Криволинейные интегралы первого и второго рода

лухов Ю.П. Конспект лекций по высшей математике 5

Лекция 32

ТЕМА: Криволинейные интегралы первого и второго рода

План.

Криволинейные интегралы первого рода. Свойства криволинейного интеграла 1-го рода. Способ вычисления криволинейного интеграла 1-го рода.
Криволинейный интеграл второго рода. Свойства криволинейного интеграла 2-го рода. Способ вычисления криволинейного интеграла 2-го рода.
Скалярное и векторное поле. Циркуляция векторного поля вдоль кривой. Формула Грина.
Практическое применение криволинейных интегралов.

Криволинейные интегралы первого рода

Рассмотрим на плоскости или в пространстве кривую L и функцию f, определенную в каждой точке этой кривой. Разобьем кривую на части si длиной si и выберем на каждой из частей точку Mi. Составим интегральную сумму . Назовем длину наибольшего отрезка кривой.

Определение. Если существует конечный предел интегральной суммы , не зависящий ни от способа разбиения кривой на отрезки, ни от выбора точек Mi, то он называется криволинейным интегралом первого рода от функции f по кривой L и обозначается

. (26.1)

Например, если функция f(M) задает плотность в точке М, то интеграл (26.1) равен массе рассматриваемой кривой.

Свойства криволинейного интеграла 1-го рода

Если функция f непрерывна на кривой L, то интеграл существует.
Криволинейный интеграл 1-го рода не зависит от направления движения по кривой, то есть от того, какую из точек, ограничивающих кривую, считать начальной, а какую – конечной. Если назвать эти точки А и В, то

(26.2)

Справедливость этих свойств следует из определения криволинейного интеграла 1-го рода.

Способ вычисления криволинейного интеграла 1-го рода

Выберем на кривой L направление от начальной точки А и отметим, что положение точки М на кривой определяется длиной дуги АМ = s. Тогда кривую L можно задать параметрически: x = x(s), y = y(s), z = z(s), где Функция f(x,y,z) становится при этом сложной функцией одной переменной s: f(x(s), y(s), z(s)). Тогда интегральная сумма

где - координата точки Mi, является обычной интегральной суммой для определен-ного интеграла Следовательно,

= (26.3)

Если же кривая L задана в параметрической форме:

x = (t), y = (t), z = (t), t0 t T,

то, применяя в интеграле (26.3) формулу замены переменной и учитывая, что дифференциал дуги

получим:

(26.4)

Таким образом, вычисление криволинейного интеграла 1-го рода сводится к вычислению обычного определенного интеграла от функции переменной t в пределах, соответствующих изменению значения этой переменной на рассматриваемой кривой.

Пример. Вычислить где L:

Применяя формулу (26.4), получим:

Криволинейный интеграл второго рода

Вновь рассмотрим кривую L, в каждой точке которой задана функция f(M), и зададим разбиение кривой на отрезки. Выберем на каждом отрезке точку Mi и умножим значе-ние функции в этой точке не на длину i-го отрезка, как в случае криволинейного инте-грала 1-го рода, а на проекцию этого отрезка, скажем, на ось Ох, то есть на разность xi – xi-1 = xi. Составим из полученных произведений интегральную сумму .

Определение. Если существует конечный предел при интегральной суммы , не зависящий от способа разбиения кривой на отрезки и выбора точек Mi, то от называется криволинейным интегралом второго рода от функции f(M) по кривой L и обозначается

. (26.5)

Подобным образом можно определить и криволинейные интегралы 2-го рода вида

Определение. Если вдоль кривой L определены функции P(M) = P(x, y, z),

Q(M) = Q(x, y, z), R(M) = R(x, y, z) и существуют интегралы

то и их сумму называют криволинейным интегралом второго рода (общего вида) и полагают

. (26.6)

Замечание. Если считать, что сила действует на точку, движущуюся по кривой (АВ), то работа этой силы может быть представлена как

то есть криволинейным интегралом 2-го рода.

Свойства криволинейного интеграла 2-го рода

Если функции P(M), Q(M), R(M) непрерывны на кривой (АВ), то интеграл (26.6) существует (справедливость этого утверждения следует из определения).

При изменении направления кривой (то есть перемены местами начальной и конечной ее точек) криволинейный интеграл 2-го рода меняет знак:

(26.7)

Действительно, при этом изменяется знак xi в интегральной сумме.

Способ вычисления криволинейного интеграла 2-го рода

Теорема 1. Пусть кривая L задана параметрическими уравнениями

x = (t), y = (t), z = (t), t ,

где , , – непрерывно дифференцируемые функции, и на ней задана непрерывная функция f(x, y, z). Тогда интеграл (26.5) существует и имеет место равенство

. (26.8)

Доказательство.

Запишем xi = xi – xi-1 = (ti) – (ti-1) и преобразуем последнюю разность по формуле Лагранжа: (ti) – (ti-1) = (i)ti, где i – некоторое значение t, заключенное между ti-1 и ti. Выберем точку Мi так, чтобы ее координаты соответствовали значению параметра, равному i : Mi((i), (i), (i)). Подставив эти значения в формулу (26.5), получим:

Справа получен предел интегральной суммы для функции f((t),(t),(t))(t) на отрезке [, ], равный определенному интегралу от этой функции:

что и требовалось доказать.

Следствие. Аналогичные соотношения можно получить для криволинейных интегра-лов вида , откуда следует, что

(26.9)

Пример.

Вычислим интеграл , где L – отрезок прямой от точки А(1,2,-2) до точки В(0, -1, 0). Запишем уравнение этой прямой в параметрическом виде:

Следовательно, (t) = -1, (t) = -3, (t) = 2. Тогда

Скалярное и векторное поле. Циркуляция векторного поля вдоль кривой

Если в каждой точке М определенной пространственной области задано значение некоторой скалярной или векторной величины, то говорят, что задано поле этой величины (соответственно скалярное или векторное).

Примерами скалярных полей являются поле температур или поле электрического потенциала, примерами векторных полей – поле сил или поле скоростей.

Рассмотрим некоторые характеристики скалярных и векторных полей.

Определение. Если в некоторой области задано скалярное поле U(x,y,z), то поверхность, определяемая уравнением

U(x, y, z) = C, (26.10)

называется поверхностью уровня. В двумерном случае линия уровня задается уравнением

U(x, y) = C. (26.11)

Определение. Если в некоторой области задано векторное поле , то кривая, направление которой в каждой ее точке М совпадает с направлением вектора в этой точке, называется векторной линией. Она задается уравнениями

(26.12)

Поверхность, составленная из векторных линий, называется векторной поверхно-стью. Если векторная поверхность образована векторными линиями, проходящими через каждую точку некоторой замкнутой кривой, то она называется векторной трубкой.

Определение. Пусть задано скалярное поле U(x, y, z). Вектор

(26.13)

называется градиентом величины U в соответствующей точке.

Замечание. Таким образом, скалярное поле U(x, y, z) порождает векторное поле градиента gradU.

Определение. Пусть дано векторное поле . Интеграл

(26.14)

называется линейным интегралом от вектора вдоль кривой L. Если кривая L замкнута, то этот интеграл называют циркуляцией вектора вдоль кривой L.

Здесь - скалярное произведение векторов и

Замечание. Иногда криволинейный интеграл 2-го рода по замкнутому контуру обозначают .

Пример. Вычислить циркуляцию векторного поля ={x, xy, xyz} вдоль контура L:

x + y = 9, z = 2 (направление обхода контура – от точки (3,0,2) к точке (0,3,2)).

Зададим контур L параметрически: x = 3cos t, y = 3sin t, z = 2 (0 t 2). Тогда

Формула Грина

Установим связь между двойным интегралом по некоторой плоской области D и криволинейным интегралом по границе L этой области.

Пусть в плоскости Оху дана ограниченная замкнутым контуром L правильная область D. Кривые, ограничивающие эту область снизу и сверху, заданы уравнениями

y = y1(x) и y = y2(x), y1(x) y2(x), a x b (рис.1).

y=y2(x)

M D N

y=y1(x)

O a b x

Рис. 1.

Зададим в области D непрерывные функции P(x, y) и Q(x, y), имеющие непрерывные частные производные, и рассмотрим интеграл

Переходя к двукратному интегралу, получим:

(26.5)

Так как у = у2(х) – параметрическое выражение кривой МPN, то

где справа стоит криволинейный интеграл по кривой MPN. Аналогично получаем, что

Подставим полученные результаты в формулу (26.5):

(26.6)

так как контур L представляет собой объединение кривых MPN и NQM.

Так же можно получить, что (26.7)

Вычтем из равенства (26.6) равенство (26.7):

При этом обход контура L происходит по часовой стрелке. Изменим направление обхода. Тогда предыдущее равенство примет вид:

(26.8)

Эта формула, задающая связь между двойным интегралом и криволинейным интегралом 2-го рода, называется формулой Грина.

Замечание 1. Если в криволинейном интеграле по замкнутому контуру не указано направление обхода, то предполагается, что он производится против часовой стрелки.

Замечание 2. Если рассматривать в плоскости Оху векторное поле {P(x,y), Q(x,y)}, то в правой части формулы (26.8) стоит его циркуляция по контуру L.

Пример. Вычислим циркуляцию векторного поля {x + sin x, х – eу} по контуру x+ y=1.

Применим формулу Грина, учитывая, что :

Область D при этом – круг единичного радиуса с центром в начале координат. Перейдем к полярным координатам:

Практическое применение криволинейных интегралов

Криволинейный интеграл 1-го рода.

Длина кривой.

Если подынтегральная функция f(x, y, z) 1, то из определения криволинейного интеграла 1-го рода получаем, что в этом случае он равен длине кривой, по которой ведется интегрирование:

(28.14)

Масса кривой.

Считая, что подынтегральная функция (x, y, z) определяет плотность каждой точки кривой, найдем массу кривой по формуле

(28.15)

3. Моменты кривой l найдем, рассуждая так же, как в случае плоской области: - (28.16)

статические моменты плоской кривой l относительно осей Ох и Оу;

- (28.17)

момент инерции пространственной кривой относительно начала координат;

- (28.18)

моменты инерции кривой относительно координатных осей.

4.Координаты центра масс кривой вычисляются по формулам

. (28.19)

Криволинейный интеграл 2-го рода.

Если считать, что сила действует на точку, движущуюся по кривой (АВ), то работа этой силы может быть представлена как

, (28.20)

то есть криволинейным интегралом 2-го рода.

афедра информатики и высшей математики КГПУ

Криволинейные интегралы первого и второго рода