Поверхностный интеграл
лухов Ю.П. Конспект лекций по высшей математике 6
Лекция 33
ТЕМА: Поверхностный интеграл
План.
- Площадь поверхности. Поверхностный интеграл первого рода, его свойства, геометрический и физический смысл. Вычисление поверхностного интеграла первого рода.
- Ориентация поверхности. Поток векторного поля. Поверхностный интеграл второго рода, его свойства, физический смысл и вычисление. Связь поверхностных интегралов первого и второго рода.
- Практическое применение поверхностных интегралов.
Площадь поверхности
Если при определении длины кривой она задавалась как предел вписанной в данную кривую ломаной при стремлении к нулю длины наибольшего ее отрезка, то попытка распространить это определение на площадь криволинейной поверхности может привести к противоречию (пример Шварца: можно рассмотреть последовательность вписанных в цилиндр многогранников, у которых наибольшее расстояние между точками какой-либо грани стремится к нулю, а площадь стремится к бесконечности). Поэтому определим площадь поверхности иным способом. Рассмотрим незамкнутую поверхность S, ограниченную контуром L, и разобьем ее какими-либо кривыми на части S1, S2,…, Sn. Выберем в каждой части точку Mi и спроектируем эту часть на касательную плоскость к поверхности, проходящую через эту точку. Получим в проек-ции плоскую фигуру с площадью Ti. Назовем наибольшее расстояние между двумя точками любой части поверхности S.
Определение. Назовем площадью S поверхности предел суммы площадей Ti при :
. (27.1)
Поверхностный интеграл первого рода
Рассмотрим некоторую поверхность S, ограниченную контуром L, и разобьем ее на части S1, S2,…, Sп (при этом площадь каждой части тоже обозначим Sп). Пусть в каждой точке этой поверхности задано значение функции f(x, y, z). Выберем в каждой части Si точку Mi (xi, yi, zi) и составим интегральную сумму
. (27.2)
Определение. Если существует конечный предел при интегральной суммы (27.2), не зависящий от способа разбиения поверхности на части и выбора точек Mi, то он называется поверхностным интегралом первого рода от функции f(M) = f(x, y, z) по поверхности S и обозначается
. (27.3)
Замечание. Поверхностный интеграл 1-го рода обладает обычными свойствами интегралов (линейность, суммирование интегралов от данной функции по отдельным частям рассматриваемой поверхности и т.д.).
Геометрический и физический смысл поверхностного интеграла 1-го рода
Если подынтегральная функция f(M) 1, то из определения следует, что равен площади рассматриваемой поверхности S.
Если же считать, что f(M) задает плотность в точке М поверхности S, то масса этой поверхности равна
. (27.4)
Вычисление поверхностного интеграла 1-го рода
Ограничимся случаем, когда поверхность S задается явным образом, то есть уравне-нием вида z = (x, y). При этом из определения площади поверхности следует, что
Si = , где i – площадь проекции Si на плоскость Оху, а i – угол между осью Oz и нормалью к поверхности S в точке Mi. Известно, что
,
где (xi, yi, zi) – координаты точки Mi. Cледовательно,
.
Подставляя это выражение в формулу (27.2), получим, что
,
где суммирование справа проводится по области плоскости Оху, являющейся проекцией на эту плоскость поверхности S (рис.1).
z
S: z=(x,y)
Si L
O
y
i
x
Рис. 1.
При этом в правой части получена интегральная сумма для функции двух переменных по плоской области, которая в пределе при дает двойной интеграл Таким образом, получена формула, позволяющая свести вычисление поверхностного интеграла 1-го рода к вычислению двойного интеграла:
(27.5)
Замечание. Уточним еще раз, что в левой части формулы (27.5) стоит поверхностный интеграл, а в правой – двойной.
Пример.
Вычислим , где S – часть плоскости 3х + 4у – 5z = 36, расположенная в пер-вом октанте. Преобразуем это уравнение к виду , откуда ,
, . Проекцией плоскости S на плоскость Оху является тре-угольник с вершинами в точках (0, 0), (12, 0) и (0, 9). Тогда из формулы (34.5) полу-чим:
Ориентация поверхности
Определим понятие стороны поверхности. Выберем на гладкой поверхности (замк-нутой или ограниченной гладким контуром) точку М0 и проведем в ней нормаль к поверхности, выбрав для нее определенное направление (одно из двух возможных). Проведем по поверхности замкнутый контур, начинающийся и заканчивающийся в точке М0. Рассмотрим точку М, обходящую этот контур, и в каждом из ее положений проведем нормаль того направления, в которое непрерывно переходит нормаль из предыдущей точки. Если после обхода контура нормаль вернется в точке М0 в перво-начальное положение при любом выборе точки М0 на поверхности, поверхность называется двусторонней. Если же направление нормали после обхода хотя бы одной точки изменится на противоположное, поверхность называется односторон-ней (примером односторонней поверхности служит лист Мебиуса).
Из вышесказанного следует, что выбор направления нормали в одной точке одно-значно определяет направление нормали во всех точках поверхности.
Определение. Совокупность всех точек поверхности с одинаковым направлением нормали называется стороной поверхности.
Рассмотрим незамкнутую гладкую двустороннюю поверхность S, ограниченную контуром L, и выберем одну сторону этой поверхности.
Определение. Назовем положительным направление обхода контура L, при котором движение по контуру происходит против часовой стрелки относительно наблюдателя, находящегося в конечной точке нормали к какой-либо точке поверх-ности S, соответствующей выбранной стороне поверхности. Обратное направление обхода контура назовем отрицательным.
Поток векторного поля
Рассмотрим векторное поле А(М), определенное в пространственной области G, ориентированную гладкую поверхность S G и поле единичных нормалей п(М) на выбранной стороне поверхности S.
Определение. Поверхностный интеграл 1-го рода
, (27.6)
где An – скалярное произведение соответствующих векторов, а Ап – проекция вектора А на направление нормали, называется потоком векторного поля А(М) через выбранную сторону поверхности S.
Замечание 1. Если выбрать другую сторону поверхности, то нормаль, а, следова-тельно, и поток изменят знак.
Замечание 2. Если вектор А задает скорость течения жидкости в данной точке, то интеграл (34.6) определяет количество жидкости, протекающей в единицу времени через поверхность S в положительном направлении (отсюда общий термин «поток»).
Поверхностный интеграл второго рода
Введем определение поверхностного интеграла 2-го рода по аналогии с соответ-ствующим криволинейным интегралом. Рассмотрим гладкую двустороннюю поверхность S, заданную уравнением z = z(x, y), в каждой точке которой определена функция f(M) = f(x, y, z), и выберем какую-либо из ее сторон (или, что то же самое, определенную ориентацию). Разобьем поверхность S на части S1, S2,…, Sп, выберем в каждой части Si точку Mi(xi, yi, zi), и умножим f(Mi) на площадь Di проекции части Si на плоскость Оху. При этом будем считать, проекция части верхней по отношению к плоскости Оху стороны рассматриваемой поверхности имеет знак «+», а нижней – знак «-». Составим сумму
. (27.7)
Определение. Если существует конечный предел суммы (27.7) при 0, не зависящий от способа разбиения поверхности и выбора точек на ней, то он называет-ся поверхностным интегралом второго рода от функции f(M) по выбранной сто-роне поверхности S и обозначается
(27.8)
Замечание. В этой символической записи не содержится указания на то, какая сторона поверхности выбрана, поэтому это требуется оговаривать отдельно.
Подобным образом можно проектировать части поверхности на координатные плос-кости Оxz и Оyz (при условии, что уравнение поверхности можно представить в виде y = y(x, z) или x = x(y, z) ). Получим два других поверхностных интеграла 2-го рода:
и . (27.9)
Рассмотрев сумму интегралов вида (27.8) и (27.9) по одной и той же поверхности соответственно от функций P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z), получим поверхностный интеграл второго рода общего вида:
(27.10)
Отметим основное свойство поверхностного интеграла 2-го рода:
При замене рассматриваемой стороны поверхности на противоположную поверхностный интеграл 2-го рода меняет знак: (27.11) Справедливость этого утверждения следует из определения 27.10.
Вычисление поверхностного интеграла 2-го рода
Если задать единичный вектор выбранной нормали к поверхности S в виде п = {cos , cos , cos }, где , , – углы, образованные нормалью с осями координат, то (выбор знака зависит от направления нормали). Тогда из (27.2), (27.3) следует, что
. (27.12)
Здесь D – проекция поверхности S на плоскость Оху, а выражение для dS взято из формулы (27.5). Таким образом, вычисление поверхностного интеграла 2-го рода сводится к вычислению обычного двойного интеграла по области D от функции f, в которую вместо координаты z подставлено ее выражение из уравнения поверхности S. Обобщая эти рассуждения, получим, что
(27.13)
где D и D - проекции поверхности S на соответствующие координатные плоскости.
Пример. Вычислить поверхностный интеграл 2-го рода где S – нижняя сторона части конуса при
Применим формулу (27.12), учитывая, что выбрана нижняя сторона поверхности и что проекцией части конуса на плоскость Оху является круг :
Связь поверхностных интегралов первого и второго рода
Учитывая, что проекции элемента поверхности Si на координатные плоскости имеют вид Sicos, Sicos, Sicos, из (13.5) получим:
, (27.14)
где векторное поле , а - векторное поле единичных нормалей заданно-го направления в каждой точке поверхности. Следовательно, поверхностный интеграл 2-го рода (27.10) равен поверхностному интегралу 1-го рода (27.14). Эта формула предо-ставляет еще одну возможность вычисления поверхностного интеграла 2-го рода. Заметим, что при смене стороны поверхности меняют знак направляющие косинусы нормали, и, соответственно, интеграл в правой части равенства (27.14), который сам по себе, как поверхностный интеграл 1-го рода, от выбора стороны поверхности не зависит.
Пример. Рассмотрим интеграл , где S – внешняя сторона верхней половины сферы x + y + z = R. Так как радиус сферы, проведенный в любую ее точку, можно считать нормалью к сфере в этой точке, единичный вектор нормали можно задать в виде п = . Тогда, используя формулу (27.14), получаем, что требуется вычислить поверхностный интеграл 1-го рода
(Область D – круг с центром в начале координат радиуса R).
Физический смысл поверхностного интеграла 2-го рода
Сравнив формулы (27.14) и (27.6), увидим, что поверхностный интеграл 2-го рода представляет собой поток векторного поля через выбранную сторону поверхности S. При этом из формулы (27.14) следует, что поток можно задать и в виде поверхностного интеграла 1-го рода вида (27.10).
Практическое применение поверхностных интегралов
Поверхностный интеграл 1-го рода
- Площадь криволинейной поверхности, уравнение которой z = f(x, y), можно найти в виде:
(28.21)
( – проекция S на плоскость Оху).
- Масса поверхности
(28.22)
- Моменты:
- (28.23)
- статические моменты поверхности относительно координатных плоскостей Oxy, Oxz, Oyz;
- (28.24)
- моменты инерции поверхности относительно координатных осей;
- (28.25)
- моменты инерции поверхности относительно координатных плоскостей;
- (28.26)
- момент инерции поверхности относительно начала координат.
- Координаты центра масс поверхности:
. (28.27)
Поверхностный интеграл 2-го рода
Напомним, что поверхностный интеграл второго рода от некоторой векторной функции представляет собой поток соответствующего векторного поля через выбранную сторону поверхности интегрирования.
Замечание 1. Так как формулы, задающие значения геометрических и физических величин с помощью интегралов, выводятся с помощью одних и тех же приемов для интегралов всех- рассматриваемых типов, подробный их вывод дается только в начале лекции. При желании можно провести аналогичные рассуждения для тройных, криво-линейных и поверхностных интегралов и получить все формулы, приводимые в лекции без подробного вывода.
Замечание 2. В лекции не рассматриваются примеры использования полученных формул, так как после подстановки в них конкретных функций задача сводится к технике интегрирования, которая рассматривалась в предыдущих лекциях.
афедра информатики и высшей математики КГПУ
Поверхностный интеграл