Тройной интеграл и его свойства

лухов Ю.П. Конспект лекций по высшей математике 6

Лекция 31

ТЕМА: Тройной интеграл и его свойства

План.

Тройной интеграл и его свойства.
Вычисление тройного интеграла.
Криволинейные системы координат.
Якобиан и его геометрический смысл.
Замена переменных в кратных интегралах.
Переход к цилиндрическим и сферическим координатам в тройном интеграле.
Практическое применение тройного интеграла.

Тройной интеграл

Понятие тройного (а в дальнейшем – т-мерного) интеграла вводится по аналогии с двойным интегралом.

Пусть в пространстве задана некоторая область V, ограниченная замкнутой поверхностью S. Зададим в этой замкнутой области непрерывную функцию f(x, y, z). Затем разобьем область V на произвольные части vi , считая объем каждой части равным vi , и составим интегральную сумму вида

, (25.1)

где точка Pi принадлежит vi . Пусть – наибольшее расстояние между двумя точками любой части области V.

Определение. Предел при интегральных сумм (25.1), не зависящий от способа разбиения области V, называется тройным интегралом от функции f(x, y, z) по области V: (25.2)

Замечание 1. Условие непрерывности подынтегральной функции не является обязатель-ным для существования кратного (двойного, тройного и т.д.) интеграла, но исследование вопросов, связанных с интегрированием разрывных функций, выходит за рамки нашего курса.

Замечание 2. Все сформулированные ранее свойства двойного интеграла можно распространить на тройной интеграл.

Замечание 3. Подобным образом можно дать определение интеграла любой кратности, рассматривая функцию п переменных, заданную в замкнутой области п-мерного пространства.

Процедура вычисления тройного интеграла аналогична соответствующей операции для двойного интеграла. Для ее описания введем понятие правильной трехмерной области:

Определение. Трехмерная область V, ограниченная замкнутой поверхностью S, называется правильной, если:

любая прямая, параллельная оси Оz и проведенная через внутреннюю точку области, пересекает S в двух точках;
вся область V проектируется на плоскость Оху в правильную двумерную область D;
любая часть области V, отсеченная от нее плоскостью, параллельной какой-либо из координатных плоскостей, обладает свойствами 1) и 2).

z z=(x,y)

z=(x,y)

a y

b y=1(x) D

y=2(x)

Рис.1.

Рассмотрим правильную область V, ограниченную снизу и сверху поверхностями z=(x,y) и z=(x,y) и проектирующуюся на плоскость Оху в правильную область D, внутри которой х изменяется в пределах от а до b, ограниченную кривыми y=1(x) и y=2(x) (рис.1). Зададим в области V непрерывную функцию f(x, y, z).

Определение. Назовем трехкратным интегралом от функции f(x, y, z) по области V выражение вида:

. (25.3)

Трехкратный интеграл обладает теми же свойствами, что и двукратный. Перечислим их без доказательства, так как они доказываются аналогично случаю двукратного интеграла.

Если область V разбить на две области V1 и V2 плоскостью, параллельной какой-либо из координатных плоскостей, то трехкратный интеграл по области V равен сумме трехкратных интегралов по областям V1 и V2.
Если т и М – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x,y,z) в области V, то верно неравенство . mV IV MV,

где V – объем данной области, а IV – трехкратный интеграл от функции f(x,y,z) по области V.

Трехкратный интеграл IV от непрерывной функции f(x,y,z) по области V равен произведению его объема V на значение функции в некоторой точке Р области V: (25.4)

Вычисление тройного интеграла

Теорема 1. Тройной интеграл от функции f(x,y,z) по правильной области V равен трехкратному интегралу по той же области:

. (25.5)

Доказательство.

Разобьем область V плоскостями, параллельными координатным плоскостям, на п правильных областей . Тогда из свойства 1 следует, что

где - трехкратный интеграл от функции f(x,y,z) по области .

Используя формулу (25.4), предыдущее равенство можно переписать в виде:

Из условия непрерывности функции f(x,y,z) следует, что предел интегральной суммы, стоящей в правой части этого равенства, существует и равен тройному интегралу . Тогда, переходя к пределу при , получим:

IV = ,

что и требовалось доказать.

Замечание.

Аналогично случаю двойного интеграла можно доказать, что изменение порядка интегрирования не меняет значения трехкратного интеграла.

Пример. Вычислим интеграл где V – треугольная пирамида с вершинами в точках (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) и (0, 0, 1). Ее проекцией на плоскость Оху является треугольник с вершинами (0, 0), (1, 0) и (0, 1). Снизу область ограничена плоскостью z = 0, а сверху – плоскостью x + y + z = 1. Перейдем к трехкратному интегралу:

Множители, не зависящие от переменной интегрирования, можно вынести за знак соответствующего интеграла:

Криволинейные системы координат в трехмерном пространстве

Цилиндрическая система координат

Цилиндрические координаты точки Р(,,z) – это полярные координаты , проекции этой точки на плоскость Оху и аппликата данной точки z (рис.2).

z z

• P(,,z) • P(,,)

y O y

Рис.2 x Рис.3

Формулы перехода от цилиндрических координат к декартовым можно задать следующим образом:

x = cos, y = sin, z = z. (25.6)

Сферическая система координат

В сферических координатах положение точки в пространстве определяется линейной координатой – расстоянием от точки до начала декартовой системы координат (или полюса сферической системы), – полярным углом между положительной полуосью Ох и проекцией точки на плоскость Оху, и – углом между положительной полуосью оси Оz и отрезком OP (рис.3). При этом

Зададим формулы перехода от сферических координат к декартовым:

x = sin cos, y = sin sin, z = cos. (25.7)

Якобиан и его геометрический смысл

Рассмотрим общий случай замены переменных в двойном интеграле. Пусть в плоскости Оху дана область D, ограниченная линией L. Предположим, что х и у являются однозначными и непрерывно дифференцируемыми функциями новых переменных u и v:

x = (u, v), y = (u, v). (25.8)

Рассмотрим прямоугольную систему координат Оuv, точка Р(u, v) которой соответствует точке Р(х, у) из области D. Все такие точки образуют в плоскости Оuv область D, ограниченную линией L. Можно сказать, что формулы (9.6) устанавливают взаимно однозначное соответствие между точками областей D и D. При этом линиям u = const и

v = const в плоскости Оuv будут соответствовать некоторые линии в плоскости Оху.

v y u u+u

•P

v+v v+v

v •P

O u u+u u O x

Рис. 4 .

Рассмотрим в плоскости Оuv прямоугольную площадку S, ограниченную прямыми u = const, u+u = const, v = const и v+v = const. Ей будет соответствовать криволинейная площадка S в плоскости Оху (рис.4). Площади рассматриваемых площадок тоже будем обозначать S и S. При этом S = u v. Найдем площадь S. Обозначим вершины этого криволинейного четырехугольника Р1, Р2, Р3, Р4, где

P1(x1, y1), x1 = (u, v), y1 = (u, v);

P2(x2, y2), x2 = (u+u, v), y2 = (u+u, v);

P3(x3, y3), x3 = (u+u, v+v), y3 = (u+u, v+v);

P4(x4, y4), x4 = (u, v+v), y4 = (u, v+v).

Заменим малые приращения u и v соответствующими дифференциалами. Тогда

При этом четырехугольник Р1 Р2 Р3 Р4 можно считать параллелограммом и определить его площадь по формуле из аналитической геометрии:

(25.9)

Определение. Определитель называется функциональным определителем или якобианом функций (х, у) и (х, у).

Переходя к пределу при в равенстве (25.9), получим геометрический смысл якобиана:

, (25.10)

то есть модуль якобиана есть предел отношения площадей бесконечно малых площадок S и S.

Замечание. Аналогичным образом можно определить понятие якобиана и его геометрический смысл для п-мерного пространства: если x1 = 1(u1, u2,…,un), x2 = 2(u1, u2,…,un),…, xn = (u1, u2,…, un), то

(25.11)

При этом модуль якобиана дает предел отношения «объемов» малых областей пространств х1, х2,…, хп и u1, u2,…, un .

Замена переменных в кратных интегралах

Исследуем общий случай замены переменных на примере двойного интеграла.

Пусть в области D задана непрерывная функция z = f(x,y), каждому значению которой соответствует то же самое значение функции z = F(u, v) в области D, где

F(u, v) = f((u, v), (u, v)). (25.12)

Рассмотрим интегральную сумму

где интегральная сумма справа берется по области D. Переходя к пределу при , получим формулу преобразования координат в двойном интеграле:

(25.13)

Аналогичным образом можно вывести подобную формулу для тройного интеграла:

(25.14)

где x = (u, v, w), y = (u, v, w), z = (u, v, w),

, (25.15)

а область V пространства Оxyz отображается в область V пространства Ouvw.

Переход к цилиндрическим и сферическим координатам

в тройном интеграле

Найдем, используя формулы (25.6), (25.7) и (25.15), якобианы перехода от декартовых координат к цилиндрическим и сферическим:

для цилиндрических координат

(25.16)

для сферических координат

(25.17)

Тогда формулы перехода к цилиндрическим или сферическим координатам в тройном интеграле будут выглядеть так: (25.18)

где смысл обозначений понятен из предыдущего текста.

Примеры

Вычислим интеграл от функции по области, ограниченной поверхностями x + y = 1, y = 0, y = x, z = 0, z = 1.

Пусть подынтегральная функция u = 1, а область интегрирования – шар радиуса R с центром в начале координат. Тогда

Практическое применение тройного интеграла

Объем тела.

Из определения тройного интеграла следует, что при f(x, y, z) 1 тройной интеграл по некоторой замкнутой области V равен объему тела V:

(28.10)

Масса тела.

Если = (x, y, z) – функция, задающая плотность вещества, из которого состоит тело V, то масса тела выражается формулой

(28.11)

Момент инерции тела.

Используя формулы для моментов инерции точки М (x, y, z) массы т относительно координатных осей:

и проводя те же рассуждения, что и при определении моментов плоской фигуры, можно задать моменты инерции тела относительно координатных осей в виде:

(28.12)

где (х, y, z) – плотность вещества.

Координаты центра масс тела.

Формулы для координат центра масс тела тоже задаются аналогично случаю плоской фигуры:

(28.13)

афедра информатики и высшей математики КГПУ

Тройной интеграл и его свойства