Числовые ряды

лухов Ю.П. Конспект лекций по высшей математике. Лекция №41 4

Лекция 41

ТЕМА: Числовые ряды

План.

1. Признаки сравнения. Признак Даламбера. Радикальный признак Коши.
2. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости. Признак Лейбница.
3. Свойства абсолютно сходящихся рядов.

Признаки сравнения

Теорема 39.1 (1-й признак сравнения). Если для двух рядов с положительными членами

u1 + u2 +…+ un +… (39.1)

и v1 + v2 +…+ vn +… (39.2)

выполнено условие un vn, то:

а) если ряд (39.2) сходится, то сходится и ряд (39.1);

б) если ряд (39.1) расходится, то расходится и ряд (39.2).

Доказательство. Пусть частичная сумма ряда (39.1) , частичная сумма ряда (39.2) . Из условия теоремы следует, что sn n . Пусть Ряд (39.2) сходится. Тогда существует конечный предел его частичных сумм: Но sn n < , то есть последовательность частичных сумм ряда (39.1) ограничена сверху. Следовательно, по теореме (38.6) ряд (39.1) сходится.

Теперь предположим, что ряд (39.1) расходится . Тогда n sn , значит,

, то есть ряд (39.2) тоже расходится. Теорема доказана.

Следствие. Условие un vn может выполняться начиная не обязательно с п = 1. Утверждение теоремы справедливо, если это условие выполняется для всех п, больших некоторого N (см. теорему 38.1).

Пример. Исследуем на сходимость ряд , сравнив его с рядом . Этот ряд сходится, так как последовательность его членов представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем , сумма которой равна . При любом n > 1 n 2n > 2n, следовательно, , поэтому по теореме 38.2 исследуемый ряд сходится.

Теорема 39.2 (2-й признак сравнения). Если для рядов (39.1) и (39.2) выполнено условие

то ряды (39.1) и (39.2) сходятся и расходятся одновременно.

Доказательство. Выберем число N такое, что для всех n > N выполняется неравенство

Тогда un < (A + 1)vn. Если ряд сходится, то по теореме 38.2 сходится и ряд , следовательно, по теореме 39.1 сходится ряд . Наоборот, из расходимости ряда следует при этом расходимость .

Теперь выберем число А такое, что 0 < A < A, и зададим номер N, при котором при любом n > N. Отсюда un > Avn , и, проводя рассуждения, аналогичные предыдущим, можно показать, что из сходимости следует сходимость , а из расходимости - расходимость . Теорема доказана полностью.

Следствие. При применении 2-го признака сравнения удобно брать в качестве ряда, с которым сравнивается данный ряд, ряд вида (см. пример в начале лекции). Напомним еще раз, что такой ряд сходится при > 1 и расходится при 1.

Пример. Общий член ряда можно представить в виде (разделив числитель и знаменатель на х). Теперь очевидно, что . Поскольку ряд сходится (так как = 2 >1), сходится (по теореме 39.2) и исходный ряд.

Признак Даламбера

Теорема 39.3. Если для ряда , un > 0, существует предел , то при l < 1 ряд сходится, а при l > 1 расходится.

Доказательство.

а) Пусть l < 1. Выберем число q так, чтоl < q < 1. Тогда можно найти такой номер N, что

для всех n > N выполняется неравенство следовательно, un < qun-1. Применяя это неравенство для n = N + 1, n = N + 2 и т.д., получим:

Ряд сходится (как геометрическая прогрессия со знаменателем, меньшим 1), поэтому по теореме 39.1 сходится и ряд , а следовательно, и ряд (по теореме 38.1).

б) Пусть теперь l > 1, тогда для всех п, больших некоторого N, следовательно,

un > un-1 . C учетом знакоположительности ряда из этого следует, что то есть ряд расходится (не выполнено необходимое условие сходимости).

Замечание. При l = 1 признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости ряда (ряд в этом случае может и сходиться, и расходиться).

Пример. Применим признак Даламбера к исследованию сходимости ряда .

, следовательно, ряд сходится (учитываем, что (п + 1)! = п!(п + 1) ).

Радикальный признак Коши

Теорема 39.4. Если для ряда , ип 0, существует предел

(39.3)

то при l < 1 ряд сходится, а при l > 1 расходится.

Доказательство.

а) Пусть l < 1. Выберем число q такое, что l < q < 1. Тогда можно найти такой номер N, что

для всех n > N выполняется неравенство и, следовательно, un < qn. Так как ряд

сходится, то по 1-му признаку сравнения сходится и ряд , тогда по теореме 38.1 сходится ряд .

б) Пусть теперь l > 1, тогда для всех п, больших некоторого N, то есть ип > 1. Следовательно, не выполнено необходимое условие сходимости, и ряд расходится.

Замечание 1. Так же, как в признаке Даламбера, l = 1 не дает ответа на вопрос о сходимости ряда.

Замечание 2. Если для одного и того же ряда существуют пределы по Даламберу и по Коши, то они равны друг другу.

Пример. Для ряда - ряд сходится.

Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости

Для числовых рядов, члены которых имеют разные знаки, задаются два вида сходимости.

Определение 39.1. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд из его модулей, то есть ряд .

Теорема 39.5.. Если ряд абсолютно сходится, то он сходится и в обычном смысле, то есть существует конечный предел его частичных сумм.

Доказательство.

Пусть sn = u1 + u2 +…+ un , s`n – сумма всех положительных членов среди первых п членов данного ряда, s``n – сумма модулей всех отрицательных членов среди них. Если обозначить n = |u1| + |u2| +…+ |un|, то

sn = s`n – s``n , n = s`n + s``n .

Так как по условию теоремы п имеет предел , а s`n и s``n – положительные возрастающие величины, меньшие , то они тоже имеют пределы s` и s``. Следовательно,

,

то есть знакопеременный ряд сходится.

Замечание. Так как ряд является знакоположительным, то для исследования знакопеременного ряда на абсолютную сходимость мы можем использовать все известные признаки сходимости знакоположительных рядов.

Пример. Для ряда ряд из модулей имеет вид . Такой ряд сходится (см. пример из лекции 11), поэтому рассматриваемый ряд сходится абсолютно.

Определение 39.2. Если ряд, составленный из модулей членов данного ряда, расходится, а сам данный ряд сходится, то говорят, что он сходится условно.

Признак Лейбница

Если знакопеременный ряд не обладает абсолютной сходимостью, то требуется ответить на вопрос, будет ли он сходиться хотя бы условно. Ответ на него можно дать, применяя признак Лейбница:

Теорема 39.6. Если исследуемый ряд:

1. знакочередующийся, то есть имеет вид u1 – u2 + u3 – u4 +… , где ui > 0; (39.4)
2. u1 > u2 > u3 >… > un > un+1 >… (последующий член ряда по модулю меньше предыдущего);

то ряд сходится (хотя бы условно), его сумма положительна и .

Доказательство. Рассмотрим первых 2т членов ряда:

s2m = (u1 – u2) + (u3 – u4) +…+ (u2m-1 – u2m) > 0,

так как u2i-1 – u2i > 0. Итак, последовательность {s2m} положительна и возрастает с возрастанием т. С другой стороны, s2m можно записать в ином виде:

s2m = u1 – (u2 – u3) – (u4 – u5) -…- (u2m-2 – u2m-1) – u2m < u1 .

Следовательно, последовательность {s2m} ограничена сверху и поэтому имеет предел:

Докажем, что тот же предел имеет и последовательность частичных сумм, составленных их нечетного числа слагаемых:

Таким образом, при любом п, то есть ряд (39.4) сходится.

Пример. Исследуем на абсолютную и условную сходимость ряд .

|un| = (так как ln n < n), поэтому по первому признаку сравнения ряд расходится, то есть абсолютной сходимостью рассматриваемый ряд не обладает.

Проверим для него выполнение условий теоремы 39.6. Знакочередование обеспечивается множителем (-1)п, а из монотонного возрастания функции

y = ln x следует, что ln(n + 1) > ln n, a . Следовательно, по признаку Лейбница ряд сходится условно.

Свойства абсолютно сходящихся рядов

Теорема 39.7. Если ряд абсолютно сходится, то любой ряд, составленный из членов данного ряда, взятых, возможно, в другом порядке, тоже абсолютно сходится и имеет ту же сумму.

Доказательство. Рассмотрим ряд , составленный из членов ряда . Так как ряд сходится, можно найти номер N такой, что |sN – s| < . Выберем теперь номер М такой, что частичная сумма содержала все слагаемые, входящие в сумму sN . Тогда для любого m > M частичную сумму можно представить в виде:

.

Тогда в будут входить только слагаемые с номерами, большими N, поэтому

.

Тогда при т > M получаем:

Следовательно, , то есть ряд сходится, и сумма его равна s.

Проводя подобные рассуждения для ряда , можно доказать и абсолютную сходимость ряда .

Теорема 39.8 (без доказательства). Если ряды и абсолютно сходятся, то ряд, составленный из всевозможных попарных произведений umvn членов этих рядов, тоже абсолютно сходится, и его сумма равна произведению сумм исходных рядов.

Замечание. Указанные свойства справедливы только для абсолютно сходящихся рядов. Если ряд сходится условно, то перестановкой его членов можно изменять сумму ряда (теорема Римана) или получить расходящийся ряд. В частности, расходящимися в этом случае будут ряды, составленные из всех положительных и из всех отрицательных членов данного условно сходящегося ряда.

Кафедра информатики и высшей математики КГПУ

Числовые ряды