Определенный интеграл

лухов Ю.П. Конспект лекций по высшей математике. 5

Лекция 28

ТЕМА: Определенный интеграл

План.

  1. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур.
  2. Геометрические приложения определенного интеграла

Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур

Теорема 5. Если:

  1. функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b],
  2. функция (t) непрерывна и имеет непрерывную производную (t) на отрезке [,], где a = (), b = (),
  3. функция f ((t)) определена и непрерывна на отрезке [,],

то . (22.1)

Доказательство.

Если F(x) – первообразная для f(x), то ,

(см. пред. лекцию). Тогда, используя формулу Ньютона – Лейбница, получим: , откуда следует справедливость формулы (22.1).

Замечание. В отличие от неопределенного интеграла, в определенном интеграле нет необходимости возвращаться к прежней переменной интегрирования, так как результатом вычисления будет число, не зависящее от выбора переменной.

Пример. Вычислить интеграл . Сделаем замену: откуда . При этом Тогда =

Теорема 6. Если функции u(x) и v(x) непрерывны вместе со своими производными на отрезке [a,b], то

. (22.2)

(Формула (22.2) называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла).

Доказательство.

. Все интегралы в этом равенстве существуют, так как подынтегральные функции непрерывны. При этом , поэтому , откуда следует (22.2).

Примеры

  1. Вычислить интеграл . Пусть u = x, dv = exdx. Тогда du = dx, v = ex. Применим формулу (29.2): .
  2. . (При интегрировании принималось u = x, v = arcsinx).
  3. Вычислить . Пусть u = ex, dv = sinxdx. Тогда du = exdx, v = -cosx. Следовательно, = . Применим к интегралу в правой части полученного равенства еще раз формулу интегрирования по частям, положив u = ex, dv = cosxdx: = . Поскольку при этом в правой части равенства стоит такой же интеграл, как в левой, его значение можно найти из уравнения: 2 = e + 1 , то есть

=

Геометрические приложения определенного интеграла

  1. Вычисление площадей плоских фигур

Вспомним, каким образом вводилось понятие определенного интеграла. С геометрической точки зрения интегральная сумма представляет собой (при f(x) 0) сумму площадей прямоугольников с основанием и высотой . Переходя к пределу при ||0, получаем, что при представляет собой площадь так называемой криволинейной трапеции aА1В1b, то есть фигуры, ограниченной частью графика функции

у

у

y=f(x) y=f2(x)

A1 B1

y=f1(x)

a b х a b x

Рис. 1 Рис. 2

f(x) от х = а до x = b и отрезками прямых х = а, x = b и у = 0 (рис. 1):

. (22.3)

Если требуется найти площадь фигуры, ограниченной графиками двух функций: f1(x) и f2(x) (рис. 2), то ее можно рассматривать как разность площадей двух криволинейных трапеций: верхней границей первой из них служит график функции f2(x), а второй – f1(x). Таким образом, . (22.4)

Замечание 1. Формула (22.4) справедлива, если графики функций f1(x) и f2(x) не пересекаются при a < x < b.

Замечание 2. Функции f1(x) и f2(x) могут при этом принимать на интервале [a,b] значения любого знака.

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = x - 3x – 5 и y = x – 5.

Найдем абсциссы точек пересечения указанных графиков, то есть корни уравнения x - 3x – 5 = x – 5. x - 4x = 0, x1 = a = 0, x2 = b = 4. Таким образом, найдены пределы интегрирования. Так как на интервале [0,4] прямая y = x – 5 проходит выше параболы у = x - 3x – 5, формула (22.4) примет вид:

Площадь в полярных координатах. Длина дуги кривой и ее вычисление. Вычисление объемов тел

Введем на плоскости криволинейную систему координат, называемую полярной. Она состоит из точки О (полюса) и выходящего из него луча (полярной оси).

у

М

М

у=sin

O

O x=cos x

Рис. 1 Рис. 2

Координатами точки М в этой системе (рис. 1) будут длина отрезка МО – полярный радиус и угол между МО и полярной осью: М(,). Отметим, что для всех точек плоскости, кроме полюса, > 0, а полярный угол будем считать положительным при измерении его в направлении против часовой стрелки и отрицательным – при измерении в противоположном направлении.

Замечание. Если ограничить значения интервалом [0,] или [-, ], то каждой точке плоскости соответствует единственная пара координат (,). В других случаях можно считать, что может принимать любые значения, то есть полярный угол определяется с точностью до слагаемого, кратного 2.

Связь между полярными и декартовыми координатами точки М можно задать, если совместить начало декартовой системы координат с полюсом, а положительную полуось Ох – с полярной осью (рис. 2). Тогда x=cos, у=sin . Отсюда , tg. Выясним, как с помощью определенного интеграла вычислить площадь фигуры, границы которой заданы в полярных координатах.

а) Площадь криволинейного сектора. =1()

=()

=2()

О О

Рис. 3 Рис. 4

Найдем площадь фигуры, ограниченной частью графика функции =() и отрезками лучей = и = . Для этого разобьем ее на п частей лучами = i и найдем сумму площадей круговых секторов, радиусами которых служат где Как известно, площадь сектора вычисляется по формуле где r – радиус сектора, а – его центральный угол. Следовательно, для суммы площадей рассматриваемых секторов можно составить интегральную сумму , где . В пределе при получим, что площадь криволинейного сектора

. (22.5)

б) Площадь замкнутой области.

Если рассмотреть замкнутую область на плоскости, ограниченную кривыми, уравнения которых заданы в полярных координатах в виде и (), а полярный угол принимает для точек внутри области значения в пределах от до (рис. 4), то ее площадь можно вычислять как разность площадей криволинейных секторов, ограниченных кривыми и , то есть

. (22.6)

Пример. Вычислим площадь области, заключенной между дугой окружности x + y = 1 и прямой x = при . В точках пересечения прямой и окружности , то есть полярный угол изменяется внутри области в пределах от до . Уравнение окружности в полярных координатах имеет вид = 1, уравнение прямой - , то есть . Следовательно, площадь рассматриваемой области можно найти по формуле (22.6):

.

  1. Длина дуги кривой

а) Длина дуги в декартовых координатах.

у y = f(x) Рассмотрим функцию y = f(x), непрерывную

уi на отрезке [a,b] вместе со своей производной.

хi Выберем разбиение отрезка [a,b] и будем

считать длиной дуги кривой, являющейся

графиком f(x), от х=а до x=b предел при ||0

длины ломаной, проведенной через точки

графика с абсциссами х0 , х1 ,…, хп (точками

а xi-1 xi b разбиения ) при стремлении длины ее

наибольшего звена к нулю:

Рис. 5 . (22.7)

Убедимся, что при поставленных условиях этот предел существует. Пусть . Тогда (рис. 5). По формуле конечных приращений Лагранжа , где xi-1 < i < xi . Поэтому , а длина ломаной . Из непрерывности f(x) и следует и непрерывность функции , следовательно, существует и предел интегральной суммы, являющейся длиной ломаной, который равен

. Таким образом, получена формула для вычисления длины дуги:

. (22.8)

Пример. Найти длину дуги кривой y = ln x от х = до х = .

. Сделаем замену: , тогда , а пределами интегрирования для u будут u=2 (при х = ) и и = 4 (при х = ). Получим:

.

б) Длина дуги кривой, заданной в параметрической форме

Если уравнения кривой заданы в виде , где а (t) и (t) – непрерывные функции с непрерывными производными, причем (t) 0 на [,], то эти уравнения определяют непрерывную функцию y = f(x), имеющую непрерывную производную . Если то из (22.8) или

. (22.9)

Замечание. Если пространственная линия задана параметрическими уравнениями

, то при указанных ранее условиях . (22.10)

в) Длина дуги в полярных координатах

Если уравнение кривой задано в полярных координатах в виде = f(), то x = cos = f()cos , y = sin = f()sin – параметрические уравнения относительно параметра . Тогда для вычисления длины дуги можно использовать формулу (22.9), вычислив предварительно производные х и у по :

Следовательно,

, поэтому

(22.11)

Пример. Найти длину дуги спирали Архимеда = от = 0 до = 2 .

(были применены замены = tg t и u = sint).

  1. Вычисление объемов тел

Пусть имеется некоторое тело, для которого известна площадь любого его сечения плоскостью, перпендикулярной оси Ох, являющаяся функцией от х: Q = Q(x). Определим объем рассматриваемого тела в предположении, что Q – непрерывная функция. Если значение х внутри тела меняется от а до b, то можно разбить тело на слои плоскостями х = х0 = а, х = х1, х = х2,…, х = хn = b. Затем выберем в каждом слое значение х = i , xi-1 i xi , и рассмотрим сумму объемов цилиндров с площадями оснований Q(i) и высотами xi = xi – xi-1 . Эта сумма будет равна . Получена интегральная сумма для непрерывной функции Q(x) на отрезке [a,b] , следовательно, для нее существует предел при | | 0, который равен определенному интегралу

, (22.12)

называемому объемом данного тела.

Замечание. Если требуется определить объем так называемого тела вращения, то есть тела, образованного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной частью графика функции y = f(x) от х = а до x = b и отрезками прямых х = а, х = b и у =0, то площадь сечения такого тела плоскостью x = const равна , и формула (22.12) в этом случае имеет вид:

. (22.13)

Пример. Найдем объем эллипсоида вращения . При x = const сечениями будут круги с радиусом и площадью . Применим формулу (22.12), учитывая, что х изменяется от –2 до 2:

v = .

  1. Площадь поверхности тела вращения

Пусть требуется определить площадь поверхности, полученной вращением кривой y = f(x) вокруг оси Ох при . Выберем разбиение отрезка [a,b] и рассмотрим, как и при определении длины кривой, ломаную, проходящую через точки кривой с абсциссами xi . Каждый отрезок такой ломаной при вращении опишет усеченный конус, площадь боковой поверхности которого равна . По формуле конечных приращений Лагранжа , где . Поэтому . Следовательно, площадь всей поверхности, описанной ломаной при вращении, равна . Назовем площадью поверхности вращения предел этой суммы при maxli 0 .

Заметим, что эта сумма не является интегральной суммой для функции , так как в каждом ее слагаемом фигурирует несколько точек данного отрезка разбиения. Однако можно доказать, что предел такой суммы равен пределу интегральной суммы для , откуда получаем формулу для площади поверхности вращения:

. (22.14)

Пример. Вычислим площадь поверхности, полученной вращением части кривой от х = 0 до х=1. Используя формулу (22.14), получим: .

афедра информатики и высшей математики КГПУ

Определенный интеграл