Поверхности второго порядка

Глухов Ю.П. Конспект лекций по высшей математике

Лекция 14

ТЕМА: Поверхности второго порядка

План.

Поверхности второго порядка.*
Цилиндрическая и сферическая системы координат.*

Поверхности второго порядка

Определение. Поверхностью второго порядка называется множество точек трехмерного пространства, декартовы координаты которых удовлетворяют уравнению вида:

- (1)

уравнению второй степени от трех неизвестных, называемому общим уравнением поверхности второго порядка.

Если найти собственные числа и нормированные собственные векторы матрицы квадратичной формы и перейти к системе координат, определяемой базисом из ортонормированных собственных векторов, уравнение (1) можно привести к одному из следующих видов:

Если 1, 2, 3 – одного знака, уравнение (1) есть уравнение эллиптического типа и приводится к канонической форме:

а) - (2)

каноническое уравнение эллипсоида.

Замечание. Если два собственных числа совпадают, эллипсоид называется эллипсоидом вращения и представляет собой поверхность, полученную в результате вращения эллипса вокруг одной из его осей. Если все собственные числа равны, уравнение (2) становится уравнением сферы.

б) - (3)

уравнение задает точку в пространстве;

в) - (4)

пустое множество.

Если собственные числа разных знаков, уравнение (1) приводится к каноническому виду:

а) - каноническое уравнение однополостного гиперболоида, (5)

б) - (6)

каноническое уравнение двуполостного гиперболоида,

в) - (7)

уравнение конуса второго порядка.

Одно из собственных чисел равно 0. При этом с помощью преобразований координат можно получить следующие формы уравнения (1):

а) - (8)

каноническое уравнение эллиптического параболоида,

б) - (9)

каноническое уравнение гиперболического параболоида

и уравнения цилиндрических поверхностей:

в) - эллиптический цилиндр, (10)

г) - гиперболический цилиндр. (11)

Наконец, уравнение может определять пару плоскостей:

д) . (12)

Если два собственных числа равны 0, уравнение (1) приводится к одному из следующих видов:

а) - параболический цилиндр, (13)

б) - пара параллельных плоскостей, (14)

в) - пустое множество.

Цилиндрические поверхности.

Определение. Цилиндрическими поверхностями называются поверхности, образованные линиями, параллельными какой-либо фиксированной прямой.

Рассмотрим поверхности, в уравнении которых отсутствует составляющая z, т.е. направляющие параллельны оси Оz. Тип линии на плоскости ХOY (эта линия называется направляющей поверхности) определяет характер цилиндрической поверхности. Рассмотрим некоторые частные случаи в зависимости от уравнения направляющих:

- эллиптический цилиндр.

2) - гиперболический цилиндр.

x2 = 2py – параболический цилиндр.

Поверхности вращения.

Определение. Поверхность, описываемая некоторой линией, вращающейся вокруг неподвижной прямой d, называется поверхностью вращения с осью вращения d.

Если уравнение поверхности в прямоугольной системе координат имеет вид:

F(x2 + y2, z) = 0, то эта поверхность – поверхность вращения с осью вращения Оz.

Аналогично: F(x2 + z2, y) = 0 – поверхность вращения с осью вращения Оу,

F(z2 + y2, x) = 0 – поверхность вращения с осью вращения Ох.

Запишем уравнения поверхностей вращения для некоторых частных случаев:

- эллипсоид вращения
- однополостный гиперболоид вращения
- двуполостный гиперболоид вращения
- параболоид вращения

Аналогично могут быть записаны уравнения для рассмотренных выше поверхностей вращения, если осью вращения являются оси Ох или Оу.

Однако, перечисленные выше поверхности являются всего лишь частными случаями поверхностей второго порядка общего вида, некоторые типы которых рассмотрены ниже:

Сфера:

Трехосный эллипсоид:

В сечении эллипсоида плоскостями, параллельными координатным плоскостям, получаются эллипсы с различными осями.

Однополостный гиперболоид:

Двуполостный гиперболоид:

Эллиптический параболоид:

Гиперболический параболоид:

Конус второго порядка:

Цилиндрическая и сферическая системы координат.

Как и на плоскости, в пространстве положение любой точки может быть определено тремя координатами в различных системах координат, отличных от декартовой прямоугольной системы. Цилиндрическая и сферическая системы координат являются обобщением для пространства полярной системы координат.

Введем в пространстве точку О и луч l, выходящий из точки О, а также вектор . Через точку О можно провести единственную плоскость, перпендикулярную вектору нормали .

Для введения соответствия между цилиндрической, сферической и декартовой прямоугольной системами координат точку О совмещяют с началом декартовой прямоугольной системы координат, луч l – с положительным направлением оси х, вектор нормали – с осью z.

Цилиндрическая и сферическая системы координат используются в тех случаях, когда уравнение кривой или поверхности в декартовой прямоугольной системе координат выглядят достаточно сложно, и операции с таким уравнением представляются трудоемкими.

Представление уравнений в цилиндрической и сферической системе позволяет значительно упростить вычисления.

0 x

ОМ1 = r; MM1 = h;

Если из точки М опустить перпендикуляр ММ1 на плоскость, то точка М1 будет иметь на плоскости полярные координаты (r, ).

Определение. Цилиндрическими координатами точки М называются числа (r, , h), которые определяют положение точки М в пространстве.

Определение. Сферическими координатами точки М называются числа (r,,), где - угол между и нормалью.

Связь цилиндрической и декартовой прямоугольной

системами координат.

Аналогично полярной системе координат на плоскости можно записать соотношения, связывающие между собой различные системы координат в пространстве. Для цилиндрической и декартовой прямоугольной систем эти соотношения имеют вид:

h = z; x = rcos; y = rsin; cos = ; sin = .

Связь сферической системы координат с

декартовой прямоугольной.

В случае сферической системы координат соотношения имеют вид:

Кафедра информатики и высшей математики КГПУ

Поверхности второго порядка