая деятельность человека, а вместе с ней росли потребности в усовершенствованных приёмах счёта и измерения.

1.1 Устные вычисления

Искусство письма является достоянием человека, стоящего на сравнительно высокой ступени развития. У народов, не достигших ещё такого развития, устный счёт и устное выполнение операций над числами играли большую роль, чем у того же народа на более высокой ступени культуры. Об этом свидетельствуют нам и памятники по истории математики. Ученику древнеегипетской школы делается внушение: «Когда ты считаешь в уме, не пророни ни слова!» Источник, в котором даётся эта фраза, относиться к эпохе около 1300г. до нашей эры.

Индийская национальная школа до сих пор культивирует устные вычисления в такой мере, что достигает результатов, которые приводят а удивление европейцев.

И у народов более высокой культуры устные вычисления занимают по методическим соображениям важное место при обучении. Так, например, Аристотель подчёркивает значение их в следующих словах (Топика VIII): «Подобно тому, как в геометрии необходимы упражнения в «началах», способность к устным вычислениям имеет громадное значение в обращении с числами для выполнения умножения прочих (по нашему нетабличных) чисел».

Комментатор Аристотеля Александр Афродизский (около 200г. н.э.) разъясняет: «Устными вычислениями называет Аристотель умножение чисел в пределах 10. Усвоение их устраняет необходимость заучивания больших соответственных чисел; так, из «дважды четыре» следует «20х2=40», «20х20=400» и «200х20=4000». Диофант (III и IV вв. н.э.) советует начинающим «крепко внедрить сложение, вычитание и умножение чисел».

Методические упражнения в своём учебнике, для устных вычислений, впервые даёт Тарталья (1499 – 1557гг.) в своём руководстве, представляющем энциклопедию теоретической и практической математики своего времени. Тарталья предпосылает в своём руководстве разделу об арифметических действиях целую серию упражнений на усвоение таблиц сложения, вычитания, умножения и деления, требуя, например заучивания таблицы умножения чисел до 40 на 40 и выполнения умножения чисел в этих пределах устно. В середине XVIII века для устных упражнений начинают выделять особые уроки в школе.

В «Арифметике» Магницкого (1703г.) нет специальных разделов упражнений для устных вычислений, но неоднократно подчёркивается значение усвоения таблиц результатов элементарных действий, над небольшими числами, что делалось, очевидно, для облегчения устных расчётов.

1.2 Арифметические таблицы

Для облегчения вычислений как устных, так и письменных, служили готовые таблицы результатов разных действий над числами. История таких таблиц имеет начало в очень глубокой древности.

По крайней мере 3000 лет до нашей эры у народов древнего Вавилона имелись в обращении разнообразные арифметические таблицы, известные теперь в большом количестве. Среди них имеются таблицы умножения в пределах 60, таблицы квадратов последовательных чисел, таблицы деления (выражения частных в шестидесятеричных дробях), таблицы для решения задач на процентные вычисления и т.п.

Вычислениями занимались не только те, «кому на сиё должность есть», т.е. те, кто этим себе зарабатывали хлеб, но и знать, вплоть до короля Ашурбанипала (668 – 626 гг. до н.э.), который заявляет: «Я совершаю запутаннейшие деления и умножения, которые едва выполнимы; я считаю хитроумные таблички на тёмном шумерском языке, которые трудно передаваемы на разговорном наречии». Иероглифы мёртвого и забытого уже населением шумерского языка, обозначавшие арифметические операции, употреблялись среди числовых и текстовых символов разговорного языка и составляли первые математические символы, содействуя зарождению в Вавилоне символической математики задолго до её возникновения в других странах.

В учебнике арифметики армянского математика Анании из Ширака (VII век н.э.) в начале книги даются таблицы сложения, вычитания, умножения и деления чисел. Это самые древние, дошедшие до нас, таблицы этого рода в руководстве.

1.3 Таблицы умножения

Таблицы умножения, которая была у шумеров, мы у египтян не находим. Умножение чисел они делали устно, удвоением. Греки и римляне имели такие таблицы, хотя греческие таблицы умножения до нас не дошли. Это объясняется тем, что они считались элементарными пособиями, которые каждый должен был усваивать в школе, и которым не было места в дошедших до нас научных трактатах.

Только около 100г. н.э. Никомах Геразский считает возможным и нужным поместить таблицу умножения в своём «Введении в арифметику», но делает он это не в учебных целях, а для того, чтобы воспользоваться числовыми последовательностями для своих теоретических рассуждений. Замечания по поводу этой таблицы профессора М.Я.Выгодского в книге «Арифметика и алгебра в древнем мире» [I-11,с.15] не мешают эту таблицу называть таблицей умножения, так как всякая таблица умножения, помимо своей прямой задачи, может быть использована и в других целях, в том числе и тех, в которых использует таблицу Никомах.

Никомах свою таблицу располагает, идущую до 10x10, в виде квадрата, в первой строке и в первом столбце которого расположены записи чисел 1,2,3,4,5,…,10, а в клетках скрещивания строк и столбцов произведения. В таком же виде даёт таблицу умножения Боэций (480 – 520 г.г.). Однако многие последующие авторы до XV века располагают таблицу ещё строками, загромождая её словами: «один раз», «дважды», «трижды» и так далее.

Древнейшие европейские рукописные руководства по арифметике дают таблицу умножения иногда и без словесных добавлений в форме прямоугольника, как это делается и в настоящее время на обложках наших ученических тетрадей: числа от 1 до 10 умножаются по порядку на 1, на 2, на 3 и так далее до умножения на 10. Каждое произведение при этом, получается по два раза: например, в одной строке 7x8=56, в следующей строке 8x7=56.

Такая таблица в школе часто называется пифагоровой. Последнее название объясняется следующим образом. Анонимная рукопись геометрии XII века, ошибочно приписывается Боэцию, содержала изображение счётной доски (абака), называя её «пифагоровым столиком». Печатное издание этой рукописи (1496г.) сохранило это название, но заменило абак таблицей умножения. Отсюда название «пифагорова таблица» переписывалось в других руководствах, принято школой при изучении арифметики, где и держится до сих пор. Никакого отношения Пифагор к этой форме таблицы умножения не имеет, хотя он, конечно, мог писать таблицу умножения в таком виде. Стараясь избежать без надобности повторения произведений, последующие авторы придавали таблице треугольную форму. Первый случай построения таблицы умножения в виде треугольника встречается в рукописи 1168 года; затем такую таблицу приводят Шюке (1484г.) и Видман (1489г.).

В таблицу умножения у Шюке в первом столбце, вне рамки треугольника, расположены множители. Верхняя строка каждой полосы содержит множимые; под каждым из них записано произведение. Так, например, вторая полоса даёт 2x2=4, 2x3=6 и так далее; третья полоса: 3x3=9, 3x4=12 и так далее; четвёртая полоса: 4х4=16; пятая полоса: 5х5=25; шестая полоса 6х6=36. Таким образом, каждая полоса сокращается по сравнению с предыдущей на одно умножении.

Таблица умножения Шюке

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

2 3 4 5 6 7 8 9 0

2 4 6 8 10 12 14 16 18 0

3 4 5 6 7 8 9 0

3 9 12 15 18 21 24 27 0

4 5 6 7 8 9 0

4 16 20 24 28 32 36 0

5 6 7 8 9 0

5 25 30 35 40 45 0

6 7 8 9 0

6 36 42 48 54 0

7 8 9 0

7 49 56 63 0

8 9 0

8 64 72 0

9 0

9 81 0

0

0 0

У Видмана таблице придана более компактная форма, чем у Шюке. Пусть надо найти 4x7. По столбцу, над которым расположен на правом краю вне сетки фигуры меньший сомножитель 4, спускаемся до строки, в левом конце которой находим больший сомножитель 7. Искомое произведение найдётся в клетке, в которой встречаются столбец и строка, соответствующие сомножителям.

Таблица умножения у Видмана (1489г.)

1 2

2 4 3

3 6 9 4

4 8 12 16 5

5 10 15 20 25 6

6 12 18 24 30 36 7

7 14 21 28 35 42 49 8

8 16 24 32 40 48 56 64 9

9 18 27 36 45 54 63 72 81

В разных других старых руководствах по арифметике можно найти ещё иные способы оформления таблицы умножения. Поскольку этим занимались упорно на протяжении столетий, можно сделать заключение, что усвоение таблицы умножения составляло для человека большой труд.

Л.Магницкий в своей «Арифметике» даёт таблицу умножения в более целесообразной простой форме:

Таблица умножения Магницкого

2 4

3 6 3 9

4 8 4 12

5 10 5 15

2 – жды 6 есть 12 3 –жды 6 есть 18

7 14 7 21

8 16 8 24

9 18 9 27

10 20 10 30

и так далее. Каждый следующий столбик таблицы сокращается на одну строку по сравнению с предыдущим, так что в последнем столбике остаются лишь строки:

9 81

9 – тью есть

10 90

Таблица сопровождается стихами:

Аще кто не твердит

Таблицы и гордит,

Не может познати

Числом, что множати

И во всей науки

Небосвод от муки,

Колико не учит

Туне ся удручит,

И в пользу не будет,

Ащё ю забудет.

1.4 Законы арифметических действий

Если содержание курса арифметики в разных странах в разные времена было весьма различно, то применение при вычислениях некоторых законов арифметических действий с древности принимается, как очевидное. Переместительный или коммутативный закон, как свойство сложения и умножения чисел известно с древности. Евклид в 16-м приложении VII книги «Начал» доказывает равенство aхb=bхa, притом совсем без геометрического облачения его, столь обычного для него в первых книгах. Термин коммутативный ввёл Сервуа (1814г.).

Сочетательный или ассоциативный закон сложения и умножения применялся также всеми. Для сложения доказательство его в целях строгого обоснования арифметики вводит Грассман в своём «Учебнике арифметики» (1861г.), представляющем первую попытку научного изложения оснований школьной арифметики. Термин ассоциативный был введён Гамильтоном (1853г.).

Распределительный или дистрибутивный закон умножения доказывает геометрическим методом Евклид в своих «Началах» (книга II) в форме ab+ac+ad…=a(b+c+d+…). Словами Евклид формулирует его так: «Если даны две прямые линии (два отрезка) и одна из них разделена на произвольное число частей, то прямоугольник, построенный на обеих линиях, равен (равновелик) прямоугольникам из неразделённой прямой и отдельных частей другой». Далее Евклид доказывает отдельно, что (a+b)хa=a2 +ab.

1.5 Арифметические символы

До конца XVI века руководства по арифметике не применяют систематически каких-нибудь символов и авторы их не дают себе отчёта в значении их. Заслугой Лейбница является пропаганда этого понимания. Создание международных научных журналов в XVII и XVIII веках выдвинуло вопрос о создании общих интернациональных символов.

Знаки + и – появляются как бы случайно у Видмана (1489г.), Стифеля (1545г.), Ризе (1551г.), производя впечатление, что они не «аборигены» (уроженцы) математика, а «пришельцы из других областей». Первой печатной книгой, содержащей изложение приёмов вычислений с применением знаков + и - , является руководство Грамматеуса (1518г.).

Буквы M и D (Multiplicatio, Divisio) для обозначения умножения и деления употребляет Стевин (1548 – 1620гг.) и некоторые другие авторы. Знак умножения x ввёл Аутрид (1631г.), возможно, по аналогии со знаком + . Запись умножения буквенных выражений без всякого знака между ними была уже у первых авторов алгебры и естественна при употреблении числовых коэффициентов. Точка в качестве знака умножения появляется у Региомонтана (1436 – 1476гг.), затем у Харриота (1631г.). Сознательно и, подчёркивая значение точки, как знака умножения, что делает Лейбниц (1693г.).

Горизонтальная чёрточка в качестве знака деления имеется у Леонардо Пизанского (XIII в.) и позаимствована им от арабов. Знак деления (:) впервые встречается у Джонсона (1633г.). Пелль (1610 – 1685гг.) вводит знак деления : , употребляемый до сих пор нередко в Англии и Америке.

2 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФОРМИРОВАНИЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ НАВЫКОВ ТАБЛИЧНОГО УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ

Усвоение детьми теоретических знаний, в которых раскрывается сам процесс их происхождения, вот смысл специально организуемой развёрнутой учебной деятельности. Это формирует и развивает у младших школьников навыки теоретического мышления, позволяющего решать определённые задачи, ориентируясь на общий принцип их построения. Выделение этого принципа помогает детям овладевать общим способом решения при относительном безошибочном движении мысли от общего к частно-конкретному. Таким образом, усвоение теоретических знаний по средством учебной деятельности – это , прежде всего прослеживание детьми процесса происхождения научных понятий, овладение способами решения отдельных задач.

Для школьной математики число является тем понятием, с которого начинается обучение. Уже в начальных классах учащиеся знакомятся с различными ролями натурального числа. Отвечая на вопрос: «Сколько деревьев изображено на рисунке?», они имеют дело с числом как количественной характеристикой множества предметов. Производя счёт предметов, они оперируют натуральным порядковым числом. В задачах, связанных с измерением величин, число выступает в новой роли – значение величины при выбранной единицы как меры величины. Много внимания уделяется в начальном курсе математики ещё одной роли числа – как компоненту вычислений.

Таким образом, натуральное число многолико и все его стороны должны быть поняты уже учащимися начальных классов. Поэтому важной задачей учителя является овладение теми теориями натурального числа, в которых отражается различная роль натурального числа, в практической деятельности.

2.1 Аксиоматический подход к определению понятий произведения и частного

В математике к определению вычислительных навыков сложения, вычитания, умножения и деления существует два подхода.

Первый подход, рассматривающий вычислительные навыки – это аксиоматический. Его разработал Пиано в XIX веке.

Рассмотрим определение умножения натуральных чисел.

По правилам построения аксиоматической теории определение умножения натуральных чисел можно ввести, опираясь на основные понятия и определения сложения.

Прежде чем это сделать, заметим, что если любое натуральное число a умножить на 1, то получим a, то есть имеет место равенство ах1=а, ели известно, что 6х8=48, то для нахождения произведения 6х9 достаточно к 48 прибавить 6, так как 6х9=6х(8+1)=6х8+6=48+6=54. Таким образом произведение ах(b+1) можно найти, если известно произведение числа а и числа, за которым непосредственно следует b+1: aх(b+1)=aхb+а

Используя введённую символику получаем: aхb’=aхb+a, то есть произведение любого натурального числа а и числа b’, непосредственно следующего за b, равно сумме произведения чисел a и b и числа а.

Эти закономерности положены в основу определения умножения натуральных чисел в аксиоматической теории. Кроме того, в нём используется определение алгебраической операции.

Рассмотрим определение:

Умножением натуральных чисел называется алгебраическая операция, определённая на множестве N натуральных чисел и обладающая свойствами:

1) (VaN) ах1=а

2) (Va, bN) aхb’=aхb+a

Число aхb называется произведением числа aхb, а сами числа a и b – множителями.

Используя определение умножения и таблицу сложения, можно составить таблицу умножения однозначных чисел. Составляется она поэтапно: сначала рассматриваются случаи умножения на единицу, затем – единицы на число, число 2 на число 2, 3 и так далее.

1) 1х1=1, 2х1=2, 3х1=3

2) 1х2=1х1’=1х1+1=1+1=2

3) 2х2’=2х1+2=2+2=4

Примеры заданий из учебников:

1 Вычисли значение произведения 4хd, если d=5, d=6

2 Реши второй пример пары, пользуясь первым:

2х5=10 9х4=36 7х6=42

2х6=? 9х5=? 7х7=?

Рассмотрим аксиоматический подход к определению деления натурального числа.

Частным натуральных чисел a и b называется натуральное число с = а/b, удовлетворяющее условию bхс = а.

Действие, с помощью которого находиться частное чисел а и b, называется делением, число а – делимым, число b – делителем.

Для того, чтобы существовало частное двух натуральных чисел а и b, необходимо, чтобы bа.

Определение деления как операции, обратной умножению, в общем виде не даётся, хотя связь деления с умножением рассматривается при изучении темы «Нахождение неизвестного множителя». На этом этапе происходит обобщение двух смыслов частного, имеющих место при его теоретико-множественной трактовке. Выполняя деление, например, 15 на 3, учащиеся должны подобрать такое число при умножении которого на делитель получиться делимое; таким числом будет 5, так как 5х3=15, значит 15/3=5.

2.2 Теоретико – множественный подход к определению понятий произведения и частного

В начальном курсе математики действия: сложение, вычитание, умножение и деление целых неотрицательных чисел вводиться на основе практических упражнений, связанных с объединением двух (нескольких) множеств предметов (теоретико – множественная терминология и символика при этом не используется).

Рассмотрим понятия действий над целыми неотрицательными числами.

Умножение.

Понятие произведения целых неотрицательных чисел может быть определено по-разному. Рассмотрим сначала подход, в основе которого лежит понятие суммы.

Определение.

Произведением целых неотрицательных чисел а и b называется такое целое неотрицательное число ахb, которое удовлетворяет следующим условиям:

1) aхb=a+a+…+a при b>1

b слагаемых

2) ах1=а при b=1

3) ах0=0 при b=0

Теоретико – множественный смысл этого определения следующий. Если множества А1, А2,…, Аb имеют по а элементов каждое и никакие два из них не пересекаются, то объединение содержит ахb элементов. Следовательно, произведение ахb – это число элементов в объединении в попарно непересекающихся множеств, каждое из которых содержит по а элементов. Равенства ах1=а и ах0=0 принимаются по условию.

Действие, при помощи которого находят произведение чисел а и b, называют умножением; числа, которые умножают, называют множителями.

Произведение любых целых неотрицательных чисел существует, и оно единственно.

С данным определением учащиеся знакомятся в начальных классах. Смысл его раскрывается при решении простых задач.

Рассмотрим, например, такую задачу: «На каждое детское пальто нужно пришить 4 пуговицы. Сколько пуговиц нужно пришить на 6 таких пальто?» Почему она решается при помощи умножения? Потому, что в ней требуется найти число элементов в объединении, состоящем из 6 множеств, в каждом из которых по 4 элемента. Согласно определению это число находиться умножением: 4х6=24 (пуговицы).

Нами определено произведение двух чисел. А как определить произведение нескольких множителей? Рассмотрим.

Пусть произведение двух множителей определено и определено произведение и множителей. Тогда произведение, состоящее из п+1 множителя, т.е. произведение а1ха2х…хапхап+1 равно (а1ха2х…хап)хап+1.

Например, чтобы найти произведение 2х7х5х9 согласно этому определению, надо выполнить последовательно следующие преобразования: 2х7х5х9=(2х7х5)х9=((2х7)5х)х9=(14х5)х9=70х9=630

Деление.

В общем виде частное целого неотрицательного числа а и натурального числа b определяется следующим образом.

Определение.

Пусть а=п(А) и множество А разбито на попарно непересекающиеся равномощные подмножества.

Если b-число подмножеств в разбиении множества А, то частным чисел а и b называется число элементов каждого подмножества.

Если b-число элементов каждого подмножества в разбиении множества А, то частным чисел а и b называется число подмножеств в этом разбиении.

Действие, при помощи которого находят частное а : b, называется делением, число а –делимым, b – делителем.

Часто, чтобы проверить правильность выполнения действия деления, мы обращаемся к умножению. Почему? Очевидно, потому, что действия деления и умножения взаимосвязаны. Но какова эта связь?

Пусть а=п(А) и множество А разбито на b попарно непересекающихся равномощных подмножества А1, А2,…, Аb. Тогда с=а:b есть число элементов в каждом таком подмножестве, т.е. с=а:b=п(А1)=п(А2)=…=п(Аb).Так как по условию А=А1 А2 Аb, то п(А)=п(А1 А2 Аb). Но подмножества А1, А2,…,Аb попарно не пересекаются, значит, по определению суммы п(А1 А2 Аb)=п(А1)+п(А2)+…+п(Аb)=с+с+…+с.

Согласно определению произведения сумма b слагаемых, каждое из которых равно с, есть произведение схb. Таким образом, установлено, что а=схb, т.е. частным чисел а и b является такое число с. Произведение которого и числа b равно а. К такому же выводу мы придём, если частное с=а:b будет числом подмножеств в разбиении множества А.

Таким образом, получаем второе определение частного.

Определение.

Частное целого неотрицательного числа b называется такое целое число (неотрицательное) с=а:b, произведение которого и числа b равно а.

Можно показать и наличие обратной связи, т.е. что из второго определения частного вытекает первое:

а:b=сa=cхb.

Итак, во втором случае частное определено через произведение. Поэтому говорят, что деление есть действие, обратное умножению.

Для того чтобы существовало частное двух натуральных чисел а и b, необходимо, чтобы b<а.

2.3 Психолого – педагогические основы формирования вычислительных навыков

В настоящее время наблюдается усиленный интерес учителей математики к психолого – педагогическим проблемам, к психологическим занятиям. Этот интерес обусловлен тем, что учителя в своей повседневной практической деятельности встречаются с такими проблемами, которые можно решить лишь на основе педагогических знаний.

Известный советский психолог А.Н.Леонтьев обоснованно считал, что «жизненный правдивый подход к воспитанию – это такой подход к отдельным воспитательным задачам, который исходит из требований к человеку, каким должен быть человек в жизни и чем он должен быть для этого вооружения, какими должны быть его знания, его мышление, его чувства и так далее.»

Одной из первоочередных и важных задач школьного курса математики является задача развития мышления учащихся. Обучение математике в формировании мышления играет первостепенную роль. Тем более, что в данное время выдвигается задача формирования у учащихся научно-теоретического мышления, в формировании которого роль математики очень значительна. Поэтому поводу Давыдов пишет: «Решение конкретных задач современного школьного образования, в конечном счёте связано с изменением типа мышления, проектируемого целями, содержанием и методами обучения. Всю систему обучения необходимо переориентировать с формирования у детей рассудочно – эмпирического мышления, на развитие у них современного научно – теоретического мышления».

С помощью мышления человек познаёт окружающий мир. Мышление позволяет человеку выявить в познаваемых объекта не только отдельные свойства и стороны, что возможно установить с помощью чувств, но и отношения из аксиомерности связей и отношений между этими свойствами и сторонами. Тем самым человек с помощью мышления познаёт общие свойства и отношения, выявляет среди этих свойств существенные определяющие характер объектов. Это позволяет предвидеть результаты наблюдаемых событий, явлений и своих собственных действий. Вся эта работа выполняется с помощью мыслительных операций: сравнения, анализа и синтеза, абстракции, обобщения, конкретизации.

Преподавание математики в младших классах включает ознакомление детей со смыслом и правилами выполнения четырёх арифметических действий, а именно умножения и деления.

Возможности и особенности усвоения младшими школьниками какого-либо материала, обычно изучаемого в старших классах, конечно, нельзя отождествлять с общими психологическими характеристиками умственной деятельности старшеклассников. Психологический склад тех и других и особенности самого процесса усвоения одного и того же материала у них различны.

Одна из задач психологического анализа человеческих действий состоит в выяснении их строения. При этом устанавливается, с одной стороны, содержание той ситуации, внутри которой возникает необходимость в определённом преобразовании некоторого положения вещей, с другой – состав операций, реализующих это действие, их ориентировочная основа и средства выполнения.

Успешность осуществления математической деятельности школьника, связана с формированием вычислительных навыков сложения и вычитания, умножения и деления (табличного) является производным определённого сочетания качеств, а именно:

1) активного положительного отношения к математике, интереса к ней, склонность заниматься ею, переходящими на высоком уровне развития в страстную увлечённость;

2) ряда черт, прежде всего трудолюбия, самостоятельности, а так же устойчивых интеллектуальных чувств;

3) наличия во время осуществления деятельности благоприятных для выполнения психических состояний;

4) определённого фонда знаний, умений, навыков в темах «Сложение и вычитание в пределах ста» и «Табличное умножение и деление». Если человек, например, не имеет минимум знаний, умений, навыков по сложению, вычитанию, умножению и делению, он не сможет выполнить данные вычисления, хотя обладает большими математическими способностями;

5) определённых индивидуально-психологических особенностей в умственной сфере, отвечающих требованиям данной деятельности.

Известный советский психолог Л.П. Блонский справедливо указывал, что пустая голова не рассуждает, но, чем больше знаний имеет эта голова, тем более способна она рассуждать. Речь идёт о том, чтобы сам процесс приобретения знаний был активным, творческим и не сводился к простому усвоению информации, исходящей от учителя, чтобы у учащихся самых начальных этапов обучения формировалась способность к самостоятельному приобретению знаний.

Основой обучения должно быть не запоминание учениками информации (хотя это тоже важная задача), которой их в изобилии снабжает учитель, а активное участие самих школьников, в процессе приобретения информации, их самостоятельное мышление, постепенное формирование способности самостоятельно приобретать знания.

Известный советский психолог Л.Г. Выготский сформулировал положение о двух уровнях умственного развития ребёнка. Первый уровень, уровень актуального развития, как его назвал Выготский, - это наличный уровень подготовленности ученика. Он характеризуется тем, какие задания ученик может выполнить вполне самостоятельно. Второй, более высокий уровень, названный Выготским зоной ближайшего развития, означает то, чего ребёнок не может выполнить самостоятельно, но с чем он справляется при небольшой помощи со стороны (наводящие вопросы, подсказки, общие указания и так далее). Подчёркивая ведущую роль обучения для умственного развития, Л.Г. Выготский считал, что обучение должно ориентироваться на зону ближайшего развития, то есть чуть превосходить наличные возможности учащегося.

Активная самостоятельная работа мысли начинается тогда, когда перед человеком возникает проблема, вопрос. Поэтому учителя должны стараться так проводить занятия, чтобы перед школьниками чаще возникали хотя бы несложные проблемы и побуждать детей к попыткам самостоятельно решать проблемы.

2.4 Анализ программы и учебника по теме исследования

Математика в начальных классах является органической частью курса математики основной школы. Этим обусловлена необходимость достижения следующих целей в обучении математике в начальной школе:

- овладение знаниями, умениями и навыками в объёме и уровне, предусмотренными программой;

- формирование личности ребёнка, через содержание курса математики, познавательной и коммуникативной деятельности, а так же готовности к самостоятельному добыванию знаний, труду, к усвоению культурно-исторических ценностей своего народа, нации, в сочетании с достоянием общечеловеческой культуры;

- развитие математического стиля мышления, интеллектуальных и эмоционально-волевых качеств школьников;

- осуществление всесторонней подготовки к обучению в основной школе и использованию математических знаний в жизни.

Из этих целей возникают следующие задачи обучения математике:

-способность становлению личности ребёнка, развитию мышления, формированию интеллектуальной и эмоционально-волевой активности школьников;

- содействовать формированию представлений о математике как науке, обобщающей реально существующие явления и способствующей познанию окружающей действительности;

- сформировать знания, умения и навыки, необходимые ученику в жизни для продолжения обучения в следующем звене школы.

Эти цели и задачи, определённые в соответствии с социальным заказом общества, на современном этапе его развития предполагает разработку нового содержания образования и определения адекватных ему методов и приёмов, средств и организационных форм обучения.

Содержание математического образования неоднородно и относиться к двум разным уровням: обязательному и возможному. К обязательному уровню относится материал, подлежащий прочному усвоению в пределах начальной школы, в частности – освоение детьми табличного умножения и деления.

При обучении приёмам вычислений одновременно рассматриваются действия умножения и деления как взаимообратные действия. Поэтому предусматриваются одновременное обучение выполнению действия и его проверки с помощью использования обратного ему действия, что свидетельствует об укреплении единицы знаний на основе связи между арифметическими действиями.

Прежде чем познакомить детей непосредственно с таблицей умножения и деления, программой предусмотрен предварительный этап: во втором классе учитель знакомит учеников с нахождением сумм одинаковых слагаемых и обратными им действиями, которые выполняются с опорой на наглядность. «Прибавление» и «убавление» два раза из 2, два раза из 3, два раза из 4, два раза из 5, два раза из 6, два раза из 7, два раза из 8, два раза из 9, три раза из 3, три раза из 4, три раза из5, три раза из 6 выполняется в процессе конкретных действий или руководствуясь иллюстрациями. Например, 2 ёлочки дважды изображены на рисунке.

Рисунок 1 Ёлочки

В этом случае делаем записи, отвечая на вопросы: «Сколько игрушек на рисунке?» - 2+2, а «По скольку игрушек можно разделить на двоих ребят?» - 4-2-2, и «Сколько ребят получат по две игрушки?» - 4-2-2. Первый пример показывает, что мы взяли 2 раза по 2, а последние два, что в 4 есть 2 по 2 раза.

В начале I четверти третьего класса на протяжении 22 учебных часов на уроках математики учитель знакомит учеников со смыслом и названием действий умножения и деления и их обозначениями (знаки «х» и «:»). С тем, что умножение и деление (как сложение и вычитание) – взаимообратные действия. Учитель учит детей составлять, читать, записывать и находить значения числового выражения, содержащего одно действие (умножение и деление), знакомит с понятиями: множители, делимое, делитель, произведение и частное, значение произведения и частного, со свойствами умножения.

И только затем, на протяжении 55 учебных часов (конец I и всю II четверти) в теме «Табличное умножение и деление» стабилизируются и закрепляются освоенные учениками знания и навыки об арифметических действиях, о решении задач, относящихся к элементам геометрии и алгебры, эти знания будут более развиты и поднимутся на высшую ступень; осуществится составление и освоение таблицы умножения, а также её использование в соответствующих случаях деления; т.е. системное изучение таблицы умножения и деления.

Основная проблема этой темы – изучить табличное умножение и деление, так как знание наизусть таблицы умножения и достаточное упражнение в использовании её в аналогичных случаях деления является первоусловием в плодотворном усвоении дальнейших вопросов.

Сначала ученики для того, чтобы разобраться в табличном умножении и делении знакомятся с основными видами наглядности, используемой для нахождения соответствующих результатов. А у состоящего из 100 клеток, т.е. из 100 маленьких квадратов большого квадрата будет закрашена или заштрихована некоторая часть.

Нахождение разными способами площади прямого четырёхугольника вне контура и, наоборот, в процессе деления этого прямого четырёхугольника на ряды и столбики составляются взаимозависимые четыре равенства. К примеру. Пусть в полоске первого ряда этого прямого четырёхугольника будет 3 квадрата, а есть два ряда таких полосок. Значит, в полоске первого столбика будет 2 квадрата, если 3 таких столбика. Поэтому

3+3=6, то есть 3х2=6

2+2+2=6, то есть 2х3=6

6-3-3=0, то есть 6:3=2

6-2-2-2=0, то есть 6:2=3

Рисунок 2 Основная наглядность к таблице умножения и деления

Результат 36 произведений таблицы умножения (начиная с примера 2х2, заканчивая примером 9х9) можно определить при помощи вышеприведённого способа. Встаёт вполне закономерный в этом случае вопрос: «Почему 36, а не 64 произведения таблицы умножения изучают дети?» Всё очень просто: ещё с первого класса ученики знают переместительный закон сложения, в третьем классе – переместительное свойство (в начале I четверти) дети учатся применять при умножении чисел, а зная, что 2х3=6 и 3х2=6, от перемены мест множителей, значение произведения не меняется, дети легко справляются с заданиями. Например, изучая таблицу умножения на 6 дети учат, что 7х6=42, тогда при изучении таблицы умножения на 7, случай 6х7=42 они не рассматривают досконально, а только вспоминают, что 7х6=42 и применяют переместительное свойство умножения, из чего следует, что 6х7=42.

Следует отметить, что составляя и изучая таблицу умножения дети должны узнать, что второй множитель всегда остаётся неизменным. Таким образом, таблица умножения, изучаемая в 3 классе выглядит вот так

2х2=4

3х2=6 3х3=9

4х2=8 4х3=12 4х4=16

5х2=10 5х3=15 5х4=20 5х5=25

6х2=12 6х3=18 6х4=24 6х5=30 6х6=36

7х2=14 7х3=21 7х4=32 7х5=35 7х6=42 7х7=49

8х2=16 8х3=24 8х4=32 8х5=40 8х6=48 8х7=56 8х8=64

9х2=18 9х3=27 9х4=36 9х5=45 9х6=54 9х7=62 9х8=72 9х9=81

Для лучшего усвоения детьми действий умножения и деления, учитель использует разнообразные виды работ: решение задач, задания на сравнения, ведётся работа по закреплению понятий «увеличь на…», «увеличь в…», «на сколько больше (меньше)…», «во сколько раз меньше (больше)…».

Задача. Костя купил две банки молока по 3 литра. Сколько всего литров молока он купил? Составь задачи обратные данной и реши их.

Для решения этих задач нужно составить таблицу.

молоко в 1 банке	количество банок	молоко во всех банках
3 литра	2	?
?	2	6 литров
3 литра	?	6 литров

3х2=6 (литров)

6:2=3 (литра)

6:3=2 (банки)

Составление и решение подобных задач способствуют закреплению у детей понятия, что:

1) умножение проверяется делением;

2) деление – действие противоположное умножению.

Задание на сравнение:

2+2+2… 3х2 2х4 …4х2 2+2+2+2 … 4х2

5+5+5 …5х3 5х4 …4х5 2+2+2+2 …2х4

9+9+9 … 9х3 9х5… 5х9 4+4+4+4 …4х4

Аналогичные задания помогают детям понять смысл умножения, и усвоить переместительное свойство умножения.

Сравни

Рисунок 3 Задание на сравнение

Вопросы к ученикам: сколько треугольников? Сколько квадратов? Сколько раз взято по 2 квадрата? На сколько равных частей надо разделить круг, чтобы в каждой части было по 2 треугольника? Сколько раз по 2 содержится в 6? Значит, во сколько раз квадратов меньше, чем треугольников?

Сколько квадратов? А треугольников? Сколько раз взято по 2 квадрата? Сколько раз надо взять по 2, чтобы получить количество треугольников? Сколько раз надо взять по2, чтобы получить 6? Значит, во сколько раз треугольников больше, чем квадратов?

Подобные задания помогают детям усвоить смысл понятий «во сколько раз больше…, чем…», «во сколько раз меньше…, чем…». Что также способствует лучшему усвоению понятий, действий умножения и деления.

Кроме того, упражнения следующего характера, помогают развитию познавательных способностей учащихся в области умножения и деления.

Запиши выражения и вычисли их значения:

увеличь 5 на 2; увеличь 5 в 2 раза;

увеличь 2 на 5; увеличь 2 в 5 раз;

увеличь 3 на 2 единицы; увеличь 3 в 2 раза;

Следующим этапом в изучении детьми табличного умножения и деления идёт: ознакомление детей со способами умножения двух-, трёхзначных чисел, оканчивающихся на 0, на однозначные числа.

Под руководством учителя, с помощью полосок с квадратами ученики раскрывают значение действия 10х3, 30:3.

Рисунок 4 Наглядность к изучению умножения и деления

Что значит 10х3? 10+10+10=30

Почему произведение заменили суммой? Как получили равенство 1 дес.- 3=3 дес.? Тогда, 10х3=30, потому что если по 10 взять 3 раза, получиться 30. 3х10=30.

Что означает 30:3? 3 дес.:3=1дес. Почему частное заменили записью 3дес.:3. Как получилось равенство 3дес.:3=1дес.? Тогда, 30:3=10, потому что 3х10=30, а если по 3 взять 10 раз, то получиться 30. 30:10=3, потому что 10х3=30.

Аналогично разбираются случаи 100х3=300 и 300:3=100. Работа ведётся под руководством учителя.

На закрепление даются задания аналогичные следующим:

1 10х5 100х5 10х8 100х8

5х10 5х100 ….. …..

50:5 500:5 ….. …..

50:10 500:100 ….. …..

2 Найди значения произведений: 9х1; 90х1; 10х4; 100х4. Используя множители, запиши другие произведения и найди их значения. Используя множители и значения произведения, запиши частные и найди их значения.

3 Найди значения частных: 9:1; 9:9; 90:1; 90:90; 40:4; 40:10; 400:4; 400:100. Используя делители и значения частных, запиши произведения и найди их значения.

После того, как дети усвоили смысл действий умножения и деления, понятий «увеличь (уменьши) на…», «увеличь (уменьши) в…», умножение и деление на 1 и на 10, учитель учит детей составлять таблицу умножения и деления, начиная с рассмотрения случаев умножения и деления на число 2, обращая внимание учеников на то, что в таблицах умножения и деления на 2, 3, 4,..,9 второй множитель постоянен, т.е. изменяется значение первого множителя.

Под руководством учителя проводиться работа с рисунком и текстом. Используя рисунки квадратов, результаты умножения (деления) находятся действием сложения.

2х2=2+2 2х2=4

3х2=3+3 3х2=6

4х2=4+4 4х2=8

5х2=5+5 5х2=10

Ученики на своих квадратах показывают произведение чисел 2и2 (2 ряда по 2 квадрата в каждом). Сколько всего квадратов? (4) Как узнали? (2+2) Запишите эту сумму в виде выражения (2х2). Вычислите следующее произведение 3х2. Дети показывают на своих квадратах (два ряда по 3 квадрата). Сколько всего квадратов? (6). Как узнали? (3+3). По аналогии с этим ведётся разбор случаев 4х2, 5х2. Рассмотренная таблица читается по-разному, например: если 3 умножить на 2, то получиться 6; если по 3 взять 2 раза, то получится 6; произведение чисел 3 и 2 равно 6; дважды три – шесть (необходимо объяснить значение слова «дважды», это значит, - два раза).

Используя полученные ранее детьми знания, учитель даёт задания на закрепление:

1) 2х2 3х2 4х2 5х2

20х2 30х2 40х2 50х2

200х2 300х2 400х2 500х2

2) 2х3 2х4 2х2 2х5

2х30 2х40 2х20 2х50

2х300 2х400 2х200 2х500

3) 6:2 8:2 4:2 10:2

60:2 80:2 40:2 100:2

600:2 800:2 400:2 1000:2

6:3 8:4 40:4 10:5

Аналогично даётся выполнить следующие вычисления:

4смх2 2смх2 3смх2 1смх2

40смх2 20смх2 30смх2 10смх2

400смх2 200смх2 300смх2 100смх2

На следующем уроке под руководством учителя продолжается составление таблицы умножения чисел 6, 7, 8, 9 на 2 (аналогично предыдущему уроку) с использованием наглядности.

6х2=6+6 6х6=12

7х2=7+7 7х2=14

8х2=8+8 8х2=16

9х2=9+9 9х2=18

На закрепление и усвоение таблицы умножения и деления на 2 программой РК отводиться 9 часов. Для чего детям предлагаются задания: на сравнение, решение уравнений, решение и составление обратных задач, геометрический материал, составление задач используя таблицы, заполнение таблиц.

Например:

1 Начерти отрезок на 2см короче и в два раза короче данного.

___________________________

2 Найди значения выражений:

14:7 7х2 2х7 14:2

Запиши использованные тобой при этом равенства из таблицы умножения.

3 Заполни таблицу:

Множитель	3	30		4	40		0
Множитель	2	2	2		2	2	2	20
Значение произведения			600	8	80	800		0

4 Реши уравнения:

Хх2=14 14:Х=7 Х:2=7 2хХ=12

5 Сравни:

4х2 … 4х3 6х2 … 3х6 8х2 … 8х3

2х4 … 4х2 2х6 … 2х5 2х8 … 8х2

16:2 … 16:4 12:3 … 12:2 14:2 … 14:7

16:8 … 4:2 12:3 … 8:2 12:2 … 16:2

6 Используя таблицу, составь задачи. Запиши решения в виде выражений и реши их.

Масса одной коробки	Количество коробок	Масса всех коробок
2 кг	2	?
Одинаковые	3	?
	4	?
	Х	?

Следующие 6 часов программой отводятся на составление, заучивание и закрепление таблицы на 3. Под руководством учителя организовывается работа с квадратами и объясняющими записями. Рассмотрение табличных случаев умножения и деления на 3 проводится аналогично числу 2. Здесь же учитель объясняет, почему рассмотрение таблицы начинается со случая 3х3 (используется переместительное свойство).

3х3=3х2+3 3х3=9

4х3=4х2+4 4х3=12

5х3=5х2+5 5х3=15

6х3=6х2+6 6х3=18

7х3=7х2+7 7х3=21

8х3=8х2+8 8х3=24

9х3=9х2+9 9х3=27

При составлении таблицы на 3 учитель опирается на твёрдое знание детьми таблицы умножения на 2, объясняя, что в записи 3х2+3 число 3 сначала взято дважды, а потом ещё один раз, значит, всего взято три 3, т.е. 3х3. Если знать, что дважды 3 будет 6, то при прибавлении ещё одной 3 будет 9, значит, 3х3=9.

Кроме того, следует отметить, что каждый табличный случай рассматривается сразу до чисел в пределах тысячи.

1) 3х3 6х3 8х3 9х3

30х3 60х3 80х3 90х3

300х3 600х3 800х3 900х3

2) 21:3 24:3 27:3 30:3

210:3 240:3 270:3 300:3

21:7 240:8 270:9 3:1

При изучении таблицы умножения и деления на 3, учитель учит детей выполнять действия деления с остатком в процессе решения задачи.

Задача. Ребята поделили 10 книг между собой по 3 книги каждому. Сколько ребят получили книги? Сколько осталось лишних книг?

При разборе задачи, краткая запись заменяется рисунком, что поможет детям лучше усвоить смысл деления с остатком.

Рисунок 5 Условие к задаче

10:3=3 (ост. 1)

Данные задания помогают детям лучше освоить таблицу умножения, т.к. чтобы выполнить деление с остатком необходимо хорошо знать таблицу умножения и деления.

Остальные случаи табличного умножения и деления разбираются аналогично вышеописанным случаям с использованием квадратов, в качестве наглядного материала, и с учётом того, что случаи дублирующие – в следующей таблице не записываются, поэтому таблица умножения чисел на 9 выглядит так 9х9=81 (страница 27).

С 37 урока (в теме «Табличное умножение и деление») вводиться понятие см2, площадь и её измерение. Детям даётся понятие: чтобы найти площадь прямоугольника, необходимо умножить длину на ширину, взятые в одинаковых единицах измерения. Ученики, хорошо зная таблицу умножения и деления, отлично справляются с нахождением площади фигур.

Таким образом, за 55 часов, отведённых программой на изучение темы «Табличное умножение и деление» дети успевают понять и выучить наизусть всю таблицу умножения и деления, чему способствуют разнообразные задания на закрепление.

2.5 Анализ научно-методической литературы

Общеизвестно, что наряду с формированием основных математических понятий, изучение свойств чисел и законов арифметических действий важнейшее место в начальном обучении всегда занимало формирование у детей вычислительных навыков.

Из курса математики нам известно, что если а и b целые неотрицательные числа, то:

1) aхb=a+a+…+a при b>1

b слагаемых

2) ах1=а при b=1

3) ах0=0 при b=0.

«Теоретико-множественная трактовка этого определения лежит в основе разъяснения младшим школьникам смысла умножения» - считает Н.Б.Истомина. Эта трактовка легко переводиться на язык предметных действий и позволяет для изучения нового понятия активно использовать ранее изученный материал. По мнению Н.Б.Истоминой, для осознания необходимости введения нового действия модно использовать различные реальные ситуации. Например: учащимся предлагается подсчитать количество кафельных плиток, необходимых для выкладки стены на кухне. Стена имеет форму прямоугольника, разбитого на квадраты (это может быть клетчатая часть доски). Они, естественно, начинают действовать способом поединичного счёта клеток, но скоро обнаруживают трудоёмкость такой работы. Подчеркнув это, учитель ставит задачу найти наиболее простой путь поиска ответа. Конечно, сами учащиеся могут и не догадаться о рациональном способе действия, но тем не менее при этом будут созданы благоприятные психологические условия для его принятия.

Аналогичный пример: учащимся предлагается схематический рисунок поля прямоугольной формы, которое разбито на равные участки (квадраты).

Рисунок 6 Наглядность к изучению умножения и деления

Нужно определить, на сколько участков (квадратов) разбито данное поле. Достаточно посчитать число квадратов в дном ряду (их 11) и повторить это число слагаемым 4 раза (11+11+11+11). После этого учитель вводит новую запись 11х4=44 и предлагает учащимся сопоставить эти две записи. Выясняется: что обозначает во втором равенстве первый множитель (какие слагаемые складываются) и второй множитель (сколько таких слагаемых). Это помогает детям лучше усвоить чтение выражений вида: 11х4; 7х6; 28х4; 57х3 (57 взять 3 раза, 57 повторить 3 раза, 57 умножить на 3).

Для усвоения смысла умножения – считает Н.Б.Истомина – полезно использовать приёмы сравнения, выбора, преобразования и конструирования, предлагая различные виды заданий:

а) на соотнесение рисунка и математической запаси:

Прочитай записанные под рисунками выражения и догадайся, что обозначают в каждом произведении первый и второй множители:

4х3

3х4 2х7 5х6

7х2 6х5

Рисунок 6 Соотнесение рисунка и записи

б) на преобразование рисунка в соответствии с математической записью:

Какие изменения нужно ввести в другие рисунки, чтобы они соответствовали записи 2х6?

в) на выбор записи, соответствующий данному рисунку;

г) на сравнение выражений на основе определения умножения:

Не вычисляя значений произведений, поставь знаки < или >, чтобы получились верные равенства:

12х9…12х11 24х7…24х5

Можно ли, не вычисляя значений выражений, ответить на вопрос: на сколько значение первого произведения в каждом столбике меньше значения второго произведения?

6х4 5х3 7х8 6х3 7х2

6х5 5х4 7х9 6х5 7х4

Не выполняя вычитаний, найди в каждом столбике «лишнее» выражение:

9х5 8х4 7х4

9х6-6 8х5-4 7х3+3

9х4+9 8х3+8 7х3+7

9х6-9 8х5-8 7х5-7

е) на замену произведения суммой и суммы произведением:

Замени там, где можно, сложение умножением и запиши, чему равно значение каждого выражения:

13+13+9 3+3+3+3+3+4 1+1+1+1+1

4+4+4+4+4 0+0+0+0+0 19+19+119

Вставь числа в «окошки», чтобы получились верные равенства:

3+3+3+3+ =3х6

24х3+24+24=24 х

4+4+4+ + + = 4х6

Найди лишнее выражение:

104+104+104+104

208+208+208+208

306+306+306

120+120+120+120

Запиши каждое произведение в виде суммы одинаковых слагаемых:

(19-3)х4= + + +

(56-8)х6= + + + + +

ж) на сравнение двух произведений, значение одного из которых известно:

Как можно вычислить значения произведений, пользуясь данными равенствами:

12х3=36 6х7 18х5

18х4=72 12х4 18х3

6х8=48 7х8 6х9

7х9=63 12х2 7х10

Вычисли значения произведений в каждом столбике, пользуясь данным равенством:

9х5=45 8х7=56 7х6=42

9х4 8х6 7х5

9х6=54 8х8 7х7

Смысл умножения тесно связан с понятием «увеличь в несколько раз». Поэтому важно разъяснить детям, что запись 2х5 можно прочитать: «2 повторить 5 раз», «по 2 взять 5 раз», «2 умножить на 5» и «2 увеличить в 5 раз.

Табличные случаи умножения и соответствующие им случаи деления, по мнению Н.Б.Истоминой, учащиеся должны усвоить на уровне навыка. Это сложный и длительный процесс, в котором можно выделить два основных этапа. Первый этап связан с составлением таблиц, второй – с их усвоением, т.е. прочным запоминанием.

Так как в современной начальной школе речь идёт о формировании сознательных вычислительных навыков, то составлению таблиц умножения (деления) предшествует изучение теоретических вопросов, являющихся основой тех вычислительных приёмов, которыми учащиеся будут пользоваться при составлении этих таблиц.

В число таких вопросов входит: смысл действия умножения как сложения одинаковых слагаемых, переместительное свойство умножения, взаимосвязь компонентов и результаты умножения, смысл деления.

Однако последовательность составления таблиц и организация деятельности учащихся, направленной на их усвоение, может быть различной.

Например, в учебнике «Математика 2» М.И.Моро, М.А.Бантова (до 1987г.) учащиеся сначала изучали все теоретические вопросы и только после этого приступали к составлению таблиц умножения и деления.

Таблица умножения и деления с числом 2 составлялась на одном уроке и имела такой вид:

2х2 3х2 6:2 6:3

2х3 4х2 8:2 8:4

2х4 5х2 10:2 10:5

…. …. …. ….

2х9 9х2 18:2 18:9

При вычислении результатов в первом столбике произведение заменялось суммой или использовалось предыдущее равенство. Вычисляя значение выражений второго столбика, дети использовали переместительное свойство умножения. Результаты 3 и 4 столбиков находились с помощью правила: если значение произведения разделить на один множитель, то получим другой множитель.

Одновременное составление четырёх столбиков равенств, которые учащиеся должны усвоить на уровне навыка, обуславливается следующим.

1 Предполагается, что усвоение первого столбика таблицы на уровне навыка способствует запоминанию второго, третьего и четвёртого столбиков. Так, запомнив, например, что 2х4=8, учащиеся легко найдут значение выражения 4х2, применив переместительное свойство умножения. А при нахождении значений выражений 8:2 и 8:4 они смогут опять же использовать знания случая 2х4=8, применив к нему правило о взаимосвязи компонентов и результатов умножения.

Аналогичный подход осуществлялся при составлении таблиц умножения и деления с числом 3.

В связи с тем, что случай 3х2 уже рассматривался, таблица умножения трёх начинается с произведения, в котором одинаковые множители:

3х3 4х3 12:3 12:4

3х4 5х3 15:3 15:5

3х5 6х3 …. ….

…. …. …. ….

3х9 9х3 27:3 27:9

Таким образом количество случаев в каждой следующей таблице сокращается, и последняя таблица умножения девяти содержит один случай 9х9=81; 81:9=9.

2 Предполагается, что такое составление таблиц умножения и деления позволяет учащимся лучше осознать взаимосвязь между этими действиями.

Однако, несмотря на указанные преимущества данного подхода, учащиеся испытывают большие трудности при усвоении на уровне навыка второго столбика таблицы, не говоря уже о третьем и четвёртом.

Н.Б.Истомина объясняет это различными причинами.

Во-первых, не все дети, в силу своих индивидуальных особенностей, могут за отведенное программой время усвоить непроизвольно на уровне навыка первый столбик таблицы. Это, естественно, создаёт трудности для усвоения второго, третьего и четвёртого столбиков.

Во-вторых, не все дети могут в свёрнутом виде (т.е. на уровне навыка) выполнить операции, которые связаны с применением переместительного свойства умножения и правила о взаимосвязи множителей и произведения.

В-третьих, не все дети могут осознать взаимосвязь между составленными таблицами.

Наконец, в-четвёртых, в каждой таблице умножения (деления), особенно для чисел 2, 3, 4 имеет большой объём, поэтому установка на запоминание всех столбиков каждой таблице также оказывается неэффективной.

По мнению Н.Б.Истоминой задачи методики – найти такие способы организации деятельности учащихся, которые позволили бы учесть или устранить названные трудности, создав тем самым необходимые дидактические условия для эффективного формирования табличных навыков умножения и деления. Поэтому в 1987 году в учебник «Математика 2» М.И.Моро, М.А.Бантова были внесены изменения в составление таблицы умножения (деления) с числом 2. А именно: после усвоения смысла умножения стала составляться только одна таблица – умножение числа2.

Затем дети знакомятся с переместительным свойством умножения и составляют таблицу «Умножение на 2». На усвоение этих двух столбиков отводиться определённое время. В этот период учащиеся рассматривают такие вопросы, как смысл деления, взаимосвязь множителей и произведения, решают задачи и только после этого составляют третий и четвёртый столбики таблицы деления. Для этой цели используется таблица умножения и правило о взаимосвязи произведения и множителей.

Таким образом, усвоение таблицы умножения (деления) с числом 2 распределяется во времени. Тем самым создаются более благоприятные условия для формирования вычислительных навыков.

В учебнике «Математика 2» М.И.Моро, М.А.Бантова (1-4) также наблюдается тенденция к распределению во времени процесса составления и усвоения таблиц умножения и деления. А именно: после усвоения смысла умножения как сложения одинаковых слагаемых составляется только часть таблицы «Умножения числа 2», при этом дано указание: «Вычисли и запомни: 2х2, 2х3, 2х4, 2х5».

Вторая часть таблицы умножения двух составляется на другом уроке.

Аналогично организуется работа с таблицей «Умножение числа 3» с тем же указанием: «Вычисли и запомни».

После изучения переместительного свойства умножения составляется таблица «Умножение на 2», затем «Умножение на 3».

Познакомив учащихся со смыслом деления, авторы предлагают различные упражнения, подготавливающие учащихся к составлению таблиц деления с числом 2 и с числом 3.

Свой подход к изучению таблицы умножения и деления предлагает Оспанов Толеген Каражанович, автор учебника «Математика 3». Он выявляет следующие задачи обучения:

1 Составление и разучивание таблицы умножения на числа 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (половина случаев).

2 Умение находить результат умножения, используя переместительное свойство умножения (вторая половина табличных случаев умножения).

3 Умение вычислять результаты соответствующих случаев деления на основе взаимосвязи умножения и деления.

4 Знакомство с умножением и делением именованных чисел.

Кроме того раскрывает этапы обучения:

1 Составление и разучивание таблицы умножения:

а) подготовительная работа:

- с использованием наглядности (большого квадрата разделённого на 100 малых квадратов разного цвета (страница 25) повторяется конкретный смысл умножения и деления:

3+3=6 6-3-3=0 => 3х2=6 6:3=2

2+2+2=6 6-2-2-2=0 => 2х3=6 6:2=3

- учащиеся объясняют, как нашли результат умножения и деления, используя знания о том, что умножение – это сложение нескольких одинаковых слагаемых, а деление – это вычитание нескольких одинаковых чисел;

б) используя ту же наглядность, учащиеся самостоятельно вычисляют результаты всех случаев из таблицы умножения (страница 25)

3х2=3+3=6

4х2=4+4=8

- можно сделать вывод, что при умножении на 2 произведение увеличивается на 2, а при умножении на 3 произведение увеличивается на 3 и так далее, … , на 9 увеличивается на 9;

- таблица умножения на каждое число будет изучаться на отдельном уроке;

- при этом количество случаев для заучивания в каждой следующей таблице уменьшается, так как каждая таблица начинается со случая умножения одинаковых множителей:

2х2 4х4 6х6 8х8

3х3 5х5 7х7 9х9,

а предыдущие случаи были рассмотрены в предыдущей таблице, например: 3х4 (в таблице на 3: 4х3), 2х4 (в таблице на 2: 4х2) и т.д.;

- в связи с этим наизусть заучивается 36 случаев умножения (когда множители одинаковы, большее число умножается на меньшее);

- остальные случаи умножения (когда меньшее число умножается на большее) рассматриваются на основе переместительного свойства умножения:

2х5=5х2 3х5=5х3 4х5=5х4

2 Знакомство с таблицей умножения:

а) таблица умножения числа на 2 составляется и разучивается на двух уроках на основе сложения одинаковых слагаемых с опорой на наглядность

2х2=2+2 => 2х2=4

3х2=3+3 =>3х2=6 и т.д.

б) таблица умножения на 3 составляется и разучивается на двух уроках на основе знания таблицы умножения на 2 и того, что при умножении на 3 произведение увеличивается на 3 (с опорой на наглядность):

3х3х2+3 => 3х3=9

4х3=4х2+4 => 4х3=12

5х3=5х2+5 => 5х3=15 и т.д.

в) далее изучаются таблицы умножения числа на 4, …, на 9 аналогично таблице умножения числа на 3, т.е. на основе знания предыдущей таблицы и того, что при умножении на 4 произведение увеличивается на 4 и т.д., только каждая таблица изучается на одном уроке, при этом количество случаев для запоминания уменьшается.

3 Таблица соответствующих случаев деления составляется одновременно с таблицей умножения на основе знания взаимосвязи между умножением и делением:

6х2=12 => 2х6=12 => 12:6=2 и 12:2=6

переместительное взаимосвязь между

свойство умножением и делением

4 Умножение и деление именованных чисел на основе связи между числами и величинами с использованием условных дидактических единиц

4х2 6:2

4смх2 6см:2

40смх2 60см:2

400смх2 600см:2

При анализе журналов для учителей «Начальная школа» встречаются очень интересные и занимательные задания, которые можно использовать для закрепления знаний у детей по теме «Табличное умножение и деление».

Н.М.Козлова [II-11, с.89-91] использует в устных упражнениях следующие задания:

«Реши цепочку примеров»

«Представьте числа в виде разрядных слагаемых и умножьте каждое слагаемое на 2, 3, 4»

+ +

Учащиеся записывают ответы в окошки.

На доске запись

«Найдите последнее число, если первое число 18» - учащиеся считают про себя

18:6=3 3х7=21 21-19=2 2х8=16

Д.В. Клименченко [II-9,с.62-64]с помощью математических цепочек не только развивает навыки устного счёта детей, но и расширяет их кругозор.

Суть работы с такими цепочками заключается в том, что учитель задаёт вопрос и предлагает найти на него ответ на математической цепочке. К цепочке даны три ответа, рядом с каждым из ответов – число. Один из ответов верный. Для того, чтобы узнать какой из них верный, надо выполнить математические вычисления. Отвечающий ученик доказывает свой выбор, вслух выполняя действия.

Тогда учитель кратко и чётко даёт сведения о том животном или событии, которое зашифровано в ответе.

«Какая рыба без чешуи?»

3 сом : - : х х : х - :

67 щука

84 окунь

«Какой зверь самый чистоплотный?»

12 ёж х : х : х + : + :

4 заяц

2 барсук

Н.В.Рудовская [II-15, с.58-61] использует следующие задания для формирования вычислительных навыков по теме «Табличное умножение и деление»:

ученику предлагается такой шифр:

12 15 18 20 24 27 28 35 36 40 45 63 64 75 81

у з а ь н м к г в е т и щ л б

и такой набор выражений, записанный в столбики:

9х9 3х3 6х4 24х1

8х5 6х2 20х2 9х2

5х3 4х7 5х9 3х4

7х9 7х4

9х7

Ученик находит произведение чисел, записанных в одном столбике, находит соответствующие им значения букв, пользуясь данным шифром, и читает слово. Если школьник расшифрует все слова, то он в тетради запишет:

81 40 15 27 12 28 69 24 40 45 24 18 12 28 63

б е з м у к и н е т н а у к и

и прочитает пословицу: «Без муки нет науки».

М.П.Никиткина [II-13, с.72-75] предлагает использовать ряды чисел. Например, записать в тетрадях через клеточку под диктовку одного из учащихся числа, которые делятся на 3 нацело:

3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

- При делении какого числа на 3 получаем число 5? (15:3=5) Обведите в ряду число 15.

У детей на парте выложены карточки с цифрами и число 10.

Объявляется игра «Молчанка» (Торопись, да не ошибись).

- Сколько раз по 3 содержится в числе 15? 30? 18?

- 24 уменьшить в 3 раза.

- 12 разделить на 3.

- 27 уменьшить в 36 раза.

Тетради открыты, дети могут пользоваться рядом чисел, которые делятся на 3. Они активно работают, молча показывая ответы. Выигрывают те, кто не смотрят по сторонам, а а с целью проверки себя успевают взглянуть на ряд чисел.

Эффективны при проверке знаний таблиц арифметические диктанты, считает М.П.Никиткина. Первое время перед началом диктанта в тетрадях записываем ряды чисел, которые нацело делятся на 2 (3, 4, 5).

Диктуются сразу задания на два варианта. Варианты выделяются интонацией. При таком виде работы ученику следует быть внимательным вдвойне, зато есть время для записи выражений, пока учитель диктует другой вариант. Примеры для диктанта следует составлять заранее, чтобы на следующем уроке можно было использовать этот же материал, поменяв варианты местами. При этом учитель избегает повторов, но в то же время проверяет наиболее трудные случаи деления у всех учащихся.

Диктант

1 вариант 2 вариант

18:3 16:4 27:3 12:4

12:2 18:2 16:2 14:2

24:4 21:3 28:4 20:4

15:3 36:4 12:3 24:3

Полезно при таком виде диктанта, чтобы учащиеся записывали не только ответ, а всё равенство, тогда проверка на уроке пройдёт быстрее и эффективнее – ребёнку сразу видна ошибка. Работа пойдёт не «вхолостую», а будет нацелена на конкретного ученика.

Сначала один из учащихся зачитывает ответы первого варианта, дети следят и исправляют ошибки или вписывают верные ответы, потом так же проводится работа со вторым вариантом.

М.К.Вокуева [II-6, с.27] предлагает такие виды заданий:

1 Наберите числа 60, 72, 96, 38 в виде суммы произведений

6х7 3х6 4х9 7х8 7х5 6х9 54 4х8

ответы: 5х4+8х5=60

7х8+8х5=96

6х9+3х6=72

6х3+5х4=38

2 Решение круговых примеров.

При решении круговых примеров предупреждают учащихся от ошибочных результатов, так как не найдут начало следующего примера. Работа проводиться по вариантам, чем обеспечивается большая самостоятельность учащихся при выполнении заданий.

1 вариант 2 вариант

1 пример 8х7-50 (6) 1 пример 9х3+27 (48)

3 пример 32:4х6 (48) 3 пример 4х9:6 (6)

5 пример 20:2-2 (8) 5 пример 30:3-1 (9)

2 пример 6:2+29 (32) 2 пример 48:8-2 (4)

4 пример 48:6+12 (20) 4 пример 6х3+12 (30)

Для закрепления конкретного смысла умножения Н.В.Рудовская [II-15, с.58-61] предлагает такие задания:

1 Поставь нужные знаки или вставь числа, чтобы получилась верная запись (устно или письменно).

7+7+7= х 3

3х >5х

2х3+3…3х4

2 Сравни выражения и поставь нужный знак.

16:4-3…16:4+2

36:4+5…24:4+5

Эти упражнения развивают умение в каждом конкретном случае использовать необходимые знания и выбирать рациональный вычислительный приём.

М.Ф.Роганова [II-16, с.42-44] предлагает такое задание:

«Поставь знаки и скобки, если надо»

9…9…9=2 9…9…9=9

9…9…9=10 9…9…9=0

9…9…9=90 9…9…9=72

ответ: (9+9):9=2 9х9:9=9

9х9+9=10 (9-9)х9=0

9х9+9=90 9х9-9=72

В деле формирования вычислительных навыков немаловажную роль могут сыграть дидактические игры. Они позволяют развить реакцию, привить интерес к предмету. Эти задачи предлагает Л.И.Земцова.

«Математические действия».

Цель игры: формирование навыка устного счёта.

Ход и содержание игры: ученики встают в круг, в центре которого находится юла. Учитель пускает юлу. Тот ученик, на которого укажет стрелка, называет любое число.

Первый этап. Учитель, произведя в уме любое математическое действие – сложение, вычитание, умножение, деление сообщает ученику его результат. Ученик должен быстро ответить, какое это было действие.

При правильном ответе игроку начисляется очко или вручается приз – флажок.

На втором этапе игры учитель усложняет задание: игроку нужно назвать не только действие, но и число, на которое делят или умножают, которое прибавляют или вычитают.

Победителем оказывается тот, кто наберёт наибольшее количество очков или призов.

Успешное применение знаний, умений и навыков на практике во многом зависит и от умения контролировать свою деятельность. Практика показывает, что уровень самостоятельности учащихся при выполнении заданий различен в зависимости от степени овладения ими как знаниями, умениями и навыками, так и приёмами самоконтроля.

2.6 Методы, приёмы, средства используемые при обучении табличному умножению и деление

Как довести учебный материал до сознания учащихся? Как вызвать их активную познавательную деятельность, чтобы дети могли овладеть знаниями, умениями и навыками? Как помочь им превратить знания в убеждения? Эти вопросы учителю приходиться решать каждый день при подготовку урока.

Что такое метод?

Метод – это способ практических и теоретических действий человека, направленных на достижение поставленных целей.

Методы обучения – это способы работы учителя и учащихся, при помощи которых достигается усвоение учащимися знаний, умений и навыков, формируется их мировоззрение и развиваются их способности.

Приём – это составная часть метода.

Средства – это приспособления, орудия действия, всё то, что помогает учителю учить, а ученикам учиться.

Различают три группы методов:

1 Словесные методы: рассказ, объяснение, беседа, работа с учебником, книгой.

2 Наглядные методы: наблюдение, демонстрация наглядных пособий, кинофильмов и диафильмов.

3 Практические методы: устные и письменные упражнения, графические и лабораторные работы.

Содержание данного раздела включает в себя различные формы работы. Рассмотрим фрагмент урока.

Тема урока: «Умножение и деление числа на 6»

Цели урока:

1) Через опосредованное изучение таблицы сформировать навык применения таблицы умножения и деления числа на 6.

2) Развивать познавательный интерес, самостоятельность, логическое мышление, внимание.

3) Воспитание интереса к предмету.

Таблица 1 Фрагмент урока «Умножение и деление числа на 6»

Этапы урока	Деятельность учителя	Деятельность учащихся
Объяснение новой темы	- Наши друзья Айдар, Наташа и Асем помогают Дым Билмесу изучать таблицу умножения. Они придумали разные задания для него. А кто хочет помочь Дым Билмесу выполнить задания? - Какую таблицу изучает Дым Билмес? На доске Дым Билмес и таблица с пропущенными результатами. - Учил, учил Дым Билмес таблицу на 6, а стал записывать результаты и не помнит некоторые: 6х2= 6х3=18 6х4= 6х5=30 6х6= 6х7=42 6х8= 6х9=54 - А какие вы закономерности таблицы умножения и деления числа на 6 нашли вчера на уроке? - Молодцы! Запомнили всю таблицу, нашли закономерности. Теперь прочитаем её, чтобы Дым Билмес запомнил лучше. Читать будем с заданием то тихо, то громко. Будьте внимательны! 6х2=12 6х3=18 тихо 6х4=24 6х5=30 6х6=36 громко 6х7=42 6х8=48 тихо 6х9=54 По указанию учителя дети читают хором таблицу, меняя громкость голоса. Таблица остаётся на доске и дети при выполнении различных заданий могут ею пользоваться.	- Я, я! - Таблицу умножения числа на 6. - Не знает Дым Билмес закономерностей получения результатов табличного умножения. - При умножении в этой таблице произведение состоит из двух цифр – двузначное число. (Проставляет на доске в таблице две точки) 6х2=.. 6х3=18 6х4=.. 6х5=30 6х6=.. 6х7=42 6х8=.. 6х9=54 - Я при наблюдении заметил, что произведения в таблице – все чётные числа. - Я услышала, что когда читаешь таблицу, то некоторые выражения рифмуются: 6х4 шестью четыре – 24 6х6 шестью шесть – 36 6х8 щестью восемь - 48 - Каждое следующее произведение увеличивается на 6, а каждое предыдущее произведение уменьшается на 6.

Рассмотрим фрагмент урока, в котором при составлении таблицы умножения под руководством учителя организовывается работа с рисунком. Тема урока: «Составление таблицы умножения и деления числа на 2».

Цель урока:

1) Познакомить учеников со способом составления таблицы умножения и деления числа на 2.

2) Развивать быстроту вычислительных навыков.

3) Воспитывать интерес к математике.

Таблица 2 Фрагмент урока «Составление таблицы умножения и деления числа на 2»

Этапы урока	Деятельность учителя	Деятельность учащихся
Объяснение новой темы	-Сегодня на уроке мы с вами закончим составление таблицы умножения и деления числа на 2. Какие случаи мы разобрали на прошлом уроке? -Покажите на примере квадратов следующее произведение 6х2. - Сколько всего квадратов вы заштриховали? - Как узнали? - Запишите эту сумму в виде произведения. - Объясните данную запись.	- 2х2=4 3х2=6 4х2=8 5х2=10 Ученики заштриховывают - 12 квадратов. - К 6 прибавили 6. (6+6) 6х2=12 - Мы взяли 6 квадратов два раза.

Для закрепления знаний по данной теме можно предложить детям записать какоё-либо из примеров на табличное умножение по-другому. Пусть, скажем, дан пример 4х8. Этот пример может быть записан по другому следующим образом: 4+4+4+4+4+4+4+4, 4х4х2, 4х2х2х2 и тому подобное. С этой же целью может использоваться и развёрнутая запись вычислений:

4х8=

4х4=16

4х4=16

16+16=32

Мы предлагаем дать такую запись для образца, и по этому образцу предложить детям записать другие примеры (7х6, 2х8 и другие).

Для закрепления случаев табличного умножения возможно использовать следующие задания.

Таблица 3 Задание на закрепление табличного умножения

Деятельность учителя

Деятельность учеников

- Знайка придумал задание по таблице. Какие табличные случаи задумал Знайка, если последняя цифра в произведении равна 2? - Если последняя цифра в произведении равна 4. - Если последняя цифра равна 6. - Последняя цифра равна 0. - Последняя цифра равна 8. - А если первая цифра в произведении равна 4? - Первая цифра равна 1. -Первая цифра равна 3. - Первая цифра равна 5. - Как это вы так быстро находите ответ?

6х2=12 6х7=42 6х4=24 6х9=54 6х6=36 6х5=30 6х10=60 6х3=18 6х8=48 6х7=42 6х8=48 6х2=12 6х3=18 6х6=36 6х5=30 6х9=54 - Для этого надо знать, выучить таблицу умножения числа на 6.

Проверку усвоения таблиц хорошо провести в форме арифметического диктанта. Здесь, однако, становится возможным уже привлекать к проверке детей, организуя в классе парную работу, когда сидящие рядом ученики проверяют правильность работы соседа, а в случае возникновения каких-либо сомнений проверяют себя по таблице или спрашивают у учителя.

При изучении табличного умножения и деления большое значение имеет проведение многочисленных тренировочных упражнений, требующих решения готовых примеров. Дети должны в конечном счёте усвоить таблицы на память. Поэтому следует упражнять их в неоднократном воспроизведении табличных результатов.

81:9 60-25:5 72мин:9

35:7 7х6+30 720мин:9

30:6 (39-21):6 90мин х8

56:8 (42+6):8 80мин х8

х:8=80 640:а=8 а:9=9

Для того, чтобы увеличить число решаемых примеров, полезно чаще использовать так называемые «полуписьменные» работы, когда дети записывают только ответы на решаемые примеры, не переписывая в тетради условий. Эту форму работы можно использовать и при решении примеров из учебников, и при организации работы по индивидуальным карточкам, и при проведении работы по вариантам записанным на доске.

Одним из самых распространённых средств контроля за знаниями являются тесты. Их характерной чертой является то, что каждое задание включённое в тест, предъявляется испытуемому вместе с серией ответов, среди которых только один верный. От испытуемого не требуется фиксировать каким-либо образом ход выполнения заданий. Достаточно выделить выбранный ответ. Характерные особенности тестов – ограниченность времени, отводимого на выполнение заданий теста, и расположение заданий в порядке возрастания трудности.

Психологами установлено, что для формирования умения применять знания необходимо провести от шестнадцати до тридцати повторов. А этого можно добиться, если предусмотреть применение учащимися одних и тех же знаний при выполнении разных заданий. Например, использование дидактических игр способствует в игровой форме закрепить полученные ранее знания.

3 ЗАДАЧИ И СОДЕРЖАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ РАБОТЫ

В начальном звене школы реализуется одна из важнейших задач школьного курса математики: формирование вычислительных навыков – обучение табличному умножению и делению.

Изучив историческую, научно-методическую и педагогическую литературу, проанализировав программу и учебники, мы выдвинули гипотезу, которая проверялась в результате решения следующих задач.

1) Определить уровни сформированности у учащихся вычислительных навыков по табличному умножению и делению.

2) Содействовать более прочному усвоению и совершенствованию вычислительных навыков табличного умножения и деления.

3) Выяснить, на сколько изменились уровни сформированности вычислительных навыков табличного умножения и деления.

Содержание экспериментальной работы:

1 этап: констатирующий эксперимент по проверке сформированности у учащихся вычислительных навыков табличного умножения и деления, выявление их исходных уровней: контрольные работы, анализ работы, статистическая обработка материала.

2 этап: обучающий эксперимент. Разработка системы упражнений по данной теме и апробация предложенной системы.

Контрольный срез по проверке сформированности вычислительных навыков табличного умножения и деления, определение их уровней: контрольные работы, анализ работ, статистическая обработка материала.

3.1 Констатирующий эксперимент

Изучив педагогическую, методическую литературу, проанализировав программы на действующие учебники, мы встали перед проблемой проведения опытно-экспериментальной работы в школе, поставив перед собой цель: используя все возможные виды работы учащихся, сформировать у учащихся умение выполнять действия умножения и деления с использованием таблицы.

Опытно-экспериментальная работа проводилась в 3 классе Усть-Каменогорской школы – детского сада №14 для детей с нарушением зрения.

На первом этапе мы поставили перед собой задачи:

1) Выявить уровни сформированности вычислительных навыков табличного умножения и деления

2) Распределить учащихся по уровням.

Для исследования уровня сформированности вычислительных навыков была проведена контрольная работа.

Уровни сформированности вычислительных навыков табличного умножения и деления представлены в таблице 4.

Таблица 4 Уровни сформированности вычислительных навыков табличного умножения и деления

	Уровень	Диагностический признак
1	Низкий	Учащийся понимает смысл действий умножения и деления. Затрудняется выполнять умножение и деление чисел на 2, 3, 4, 5. Не умеет выполнять проверку умножения делением, деление умножением и делением. Не понимает смысл выражений «во сколько раз больше», «во сколько раз меньше».
2	Средний	Учащийся понимает смысл действий умножения и деления. Выполняет действия умножения и деления чисел на 2, 3, 4, 5. Умеет выполнять проверку умножения делением, деления умножением и делением. Понимает смысл выражений «во сколько раз больше», «во сколько раз меньше». Затрудняется выполнять умножение и деление чисел на 6, 7, 8, 9.
3	Высокий	Знает все табличные случаи умножения и деления. Выполняет проверку умножения делением, деления умножением и делением. Понимает смысл выражений «во сколько раз больше», «во сколько раз меньше». Умеет правильно выбрать знак действия при решении задач.

Контрольная работа в 3 классе проводилась в конце октября 2002 года по двум вариантам:

I вариант II вариант

1 Выполни действия 1 Выполни действия

6х2 7х2 4:2 2:2 12:2 4х2 6:2 0х7

8:2 18:2 16:2 14:2 8х2 5:5

10х2 6:1 5х2 20:2 2х1 9х2

2 Катя подоила 9 коров, а Оля 3 2 Турсын купил 18 овец, а Талгат 6

коровы. На сколько коров больше овец. На сколько овец меньше купил

подоила Катя? Во сколько раз Талгат? Во сколько раз меньше?

больше?

3 Проверь значение произведения делением, а значение частного умножением

40х3=120 60:2=30 30х20=600 800:40=20

900:30=30 20х40=800 90:30=3 60х4=240

Оценивая работы учащихся мы исходили из критериев уровня сформированности вычислительных навыков табличного умножения и деления; умения выполнять проверку произведения делением, а значение частного умножением.

В зависимости от того, насколько сформированы у учащихся перечисленные выше умения, можно говорить об уровнях сформированности у учащихся вычислительных навыков по теме табличное умножение и деление.

%

50 50.0

40

30 28.5

21.5

20

10

1 2 3 уровни

Рисунок 1. Уровни сформированности вычислительных навыков табличного умножения и деления

3.2 Формирующий эксперимент

По результатам констатирующего эксперимента в 3 классе 28.5% учащихся претендуют на «низкий» (1) уровень сформированности вычислительных навыков табличного умножения и деления; 50.0% учащихся претендуют на «средний» (2) уровень; 21.5% учащихся претендуют на высокий уровень.

Нас не удовлетворяет, что 28.5% учащихся претендуют на «низкий» уровень сформированности вычислительных навыков табличного умножения и деления. Поэтому, считаем необходимым провести обучающий эксперимент, чтобы помочь учащимся, претендующим на 1 и 2 уровни сформированности указанного выше умения, повысить этот уровень и перейти, по возможности, в группу с более высоким уровнем сформированности вычислительных навыков табличного умножения и деления.

В связи с этим мы выдвинули задачи:

1) Разработать систему заданий для формирования у учащихся вычислительных навыков табличного умножения и деления.

2) Внедрить разработанную систему в процесс обучения.

3) Способствовать эффективному овладению учащимися вычислительных навыков табличного умножения и деления.

4) Статистическая обработка данных.

Система заданий в период формирующего эксперимента.

Прежде чем приступить к изучению табличного умножения и деления, нами был разработан и проведён классный час на тему «Экскурс в историю арифметики» с целью знакомства детей с развитием науки арифметики и возникновением таблиц умножения. ( Приложение А)

При составлении с детьми таблиц умножения упор в нашей работе мы делали на использование рисунков квадратов. У каждого ученика на уроке объяснения нового материала был квадрат (страница 25) и каждый отдельный случай табличного умножения разбирался с использованием данной наглядности. Рассмотрим фрагмент урока.

Тема урока: «Составление таблицы умножения и деления числа на 4».

Цель урока:

1) Познакомить учеников со способом составления таблицы умножения и деления числа на 4.

2) Развивать быстроту вычислительных навыков.

3) Воспитывать интерес к математике.

Таблица 5 Фрагмент урока «Составление таблицы умножения и деления числа на 4»

Этапы урока	Деятельность учителя	Деятельность учащихся
Объяснение новой темы	-Сегодня на уроке мы с вами составим таблицу умножения и деления числа на 4. Начнём составление таблицы со случая 4х4. Нужно ли нам с вами рассматривать случаи 2х4 и 3х4? - Почему? - Используя переместительное свойство умножения составьте первые два выражения для таблицы умножения и деления на 4. - Молодцы! Какой следующий случай необходимо включить в таблицу? - Покажите на примере квадратов данное произведение. - Сколько всего квадратов вы заштриховали? - Как узнали? - Запишите данную сумму в виде произведения. - Объясните данную запись.	- Нет. - Потому, что мы знаем случаи 4х2=8 и 4х3=12 и умеем пользоваться переместительным свойством умножения. 2х4=8 3х4=12 4х4 Ученики заштриховывают 16 - К 4+4+4+4 4х4=16 - Мы взяли 4 квадрата 4 раза.

Аналогично разбираются остальные случаи табличного умножения.

Кроме того, нами были разработаны и внедрены в систему работы задания помогающие детям выучить таблицу умножения и способствующие лучшему усвоению табличных случаев умножения и деления.

Задания были составлены таким образом, чтобы ученикам было интересно их выполнять. В ходе работы дети учились правильно решать примеры за определенный срок времени, расшифровывать спрятанные в математические выражения слова, пословицы и поговорки, быстро решать задачи с занимательным содержанием.

В результате у учеников формировались навыки внимания, усидчивости, аккуратности. Дети легко решали примеры на табличное умножение и деление. Ведь намного интереснее помогать почтальону разносить телеграммы по домам, быть шифровальщиками и следопытами, слушать историю про котят и по ходу истории отвечать на вопросы. При этом учащиеся не просто получали знания, а в процессе кропотливой работы добывали их, одновременно усваивая основные приёмы учебного труда. В результате у детей формировалась система знаний и развивались основные приёмы мыслительной деятельности, они приобрели умения и навыки быстрого усвоения учебного материала.

Во время изучения новой темы детям предлагались следующие задания, во время выполнения которых на первом уроке можно было пользоваться таблицей умножения находившейся на доске.

«Кто быстрее?»

Дана цепочка из квадратов с числами. Необходимо выполнить действия и получить верные ответы. На первом уроке можно было пользоваться таблицей умножения.

х = х = : = + = = : =

х = + = : = + = : =

: = + = : = х = + = : =

«Заполни пустые клетки»

В пустые квадраты нужно поставить числа так, чтобы получились верные равенства. (7=7=7 и т.д.)

1) 35 : = 63 :

2) 21 : = 14 :

3) 49 : = 42 : = 14 :

4) 63 : = 21 : = 35 :

5) 49 : = 35 : = 28 : = 63 :

6) 21 : = 56 : = 14 : = 42 :

«Найди число»

Даны прямоугольники. Каждый прямоугольник разделён на две части. В каждой части должно стоять число. Известно, что в нижней части число в 4 раза больше, чем в верхней. Нужно расставить пропущенные числа.

Известно, что число справа в 8 раз меньше числа слева.

Игра «Шифровальщики».

Ученикам даётся такой шифр:

5 10 15 20 25 30 40 45

е о л ц м д ! о

и набор выражений

5х5 5х2 3х5 9х5 5х6 5:1 4х5 8х5

Ученики находят произведение и частное чисел, записанных в ряду, находят соответствующие им значения букв, пользуясь данным шифром, и читают слово:

25 10 15 45 30 5 45 40

м о л о д е ц !

Для лучшего усвоения детьми таблицы умножения числа на 9, детям был раскрыт секрет девяти:

2х9=18 1+8=9 6х9=54 5+4=9

3х9=27 2+7=9 7х9=63 6+3=9

4х9=36 3+6=9 8х9=72 7+2=9

5х9=45 4+5=9 9х9=81 8+1=9

Учитель: 2х9 сколько получится?

Ученики: 18

Учитель: посмотрите на произведение, если мы сложим эти два числа, то получим…

Ученики: 9

Далее ученики наблюдают, что будет с произведениями, которые получаются при умножении на 9.

На следующих уроках, для закрепления знаний табличных случаев умножения и деления, мы предлагали ученикам следующие игры и задания.

«Реши цепочку»

Данное задание сходно с заданием «Кто быстрее?», но ответы, получившиеся в результате действий ученик должен держать в уме, либо вписывать над знаком действия. Действия выполняются поочерёдно, строго следуя за порядком заданий в цепочке.

: х : х : х + : =

х - : х х + : х =

Для закрепления знаний таблицы умножения числа на 2 нами использовались задания типа:

- Устно реши примеры и запиши в тетрадь использованное тобой равенство из таблицы умножения:

3х2 30х2 300х2

2х3 2х30 200х3

6:2 300смх2 600см:3

- Там, где левая часть не равна правой, зачеркни знак «равно» (= )

2х5=10 3х4=23

2х4=9 4х4=9+6

3х3=12 27-7=3х5

4х3=12 5х5=30-5

- Слева в каждой строчке подчеркни число, которое следует вставить в «окошко» примеров слева.

3х =6 0 1 2 3 4 5 6

14 : = 7 0 1 2 3 4 5 6

х 4 = 8 0 1 2 3 4 5 6

2 х 3 = 0 1 2 3 4 5 6

: 2 = 2 0 1 2 3 4 5 6

12 : 4 = 0 1 2 3 4 5 6

- Найди произведения и скажи, чем все примеры левого столбика отличаются от всех примеров правого столбика.

6х9= 6х90=

4х7= 4х70=

8х5= 8х50=

3х4= 3х40=

Зная, что дидактические игры способствуют в игровой форме закрепить полученные ранее знания, мы предлагали детям следующие игры.

Игра «Шифровальщик»

Во время данной игры ученик не только закрепляет знания табличного умножения и деления, но и в задании вида «А» угадает спрятанную пословицу или поговорку, а в задании вида «Б» узнает зашифрованные слова и вспомнит правило, которое применяется для их написания.

А. Выполни действия и прочитай спрятанную здесь пословицу.

2х3	6х2	8:2

2х5	16:2	9х2

3	не
4	ро
6	се
7	ж
8	но
9	д
10	од
12	ме
16	ут
18	го

действия

результат

6:2

14:2	18:2	8х2

слово

действия

результат

слово

Б. Выполни действия и прочитай зашифрованные слова. Подумай, какое правило русского языка применимо при написании этих слов.

8х2	8:2

6х2	5х2

4	аг
6	случ
7	ары
8	коч
9	ч
10	ат
12	журч
14	ан
16	оч
18	ай

действия

результат

слово

16:2	2х7

3х2	9х2

действия

результат

слово

Игра «Помоги почтальону разнести телеграммы»

На доске нарисованы домики с номерами, под ними «конверты» на которых написаны примеры. Ученики решая пример узнают номер дома, в который нужно «опустить» телеграмму.

5х5 3х8 9х4 6х8 4х3 9х9 8х9 8х7 7х3 4х9

Кроме игр и заданий мы предлагали занимательные текстовые задачи, в решении которых используется табличное умножение и деление. Задачи повышенной трудности отмечены *.

1 У одного паука 8 ног. Сколько ног у двух пауков?

2 У гиппопотама 2 клыка на верхней челюсти и в 2 раза больше на нижней челюсти. Сколько всего клыков у гиппопотама?

3 На параде появились танки. Они шли двумя колоннами. В каждой колонне было по 7 танков. Сколько всего танков участвовало в параде?

4* Алия купила 5 жвачек по 20 тенге, а Адиль купил 2 жвачки по 30 тенге. Сколько денег заплатили дети за покупку?

5* Две группы детей по 6 человек в каждой решили играть в снежный бой. Для подготовки к игре ребята стали лепить снежки. За три минуты каждый из первой группы слепил по 7 снежков, а каждый из второй группы слепил по 8 снежков. Какая группа детей подготовилась лучше к бою? На сколько снежков больше у одной из групп?

6 На книжной полке стоит пять шеститомников различных писателей. Сколько всего книг стоит на полке?

7* В бочку входит 60 литров воды, а в ведро в 10 раз меньше. Для полива грядок израсходовали 4 ведра воды. Сколько литров воды вылили на грядки?

Следующие задания позволяют развивать у учеников умение различать задания типа: «во сколько раз больше или меньше», «на сколько больше или меньше».

- Определи нужное действие. Запиши решение и ответ.

1 Во сколько раз 12 больше 3?

Решение: Ответ:

2 На сколько 12 больше 3?

Решение: Ответ:

3 На сколько 20 больше 5?

Решение: Ответ:

4 Во сколько раз 20 больше 5?

Решение: Ответ:

Данная работа может проводиться как устно, так и письменно в виде математического диктанта.

В качестве развлечения, как на уроках, так и на переменах, мы предлагали ученикам прослушать «Историю про котят» и по ходу истории ответить на вопросы:

Прочитаю вам, ребята,

Историю, которую прислали нам котята.

Три котёнка под окном

Гуляли поздно вечерком.

Если б я умел считать,

Знал бы сколько шестью пять. (6х5)

Если б я умел считать,

Мог делить и умножать.

Например, 40 на 5!

Коль не будем мы гулять,

То домой пойдём считать.

Сколько будет шестью два? (6х2)

И умножим 7 на 2.

Разделим 20 на 4.

А ребята бы решили?

Надо будет им сказать

Как делить и умножать.

Так котята те решили

И заданья сочинили.

1

В одной большой квартире

Четыре кошки жили.

Все вечера болтали и марки собирали.

У них 36 марок было,

По скольку каждая кошка

Себе положила? (36:4)

2

3 котёнка вечерком

Заглянули к кошке в дом –

Свяжи-ка нам носочки

Из шерсти, что в клубочках.

Помогите сосчитать,

Сколько надо ей связать? (3х4)

3

Сварила им кошка

27 рыбёшек.

По 3 хватило всем.

Сколько котят рыбок съедят? (27:3)

4

У каждой мамы-кошки

По 3 маленькие крошки.

Сколько всего котят,

Если кошек 8? (3х8)

5

3 котёнка в лес пошли,

И по 6 грибов нашли.

Сосчитайте, кто готов,

Сколько найдено грибов? (3х6)

Кроме того, нами были включены в работу с детьми задания на развитие логического мышления.

1 Введи пропущенное число.

7 4 9 3 8 5

9 6 12

ключ: 7х4-9=19 9х3-6=21 8х5-12=28

2 Вставь верные знаки.

23 22 2=1 3 32 33=1

Для контроля за знаниями учащихся мы включали в работу тесты. Ответы к заданиям мы составили с учётом возможных характерных ошибок.

1 Выбери из записей верное равенство.

а) 3х3=9 б) 3х3=6 в) 3х3=12

2 От перестановки мест множителей произведение

а) уменьшается

б) увеличивается

в) не изменяется

3 Найди пример с ответом 54

а) 7х8 б) 6х9 в) 9х10

4 Делимое 8, делитель 4. Чему равно частное?

а) 4 б) 8 в) 2

5 Вычисли: 7х9

а) 56 б) 73 в) 63

6 Мама купила 5 кг апельсинов и в 3 раза больше яблок. Сколько яблок купила мама?

а) 8 кг б) 15 кг в) 2 кг

7 Реши уравнение: хх8=48

а) 7 б) 40 в) 6

8 Упрости выражение: 4+4+4+4+4+4+4=28

а) 4+4х4=28 б) 4х7=28 в) 4х4+4х4=28

9 Площадь прямоугольника 24см. Длина одной стороны 6см. Найди длину второй стороны.

а) 4см б) 10см в) 18см

10 Первый множитель 4, второй множитель 7. Найди значение произведения.

а) 11 б) 21 в) 28

Ключ к тесту:

№ п/п	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
баллы	4	4	4	4	4	5	5	5	5	5
ответ	а	в	б	в	в	б	в	б	а	в

В итоге формирующего эксперимента мы провели контроль знаний учащихся. При контроле знаний мы использовали такие формы работы:

1) Математический диктант.

2) Письменная контрольная работа по вариантам (1,2)

Математический диктант

Учитель диктует действия над числами, учащиеся записывают полученные ответы в строчку.

1 Первое число получено при умножении 4 и 8 (32)

2 Первый множитель 3, второй 8 (24)

3 Произведение 7 и 8 (56)

4 Частное 36 и 4 (9)

5 Число, полученное при делении 49 на 4 (7)

6 Произведение 6 и 4 (24)

7 Делимое 81, делитель 9. Найди частное (9)

8 Частное 32 и 8 (4)

Письменная контрольная работа.

I вариант II вариант

1 Выполни действия

36:6 72:8 30:5 6х6 7х7 9х8

9х6 8х7 49:7 81:9 56:7 64:8

8х8 8х5 63:7 8х5 7х5 45:5

2 Длина прямого 2 Сторона квадрата 30см. Найди

четырёхугольника 40см, а периметр и площадь квадрата.

ширина 3см. Найди периметр

и площадь фигуры.

3 На птицефабрику привезли 3 На фабрику привезли 35 мешков

30 мешков зерна. За 1 месяц зерна. В первый месяц потратили

потратили одну шестую часть 15 мешков зерна. А остальное зерно

зерна. Сколько мешков зерна в равных количествах потратили

осталось? за два месяца. Сколько мешков

зерна потрачено в каждом

последнем месяце?

4 Реши уравнения

х:8=6 12:х=2

9хХ=54 8хХ=64

% 50

50

40 37.5

30

20 14.3

10

1 2 3 уровни

Рисунок 2. Уровни сформированности вычислительных навыков табличного умножения и деления

По результатам этой диаграммы можно говорить о том, что виды работ, которые мы использовали при формировании вычислительных навыков табличного умножения и деления эффективны и их применение даст желаемый результат.

Нас радует, что после формирующего эксперимента в 3 классе результаты оказались намного выше, то есть разработанная система заданий помогла повысить уровень и перейти, по возможности, в группу с более высоким уровнем сформированности вычислительных навыков табличного умножения и деления.

Добившись хороших результатов, мы видим, что система заданий, описанная выше, эффективна, её можно рекомендовать для работы в школе по действующей программе по математике.

Исходя из результатов нашей работы, видно, что наша гипотеза о том, что использование различных видов работы и умелое их сочетание в процессе обучения табличному умножению и делению, способствует наиболее эффективному формированию вычислительных навыков.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Современное общее образование, требующее разностороннего развития личности, невозможно представить себе без изучения математики. Математика в наше время является одной из ведущих дисциплин.

В начальных класса особое место занимает работа по формированию вычислительных навыков. Овладение ими учащимися имеет огромное образовательное, воспитательное и практическое значение. Следует добавить, что работа учителя по формированию вычислительных навыков помогает успешно реализовать одну из важнейших задач школьного курса математики – развитие логического мышления.

Самое главное состоит в том, чтобы педагог смог заинтересовать детей в применении вычислительных навыков не только на уроках математики, но и в практической деятельности. Поэтому важно сразу с первых занятий, когда изучается новый материал, организовать учебно-познавательную деятельность таким образом, чтобы ученик выступал в роли исследователя, открывателя, занимал активную позицию на уроке.

Включение в урок разнообразных заданий, делает процесс обучения интересным, создаёт у учащихся бодрое рабочее настроение.

Изучив историческую литературу мы разработали и провели классный час на тему «Экскурс в историю математики», на котором в доступной для детей форме познакомили учеников с историей развития математики, с возникновением и разнообразием таблиц умножения и деления, с их авторами, с историей возникновения знаков математических знаков. После проведения классного часа у учащихся возросла заинтересованность к изучению таблиц умножения, с большим интересом дети сами составляли очередные таблицы, представляя себя то в роли короля Ашурбанипала, то в роли Шюке или Видмана, что способствовало лучшему усвоению таблицы умножения и деления.

Большое значение при формировании навыков табличного умножения и деления имеет место не только осознание детьми теоретической базы вычислительных навыков, но и сама организация изучения вопроса на уроке.

В связи с этим, мы изучили и проанализировали психолого-педагогическую литературу. Это помогло рассмотреть табличное умножение и деление, как познавательный процесс. За основу мы взяли труды авторов Давыдова В.В, Груденова Я.И.

Проанализировав научно-методическую литературу, конкретно авторов: Истомина Н.Б., Моро М.И., Бантова М.А. и других, мы смогла рассмотреть, сравнить и проанализировать различные подходы к обучению табличному умножению и делению, а так же проследить системы разнообразного материала направленных на изучение табличного умножения и деления и на развитие вычислительных навыков. Затем мы проанализировали учебник под редакцией Оспанова Т.К. и программу РК. При анализе учебника и программы РК мы рассмотрели различные виды упражнений и проследили систему материала, направленного на изучение и закрепление табличного умножения и деления.

Во время изучения материалов по данной теме, была выдвинута гипотеза, которую необходимо было проверить в ходе эксперимента. Во время проведения констатирующего эксперимента были выявлены уровни сформированности навыков табличного умножения и деления с помощью контрольной работы.

Опираясь на опыт ведущих методистов Истоминой Н.Б., Оспанова Т.К., мы разработали систему заданий, которые должны были способствовать формированию вычислительных навыков табличного умножения и деления.

Особый интерес у учащихся вызвали задания творческого характера, излагаемые в нестандартной форме, поэтому они были активны на протяжении всего урока. В результате у учеников формировались навыки внимания, усидчивости, аккуратности. Дети легко решали примеры на табличное умножение и деление. Ведь намного интереснее помогать почтальону разносить телеграммы по домам, быть шифровальщиками и следопытами, слушать историю про котят и по ходу истории отвечать на вопросы. При этом учащиеся не просто получали знания, а в процессе кропотливой работы добывали их, одновременно усваивая основные приёмы учебного труда. В результате у детей формировалась система знаний, и развивались основные приёмы мыслительной деятельности, они приобрели умения и навыки быстрого усвоения учебного материала.

В результате проведённой нами работы мы пришли к таким выводам:

1) Разнообразные задания могут и должны найти себе место на каждом уроке математики в начальных классах.

2) Различные виды упражнений могут быть с успехом использованы на различных этапах урока, в том числе и при ознакомлении с новым учебным материалом.

Закончив обучающий эксперимент, мы проверили уровень сформированности навыков счёта с помощью контрольной работы. Сопоставив результаты констатирующего и формирующего экспериментов, и составив диаграммы, мы пришли к выводу, что использование на уроке разнообразного материала благотворно влияет на формирование навыков табличного умножения и деления.

Гипотеза о том, что использование различных видов работы и умелое их сочетание в процессе обучения табличному умножению и делению способствует наиболее эффективному формированию вычислительных навыков, повышает познавательный интерес у учащихся, что безусловно, ведёт к повышению качества знаний, умений и навыков, подтвердилась.

Надеемся, что наша исследовательская работа будет интересна и полезна учителям начальных классов, т.к.проведённый нами эксперимент показывает возможность и необходимость включения в урок разнообразных заданий, разработанных нами, на этапе работы над новым материалом и на этапах закрепления приобретённых знаний, умений, навыков.

ПОНЯТИЙНЫЙ АППАРАТ

Арифметика – часть математики; изучает простейшие свойства чисел, в первую очередь натуральных дробных, и действий над ними.

Вычитание – арифметическое действие, обратное сложению, то есть нахождение одного слагаемого (разности) по данной сумме двух слагаемых (уменьшаемому) и данному слагаемому (вычитаемому). Обозначается знаком – (минус).

Деление – арифметическое действие, обратное умножению; посредством деления по произведению а (делимому) и одному из множителей b (делителю), отличному от нуля, отыскивается другой множитель (частное).

Множество – простейшее математическое понятие, оно не определяется, а лишь поясняется при помощи примеров: множество книг на полке, множество точек на прямой. То, что данный предмет принадлежит множеству М записывают хМ.

Математика – наука, в которой изучаются «пространственные формы и количественные отношения действительного мира» (Ф.Энгельс).

Произведение – результат умножения.

Разность – результат вычитания.

Равенство – отношение взаимной заменяемости объектов, которые именно в силу этой заменяемости и считаются равными (а=b). Отношение равенства обладает свойствами рефлексивности (каждый объект равен самому себе), симметричности ( если а=b, то b=а) и транзитивности (если а=b, а b=а, то а=с).

Сложение – арифметическое действие. Обозначается знаком +(плюс). В области целых положительных чисел (натуральных чисел) в результате сложения по данным числам (слагаемым) находиться новое число (сумма), содержащее столько единиц, сколько их содержится во всех слагаемых.

Сумма – результат сложения.

Теорема – утверждение, устанавливаемое при помощи доказательства. Теорема обычно состоит из условия и заключения.

Тождество – буквенное равенство, верное для всех числовых значений, входящих в него букв.

Умножение – арифметическое действие. Умножение целых положительных (натуральных) чисел есть действие, позволяющее по двум числам а (множимому) и b (множителю) найти третье число аb (произведение), равное сумме b слагаемых, каждое из которых равно а.

Уравнение – математическая запись задачи о разыскании значений аргументов, при которых значения двух данных функций равны.

Частное – результат деления.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1 Актуальные проблемы методики обучения математики в начальных классах. Под ред. Моро М.И. и др. М.: Педагогика, 1977 -с.248

2 Антонова Т.М. Подготовка к усвоению умножения и деления //Начальная школа.- 1978 - №12 – с. 52-54

3 Бантова М.А. Методика преподавания математики. М.: Просвещение, 1985-с.178

4 Богоявленский Д.Н., Менчинская Н.А. Психология усвоения знаний в школе. – М.: АПНРСФСР. 1959-с.280

5 Болтаева В.Н. Урок математики во II классе //Начальная школа – 1999 - №7 – с.121-124

6 Бурдин А.О. Самостоятельная деятельность учащихся при обучении математике. - М.: Просвещение, 1985-с.47

7 Варегина Т.Ф. Закрепление навыков табличного умножения и деления //Начальная школа.- 1979-№2 – с. 39-41

8 Варегина Т.Ф. Ошибки при изучении таблицы умножения и деления //Начальная школа.- 1976-№9 – с.43-46

9 Воронова А.П. Активизация учащихся при формировании вычислительных навыков //Начальная школа – 1988 -№1 с.18-20

10 Вокуева М.К. Для овладения вычислительными приёмами //Начальная школа – 1989 -№2 – с.27

11 Волкова С.И., Столярова Н.Н. Тетрадь с математическими заданиями для 3-го класса четырёхлетней начальной школы – М.: Просвещение, 1995-с.97

12 Виленкин Н.Я., Стойлова Л.П., Лавров Н.Н. Математика: в 2 частях.- М.: Просвещение, 1990 – ч.1 – с.47

13 Гребенюкова О.В. Методическое пособие к учебникам «Математика» I – IV классов – Усть-Каменогорск, 2002 – к.4

14 Груденов Я.И. Психилого-дидактические основы методики обучения математике – М.: Педагогика, 1987 – с.119

15 Давыдов В.В. Виды обобщения в обучении.- М.: Просвещение, 1972 – с.239

16 Демидович Б.П., Марок М.А. Основы вычислительной математики – М.: Наука, 1965 – с.230

17 Депман И.Я. История арифметики – М. Учпедгиз, 1959 – с.235

18 Земцова Л.И., Сушкова С.Ю. Роль дидактической игры на уроках математики //Начальная школа – 1988 -№10 – с. 39-42

19 Зимовец Н.А., Пащенко В.П. Интересные приёмы устных вычислений //Начальная школа – 1990 -№6 – с.44-47

20 Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах – Москва, 1999 –с.203

21 Клименченко Д.В. Активизация познавательной деятельности учащихся в процессе формирования вычислительных навыков //Начальная школа – 1989 - №10 – 11 – с.62-64

22 Клицкина А.И. Формирование навыков табличного умножения //Начальная школа – 2001 - №9

23 Козлова Н.М. Для формирования вычислительных навыков //Начальная школа – 1989 - №10-11 – с.89-91

24 Колягин Ю.М. Методика преподавания математики – М.: Просвещение, 1975 – с.194

25 Купчин Л.С. Элементы занимательности при отработке навыков табличного умножения и соответствующих случаев деления //Начальная школа – 1991 -№10-с.37-38

26 Крутецкий В.А. Психология – М.: Просвещение, 1980 – с.113

27 Математика в понятиях, определениях и терминах – М.: Просвещение, 1978

28 Менчинская Н.А., Моро М.И. Вопросы методики и психологии обучения арифметике в начальных классах – М.: Просвещение, 1965 – с.224

29 Моро М.И., Бантова М.И., Бельтюлова Г.В. Математика. Учебник для 3-го класса четырёхлетней школы – М.: Просвещение, 1987

30 Моро М.И. Методика обучения математике. Пособие для учителя – М.: Просвещение, 1975 –с.330

31 Моро М.И. Самостоятельная работа учащихся на уроках арифметики в начальных классах – М.: Просвещение, 1978 – с.225

32 Никиткина М.П. Учимся выполнять действия с числами //Начальная школа – 2001 - №8 – с.72-75

33 Оспанов Т.К., Утеева К.А. Математика. Учебник для 3-го класса общеобразовательной школы – Алматы: Рауан, 1999

34 Основы методики начального обучения математики /Под. Ред. Пчелко А.С. – М.: Просвещение, 1965 – с.125

35 Подласый И.П. Педагогика – М.: Просвещение, 1980 – с.390

36 Пидкасистый П.И. Самостоятельная деятельность учащихся – М.: Педагогика, 1972 – с.133

37 Полозова Т.И. Роль самоконтроля в формировании вычислительных навыков //Начальная школа – 1985 - №3 – с. 65-67

38 Программно-методические материалы. Математика. Начальная школа /Сост. Петрова И.А. – М.: Дрофа, 1998 – с.46

39 Практикум по методике начального обучения математике /Под ред. В.Л. Дрозда, А.А. Столяра, Л.В. Савицкой – Минск: Высшая школа, 1984 – с.32

40 Рудовская Н.В. Для овладения вычислительными приёмами //Начальная школа – 1992 - №3- 58-61

41 Роганова М.Ф. Организация самостоятельной работы на уроках //Начальная школа – 1989 - №8 – с.42-44

42 Уткина Н.Г. Устные вычисления //Начальная школа – 1980 - № 9 – с.39-40

43 Уткина Н.Г., Улитина И.В., Юдачева Т.В. Сборник упражнений и работ по математике для начальной школы – М.: АРКТИ, 1998 – с.78

44 Шиханович Ю.А. Введение в современную математику – М.: Наука, 1965-с.165

Приложение А

Классный час

Тема: Экскурс в историю арифметики.

Цель: познакомить детей с развитием науки арифметики; с возникновением таблиц умножения и деления и их авторами; с историей появления знаков + (плюс), - (минус), х (умножить), : (разделить). Развивать любознательность. Воспитывать интерес к математике.

Оборудование: демонстрационные таблицы умножения: Шюке, Видмана, Магницкого. У каждого ученики мантия и шапочка учёного.

Ход: организационный момент.

Учитель: Сегодня мы совершим экскурс в историю, побываем на заседании учёного совета и узнаем о возникновении науки математики.

Ученики (в роли древних учёных) сидят за круглым столом в мантиях и шапочках. Секретарь звонит в колокольчик – в класс входит царица наук - Математика (учитель в роли Математики, надев на себя мантию и шапочку).

Математика: Заседание научного совета считать открытым.

Секретарь: На повестке дня вопрос: возникновение и совершенствование таблиц умножения и деления.

- Госпожа Математика, расскажите о своём рождении.

Математика: Математика, как и все другие науки, возникла из потребностей практической деятельности людей. На очень ранней ступени развития у человека возникла необходимость подсчитывать количество добычи или урожая, измерять земельные участки, определять вместимость сосудов, вести счёт времени. Для удовлетворения этих нужд и возникли примитивные способы счёта, т.е. начало математики.

Секретарь: В древности не все люди были знакомы с письменностью, как же они в таком случае выполняли расчёты?

Математика: Все расчёты производились в уме.

Аристотель: В своих школах мы учили детей считать устно, ибо: «Способность к устным вычислениям имеет громадное значение в обращении с числами для умножения прочих.»

Диофант: Для того, чтобы производить в уме сложные расчёты нужно хорошо знать сложение, вычитание и умножение чисел.

Математика: Для облегчения вычислений как устных, так и письменных, учёными были созданы разные таблицы: сложения, умножения.

Древний учёный: Коллеги, а ведь в 21 веке люди пользуются теми же таблицами, что и 5000 лет назад.

Секретарь: Господа учёные, до нас дошли сведения, что некоторые люди отказываются изучать таблицу умножения, говоря, что этим должны заниматься те, кому это положено по должности!

Ашурбанипал: Да что вы говорите? Даже я, король, живший более 3000 лет назад, считаю, что знать таблицу умножения необходимо. А в свободное время «…я совершаю запутаннейшие действия умножения и деления, которые едва выполнимы. И я считаю, что это есть хорошая тренировка ума и памяти».

Учёные: Мы с вами полностью согласны!

Секретарь: Госпожа Математика! Поведайте нам, пожалуйста, о возникновении таблиц умножения.

Математика: Для облегчения вычислений как устных, так и письменных, служили готовые таблицы результатов разных действий над числами. История таких таблиц имеет начало в очень глубокой древности. Более 3000 лет до н.э. у народов древнего Вавилона имелись в обращении разнообразные арифметические таблицы, известные нам теперь в большом количестве. Самые древние, дошедшие до нас таблицы сложения, вычитания, умножения и деления, даны в учебнике арифметики армянского математика Анании из Ширака VII века нашей эры. Сегодня я предлагаю вашему вниманию несколько таблиц умножения. Господа учёные, вам слово!

Шюке: В 1484 году я предложил людям пользоваться таблицей, которая построена в виде треугольника, где вне рамки расположены множители, верхняя строка каждой полосы содержит множимые, под каждым из которых записано произведение. Так, например, вторая полоса даёт 2х2=4, 2х3=6 и так далее; третья полоса: 3х3=9, 3х4=12 и так далее. В третьей полосе уже нет произведений 3х1=3, 3х2=6, так как эти случаи умножения были в первой и второй полосах в виде 1х3=3, 2х3=6. Таким образом, каждая полоса сокращается по сравнению с предыдущей на одно умножение.

Таблица умножения Шюке

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

2 3 4 5 6 7 8 9 0

2 4 6 8 10 12 14 16 18 0

3 4 5 6 7 8 9 0

3 9 12 15 18 21 24 27 0

4 5 6 7 8 9 0

4 16 20 24 28 32 36 0

5 6 7 8 9 0

5 25 30 35 40 45 0

6 7 8 9 0

6 36 42 48 54 0

7 8 9 0

7 49 56 63 0

8 9 0

8 64 72 0

9 0

9 81 0

0

0 0

Ребёнок-учёный по ходу объяснения демонстрирует таблицу.

Видман: В 1489 году я поместил таблицу в печатной книге и немного

изменил её. Например, пусть надо найти 4х7. По столбцу, над которым

расположен на правом краю вне сетки фигуры меньший сомножитель 4,

спускаемся до строки, в левом конце которой находим больший сомножитель 7.

Искомое произведение найдётся в клетке, в которой встречаются столбец и строка, соответствующие сомножителям

Таблица умножения Видмана

1 2

2 4 3

3 6 9 4

4 8 12 16 5

5 10 15 20 25 6

6 12 18 24 30 36 7

7 14 21 28 35 42 49 8

8 16 24 32 40 48 56 64 9

9 18 27 36 45 54 63 72 81

Магницкий: А я, в своей книге «Арифметика», даю таблицу умножения в более простой форме. Каждый следующий столбик таблицы у меня сокращается на одну строку по сравнению с предыдущим, так что в последнем столбике остаются лишь строки:

2 4 3 9

3 6 4 12

4 8 5 15

5 10 6 18

2-жды 6 есть 12 3-жды 7 есть 21

7 14 8 24

8 16 9 27

9 18 10 30

10 20

9 81

9-ю есть

10 90

Кроме того, свою таблицу я сопровождаю стихами:

Аще кто не твердит

Таблицы и гордит,

Не может познати

Числом, что множати

И во всей науки

Небосвод от муки,

Колико не учит

Туне ся удручит,

И в пользу не будет,

Ащё ю забудет.

Секретарь: Большое спасибо господа учёные! Госпожа математика, на основе какого закона учёные сократили свои таблицы умножения, и кто был автором данного закона?

Математика: Ваш вопрос вполне уместен, такой вопрос часто задают мне, и своим учителям, дети. Этот вопрос я адресую Евклиду, автору данного закона.

Евклид: Ещё в III веке до н.э. в 16-м приложении VII книги «Начал» я доказал равенство axb= =bха, таким образом был выведен и научно доказан переместительный закон умножения и сложения.

Секретарь: Спасибо за информацию. Госпожа Математика, как мы все уже успели заметить, в древности практически не употреблялись математические знаки. Когда же они появились и кто их авторы?

Математика: Вы правы. До конца XVI века в арифметике на применяли какие-либо символы. В XVII и XVIII веках международные научные журналы выдвинули вопрос о создании общих интернациональных символов. Знаки + и - появляются как бы случайно у Видмана в 1489году, Стифеля в 1545 году, Ризе в 1550 году. Первой печатной книгой, в которой появились данные знаки, является руководство Грамматеуса в 1518 году. Знак умножения (х) ввёл Аутрид в 1631 году, возможно по аналогии со знаком +. А вот точка ( ), в качестве знака умножения, появляется у Региомонтана (1436-1476гг.), затем у Харриота в 1631 году. Горизонтальная чёрточка в качестве знака деления имеется у Леонарда Пизанского в XIII веке и позаимствована им от арабов. Знак деления, виде двоеточия (:), впервые встречается у Джонсона в 1633 году. Пелль (1610-1685гг.) вводит знак деления :, который употребляется до сих пор нередко в Англии и Америке.

Секретарь: Ну, что господа учёные и вы уважаемая царица наук Математика, я надеюсь, что все ученики поняли важность изучения наук, а в особенности – Математики. И после такой экскурсии с особым усердием будут изучать и составлять таблицы умножения и деления, а в будущем возможно займут достойное место среди великих математиков всех времён и народов.

Математика: Всем спасибо за внимание. Я всегда рада помочь всем нуждающимся в моей помощи.

Совместная деятельность учителя и учащихся при формировании вычислительных навыков