Решение систем линейных уравнений

PAGE 1

Глухов Ю.П. Конспект лекций по высшей математике.

Лекция 3

ТЕМА: Решение систем линейных уравнений

План лекции.

Основные определения.
Элементарные преобразования систем линейных уравнений.
Матричный метод систем линейных уравнений.
Метод Крамера.
Решение произвольных систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.
Метод Гаусса.

Определение. Линейными операциями над какими-либо объектами называются их сложение и умножение на число.

Определение. Линейной комбинацией переменных называется результат применения к ним линейных операций, т.е. где числа, переменные.

Определение. Линейным уравнением называется уравнение вида

где и b – числа, - неизвестные.

Таким образом, в левой части линейного уравнения стоит линейная комбинация неизвестных, а в правой – число.

Определение. Линейное уравнение называется однородным, если b = 0. В противном случае уравнение называется неоднородным.

Определение. Системой линейных уравнений (линейной системой) называется система вида

где , - числа, - неизвестные, n – число неизвестных, m – число уравнений.

Если число уравнений системы совпадает с числом неизвестных (m=n), то система называется квадратной.

Определение. Решением линейной системы (2.2) называется набор чисел

которые при подстановке вместо неизвестных обращают каждое уравнение системы в верное равенство.

Решить систему — значит найти все ее решения или доказать, что ни одного решения нет.

Определение. Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.

Определение. Система называется определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если более одного.

Определение. Для системы линейных уравнений матрица

А = называется матрицей системы, а матрица

А*= называется расширенной матрицей системы

Определение. Если b1, b2, …,bm = 0, то система называется однородной. Однородная система всегда совместна, т.к. всегда имеет нулевое решение.

Две системы, множества решений которых совпадают, называются эквивалентными или равносильными (совпадение множеств решений означает, что каждое решение первой системы является решением второй системы, и каждое решение второй системы является решением первой).

Две несовместные системы считаются эквивалентными.

Элементарные преобразования систем

Преобразование, применение которого превращает систему в новую систему, эквивалентную исходной, называется эквивалентным или равносильным преобразованием.

К элементарным преобразованиям относятся:

1)Прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на одно и то же число, не равное нулю.

2)Перестановка уравнений местами.

3)Удаление из системы уравнений, являющихся тождествами для всех х.

4) Удаление одного из двух одинакові уравнений.

Матричный метод решения систем линейных уравнений

Матричный метод применим к решению систем уравнений, где число уравнений равно числу неизвестных.

Метод удобен для решения систем невысокого порядка.

Метод основан на применении свойств умножения матриц.

Пусть дана система уравнений:

Составим матрицы: A = ; B = ; X = .

Систему уравнений можно записать:

AX = B.

Сделаем следующее преобразование: A-1AX = A-1B,

т.к. А-1А = Е, то ЕХ = А-1В

Х = А-1В

Для применения данного метода необходимо находить обратную матрицу, что может быть связано с вычислительными трудностями при решении систем высокого порядка.

Пример. Решить систему уравнений:

Х = , B = , A =

Найдем обратную матрицу А-1.

= det A = 5(4-9) + 1(2 – 12) – 1(3 – 8) = -25 – 10 +5 = -30.

M11 = = -5; M21 = = 1; M31 = = -1;

M12 = M22 = M32 =

M13 = M23 = M33 =

A-1 = ;

Cделаем проверку:

AA-1 = =E.

Находим матрицу Х.

Х = = А-1В = = .

Итого решения системы: x =1; y = 2; z = 3.

Несмотря на ограничения возможности применения данного метода и сложность вычислений при больших значениях коэффициентов, а также систем высокого порядка, метод может быть легко реализован на ЭВМ.

Метод Крамера

(Габриель Крамер (1704-1752) швейцарский математик)

Данный метод также применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений. Кроме того, необходимо ввести ограничения на коэффициенты системы. Необходимо, чтобы все уравнения были линейно независимы, т.е. ни одно уравнение не являлось бы линейной комбинацией остальных.

Для этого необходимо, чтобы определитель матрицы системы не равнялся 0.

det A 0;

Действительно, если какое- либо уравнение системы есть линейная комбинация остальных, то если к элементам какой- либо строки прибавить элементы другой, умноженные на какое- либо число, с помощью линейных преобразований можно получить нулевую строку. Определитель в этом случае будет равен нулю.

Теорема (правило Крамера). Система из n уравнений с n неизвестными

в случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение и это решение находится по формулам:

xi = i/, где

= det A, а i – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов bi.

i =

Пример.

A = ; 1= ; 2= ; 3= ;

x1 = 1/detA; x2 = 2/detA; x3 = 3/detA;

Пример. Найти решение системы уравнений:

= = 5(4 – 9) + (2 – 12) – (3 – 8) = -25 – 10 + 5 = -30;

1 = = (28 – 48) – (42 – 32) = -20 – 10 = -30.

x1 = 1/ = 1;

2 = = 5(28 – 48) – (16 – 56) = -100 + 40 = -60.

x2 = 2/ = 2;

3 = = 5( 32 – 42) + (16 – 56) = -50 – 40 = -90.

x3 = 3/ = 3.

Как видно, результат совпадает с результатом, полученным выше матричным методом.

Если система однородна, т.е. bi = 0, то при 0 система имеет единственное нулевое решение x1 = x2 = … = xn = 0.

При = 0 система имеет бесконечное множество решений.

Решение произвольных систем линейных уравнений

Теорема(теорема Кронекера-Капелли): Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

RgA = RgA*.

Очевидно, что система линейных алгебраических уравнений может быть записана в виде:

x1 + x2 + … + xn

Доказательство.

1) Если решение существует, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы А, а значит добавление этого столбца в матрицу, т.е. переход АА* не изменяют ранга.

2) Если RgA = RgA*, то это означает, что они имеют один и тот же базисный минор. Столбец свободных членов – линейная комбинация столбцов базисного минора, т.е. верна запись, приведенная выше.

Пример. Определить совместность системы линейных уравнений:

A =

~ . RgA = 2.

A* = RgA* = 3.

Система несовместна.

Пример. Определить совместность системы линейных уравнений.

А = ; = 2 + 12 = 14 0; RgA = 2;

A* =

RgA* = 2.

Система совместна. Решения: x1 = 1; x2 =1/2.

Метод Гаусса

(Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) немецкий математик)

В отличие от матричного метода и метода Крамера, метод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных.

Рассмотрим систему линейных уравнений:

Разделим обе части 1–го уравнения на a11 0, затем:

1) умножим на а21 и вычтем из второго уравнения

2) умножим на а31 и вычтем из третьего уравнения

и т.д.

Получим:

, где d1j = a1j/a11, j = 2, 3, …, n+1.

dij = aij – ai1d1j i = 2, 3, … , n; j = 2, 3, … , n+1.

Далее повторяем эти же действия для второго уравнения системы, потом – для третьего и т.д.

Пример Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

Составим расширенную матрицу системы.

А* =

Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:

, откуда получаем: x3 = 2; x2 = 5; x1 = 1.

Пример. Решить систему методом Гаусса.

Составим расширенную матрицу системы.

Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:

, откуда получаем: z = 3; y = 2; x = 1.

Полученный ответ совпадает с ответом, полученным для данной системы методом Крамера и матричным методом.

Метод Жордана-Гаусса

Метод Жордана-Гаусса модификацией метода Гаусса. Первый шаг преобразования матрицы по методу Жордана-Гаусса совпадает с первым шагом преобразований по методу Гаусса.

При преобразовании системы по методу Жордана-Гаусса матрица коэффициентов приводится (если это возможно) к такому виду, что на главной диагонали стоят единицы, а над главной диагональю и под главной диагональю – нули. Полученный в результате преобразований последний столбец расширенной матрицы будет представлять собой решение системы.

Пример

Пусть имеются две квадратные матрицы одинаковой размерности:

Требуется найти матрицу X, удовлетворяющую матричному уравнению

AX = D.

Из правила умножения матриц следует, что матрица X должна быть квадратной матрицей той же размерности, что и матрицы A и D:

Из правила умножения матриц и из определения равенства матриц следует, что последнее матричное уравнение распадается на три системы линейных уравнений:

;

; (2)

Все три системы (2) имеют одинаковые матрицы коэффициентов, что дает возможность решать их одновременно, введя матрицу

Здесь первые четыре столбца образуют расширенную матрицу первой системы, первые три столбца вместе с пятым столбцом образуют расширенную матрицу второй системы, а первые три столбца вместе с шестым – расширенную матрицу третьей системы.

Применим для решения метод Жордана-Гаусса который является модификацией метода Гаусса.

Первый шаг преобразования матрицы по методу Жордана-Гаусса совпадает с первым шагом преобразований по методу Гаусса. Оставляем без изменений первую строку матрицы, а во второй и третьей “организуем” нули в первом столбце:

Теперь, следуя методу Жордана-Гаусса, оставляем без изменения лишь вторую строку (так как a22 0) и получаем с помощью второй строки в первой и третьей строках во втором столбце нули. Для этого вместо первой строки пишем сумму первой строки, умноженной на 5, и второй строки, умноженной на –2. Вместо третьей строки пишем сумму третьей строки , умноженной на 5, и второй строки, умноженной на –1 После деления полученной третьей строки на 2 получаем матрицу

Чтобы в первой и второй строках в третьем столбце получить нули, проведем следующие преобразования последней матрицы. Оставив третью строку без изменений, заменим вторую строку разностью второй строки и утроенной третьей, а первую – суммой первой и третьей строк. После деления первой и второй строк преобразованной матрицы на 5 получится матрица

. (3)

Если взять первые четыре столбца матрицы (3), то получится матрица, в которую преобразовалась расширенная матрица первой из систем уравнений (2). Из нее следует: x11=2; x21=–5; x31=10. Матрица, образованная первыми тремя столбцами вместе с пятым столбцом матрицы (3), дает решение второй системы уравнений (2): x12=2; x22=1; x32=–3. И, наконец, матрица, образованная первыми тремя столбцами вместе шестым столбцом матрицы (3), дает решение третьей системы уравнений (2): x13=3; x23=–4; x33=12.

Из сказанного можно сделать очень интересный и важный вывод: последние три столбца матрицы (3) образуют искомую матрицу X.

Пример.

Поставим задачу: найти обратную матрицу к матрице

Условие

где

сводится к трём системам уравнений, которые будем решать одновременно, используя метод Жордана-Гаусса. Матрица, представляющая расширенные матрицы всех трёх систем, примет вид

Подвергая её преобразованиям по методу Жордана-Гаусса, последовательно будем получать:

(4)

Как и в предыдущем примере, можно сказать, что три последних столбца образуют искомую матрицу, то есть

Теперь сформулируем правило, по которому находится матрица, обратная к квадратной матрице А размера n.

Нужно выписать матрицу размерности n 2n, первые n столбцов которой образованы матрицей А, а последние n столбцов образуют единичную матрицу Е. Построенная таким образом матрица преобразуется по методу Жордана-Гаусса так, чтобы на месте матрицы А получилась единичная матрица, если это возможно. Тогда на месте матрицы Е получается матрица А–1.

Если матрицу А нельзя методом Жордана-Гаусса преобразовать к единичной матрице, то А–1 не существует. Так матрица

не имеет обратной.

Кафедра информатики и высшей математики КГПУ

Решение систем линейных уравнений