Введение в математический анализ

PAGE 1

Глухов Ю.П. Конспект лекций по высшей математике.

Лекция 16

ТЕМА: Введение в математический анализ

План.

1. Бесконечно малые функции и их свойства.
2. Основные теоремы о пределах. Замечательные пределы.
3. Натуральный логарифм и гиперболические функции.
4. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые, их применение к вычислению пределов.

Бесконечно малые функции

Определение. Функция у=(х) называется бесконечно малой при хх0, если

Свойства бесконечно малых

1. Сумма двух бесконечно малых есть бесконечно малая.

Доказательство. Если (х) и (х) – бесконечно малые при хх0, то существуют 1 и 2 такие, что |(x)|</2 и |(x)|</2 для выбранного значения . Тогда |(x)+(x)||(x)|+|(x)|<, то есть |((x)+(x))-0|<. Следовательно,, то есть (х)+(х) – бесконечно малая.

Замечание. Отсюда следует, что сумма любого конечного числа бесконечно малых есть бесконечно малая.

1. Если (х) – бесконечно малая при хх0, а f(x) – функция, ограниченная в некоторой окрестности х0, то (х)f(x) – бесконечно малая при хх0.

Доказательство. Выберем число М такое, что |f(x)|<M при |x-x0|<1, и найдем такое 2, что |(x)|</M при |x-x0|<2. Тогда, если выбрать в качестве меньшее из чисел 1 и 2, |(x)f(x)|<M/M=, то есть (х)f(x) – бесконечно малая.

Следствие 1. Произведение бесконечно малой на конечное число есть бесконечно малая.

Следствие 2. Произведение двух или нескольких бесконечно малых есть бесконечно малая.

Следствие 3. Линейная комбинация бесконечно малых есть бесконечно малая.

1. (Третье определение предела). Если , то необходимым и достаточным условием этого является то, что функцию f(x) можно представить в виде f(x)=A+(x), где (х) – бесконечно малая при хх0.

Доказательство.

1. Пусть Тогда |f(x)-A|< при хх0, то есть (х)=f(x)-A – бесконечно малая при хх0. Следовательно, f(x)=A+(x).
   1. Пусть f(x)=A+(x). Тогда значит, |f(x)-A|< при |x - x0| < (). Cледовательно,

Замечание. Тем самым получено еще одно определение предела, эквивалентное двум предыдущим.

Основные теоремы о пределах

Теорема 1. Если существуют и , то существует и

Доказательство. Используя третье определение предела, представим f(x)=A+(x), g(x)=B+(x), где (х) и (х) – бесконечно малые при хх0. Тогда f(x)+g(x)=A+B+((x)+(x))=A+B+(x), где (х)=(х)+(х) – бесконечно малая. Следовательно,

Теорема 2. Если существуют и , то существует и

Доказательство. Представим f(x)=A+(x), g(x)=B+(x), где (х) и (х) – бесконечно малые при хх0. Тогда f(x)g(x)=AB+A(x)+B(x)+(x)(x). Но A(x)+B(x)+(x)(x) – бесконечно малая (так как f(x) и g(x) ограничены в окрестности х0), следовательно,

Теорема 3. Если существуют и , то существует и

Доказательство. Представим f(x)=A+(x), g(x)=B+(x), где (х) и (х) – бесконечно малые при хх0. Тогда

где ограниченная в окрестности х0 функция, так как имеет предел, равный 1/В, а В(х)-А(х) – бесконечно малая. Поэтому - бесконечно малая, и

Теорема 4(«лемма о двух милиционерах»). Если f(x) (x) g(x) в некоторой окрестности х0 и , то существует и

Доказательство. Из условия теоремы следует, что f(x)-A(x)-Ag(x)-A. Выберем -окрестность точки х0, в которой |f(x)-A|< и |g(x)-A|<. Тогда –< f(x)-A(x)-Ag(x)-A<. Поэтому |(x)-A|<, следовательно,

Теорема 5. Если при хх0 f(x)0 и , то А0.

Доказательство. Предположим, что А<0. Тогда, выбрав =|A|/2, найдем окрестность точки х0, в которой |f(x)-A|<|A|/2, следовательно, 3А/2<f(x)<A/2, то есть f(x)<0 в рассматриваемой окрестности, что противоречит условию теоремы.

Следствие 1. Аналогично доказывается, что если f(x)0, то А0.

Следствие 2. Если f(x)g(x) и обе функции имеют пределы в точке х0, то

Замечание. Все перечисленные утверждения можно доказать для

Теорема 6 (без доказательства). Ограниченная и возрастающая при a<x<b (a<x<) функция имеет предел при х (х).

Замечательные пределы

Теорема 7(первый замечательный предел)..

Доказательство. Рассмотрим окружность единичного радиуса с центром в начале координат и будем считать, что угол АОВ равен х (радиан). Сравним площади треугольника АОВ, сектора АОВ и треугольника АОС, где прямая ОС – касательная к окружности, проходящая через точку (1;0). Очевидно, что .

у

B C

A x

Используя соответствующие геометрические формулы для площадей фигур, получим отсюдa, что , или sinx<x<tgx. Разделив все части неравенства на sinx (при 0<x</2 sinx>0), запишем неравенство в виде: .

Тогда , и по теореме 14.4 .

Замечание. Доказанное справедливо и при x<0.

Cледствия из первого замечательного предела

1.

2.

3.

4.

5. где y = arcsinx.

6. где y = arctgx.

7.

Теорема 8(второй замечательный предел). .

Замечание. Число е2,7.

Доказательство.

1. Докажем сначала, что последовательность при имеет предел, заключенный между 2 и 3. По формуле бинома Ньютона

возрастающая переменная величина при возрастающем n. С другой стороны,

и т.д., поэтому

Следовательно, - ограниченная и возрастающая величина, поэтому она имеет предел (см. теорему 6). Значение этого предела обозначается числом е.

1. Докажем, что .

а) Пусть . Тогда

. При . Найдем пределы левой и правой частей неравенства:

Следовательно, по теореме 4 .

б) Если то и Теорема доказана.

Следствия из второго замечательного предела

1.

2. где a > 0, y = ax - 1.

3.

Натуральный логарифм и гиперболические функции

Определение. Логарифм с основанием е называется натуральным логарифмом.

Обозначение: logex=ln x.

Определение. Функции (гиперболический синус), (гиперболический косинус), (гиперболический тангенс) и (гиперболический котангенс) называются гиперболическими функциями.

Замечание 1. Гиперболические функции обладают некоторыми свойствами, похожими на свойства обычных тригонометрических функций. Например,

сhx – shx = (e2x + 2 + e-2x - e2x + 2 - e-2x)=1,

2 shx chx = 2= =sh2x,

thx=shx/chx, cthx=chx/shx,

thxcthx = =1 и т.д.

Замечание 2. Термин «гиперболические» объясняется тем, что уравнения

x = a ch t, y = a sh t, a>0,

являются параметрическими уравнениями правой ветви гиперболы x - y = a, так же, как x = a cost, y = a sint (0t2) – параметрические уравнения окружности x+y=a.

Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые, их применение к вычислению пределов

Рассмотрим функции (х) и (х), для которых то есть бесконечно малые в окрестности х0.

1. Если то (х) и (х ) называются бесконечно малыми одного порядка. В частности, если А=1, говорят, что (х) и (х) – эквивалентные бесконечно малые.
2. Если то (х) называется бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с (х).
3. Если , то (х) есть бесконечно малая порядка n по сравнению с (х).

Обозначения: (х)=О((х)) – бесконечно малые одного порядка, (х)~(х) – эквивалентные бесконечно малые, (х)=о((х)) – есть бесконечно малая более высокого порядка, чем .

Замечание 1. Используя 1-й и 2-й замечательные пределы и их следствия, можно указать бесконечно малые функции при х0, эквивалентные х: sinx, tgx, arcsinx, arctgx, ln(1+x), ex-1.

Замечание 2. При раскрытии неопределенности вида , то есть предела отношения двух бесконечно малых, можно каждую из них заменять на эквивалентную – эта операция не влияет на существование и величину предела.

Пример.

Кафедра информатики и высшей математики КГПУ

Введение в математический анализ