Элементы специальной теории относительности

Лекция

Элементы специальной теории относительности

План

1. Введение
2. Принцип относительности Галилея Преобразования Галилея.
3. Принцип относительности Эйнштейна. Преобразования Лоренца
4. Следствия из преобразований Лоренца
5. Релятивистское выражение для энергии
6. Частицы с нулевой массой
7. Эффект Доплера (продольный)
8. Выводы 1905 г

1. Введение

В 1905г. А.Эйнштейн создал специальную теорию относительности (СТО). Эта теория пространства и времени для случая слабых гравитационных полей. В основе этой теории лежат два постулата: принцип относительности Эйнштейна и принцип постоянства скорости света.

В начале рассмотрим принцип относительности Галилея.

Простейшее движение твердого тела – поступательное, равномерное, прямолинейное. Соответственно этим простейшим относительным движениям системы отсчета – поступательная, равномерная, прямолинейная. Если одна из систем отсчета условно неподвижна, то вторая движется относительно первой со скоростью .

2. Принцип относительности Галилея.

Во всех системах координат, движущихся равномерно и прямолинейно относительно системы неподвижных звезд и друг относительно друга, все механические явления протекают, совершено одинаково. Такие системы координат называются инерциальными. В настоящее время принцип относительности Галилея с большой точностью экспериментально доказан для механических и электромагнитных явлений.

Преобразования Галилея.

Пусть система и движутся со скоростью . Отсчет времени t начинаем с момента совпадения начала координат. Тогда координаты произвольной точки Р в этих системах:

t – время перемещения.

В Ньютоновской механике предполагаем, что время во всех системах отсчета течет одинаково.

Таким образом, в перемещающейся системе вдоль y характер движения может быть произвольным. Совокупность четырех уравнений – преобразования Галилея.

Продифференцируем первое уравнение по времени, учтя, что

- проекция скорости частицы в системе на ось .

Следовательно:

Дифференцируем 2 и 3 уравнения:

;

то есть

;

то есть

Иначе:

Это уравнение – формула преобразования скорости частицы от системы к .

Дифференцирование по времени последнего уравнения:

Ускорение частицы относительно систем К и одинаковы.

Законы механики одинаковы во всех инерциальных системах отсчета – Принцип относительности Галилея.

Величины, которые имеют одно и то же числовое значение, во всех системах отсчета, называются инвариантными: промежуток времени, масса, ускорение, сила, длина предмета.

Эйнштейн вводит в физику принцип постоянства скорости света.

Скорость света в вакууме не зависит от движения источников света и, следовательно, одинакова во всех инерциальных системах отсчета. Впервые скорость света была измерена в 1676г. 300000км\с. Справедливость постоянной c=const была доказана Майкельсоном и Морли в 1887 году.

Итак, с инварианта во всех инерциальных системах координат , считается так же на данном этапе исследований Вселенной, что с = max. Существование предельной скорости приводит к тому, что понятие одновременности становится относительным. Например, в середине поезда зажигается световой сигнал. Если наблюдатель находится в центре поезда, то он отметит одновременное достижение света хвоста и головы поезда. Дежурный на станции отметит, что сигнал достиг хвоста раньше, чем головы. Скорость передачи информации – скорость света – конечна, поэтому путь, проделанный световым сигналом от конца поезда до дежурного меньше пути, проделанного световым сигналом от головы до дежурного, поэтому и время будет различно, хотя очень незначительно. Значительность этого эффекта будет проявляться при скоростях движения объектов, близких к скорости света. Значит, время течет по-разному в различных системах отсчета, но почувствовать это реально можно только при движении объектов со скоростями, близких к С.

Преобразования Лоренца.

Постулат постоянства скорости света в различных инерциальных системах отсчета приводит к неправомерности преобразований Галилея.

Преобразования Галилея были заменены преобразованиями Лоренца.

Пусть в К происходит событие – явление физическое. Оно характеризуется (), в ().

Найдем формулы, связывающие эти события в двух системах. Мы считаем пространство однородным изотропным, то есть свойства пространства по различным направлениям одинаковы.

Однородность времени – есть одинаковость развития данной физической ситуации независимо от того, в какой момент времени эта ситуация сложилась. Из однородности пространства и времени следует, что преобразования Лоренца линейные. Линейность преобразований означает введение постоянного коэффициента .

Из рисунка следует, что плоскость совпадает с ,

;

Линейное преобразование:

;

Воспользуемся принципом постоянства скорости света. Отсчет времени с момента совпадения и .

==0 – посылаем световой сигнал, создающий вспышку на экране.

Это событие в

в

Перемножаем левую и правую части

Отсюда:

Отсюда:

Преобразования Лоренца

В этих формулах перемешаны координаты и время – взаимосвязь пространства и времени.

То есть, допустим постоянство скорости света, мы приходим к выводу о различном ходе времени в покоящихся и движущихся системах (Эйнштейн).

В соответствии с вышесказанным принцип относительности Эйнштейна – уравнения, выражающие законы природы, инварианты по отношению к преобразованиям Лоренца. В пределах при преобразования Лоренца. Таким образом, различие в течение времени в разных инерциальных системах отсчета обусловлено существованием предельной скорости распространения информации о явлениях. При скоростях преобразования Лоренца очень близки к () преобразованиям Галилея. Значит преобразования Галилео сохраняют свое значение для скорости малых по сравнению со скоростью света.

Различие при малых скоростях незначительно поэтому долго оставалось незамеченным.

Следствия из преобразований. С точки зрения Ньютоновской механики они необычны и проявляются на - релятивистические скорости.

1. Относительность одновременности.

Значит, в системе эти события произойдут не одновременно. Понятие одновременности не имеет абсолютного значения, независимого от системы координат.

2. Замедление хода движущихся часов.

Пусть в движущейся системе в момент и

Происходят два события в одной и той же точке. В неподвижной системе эти события зафиксируются в различные моменты:

И в различных точках и

То есть интервал времени, измеренный покоящимся часами, больше, чем часами в движущейся системе координат. Собственное время – время, измеряемое по часам, связанным с движущейся точкой. Собственное время есть инвариант относительно преобразований Лоренца. Замедление времени в движущихся системах экспериментально доказано. Например, при работе на современных ускорителях, где приходится направлять частицы от источника до регистратора. Если бы не было эффекта замедления времени, то регистрация частиц была бы невозможным, потому что время прохождения этих расстояний иногда в десятки и сотни раз больше собственного времени жизни частиц.

3. Длина тел в различных системах.

Стержень в покоится, его длина Относительно К стержень движется со скоростью

Длина стержня, измеренная в неподвижной системе, окажется меньше истинной. Итак, у движущихся тел размеры их в направлении движения сокращаются тем больше, чем больше скорость движения (Лоренцово сокращение).

4. Согласно теории относительности масса движущегося тела возрастает с ростом скорости по сравнению с массой покоя то:

Тогда согласно III закону Ньютона:

Релятивистский импульс

Эйнштейн в качестве важнейшего следствия специальной теории относительности ввел закон

, где

Е – полная энергия, заключенная в m.

Если ; ; - энергия покоя, m – масса покоя.

Кинетическая энергия:

Связь полной энергии с импульсом при

5. Релятивистский импульс.

Уравнения Ньютона инвариантны по отношению к преобразованиям Галилея. Но не инвариантны по отношению к преобразованиям Лоренца

Итак, зависимость импульса от скорости – сложнее, чем в механике Ньютона. Полученный результат означает, что закон сохранения импульса по отношению к не выполняется.

В виде:

Частицы с нулевой массой.

Ньютоновская механика не допускает существования частиц с m=0 с точки зрения релятивистской механики такие частицы могут существовать при v=c

v = c;

m = 0, (отношение 0/0) представляет собой неопределенность, которая может равняться конечному числу. Частицы с m = 0 существуют при

v = c. К частицам с (фотон).

Полная энергия частиц.

Неподвижная частица обладает энергией покоя

- внутренняя энергия частицы.

Изменение энергии покоя приводит к изменению массы частицы

Суммарная масса взаимодействия частиц не сохранится, она увеличится на величину кинетической энергии частиц. При распаде частиц – суммарная масса образовавшихся частиц уменьшается на величину кинетической энергии частиц

Сумма массы до распада.

- полная энергия до распада.

Суммарная масса образованных частиц:

Работа атомных реакторов:

Релятивистское выражение для энергии

Второй закон Ньютона через импульс:

В отличие от ньютоновской механики сила F в релятивистской механике не является инвариантной. Работа равна приращению кинетической энергии.

Левую и правую часть умножим на:

,

- перемещение частицы.

Работа значит – правая часть, левая часть –приращение кинетической энергии.

Интегрируем:

При , т.е. формулы релятивистской механики переходят в формулы ньютоновской механики.

В ньютоновской механике полная энергия равна сумме потенциальной и кинетической энергии. В релятивистской механике полная энергия равна сумме кинетической энергии и энергии покоя.

Эффект Доплера.

Он заключается в том, что воспринимая частоты света, приходящие от движущегося источника, не совпадает с частотой колебаний света.

1. Эффект Доплера носит чисто релятивистский характер. Угол между скоростью источника и направлением на приемник равен 90 градусом. Согласно классической теории изменения частоты не должно быть, но сточки зрения СТО произойдет смещение частоты.

Существование поперечного эффекта Доплера было доказано экспериментально Айвсом в 1938 году. Определялось изменение частоты излучения атомов водорода в пучке положительных атомов.

1. Продольный эффект Доплера наблюдается в том случае, когда угол между скоростью и поправки на приемник 0 и 180 градусов.

Закон сложения скоростей.

Формулы отличаются лишь знаком перед v.

Пусть

Тогда:

Если

Результирующая скорость в любом случае не превышает скорость света.

Элементы специальной теории относительности