Аналитическая геометрия на плоскости

PAGE 14

Глухов Ю.П. Конспект лекций по высшей математике

Лекция 11

ТЕМА: Аналитическая геометрия на плоскости

План.

Кривые второго порядка.
Полярная система координат.
Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

Кривые второго порядка

Определение. Кривыми второго порядка на плоскости называются линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершину.

Если такая плоскость пересекает все образующие одной полости конуса, то в сечении получается эллипс, при пересечении образующих обеих полостей – гипербола, а если секущая плоскость параллельна какой-либо образующей, то сечением конуса является парабола.

Замечание. Все кривые второго порядка задаются уравнениями второй степени от двух переменных.

Кривая второго порядка может быть задана уравнением

Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Ey + F = 0.

Существует система координат (не обязательно декартовая прямоугольная), в которой данное уравнение может быть представлено в одном из видов, приведенных ниже.

- уравнение эллипса.
- уравнение “мнимого” эллипса.
- уравнение гиперболы.
a2x2 – c2y2 = 0 – уравнение двух пересекающихся прямых.
y2 = 2px – уравнение параболы.
y2 – a2 = 0 – уравнение двух параллельных прямых.
y2 + a2 = 0 – уравнение двух “мнимых” параллельных прямых.
y2 = 0 – пара совпадающих прямых.
(x – a)2 + (y – b)2 = R2 – уравнение окружности.

Окружность

В окружности (x – a)2 + (y – b)2 = R2 центр имеет координаты (a; b). R – радиус.

Пример. Найти координаты центра и радиус окружности, если ее уравнение задано в виде:

2x2 + 2y2 – 8x + 5y – 4 = 0.

Для нахождения координат центра и радиуса окружности данное уравнение необходимо привести к виду, указанному выше в п.9. Для этого выделим полные квадраты:

x2 + y2 – 4x + 2,5y – 2 = 0

x2 – 4x + 4 –4 + y2 + 2,5y + 25/16 – 25/16 – 2 = 0

(x – 2)2 + (y + 5/4)2 – 25/16 – 6 = 0

(x – 2)2 + (y + 5/4)2 = 121/16

Отсюда находим О(2; -5/4); R = 11/4.

Эллипс

Определение. Эллипсом называется множество точек плоскости, для которых сумма расстояний от двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная.

Уравнение эллипса .

r1 r2

F1 O F2 х

F1, F2 – фокусы. F1 = (c; 0); F2(-c; 0)

с – половина расстояния между фокусами;

a – большая полуось;

b – малая полуось.

Теорема. Фокусное расстояние и полуоси эллипса связаны соотношением:

a2 = b2 + c2.

Доказательство: В случае, если точка М находится на пересечении эллипса с вертикальной осью, r1 + r2 = 2(по теореме Пифагора). В случае, если точка М находится на пересечении эллипса с горизонтальной осью, r1 + r2 = a – c + a + c. Т.к. по определению сумма r1 + r2 – постоянная величина, то , приравнивая, получаем:

a2 = b2 + c2

r1 + r2 = 2a.

Определение. Форма эллипса определяется характеристикой, которая является отношением фокусного расстояния к большей оси и называется эксцентриситетом.

е = с/a.

Т.к. с < a, то е < 1.

Определение. Величина k = b/a называется коэффициентом сжатия эллипса, а величина 1 – k = (a – b)/a называется сжатием эллипса.

Коэффициент сжатия и эксцентриситет связаны соотношением: k2 = 1 – e2.

Если a = b (c = 0, e = 0, фокусы сливаются), то эллипс превращается в окружность.

Если для точки М(х1, у1) выполняется условие: , то она находится внутри эллипса, а если , то точка находится вне эллипса.

Теорема. Для произвольной точки М(х, у), принадлежащей эллипсу верны соотношения:

r1 = a – ex, r2 = a + ex.

Доказательство. Выше было показано, что r1 + r2 = 2a. Кроме того, из геометрических соображений можно записать:

После возведения в квадрат и приведения подобных слагаемых:

Аналогично доказывается, что r2 = a + ex. Теорема доказана.

С эллипсом связаны две прямые, называемые директрисами. Их уравнения:

x = a/e; x = -a/e.

Теорема. Для того, чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы отношение расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету е.

Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через левый фокус и нижнюю вершину эллипса, заданного уравнением:

Координаты нижней вершины: x = 0; y2 = 16; y = -4.
Координаты левого фокуса: c2 = a2 – b2 = 25 – 16 = 9; c = 3; F2(-3; 0).
Уравнение прямой, проходящей через две точки:

Пример. Составить уравнение эллипса, если его фокусы F1(0; 0), F2(1; 1), большая ось равна 2.

Уравнение эллипса имеет вид: . Расстояние между фокусами: 2c = , таким образом,

a2 – b2 = c2 = . По условию 2а = 2, следовательно а = 1, b =

Итого: .

Гипербола

Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

M(x, y)

F1 a F2

По определению r1 – r2= 2a. F1, F2 – фокусы гиперболы. F1F2 = 2c.

Выберем на гиперболе произвольную точку М(х, у). Тогда:

обозначим с2 – а2 = b2 (геометрически эта величина – меньшая полуось)

Получили каноническое уравнение гиперболы.

Гипербола симметрична относительно середины отрезка, соединяющего фокусы и относительно осей координат.

Ось 2а называется действительной осью гиперболы.

Ось 2b называется мнимой осью гиперболы.

Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых

Определение. Отношение называется эксцентриситетом гиперболы, где с – половина расстояния между фокусами, а – действительная полуось.

С учетом того, что с2 – а2 = b2:

Если а = b, e = , то гипербола называется равнобочной (равносторонней).

Определение. Две прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии a/e от него, называются директрисами гиперболы. Их уравнения: .

Теорема. Если r – расстояние от произвольной точки М гиперболы до какого- либо фокуса, d – расстояние от той же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение r/d – величина постоянная, равная эксцентриситету.

Доказательство. Изобразим схематично гиперболу.

a/e d

M(x, y)

0 a F1 x

OF1 = c

Из очевидных геометрических соотношений можно записать:

a/e + d = x, следовательно d = x – a/e. (x – c)2 + y2 = r2 Из канонического уравнения: , с учетом b2 = c2 – a2:

Тогда т.к. с/a = e, то r = ex – a.

Итого: .

Для левой ветви гиперболы доказательство аналогично. Теорема доказана.

Пример. Найти уравнение гиперболы, вершины и фокусы которой находятся в соответствующих вершинах и фокусах эллипса .

Для эллипса: c2 = a2 – b2.

Для гиперболы: c2 = a2 + b2.

Уравнение гиперболы: .

Пример. Составить уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2, а фокусы совпадают с фокусами эллипса с уравнением

Находим фокусное расстояние c2 = 25 – 9 = 16. Для гиперболы: c2 = a2 + b2 = 16, e = c/a = 2; c = 2a; c2 = 4a2; a2 = 4;

b2 = 16 – 4 = 12.

Итого: - искомое уравнение гиперболы.

Парабола

Определение. Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.

Расположим начало координат посередине между фокусом и директрисой.

А М(х, у)

О F x

p/2 p/2

Величина р (расстояние от фокуса до директрисы) называется параметром параболы. Выведем каноническое уравнение параболы.

Из геометрических соотношений: AM = MF; AM = x + p/2;

MF2 = y2 + (x – p/2)2

(x + p/2)2 = y2 + (x – p/2)2

x2 +xp + p2/4 = y2 + x2 – xp + p2/4

y2 = 2px

Уравнение директрисы: x = -p/2.

Пример. На параболе у2 = 8х найти точку, расстояние которой от директрисы равно 4.

Из уравнения параболы получаем, что р = 4.

r = x + p/2 = 4; следовательно:

x = 2; y2 = 16; y = 4. Искомые точки: M1(2; 4), M2(2; -4).

Системы координат

Любая точка на плоскости может быть однозначно определена при помощи различных координатных систем, выбор которых определяется различными факторами.

Способ задания начальных условий для решения какой – либо конкретной технической задачи может определить выбор той или иной системы координат. Для удобства проведения вычислений часто предпочтительнее использовать системы координат, отличные от декартовой прямоугольной системы. Кроме того, наглядность представления окончательного ответа зачастую тоже сильно зависит от выбора системы координат.

Ниже рассмотрим некоторые наиболее часто используемые системы координат.

Полярная система координат

Определение. Точка О называется полюсом, а луч l – полярной осью.

Суть задания какой-либо системы координат на плоскости состоит в том, чтобы каждой точке плоскости поставить в соответствие пару действительных чисел, определяющих положение этой точки на плоскости. В случае полярной системы координат роль этих чисел играют расстояние точки от полюса и угол между полярной осью и радиус– вектором этой точки. Этот угол называется полярным углом.

r =

Можно установить связь между полярной системой координат и декартовой прямоугольной системой, если поместить начало декартовой прямоугольной системы в полюс, а полярную ось направить вдоль положительного направления оси Ох.

Тогда координаты произвольной точки в двух различных системах координат связываются соотношениями:

x = rcos; y = rsin; x2 + y2 = r2

Пример. Уравнение кривой в полярной системе координат имеет вид: . Найти уравнение кривой в декартовой прямоугольной системе координат, определит тип кривой, найти фокусы и эксцентриситет. Схематично построить кривую.

Воспользуемся связью декартовой прямоугольной и полярной системы координат: ;

Получили каноническое уравнение эллипса. Из уравнения видно, что центр эллипса сдвинут вдоль оси Ох на 1/2 вправо, большая полуось a равна 3/2, меньшая полуось b равна , половина расстояния между фокусами равно с = = 1/2. Эксцентриситет равен е = с/a = 1/3. Фокусы F1(0; 0) и F2(1; 0).

F1 F2

-1 0 1 2 x

Подставим в заданное уравнение формулы, связывающие полярную и декартову прямоугольную системы координат.

Получили каноническое уравнение гиперболы. Из уравнения видно, что гипербола сдвинута вдоль оси Ох на 5 влево, большая полуось а равна 4, меньшая полуось b равна 3, откуда получаем c2 = a2 + b2 ; c = 5; e = c/a = 5/4.

Фокусы F1(-10; 0), F2(0; 0).

Построим график этой гиперболы.

F1 -9 -5 -1 0 F2 x

-3

Квадратичные формы и их связь с симметричными матрицами. Свойства собственных векторов и собственных чисел симметричной матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду

Определение. Квадратичной формой действительных переменных х1, х2,…,хn называется многочлен второй степени относительно этих переменных, не содержащий свободного члена и членов первой степени.

Примеры квадратичных форм:

(n = 2), (1)

(n = 3). (2)

Напомним данное в прошлой лекции определение симметрической матрицы:

Определение. Квадратная матрица называется симметрической, если , то есть если равны элементы матрицы, симметричные относительно главной диагонали.

Свойства собственных чисел и собственных векторов симметрической матрицы:

Все собственные числа симметрической матрицы действительные.

Доказательство (для n = 2).

Пусть матрица А имеет вид: . Составим характеристическое уравнение:

Найдем дискриминант:

следовательно, уравнение имеет только действительные корни.

Собственные векторы симметрической матрицы ортогональны.

Доказательство (для n = 2).

Координаты собственных векторов и должны удовлетворять уравнениям:

Следовательно, их можно задать так:

. Скалярное произведение этих векторов имеет вид:

По теореме Виета из уравнения (10.2) получим, что Подставим эти соотношения в предыдущее равенство: Значит, .

Определение. Матрицей квадратичной формы (2) называется симметрическая матрица . (3)

Таким образом, все собственные числа матрицы квадратичной формы действительны, а все собственные векторы ортогональны. Если все собственные числа различны, то из трех нормированных собственных векторов матрицы (3) можно построить базис в трехмерном пространстве. В этом базисе квадратичная форма будет иметь особый вид, не содержащий произведений переменных.

Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

Определение. Каноническим видом квадратичной формы (2) называется следующий вид: . (4)

Покажем, что в базисе из собственных векторов квадратичная форма (2) примет канонический вид. Пусть

- нормированные собственные векторы, соответствующие собственным числам 1,2,3 матрицы (3) в ортонормированном базисе . Тогда матрицей перехода от старого базиса к новому будет матрица

. В новом базисе матрица А примет диагональный вид (по свойству собственных векторов). Таким образом, преобразовав координаты по формулам:

получим в новом базисе канонический вид квадратичной формы с коэффициентами, равными собственным числам 1, 2, 3:

. (5)

Замечание 1. С геометрической точки зрения рассмотренное преобразование координат представляет собой поворот координатной системы, совмещающий старые оси координат с новыми.

Замечание 2. Если какие-либо собственные числа матрицы (3) совпадают, к соответствующим им ортонормированным собственным векторам можно добавить единичный вектор, ортогональный каждому из них, и построить таким образом базис, в котором квадратичная форма примет канонический вид.

Пример. Приведем к каноническому виду квадратичную форму

x + 5y + z + 2xy + 6xz + 2yz.

Ее матрица имеет вид В примере, рассмотренном в лекции 9, найдены собственные числа и ортонормированные собственные векторы этой матрицы:

Составим матрицу перехода к базису из этих векторов:

(порядок векторов изменен, чтобы они образовали правую тройку). Преобразуем координаты по формулам:

. Получим:

Итак, квадратичная форма приведена к каноническому виду с коэффициентами, равными собственным числам матрицы квадратичной формы.

Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду.

Определение. Линия, определяемая общим уравнением второго порядка

, (1)

называется алгебраической линией второго порядка.

Для квадратичной формы можно задать матрицу

. (2)

Для того, чтобы перейти к новой системе координат, в которой уравнение линии будет иметь канонический вид, необходимо провести два преобразования:

поворот координатных осей на такой угол, чтобы их направление совпало с направлением осей симметрии кривой (если она имеет две оси);
параллельный перенос, при котором начало координат совмещается с центром симметрии кривой (если он существует).

Замечание. Для параболы новые оси координат должны располагаться параллельно и перпендикулярно директрисе, а начало координат – совпасть с вершиной параболы.

Поскольку в канонических уравнениях кривых второго порядка отсутствуют произведения переменных, необходимо перейти к координатной системе, определяемой базисом из ортонормированных собственных векторов матрицы А. В этом базисе уравнение (1) примет вид:

(в предположении, что 1,2 не равны 0).

Зададим последующий параллельный перенос формулами:

. Получим в новой координатной системе уравнение

. (3)

Рассмотрим возможные геометрические образы, определяемые этим уравнением в зависимости от знаков 1, 2 и :

если собственные числа матрицы А 1 и 2 и одного знака, уравнение (3) представляет собой каноническое уравнение эллипса:

, где

(случаи и , имеющего знак, противоположный знаку 1, 2, будут рассмотрены в следующей лекции).

если 1 и 2 имеют разные знаки, уравнение (3) является каноническим уравнением гиперболы:

или , в зависимости от знака .

В случае, когда одно из собственных чисел матрицы А равно 0, уравнение (1) в результате двух преобразований координат можно привести к виду:

, (4)

являющимся каноническим уравнением параболы.

Пример.

Приведем к каноническому виду уравнение второго порядка

3x + 10xy +3y - 2x – 14y – 13 = 0.

Матрица квадратичной формы 3x + 10xy + 3y имеет вид:

Найдем ее собственные числа и собственные векторы. Составим характеристическое уравнение: Для координат собственного вектора е1, соответствующего1, получим с учетом нормировки:

, откуда e1 = {}. Аналогично найдем е2: ,

e2 = {}. Составим матрицу перехода к новому базису, столбцами которой будут координаты собственных векторов: . Тогда

. Подставив эти выражения в исходное уравнение, получим его вид в новой системе координат: Заметим, что коэффициентами при x и y являются 1 и 2.

Преобразуем полученное уравнение:

Зададим параллельный перенос формулами: . Получим уравнение: , а после деления на 8:

- каноническое уравнение гиперболы.

Классификация кривых второго порядка

Рассмотрим общее уравнение второго порядка:

(1)

и выясним, какие геометрические образы на плоскости могут задаваться этим уравнением.

Если собственные числа матрицы А 1 и 2 одного знака, уравнение (1) называется уравнением эллиптического типа. Его можно привести к виду: , которое, в свою очередь, преобразуется в следующую форму:

а) если имеет тот же знак, что и 1,2, при делении на получаем

- каноническое уравнение эллипса.

б) если =0, уравнение имеет единственное решение:, определяющее точку на плоскости.

в) если знак противоположен знаку 1,2, уравнение после деления на примет вид:

. Множество его решений пусто (иногда это пустое множество называют мнимым эллипсом).

Если собственные числа матрицы А 1 и 2 разных знаков, уравнение (1) называется уравнением гиперболического типа.

а) при оно сводится к одному из двух видов:

или , в зависимости от знака . Оба этих уравнения определяют гиперболу.

б) При =0 получаем уравнение , эквивалентное двум линейным уравнениям: и , задающим пару пересекающихся прямых.

Если одно из собственных чисел равно 0, уравнение (1) называется уравнением параболического типа, и его можно привести к одному из следующих видов:

а) к уравнению: , определяющему параболу;

б) к уравнению , или , задающему пару параллельных прямых;

в) к уравнению , определяющему одну прямую (или пару совпадающих прямых);

г) к уравнению , не имеющему решений и, следовательно, не определяющему никакого геометрического образа.

Кафедра информатики и высшей математики КГПУ

Аналитическая геометрия на плоскости