Ряды Фурье
лухов Ю.П. Конспект лекций по высшей математике. Лекция № 44 6
Лекция 44
ТЕМА: Ряды Фурье
План.
- Тригонометрический ряд. Достаточные признаки разложимости в ряд Фурье.
- Разложение в ряд Фурье непериодической функции.
- Ряд Фурье для четных и нечетных функций.
- Ряды Фурье для функций любого периода.
- Ряд Фурье по ортогональной системе функций.
- Интеграл Фурье.
- Преобразование Фурье.
Ряды Фурье
( Жан Батист Жозеф Фурье (1768 – 1830) – французский математик)
Тригонометрический ряд.
Определение. Тригонометрическим рядом называется ряд вида:
(43.1)
или, короче, (43.2)
Действительные числа ai, bi называются коэффициентами тригонометрического ряда.
Если ряд представленного выше типа сходится, то его сумма представляет собой периодическую функцию с периодом 2, т.к. функции sinnx и cosnx также периодические функции с периодом 2.
Пусть тригонометрический ряд равномерно сходится на отрезке [-; ], а следовательно, и на любом отрезке в силу периодичности, и его сумма равна f(x).
Определим коэффициенты этого ряда.
Для решения этой задачи воспользуемся следующими равенствами:
(43.3)
Справедливость этих равенств вытекает из применения к подынтегральному выражению тригонометрических формул.
Т.к. функция f(x) непрерывна на отрезке [-; ], то существует интеграл
(43.4)
Такой результат получается в результате того, что .
Получаем: (43.5)
Далее умножаем выражение разложения функции в ряд на cosnx и интегрируем в пределах от - до .
(43.6)
Отсюда получаем: (43.7)
Аналогично умножаем выражение разложения функции в ряд на sinnx и интегрируем в пределах от - до .
Получаем: (43.8)
Выражение для коэффициента а0 является частным случаем для выражения коэффициентов an.
Таким образом, если функция f(x) – любая периодическая функция периода 2, непрерывная на отрезке [-; ] или имеющая на этом отрезке конечное число точек разрыва первого рода, то коэффициенты
(43.9)
(43.10)
существуют и называются коэффициентами Фурье для функции f(x).
Определение. Рядом Фурье для функции f(x) называется тригонометрический ряд, коэффициенты которого являются коэффициентами Фурье. Если ряд Фурье функции f(x) сходится к ней во всех ее точках непрерывности, то говорят, что функция f(x) разлагается в ряд Фурье.
Достаточные признаки разложимости в ряд Фурье.
Теорема. (Теорема Дирихле) Если функция f(x) имеет период 2 и на отрезке
[-;] непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, и отрезок
[-;] можно разбить на конечное число отрезков так, что внутри каждого из них функция f(x) монотонна, то ряд Фурье для функции f(x) сходится при всех значениях х, причем в точках непрерывности функции f(x) его сумма равна f(x), а в точках разрыва его сумма равна , т.е. среднему арифметическому предельных значений слева и справа. При этом ряд Фурье функции f(x) сходится равномерно на любом отрезке, который принадлежит интервалу непрерывности функции f(x).
Функция f(x), для которой выполняются условия теоремы Дирихле называется кусочно – монотонной на отрезке [-;].
Теорема. Если функция f(x) имеет период 2, кроме того, f(x) и ее производная f’(x) – непрерывные функции на отрезке [-;] или имеют конечное число точек разрыва первого рода на этом отрезке, то ряд Фурье функции f(x) сходится при всех значениях х, причем в точках непрерывности его сумма равна f(x), а в точках разрыва она равна . При этом ряд Фурье функции f(x) сходится равномерно на любом отрезке, который принадлежит интервалу непрерывности функции f(x).
Функция, удовлетворяющая условиям этой теоремы, называется кусочно – гладкой на отрезке [-;].
Разложение в ряд Фурье непериодической функции.
Задача разложения непериодической функции в ряд Фурье в принципе не отличается от разложения в ряд Фурье периодической функции.
Допустим, функция f(x) задана на отрезке [a, b] и является на этом отрезке кусочно – монотонной. Рассмотрим произвольную периодическую кусочно – монотонную функцию f1(x) c периодом 2Т b-a, совпадающую с функцией f(x) на отрезке [a, b].
y
f(x)
- 2T a b +2T + 4T x
Таким образом, функция f(x) была дополнена. Теперь функция f1(x) разлагается в ряд Фурье. Сумма этого ряда во всех точках отрезка [a, b] совпадает с функцией f(x), т.е. можно считать, что функция f(x) разложена в ряд Фурье на отрезке [a, b].
Таким образом, если функция f(x) задана на отрезке, равном 2 ничем не отличается от разложения в ряд периодической функции. Если же отрезок, на котором задана функция, меньше, чем 2, то функция продолжается на интервал (b, a + 2) так, что условия разложимости в ряд Фурье сохранялись.
Вообще говоря, в этом случае продолжение заданной функции на отрезок (интервал) длиной 2 может быть произведено бесконечным количеством способов, поэтому суммы получившихся рядов будут различны, но они будут совпадать с заданной функцией f(x) на отрезке [a,b].
Ряд Фурье для четных и нечетных функций.
Отметим следующие свойства четных и нечетных функций:
1) (43.11)
2) Произведение двух четных и нечетных функций является четной функцией.
3) Произведение четной и нечетной функций – нечетная функция.
Справедливость этих свойств может быть легко доказана исходя из определения четности и нечетности функций.
Если f(x) – четная периодическая функция с периодом 2, удовлетворяющая условиям разложимости в ряд Фурье, то можно записать:
(43.12)
(43.13)
Таким образом, для четной функции ряд Фурье записывается:
(43.14)
(43.15)
Аналогично получаем разложение в ряд Фурье для нечетной функции:
(43.16)
(43.17)
Пример. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с периодом T = 2 на отрезке [-;].
Заданная функция является нечетной, следовательно, коэффициенты Фурье ищем в виде:
(43.18)
Получаем:
. (43.19)
Построим графики заданной функции и ее разложения в ряд Фурье, ограничившись первыми четырьмя членами ряда.
Ряды Фурье для функций любого периода.
Ряд Фурье для функции f(x) периода Т = 2l, непрерывной или имеющей конечное число точек разрыва первого рода на отрезке [-l, l] имеет вид:
(43.20)
Для четной функции произвольного периода разложение в ряд Фурье имеет вид:
(43.21)
Для нечетной функции:
(43.22)
Ряд Фурье по ортогональной системе функций.
Определение. Функции (х) и (х), определенные на отрезке [a, b], называются ортогональными на этом отрезке, если
(43.23)
Определение. Последовательность функций 1(x), 2(x), …, n(x), непрерывных на отрезке [a, b], называется ортогональной системой функций на этом отрезке, если все функции попарно ортогональны.
(43.24)
Отметим, что ортогональность функций не подразумевает перпендикулярности графиков этих функций.
Определение. Система функций называется ортогональной и нормированной (ортонормированной), если
(43.25)
Определение. Рядом Фурье по ортогональной системе функций 1(x), 2(x), …,n(x) называется ряд вида:
(43.26)
коэффициенты которого определяются по формуле:
, (43.27)
где f(x) = - сумма равномерно сходящегося на отрезке [a, b] ряда по ортогональной системе функций. f(x) – любая функция, непрерывная или имеющая конечное число точек разрыва первого рода на отрезке [a, b].
В случае ортонормированной системы функций коэффициенты определяются:
(43.28)
Интеграл Фурье
Пусть функция f(x) на каждом отрезке [-l,l], где l – любое число, кусочно – гладкая или кусочно – монотонная, кроме того, f(x) – абсолютно интегрируемая функция, т.е. сходится несобственный интеграл
(44.1)
Тогда функция f(x) разлагается в ряд Фурье:
(44.2)
Если подставить коэффициенты в формулу для f(x), получим:
(44.3)
Переходя к пределу при l, можно доказать, что и
Обозначим
При l un 0.
Можно доказать, что предел суммы, стоящий в правой части равенства равен интегралу
Тогда - двойной интеграл Фурье.
Окончательно получаем:
(44.4)
- представление функции f(x) интегралом Фурье.
Двойной интеграл Фурье для функции f(x) можно представить в комплексной форме:
(44.5)
Преобразование Фурье
Определение. Если f(x) – любая абсолютно интегрируемая на всей числовой оси функция, непрерывная или имеющая конечное число точек разрыва первого рода на каждом отрезке, то функция
(44.6)
называется преобразованием Фурье функции f(x).
Функция F(u) называется также спектральной характеристикой функции f(x).
Если f(x) – функция, представимая интегралом Фурье, то можно записать:
(44.7)
Это равенство называется обратным преобразованием Фурье
Интегралы и называются соответственно косинус - преобразование Фурье и синус – преобразование Фурье.
Косинус – преобразование Фурье будет преобразованием Фурье для четных функций, синус – преобразование – для нечетных.
Преобразование Фурье применяется в функциональном анализе, гармоническом анализе, операционном исчислении, теории линейных систем и др.
Кафедра информатики и высшей математики КГПУ
Ряды Фурье