Линейное векторное пространство. Линейные преобразования. Собственные значения и собственные векторы матрицы

Глухов Ю.П. Конспект лекций по высшей математике.

Лекция 8

ТЕМА: Линейное векторное пространство. Линейные преобразования. Собственные значения и собственные векторы матрицы

План лекции.

Линейное векторное пространство.
Линейные преобразования.
Собственные значения и собственные векторы матрицы.

Линейное векторное пространство

Определение. Матрица-строка, имеющая вид называется -мерным вектором. Сокращенно .

Числа называются координатами вектора.

Определение. Два вектора и называются линейно зависимыми, если существуют числа и , из которых хотя бы одно не равно нулю, и для которых выполняется условие

. (3.1)

Если таких чисел не существует, то вектори называются линейно независимыми.

Система векторов , , …, образуют линейное эвклидовое векторное пространство, если его векторы удовлетворяют следующим условиям.

1. Для любых двух векторов выполняется условие . Под суммой векторов понимаем новый вектор, координаты которого равны сумме одноименных координат векторов и .

2. Существует ноль-вектор такой, что

3. Для любого вектора существует противоположный вектор такой, что

, .

4. Для любых векторов и числа выполняется равенство

Под произведение вектора на число понимаем новый вектор, каждая координата которого определяется произведением .

5. Для любых векторов и определяется скалярное произведение

Максимальная система линейных независимых векторов определяет размерность пространства .

Теорема. В линейном пространстве любой вектор может быть представлен в виде линейной комбинации базисных векторов.

Пусть векторы , , …, образуют базис. Пусть

Векторы образуют ортонормированный базис, если они удовлетворяют условиям:

1) ; 2) , где

Необходимым и достаточным условием того, что система векторов образует базис является хотя бы при одном .

В трехмерном пространстве разложение вектора на проекции по координатным осях 0x, 0y и 0z имеет вид

или ,

где x, y, z – проекции вектора соответственно на осях 0x, 0y и 0z; – единичные векторы (орты) прямоугольной декартовой системы координат. Проекции x, y, z называются координатами вектора.

Определение. Модуль вектора рамен квадратному корню из суммы квадратов его координат: .

Если известны координаты точек и , то

Определение. Два вектора і коллинеарны, если их координаты пропорциональны, т.е.

У координатной форме скалярное произведение векторов равно сумме произведений одноименных координат, т.е. .

Пример Доказать, что векторы , и образу ют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение. Для того, чтобы векторы , и образовывали базис, т.е., чтобы они были линейно независимыми, необходимо, чтобы определитель, составленный из координат векторов, был отличен от нуля. Составим определитель из компонент векторов , и и вычислим его:

Т.к. , то векторы , и образуют базис трехмерного пространства. Для вычисления координат вектора в этом базисе составим матричное уравнение , что приводит к решению следующей системы линейных уравнений:

Ее решение даст координаты вектора в базисе , и , т.е.

Пример. Даны векторы . Необходимо: а) вичислить скалярное произведение двух векторов; б) проверить, будут ли коллинеарными или ортогональными любые два вектора; в) проверить, будут ли компланарными три вектора.

а) ; б) ; в) .

Решение.

А)

Б) Для того, чтобы векторы были коллинеарными, необходимо, чтобы их соответствующие координаты были пропорциональными.

Векторы и неколлинеарны.

Для того, чтобы два вектора были ортогональными, необходимо, чтобы их скалярное произведение равнялось нулю.

Получается, что векторы и ортогональны.

В) Для того, чтобы три вектора были компланарными (т.е. были размещены на одной плоскости или на параллельных плоскостях), необходимо, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю.

Т.о., векторы некомпланарны.

Линейные преобразования

Определение. Преобразование вектора в вектор в матричной форме, определяемое формулой

, т.е. Y=AX, (1)

называется линейным преобразованием плоскости, причем называется матрицей преобразования.

Пусть , а , тогда этим преобразованием основные орты и переводятся соответственно в векторы и .

Преобразование (1) в координатной форме определяется формулами

(2)

Аналогично, преобразование, определяемое формулами

(3)

называется линейным преобразованием пространства. В матричной форме преобразование (3) имеет вид Y=AX, где

, ,

Всякое линейное преобразование обладает следующими основними свойствами:

A(X+Y)=AX+AY

Линейное преобразование А, имеющее невырожденную матрицу преобразования А , называется невырожденным. Всякое невырожденное преобразование Y=AX обладает единственным обратным преобразованием , переводящим вектор Y обратно в вектор Х; причем матрица обратного преобразования обратна по отношению к матрице А.

Если линейным преобразованием Y=BX вектор X переводится в Y, а преобразованием Z=AY вектор Y переводится в Z, то результат последовательного применения двух линейных преобразований В и А равносилен одному линейному преобразованию С с матрицей преобразования С=АВ; это преобразование переводит вектор Х в в вектор Z: Z=CX=(AB)X

Простейшие примеры линейных преобразований:

Нулевое преобразование, которое каждому вектору Х пространства или плоскости ставит в соответствие ноль-вектор, т.е. ОХ=0. Матрица нулевого преобразование – ноль-матрица.
Тождественное преобразование, которое каждому вектору Х ставит в соответствие этот же вектор Х, т.е. IX=X. Матрица тождественного преобразования – единичная матрица.

Определение. Если матрица обратного преобразования совпадает с транспонированной матрицей, то матрица А называется ортогональной матрицей.

Всякое линейное преобразование (плоскости, пространства) называется ортогональным, если его матрица ортогональная. Обратное преобразование ортогонального преобразования и последовательное выполнение двух ортогональних преобразований также являються ортогональними преобразованиями.

Преобразование матрицы линейного преобразования

при переходе к новому базису

Рассмотрим линейное преобразование А и два базиса в трехмерном пространстве: е1, е2, е3 и е1, е2, е3. Пусть матрица С задает формулы перехода от базиса {ek} к базису {ek}. Если в первом из этих базисов выбранное линейное преобразование задается матрицей А, а во втором – матрицей А, то можно найти связь между этими матрицами, а именно:

А = С-1АС

Действительно, , тогда А. С другой стороны, результаты применения одного и того же линейного преобразования А в базисе {ek}, т.е. , и в базисе {ek}: соответственно - связаны матрицей С: , откуда следует, что СА=АС. Умножая обе части этого равенства слева на С-1, получим

С-1СА = = С-1АС, что доказывает справедливость формулы А = С-1АС

Собственные значения и собственные векторы матрицы.

Определение. Вектор-столбец називается собственным вектором квадратной матрицы А n-го порядка, соответствующим собственному значению , если он удовлетворяет матричное уравнение АХ = Х или (А – Е)Х = 0.

Здесь Е – единичная матрица n-го порядка, а 0 – нулевой вектор-столбец.

Другими словами, вектор х называется собственным вектором матрицы А, если найдется такое число , что выполняется равенство: Ах = х, то есть результатом применения к х линейного преобразования, задаваемого матрицей А, является умножение этого вектора на число . Само число называется собственным числом (значением) матрицы А.

Система уравнений для определения координат собственного вектора будет иметь вид:

Отсюда

Эта линейная однородная система будет иметь нетривиальное решение только в случае, если ее главный определитель равен 0 (правило Крамера). Записав это условие в виде:

получим уравнение для определения собственных чисел , называемое характеристическим уравнением. Кратко его можно представить так:

| A - E | = 0.

Многочлен относительно | A - E| называется характеристическим многочленом матрицы А.

Свойства характеристического многочлена:

Характеристический многочлен линейного преобразования не зависит от выбора базиса.

Доказательство. , но следовательно, . Таким образом, не зависит от выбора базиса. Значит, и |A-E| не изменяется при переходе к новому базису.

Если матрица А линейного преобразования является симметрической (т.е. аij=aji), то все корни характеристического уравнения – действительные числа.

Свойства собственных чисел и собственных векторов:

Если выбрать базис из собственных векторов х1, х2, х3, соответствующих собственным значениям 1, 2, 3 матрицы А, то в этом базисе линейное преобразование А имеет матрицу диагонального вида:

(9.7) Доказательство этого свойства следует из определения собственных векторов.

Если собственные значения преобразования А различны, то соответствующие им собственные векторы линейно независимы.
Если характеристический многочлен матрицы А имеет три различных корня, то в некотором базисе матрица А имеет диагональный вид.

Пример Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

Решение. Составим характеристическое уравнение матрицы А

–(4–)(2–) + 3(2–) = 0,

(2–)(–(4–)+3) =0,

(2–)(2–4+3) = 0,

2– = 0, 2–4+3 = 0,

1 = 2, 2 =1, 3 = 3.

1 = 2 , 2 =1 , 3 = 3 есть собственными значениями матрицы А.

Для того, чтобы найти собственные векторы, будем использовать систему уравнений

Учитывая , получим систему для первого собственног вектора :

Т.о., первый собственный вектор будет

Принимая , получим систему для другого собственного вектора :

Т.о., другой собственный вектор будет

Учитывая , получим систему для третьего собственного вектора :

Т.о., третий собственный вектор будет

Кафедра информатики и высшей математики КГПУ

Линейное векторное пространство. Линейные преобразования. Собственные значения и собственные векторы матрицы