Дифференциальные уравнения. Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения

лухов Ю.П. Конспект лекций по высшей математике. Лекция № 39 7

Лекция 39

ТЕМА: Дифференциальные уравнения.

Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения

План.

Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения.
Определение устойчивости по Ляпунову и асимптотической устойчивости.
Автономные системы дифференциальных уравнений.
Фазовое пространство (плоскость), фазовая траектория. Точки покоя. Классификация точек покоя системы двух однородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Условия устойчивости точки покоя.

Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения.

Определение. Система дифференциальных уравнений называется линейной, если она линейна относительно всех неизвестных функций и их производных.

В частности, система линейных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:

. (36.1)

Можно использовать матричную запись такой системы, если ввести матрицы

Тогда системе (36.1) эквивалентно матричное уравнение

. (36.2)

Если же рассмотреть линейный оператор , уравнение (36.2) примет вид:

. (36.3)

Так как оператор L обладает свойствами линейности:

L[cX] = cL[X];

L[X1 + X2] = L[X1] + L[X2],

то для решений линейной однородной системы (36.3) (при F = 0) справедливы те же свойства:

если Х1 и Х2 – решения однородного уравнения , то и их линейная комбинация будет решением того же уравнения.

Можно ввести понятие линейной зависимости решений Х1, Х2,…, Хп:

Определение. Векторы (столбцы) Х1, Х2,…, Хп , где

, называются линейно зависимыми при , если существуют числа 1,2,…, п, не все равные нулю, что

1Х1 + 2Х2 +…+ пХп 0 (36.4)

при . Если же тождество (36.4) справедливо только при всех i = 0, векторы называются линейно независимыми.

Замечание. Назовем определителем Вронского для уравнения (36.4) определитель вида

, (36.5)

являющийся определителем системы уравнений, получаемых при координатной записи равенства (36.4). Можно показать, что так же, как и в случае решения линейного однородного уравнения, при W = 0 решения Х1, Х2,…, Хп линейно зависимы на [a,b]. Тогда справедлива следующая теорема:

Теорема 42.1. Линейная комбинация п линейно независимых решений линейной однородной системы является общим решением этой системы.

Будем искать фундаментальную систему решений линейной однородной системы с постоянными коэффициентами

(36.6)

в виде:

, (36.7)

где i – постоянные. Подставив (36.7) в (36.6) и сократив на ekt, получим:

. (36.8)

Для того, чтобы эта система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ее главный определитель был равен нулю:

, (36.9)

что представляет собой уравнение п – й степени относительно k, называемое характеристическим.

Если все корни характеристического уравнения различны, то, подставляя их последовательно в систему (36.8), можно найти соответствующие им значения и тем самым п различных решений системы (36.6). Эти решения линейно независимы. Действительно, если бы существовали числа 1, 2,…, п такие, что

, то в силу линейной независимости функций отсюда следовало бы, что для каждого i. Но поскольку хотя бы одно из не равно нулю, получаем, что все . Следовательно, найденные решения (36.7) линейно независимы, и общее решение системы имеет вид: , (36.10)

где ci – произвольные постоянные.

Пример.

. Составим характеристическое уравнение:

k1 = 1, k2 =5. Для k = 1 получаем систему для определения : , то есть

. Примем , тогда . При k = 5 ,

. Тогда . Следовательно, общее решение системы имеет вид: .

В случае кратных корней характеристического уравнения решение системы (36.6) имеет вид

, где – кратность корня ks.

Пример.

. Характеристическое уравнение имеет вид:

k1 = k2 = 3. Пусть x = (c1 + c2 t)e3t, y = (c3 + c4 t)e3t. Выразим постоянные с3 и с4 через с1 и с2. Для этого подставим найденные решения в одно из уравнений системы и приравняем коэффициенты при e3t и te3t: (3c1 + c2 + 3c2t)e3t = (2c1 + c3)e3t + (2c2 + c4)te3t, c3 = c1 + c2,

c4 = c2. Итак, общее решение системы получено в форме: x = (c1 + c2 t)e3t, y = (c1+ с2 + c2t)e3t.

Замечание. Для неоднородной системы (36.1) общим решением, так же как для неоднородного уравнения, будет сумма общего решения соответствующей однородной системы и частного решения неоднородной системы. При подборе частных решений справедлив принцип суперпозиции.

Пример.

. Найдем частное решение в виде: . При подстановке получим: , откуда А = 3, В = 1. Прибавив к полученному частному решению общее решение соответствующей однородной системы, запишем общее решение исходной системы: x = c1et + 2c2e4t + 3e5t, y = -c1et + c2e4t + e5t.

Устойчивость решений дифференциальных уравнений и их систем

Поскольку при решении реальных задач с помощью дифференциальных уравнений начальные условия обычно являются результатами измерений и, следовательно, получены с некоторой погрешностью, очень важным является вопрос о том, как изменится решение уравнения при малом изменении начальных условий. В частности, если такие изменения существенно меняют решение, то подобное решение, очевидно, не имеет практической ценности.

Пусть некоторое явление описывается системой дифференциальных уравнений

(37.1)

с начальными условиями yi(t0) = yi0 .

Определение . Решение i (t) ( = 1,2,…,n) называется устойчивым по Ляпунову, если такое, что для всякого решения yi (t) той же системы, начальные условия которого удовлетворяют неравенствам , для всех справедливы неравенства

(37.2)

(то есть близкие по значениям решения остаются близкими для всех ).

Если хотя бы для одного решения yi (t) неравенства (37.2) не выполняются, решение i (t) называется неустойчивым.

Если решение i (t) не только устойчиво по Ляпунову, но и удовлетворяет условию

(37.3)

при , то это решение называется асимптотически устойчивым.

Замечание. Одно условие (37.3) не обеспечивает устойчивость решения.

Фазовая плоскость.

Дифференциальное уравнение второго порядка

(37.4)

равносильно системе уравнений первого порядка

. (37.5)

Геометрически общее решение уравнения (37.4) или системы (37.5) можно представить семейством фазовых траекторий на фазовой плоскости . Особенно удобно такое представление в случае, когда функция не содержит явным образом независимого переменного t. Тогда система (37.5) имеет вид

(37.6)

и называется автономной системой. Фазовые траектории в этом случае удовлетворяют дифференциальному уравнению первого порядка

, (37.7)

которое каждой точке ставит в соответствие наклон проходящей через нее интегральной кривой.

Точки покоя.

Определение. Точка фазовой плоскости системы (37.6) называется обыкновенной точкой, если и дифференцируемы и не обращаются одновременно в нуль; через каждую обыкновенную точку проходит одна фазовая траектория. Точка называется особой точкой, если и .

Замечание. Особые точки классифицируются по характеру фазовых траекторий в их окрестности.

Исследование на устойчивость некоторого решения системы дифференциальных уравнений можно свести к исследованию тривиального решения – точки покоя, расположенной в начале координат, преобразуя систему к новым переменным: - отклонениям прежних неизвестных от решения, исследуемого на устойчивость. В новых переменных система (37.1) принимает вид:

, (37.8)

Простейшие типы точек покоя.

Исследуем расположение траекторий в окрестности точки покоя х = 0, у = 0 системы двух линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами:

, где . (37.9)

Характеристическое уравнение при этом имеет вид:

Рассмотрим различные наборы корней этого уравнения:

k1 и k2 действительны и различны. Тогда общее решение системы (37.9) можно задать так: . При этом возможны следующие случаи:

а) если k1 < 0 и k2 < 0, то точка покоя асимптотически устойчива, так как , и все точки, находящиеся в начальный момент t = t0 в любой – окрестности начала координат, при достаточно большом t переходят в точки, лежащие в сколь угодно малой – окрестности начала координат, а при стремятся к началу координат. Такая точка покоя называется устойчивым узлом.

б) если k1 > 0, k2 >0, можно свести исследование к предыдущему случаю заменой t на –t. При этом фазовые траектории имеют такой же вид, но направление движения меняется на противоположное, то есть при увеличении t точка удаляется от начала координат, поэтому подобная точка покоя – неустойчивый узел – неустойчива по Ляпунову.

в) при k1 > 0, k2 < 0 точка покоя тоже неустойчива, так как движущаяся по траектории

точка с возрастанием t выходит из – окрестности начала координат. Точка покоя рассматриваемого типа называется седлом.

k1,2 = p ± qi . Тогда общее решение системы (37.9) можно представить в виде

, где - линейные комбинации произвольных постоянных с1, с2. При этом возможны следующие случаи:

а) p < 0, q 0. Тогда при , а тригонометрические функции являются ограниченными. Поэтому фазовые траектории являются спиралями, асимптотически приближающимися при к началу координат. Таким образом, точка покоя асимптотически устойчива. Она называется устойчивым фокусом.

б) p > 0, q 0. Изменяется направление движения по фазовым траекториям, следовательно, точки удаляются от начала координат и точка покоя неустойчива – неустойчивый фокус.

в) р = 0. Траекториями являются замкнутые кривые, окружающие точку покоя, называемую в этом случае центром. Такая точка покоя устойчива, так как можно подобрать такое , что замкнутые траектории, начальные точки которых лежат в – окрестности начала координат, не выходят за пределы – окрестности начала координат (x (t) + y (t) < ).

Корни кратны: k1 = k2.

а) k1 = k2 < 0. Тогда общее решение стремится к нулю при , и точка покоя вновь называется устойчивым узлом. При получаем частный случай устойчивого узла – так называемый дикритический узел.

б) k1 = k2 > 0. Направление движения по траекториям меняется - неустойчивый узел.

афедра информатики и высшей математики КГПУ

Дифференциальные уравнения. Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения