Функциональные ряды

лухов Ю.П. Конспект лекций по высшей математике. Лекция № 42 5

Лекция 42

ТЕМА: Функциональные ряды

План.

Функциональные ряды. Область сходимости.
Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса.
Свойства равномерно сходящихся рядов: непрерывность суммы ряда, почленное интегрирование и дифференцирование.
Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда. Радиус сходимости.
Основные свойства степенных рядов: равномерная сходимость, непрерывность и бесконечная дифференцируемость суммы. Почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов.

Функциональные ряды. Область сходимости

Определение 40.1. Бесконечная сумма функций

u1(x) + u2(x) +…+ un(x) +… , (40.1)

где un(x) = f (x,n), называется функциональным рядом.

Если задать конкретное числовое значение х, ряд (40.1) превратится в числовой ряд, причем в зависимости от выбора значения х такой ряд может сходиться или расходиться. Практическую ценность представляют только сходящиеся ряды, поэтому важно определить те значения х, при которых функциональный ряд становится сходящимся числовым рядом.

Определение 40.2. Множество значений х, при подстановке которых в функциональный ряд (40.1) получается сходящийся числовой ряд, называется областью сходимости функционального ряда.

Определение 40.3. Функция s(x), определенная в области сходимости ряда, которая для каждого значения х из области сходимости равна сумме соответствующего числового ряда, полученного из (40.1) при данном значении х, называется суммой функционального ряда.

Пример. Найдем область сходимости и сумму функционального ряда

1 + х + х +…+ xn +…

При |x| 1 поэтому соответствующие числовые ряды расходятся. Если же

|x| < 1, рассматриваемый ряд представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, вычисляемую по формуле:

Следовательно, областью сходимости ряда является интервал (-1, 1), а его сумма имеет указанный вид.

Замечание. Так же, как для числовых рядов, можно ввести понятия частичной суммы функционального ряда:

sn = 1 + х + х +…+ xn

и остатка ряда: rn = s – sn .

Равномерная сходимость функционального ряда

Определим вначале понятие равномерной сходимости числовой последовательности.

Определение 40.4. Функциональная последовательность fn(x) называется равномерно сходящейся к функции f на множестве Х, если и

Замечание 1. Будем обозначать обычную сходимость функциональной последователь-ности а равномерную сходимость - .

Замечание 2. Отметим еще раз принципиальное отличие равномерной сходимости от обычной: в случае обычной сходимости при выбранном значении для каждого существует свой номер N, для которого при n > N выполняется неравенство:

. При этом может оказаться, что подобрать для данного общий номер N, обеспечивающий выполнение этого неравенства для любого х, невозможно. В случае же равномерной сходимости такой номер N, общий для всех х, существует.

Определим теперь понятие равномерной сходимости функционального ряда. Поскольку каждому ряду соответствует последовательность его частичных сумм, равномерная сходимость ряда определяется через равномерную сходимость этой последовательности:

Определение 40.5. Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве Х, если на Х равномерно сходится последовательность его частичных сумм.

Признак Вейерштрасса

Теорема 40.1. Если числовой ряд сходится и для всех и для всех п = 1, 2,… выполняется неравенство то ряд сходится абсолютно и равномерно на множестве Х.

Доказательство.

Для любого > 0 cуществует такой номер N, что поэтому и

для остатков rn ряда справедлива оценка

Следовательно, поэтому ряд равномерно сходится.

Замечание. Процедура подбора числового ряда, отвечающего условиям теоремы 40.1, обычно называется мажорированием, а сам этот ряд – мажорантой для данного функционального ряда.

Пример. Для функционального ряда мажорантой при любом значении х является сходящийся знакоположительный ряд . Поэтому исходный ряд равно-мерно сходится на (-, +).

Свойства равномерно сходящихся рядов

Теорема 40.2. Если функции un(x) непрерывны при и ряд равномерно сходится на Х, то его сумма s(x) тоже непрерывна в точке х0 .

Доказательство.

Выберем > 0. Тогда , поэтому существует такой номер п0 , что

- сумма конечного числа непрерывных функций, поэтому непрерывна в точке х0 . Поэтому существует такое > 0, что Тогда получаем:

то есть функция s(x) непрерывна при х = х0 .

Теорема 40.3. Пусть функции un(x) непрерывны на отрезке [a, b] и ряд равно-мерно сходится на этом отрезке. Тогда ряд тоже равномерно сходится на [a, b] и (40.2)

(то есть в условиях теоремы ряд можно почленно интегрировать).

Доказательство.

По теореме 40.2 функция s(x) = непрерывна на [a, b] и, следовательно, интегрируема на нем, то есть интеграл, стоящий в левой части равенства (40.2), существует. Покажем, что ряд равномерно сходится к функции

Обозначим

Тогда для любого найдется такой номер N, что при n > N

Значит, ряд равномерно сходится, и его сумма равна (х) = .

Теорема доказана.

Теорема 40.4. Пусть функции un(x) непрерывно дифференцируемы на отрезке [a, b] и ряд, составленный из их производных:

(40.3)

равномерно сходится на [a, b]. Тогда, если ряд сходится хотя бы в одной точке , то он сходится равномерно на всем [a, b], его сумма s(x)= является непрерывно дифференцируемой функцией и

(ряд можно почленно дифференцировать).

Доказательство.

Определим функцию (х) как . По теореме 40.3 ряд (40.3) можно почленно интегрировать:

Ряд, стоящий в правой части этого равенства, равномерно сходится на [a, b] по теореме 40.3. Но числовой ряд по условию теоремы сходится, следовательно, равномерно сходится и ряд . Тогда Функция (t) является суммой равномерно сходящегося ряда непрерывных функций на [a, b] и поэтому сама непрерывна. Тогда функция непрерывно дифференцируема на [a, b], и , что и требовалось доказать.

Определение 41.1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

(41.1)

Замечание. С помощью замены х – х0 = t ряд (41.1) можно привести к виду , поэтому все свойства степенных рядов достаточно доказать для рядов вида

(41.2)

Теорема 41.1 (1-я теорема Абеля). Если степенной ряд (41.2) сходится при х = х0 , то при любом x: |x| < |x0| ряд (41.2) сходится абсолютно. Если же ряд (41.2) расходится при х = х0 , то он расходится при любом x: |x| > |x0|.

Доказательство.

Если ряд сходится, то поэтому существует константа с > 0:

. Следовательно, , а ряд при |x|<|x0| сходится, так как является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Значит, ряд при |x|<|x0| абсолютно сходится.

Если известно, что ряд (41.2) расходится при х = х0 , то он не может сходиться при |x| > |x0| , так как из ранее доказанного при этом следовало бы, что он сходится и в точке х0 .

Таким образом, если найти наибольшее из чисел х0 > 0 таких, что (41.2) сходится при х = х0 , то областью сходимости данного ряда, как следует из теоремы Абеля, будет интервал (- х0 , х0 ), возможно, включающий одну или обе границы.

Определение 41.2. Число R 0 называется радиусом сходимости степенного ряда (41.2), если этот ряд сходится, а расходится. Интервал (-R , R) называется интервалом сходимости ряда (41.2).

Примеры.

Для исследования абсолютной сходимости ряда применим признак Даламбера: . Следовательно, ряд сходится только при х = 0, и радиус его сходимости равен 0: R = 0.
Используя тот же признак Даламбера, можно показать, что ряд сходится при любом х , то есть
Для ряда по признаку Даламбера получим:

Следовательно, при –1 < x < 1 ряд сходится, при

x < -1 и x > 1 расходится. При х = 1 получаем гармонический ряд, который, как извест-но, расходится, а при х = -1 ряд сходится условно по признаку Лейбница. Таким образом, радиус сходимости рассматриваемого ряда R = 1, а интервал сходи-мости – [-1, 1).

Формулы для определения радиуса сходимости степенного ряда.

Формула Даламбера.

Рассмотрим степенной ряд и применим к нему признак Даламбера: для сходимости ряда необходимо, чтобы .Если существует , то область сходимости определяется неравенством , то есть

- (41.3)

формула Даламбера для вычисления радиуса сходимости.

Формула Коши-Адамара.

Используя радикальный признак Коши и рассуждая аналогичным образом, получим, что можно задать область сходимости степенного ряда как множество решений неравенства при условии существования этого предела, и, соответствен-но, найти еще одну формулу для радиуса сходимости:

(41.4)

формула Коши-Адамара.

Свойства степенных рядов.

Теорема 41.2 (2-я теорема Абеля). Если R – радиус сходимости ряда (41.2) и этот ряд сходится при x = R, то он равномерно сходится на интервале (-R, R).

Доказательство.

знакоположительный ряд сходится по теореме 41.1. Следовательно, ряд (41.2) равномерно сходится в интервале [-, ] по теореме 40.1. Из выбора следует, что интервал равномерной сходимости – (- R, R), что и требовалось доказать.

Следствие 1. На всяком отрезке, целиком лежащем внутри интервала сходимости, сумма ряда (41.2) есть непрерывная функция.

Доказательство.

Члены ряда (41.2) являются непрерывными функциями, и ряд равномерно сходится на рассматриваемом отрезке. Тогда непрерывность его суммы следует из теоремы 40.2.

Следствие 2. Если пределы интегрирования , лежат внутри интервала сходимости степенного ряда, то интеграл от суммы ряда равен сумме интегралов от членов ряда:

(41.5)

Доказательство этого утверждения следует из теоремы 40.3.

Теорема 41.3. Если ряд (41.2) имеет интервал сходимости (-R, R ), то ряд

(x) = a1 + 2a2x + 3a3x +…+ nanxn-1 +…, (41.6)

полученный почленным дифференцированием ряда (41.2), имеет тот же интервал сходимости (-R, R). При этом

(х) = s(x) при |x| < R , (41.7)

то есть внутри интервала сходимости производная от суммы степенного ряда равна сумме ряда, полученного его почленным дифференцированием.

Доказательство.

Выберем : 0 < < R и : < < R. Тогда ряд сходится, следовательно, то есть Если |x| , то

где Таким образом, члены ряда (41.6) по модулю меньше членов знакоположительного ряда , который сходится по признаку Даламбера:

то есть является мажорантой для ряда (41.6) при Поэтому ряд (41.6) равно-мерно сходится на [-, ]. Следовательно, по теореме 40.4 верно равенство (41.7). Из выбора следует, что ряд (41.6) сходится в любой внутренней точке интервала (-R, R).

Докажем, что вне этого интервала ряд (41.6) расходится. Действительно, если бы он сходился при x1 > R, то, интегрируя его почленно на интервале (0, x2), R < x2 < x1 , мы получили бы, что ряд (41.2) сходится в точке х2 , что противоречит условию теоремы. Итак, теорема полностью доказана.

Замечание. Ряд (41.6) можно, в свою очередь, почленно дифференцировать и проделывать эту операцию сколько угодно раз.

Вывод: если степенной ряд сходится на интервале (-R, R), то его сумма представляет собой функцию, имеющую внутри интервала сходимости производные любого порядка, каждая из которых есть сумма ряда, полученного из исходного с помощью почленного дифференцирования соответствующее количество раз; при этом интервал сходимости для ряда из производных любого порядка есть (-R, R).

Кафедра информатики и высшей математики КГПУ

Функциональные ряды