Системи автоматичного керування
Основні поняття і визначення
Основною задачею будь-якої системи автоматичного керування є регулювання одного або декількох параметрів технологічного процесу.
Під параметрами технологічного процесу розуміють сукупність таких операцій, які необхідні для здійснення пуску, зупинки або підтримування технологічного параметру на заданому рівні або зміна його по певному закону. Установку, агрегат, машину в яких протікає технологічний процес називають об’єктом керування.
Керування може бути як ручним так і автоматичним. В 1-му випадку операцію керування здійснює людина, а в 2-му – автоматичний регулятор (керуючий пристрій ).
Поєднання об’єкту керування і автоматичного регулятора – це система автоматичного керування (САК).
На роботу систем автоматичного керування діють різні впливи (збурення). Ці збурення є вхідними величинами (входами) і вихідними (виходами).
Н – навантаження
П - перешкода
Параметри, які в тій чи іншій мірі характеризують якість технологічного процесу і змінюються під дією вхідних величин називаються вихідними величинами або регульованим параметрами.
Вхідні впливи, які порушують заданий закон зміни вихідних величин називаються збурюючими впливами або збуреннями.
Збурення по навантаженню обумовлена зміною параметрів технологічного процесу.
Збурення по перешкодам обумовлено зміною зовнішніх умов.
Вплив керуючого пристрою на об’єкт керування називається керуючим впливом.
Будь-яку систему автоматичного керування можна розкласти на ряд простих елементів. Якщо в таких елементів зміна вхідної величини впливає на зміну вихідної, а зміна вихідної не впливає на зміну вхідної, то такі елементи називають елементами направленої дії.
Зворотні зв’язки
При побудові системи автоматичного керування досить широко використовуються зворотні зв’язки. Зворотні зв’язки бувають зовнішніми і внутрішніми, додатними і від’ємними, жорсткими або гнучкими.
Зовнішній зворотним зв’язком називається такий зв’язок при якому вихід системи з’єднаний з її входом.
Внутрішнім зворотним зв’язком називається такий зв’язок при якому вихід одного із елементів з’єднаний з її входом.
Додатнім зворотним зв’язком називається такий зв’язок при якому подача вихідного сигналу на вхід системи підсилює дію вхідної величини.
Від’ємним зворотним зв’язком називається такий зв’язок при якому подача вихідної величини на вхід системи послаблює дію вхідної величини.
Жорсткий зворотній зв’язок діє як в усталеному так і в перехідному режимі, а гнучкий тільки в перехідному режимі.
Класифікація САК
САК можна класифікувати по багатьох ознаках: розімкнені, зімкнені, прямої та непрямої дії і т.д.
Розімкненими САК називаються такі системи в яких відсутній зворотній зв’язок і результат контролю. Їх можна розділити на системи з жорсткою програмою і системи керування по збуренню.
КП – керуючий пристрій
Хк – керуючий вплив
З – завдання
Розімкнені системи по збуренню: керуючий пристрій виробляє Хк у відповідності із жорстким завданням і коректується в залежності від навантаження. Розімкнені САК мають обмежені використання. До таких систем відноситься як пуск та зупинка різних агрегатів.
Замкненими САК називаються такі системи в яких присутній зовнішній зворотній зв’язок, що забезпечує контроль вихідної величини.
Система автоматичного регулювання по відхиленню зображена на рис. 3.
Для підвищення точності систем автоматичного регулювання використовують комбіновані системи (рис. 4) в яких поєднано принцип регулювання по відхиленню і по збуренню.
Принцип дії САР
Будемо розглядати тільки замкнені системи автоматичного керування в яких поєднано принцип керування по відхиленню, будемо їх просто називати системи автоматичного регулювання (САР), так як вони найбільш поширені в нафтовій і газовій промисловості.
Принцип дії САР розглянемо на принципі роботи сепаратора.
Qсум = Qг + Qр
Qсум – суміші; Qг – газу; Qр – рідини
а) 1 – манометр б) 1 – манометр
2 – орган керування 2 – АР
3 – мембрана
4 – пружина
5 – регулюючий орган
Принцип регулювання тиску в сепараторі може бути як ручним так і автоматичним. З цією метою на сепараторі змонтуємо манометр для контролю поточного значення тиску і орган керування засувку на газовій лінії. Нафтогазова суміш із свердловини під певним тиском тангенціально поступає в сепаратор, де під дією гравітаційних сил відбувається розподіл суміші на рідину і газ. Тиск в сепараторі створювався за рахунок газової фази.
Оператор спостерігаючи за показниками манометра відкриває або закриває засувку на газовій лінії і тим самим регулює тиск.
Для створення системи автоматичного регулювання тиску в сепараторі функції людини передамо автоматичному пристрою – регулятору.
САР тиску в сепараторі працює наступним чином: на газовій лінії змонтуємо автоматичний регулятор. Основними складовими автоматичного регулятора є: задатчик пружина, мембрана, регулюючий орган.
На мембрану діють 2-а тиски. Поточне значення газу зверху і знизу тиск, що створюється пружиною. Якщо тиски, що діють на мембрану однакові, то вона знаходиться в стані рівноваги. І тиску сепараторі відповідає певне положення в регулюючому органі.
Параметр який необхідно регулювати в ході технологічного процесу називається поточним параметром.
Значення регулюючого параметру в будь-який момент часу називається поточним значенням. Різниця між поточним і заданим значеннями регулюючим параметром називається відхиленням.
Значення регулюючого параметру, яке необхідно підтримувати в процесі називається заданим.
Зміна регулюючого параметра (тиск)
Xm – поточне значення
Основними елементами системи автоматичного регулювання є: чутливий елемент (ЧЕ), який реагує на зміну регульованого параметру; елемент порівняння (ЕП), який порівнює поточне значення регульованого параметру із заданим; задане значення регульованого параметру встановлюється за допомогою задатчика (3); регулюючий орган (РО), який здійснює регулюючий вплив на технологічний процес.
Система автоматичного регулювання тиску в сепараторі буде працювати наступним чином:
При появі збурюючого впливу тиск в сепараторі (регулюючий параметр) зростає. Автоматичний регулятор порівнюючи впливи на мембрану (ЧЕ) (ЕП) порівнює тиски із сторони газу (поточне значення) із сторони пружини (задане значення) буде здійснювати регулюючий вплив збільшуючи прохідне січення регулюючого органу на газовій лінії і тим самим зменшуючи відхилення.
Таким чином в даному випадку реалізована замкнена САР з від’ємним зворотнім зв’язком.
В даному випадку мембрана виконує функції ЧЕ і ЕП. При вивченні системи автоматичного регулювання реально існуючу систему автоматизації представляють у вигляді так званої функціональної схеми. Функціональною схемою системи автоматичного регулювання називається така, в якій реально існуючому функціональному елементу відповідає певне зображення.
Функціональна схема системи автоматичного регулювання приведена на рисунку.
Вихідною величиною системи автоматичного регулювання тиску в сепараторі є основний регулюючий параметр – тиск. Параметри, які можуть викликати відхилення від основного параметру від заданого є вхідними.
Основні елементи схеми:
- ОР (є сепаратор, в якому необхідно підтримувати тиск);
- ЧЕ (вимірює поточне значення регульованого параметру );
- ЕП (порівнює поточне значення регульованого параметру із Хз);
- РО (здійснює регулюючий вплив).
В цьому випадку регулюючий вплив здійснюється шляхом зміни витрати газу. Така система називається системою АР по відхиленню з від’ємним зворотнім в’язком.
Класифікація САР
Всі системи надто різноманітні, тому їх можна класифікувати по різних ознаках. Система з сепаратором є системою прямої дії. Вони мають обмежене застосування, так потужність чутливого елементу не завжди достатня. Значно частіше використовуються системи непрямої дії.
Функціональна схема системи непрямої дії приведена на рисунку.
ПТ – перетворювач
ДЕ – додаткове джерело енергії
ФП – формуючий пристрій
РП – регулюючий пристрій
ВМ – виконавчий механізм
ВП – виконавчий пристрій
ФП – це пристрій для формування певного закону регулювання.
В такій системі поточне значення регульованої величини сприймається чутливим елементом з допомогою ПТ і додаткового ДЕ перетворюється в деякий сигнал і потім порівнюється в елементі порівняння з аналоговим, по своїй фізичній природі, сигналом який поступає від З.
В результаті цього на виході ЕП утворилося розузгодження Е, яке поступає на ФП, де підсилюється і виробляється певний закон регулювання. ВМ перетворює вихідний сигнал ФП в переміщення РО.
В залежності від роду ДЕ системи непрямої дії діляться на:
- електричні
- пневматичні
- гідравлічні
- та їх комбінації
В таких системах ЧЕ і ПТ утворюють датчик, а ЕП і ФП утворюють РП, і в свою чергу ВМ та РО утворюють ВП.
Таким чином АР складається із 3-ох таких основних елементів:
- Датчик
- Регулюючий пристрій
- Виконавчий пристрій
В залежності від того, по якому закону повинно змінюватись задане значення регулюючого параметру САР можна поділити на 3-и групи:
- системи автоматичного регулювання в яких задане значення регульованого параметру є постійною називається системами автоматичної стабілізації.
- системи автоматичного регулювання в яких задане значення регульованого параметру змінюється в залежності від будь-якого іншого параметру, а цей параметр змінюється по певному закону, то такі системи називаються системами програмного регулювання.
- системи в яких задане значення регульованого параметру змінюється в залежності від будь-якого іншого параметру, а цей параметр змінюється по певному закону, то такі системи називаються слідкуючи ми системами.
У всіх цих випадках регулювання здійснюється по відхиленню.
В останній час дуже поширені експериментальні системи, які знаходять і підтримують регулюючий вплив, що забезпечує екстремальне, min або max, значення вихідних величин. До таких систем автоматичного регулювання відносяться системи скиду пластової води від нафтових відстійників, в ній регулюючий орган відкривається і закривається при досягненні верхнього і нижнього рівня.
Вимоги, що ставляться до САР
Якщо поточне значення регульованого параметру рівне заданому, то вважають, що система знаходиться в стані рівноваги, якщо під дією деякого впливу збурення в системі виникло відхилення регульованого параметру від заданого, то системі необхідно певний час, щоб знову перевести в стан рівноваги. Вважають, що на протязі цього часу система знаходиться в перехідному режимі. Поведінку системи в перехідному режимі представляють у вигляді графіка перехідного процесу.
Перехідний процес це залежність зміни в часі вихідної величини (регулюючого параметру). Задане значення регулюючого параметру позначають пунктирною лінією. Так як ми розглядаємо системи автоматичної стабілізації, то задане значення Хвих0 = const. Співпадання поточного і заданого значення говорить про те, що система на проміжку (0 , t1) є в стані рівноваги. А в момент часу t1 система відхиляється від стану рівноваги. В період часу (t1 , t2) система перебуває в перехідному режимі, а після t2 повертається до стану рівноваги. При дослідженні САР прийнято їх розглядати від моменту появи відхилення регулюючого параметру. В цьому випадку початок координат відповідає заданому значенню (рис. б), але перехідний процес може мати інший характер (рис. в). Порівнюючи (б) і (в) можна побачити, що в першому випадку система повертається до стану рівноваги, а в другому випадку цього не відбувається. б – система стійка, в – нестійка. Завдання САР – це підтримувати значення заданого параметра на певному рівні і цього треба вимагати від них. Разом з цим в стійких САР перехідний процес може проходити по різному. При цьому вводиться поняття якості перехідного процесу, яке характеризується рядом показників: стійкість, час перехідного процесу, коливальність і т.д. одним із основних є час перехідного процесу, тому чим менше час перехідного процесу тим вища якість САР. Числові значення показників якості технологічного процесу вибирають в залежності від вимог технологічного процесу. Таким чином до САР ставляться дві основні вимоги:
- система повинна бути стійкою
- відповідати тим показникам, які закладені в технічному регламенті.
Статичні і динамічні характеристики САР
При дослідженні САР всі її елементи розглядають як в статиці (стан рівноваги) так і в динаміці (перехідний процес). Поведінку системи в статиці ілюструють її статичною характеристикою. Залежністю вихідної величини.
Статичну характеристику можна отримати експерементально з цією метою необхідно змінити вхідну величину від одного стану до другого. Через деякий час його вихідна величина досягає нового значення, тобто наступає новий стан рівноваги.
Елемент, що володіє лінійною характеристикою називається лінійним (рис. б).
Елемент, який володіє нелінійною характеристикою називається нелінійним (рис. а і в).
САР, що складаються з лінійних елементів називаються лінійними. САР, які має хоча б один нелінійний елемент називаються нелінійними. Але так як методи досягнення лінійних систем автоматичного регулювання є значно простіші, то використовуються методи лінеаризації. Поведінку елементів САР у динаміці описують лінійними диференціальними рівняннями. В практиці розрахунків систем АР використовують такі динамічні характеристики:
- передавальна функція
- перехідна характеристика
- АЧХ
- АФХ
Нехай система підтримки тиску в сепараторі описується наступним диференціальним рівнянням.
(1)
Т – постійна часу
Р – відхилення тиску в сепараторі від заданого значення
Qr – зміна витрати газу на виході у сепаратора
Так як Р є регульованою величиною, то Р=хвих . зміна витрати газу є величиною за допомогою якої підтримується тиск, то Qr= хвх .
(2)
К – коефіцієнт пропорційності
В диференціальному рівнянні (2) вхідна і вихідна величини мають свою розмірність (відповідно МПа і м3/с). Необхідно перейти до безмірної форми, для цього вхідну і вихідну величини відносять до деяких базових значень РН і QH .
;
(3)
- диференціальне рівняння в безрозмірній формі.
В результаті цього ми отримали диференціальне рівняння регулювання тиску в сепараторі.
Перехід від диференціального рівняння до алгебраїчного здійснюється на основі спеціального математичного перетворення Лапласа.
На основі цього функція дійсного змінного f(t) перетворюється у функцію комплексного змінного F(p).
, де (4)
, – дійсні числа
f(t) - оригінал
F(p) – зображення
При нульових початкових умовах перехід від диференціального рівняння до алгебраїчного здійснюється шляхом заміни
(5)
Тоді на основі цих викладок рівняння (3) можна записати у наступному вигляді.
(6)
(7)
- передавальна функція – це відношення вихідної величини перетвореної по Лапласу до вхідної при нульових початкових умовах. Передавальна функція характеризує властивості як об’єкта так і системи.
В загальному випадку поведінку систем АР записують у такій диференціальній формі.
(8)
(9)
n>m
Якщо замість р підставити j, то отримаємо амплітудно-фазову характеристику.
- показникова форма
А – модуль АФХ
- аргумент
- алгебраїчна форма (10)
(11)
(12)
- спряжений
Перехідна характеристика (Н(t)) – це зміна у часі вихідної величини при нанесені одиничного стрибкоподібного збурення на вхід.
Типові динамічні ланки
Об’єкти та елементи САР можуть мати різну конструкцію, принцип дії, але з точки зору автоматизації їх найкраще класифікувати до динамічних властивостей.
Динамічні властивості елементів автоматизації описуються лінійними диференціальними рівняннями. В загальному випадку порядок диференціального рівняння може бути різний, але будь-який елемент автоматизації можна представити у вигляді елементарних динамічних ланок, які описуються найпростішими рівняннями. Кількість таких елементів невелика і вони описуються диференціальними рівняннями не вище 2-го порядку.
Підсилююча ланка (без інерційна ) – це ланка, в якої вихідна величина пропорційна вхідній величині.
(1)
К – коефіцієнт пропорційності
Вважають, що при подачі сигналу на вхід системи на виході він зміниться миттєво.
рис. 1
Передавальна функція:
(2)
АФХ : ;
АФХ є точка К, яка віддалена від початку координат.
Прикладами підсилюючої ланки є редуктор, важіль, манометр.
Аперіодична ланка 2-го порядку (інерційна 1-го) – це ланка, яка описується диференціальним рівнянням наступного вигляду
(1)
Т – постійна часу
К – коефіцієнт підсилення
- перетворення по Лапласу (2)
- передавальна функція (3)
Коли ми розв’яжемо диференціальне рівняння (1), то отримаємо залежність зміни вихідної величини в часі.
(4)
АФХ :
(5)
; ; (6)
(7)
; (8)
АФХ для аперіодичної ланки 1-го порядку є півколо радіусом К/2 , яке знаходиться в четвертому квадранті.
Прикладами є сепаратор, термопара, RC ланка.
Інтегруюча ланка – це ланка в якої вихідна величина пропорційна інтегралу в часі від вхідної величини.
(1)
Якщо ми про диференціюємо рівняння (1), то дістанемо диференціальне рівняння для інтегруючої ланки
(2)
Тоді перехідна характеристика має вигляд
(3)
Передавальна функція для інтегруючої ланки має вигляд:
(4)
АФХ:
(5)
Прикладом є поршневий виконавчий гідравлічний механізм: вхід – кількість рідини, що подається в циліндр, а вихідна – переміщення поршня, конденсатор, що заряджується струмом.
Диференціюючи ланка – це така ланка у якої вихідна величина пропорційна швидкості зміни вхідної величини.
(1)
Щоб отримати передавальну функцію необхідно скористатися перетвореннями Лапласа
Прикладом є тахогенератор постійного струму.
Коливна ланка
Т1 – постійна часу, Т1=RC
Т2 - постійна часу, Т2=RL
– коефіцієнт демфування (коливання)
прикладом є LRC – ланка
перехідна характеристика
Ланка чистого запізнення
Прикладом є нагрівальний теплоапарат
З’єднання динамічних ланок
Послідовним з’єднанням динамічних ланок називається таке, при якому вихідна величина попередньої ланки є вхідною для наступної.
Передавальна функція для n-послідовно з’єднаних ланок рівна добутку передавальних функцій.
(1)
Паралельним з’єднанням динамічних ланок називається таке, при якому вихідна величина системи є одночасно вхідною для всіх динамічних ланок, а вихідна величина системи дорівнює сумі вихідних величин всіх ланок.
(2)
Ланки охоплені зворотнім зв’язком
(3)
Знайти еквівалентну передавальну функцію даної системи.
1. 2. 3.
4. 5.
Стійкість САР
Для того, щоб дослідити стійкість, треба знайти деякі параметри.
Поведінку САР описують диференціальними рівняннями.
(1)
Розв’язок цього рівняння, це зміна вихідної величини в часі під дією деяких збурень.
(2)
- характеризує вільний рух системи і визначається як властивостями системи, так і початковими збуреннями (умовами)
- характеризує вимушений рух системи і визначається властивостями системи і характером збурень.
На основі цього розв’язку рівняння (2) можна сформулювати стійкість систем АР.
Стійкість САР – це властивість системи повертатися до початкового стану після зняття збурення.
Для того, щоб система була стійкою необхідно, щоб границя вільної складової прямувала до нуля
(3)
Нехай САР описується наступним характеристичним рівнянням.
(4)
де р – корені характеристичного рівняння.
Розв’язок має вигляд:
(5)
- Корені рівняння (5) від’ємні і дійсні
- Корені дійсні, але хоча б один із них додатній
Якщо, хоча б один корінь є додатнім, то система є нестійкою.
- Корені комплексні
при , ,
Система здійснює затухаючі гармонійні коливання.
– зсув фаз
4. Корені є комплексно спряжені, але хоча б один має дійсну доданню частину.
Система здійснює незатухаючі гармонійні коливання, тобто система нестійка.
,
- Корені є комплексні спряжені, але дійсна частина дорівнює нулю.
i=0
Система здійснює незатухаючі гармонійні коливання, система нестійка
; ,
Критерії стійкості
В 1985 р. швейцарський математик Гурвіц дослідив і встановив критерій Гурвіца.
Згідно з ним необхідно і достатньо, щоб система була стійкою:
- щоб були додатними
- щоб усі визначники складені у коефіцієнти характеристичного рівняння були більші нуля.
Російський вчений Вишеградський при дослідженні критерію Гурвіца зробив висновок, що для рівнянь 3-го порядку необхідно, щоб добуток середніх був більшим ніж добуток крайніх.
В 1938 р. одночасно американський вчений Найквіст і російський вчений Михайлов при дослідженні САР і підсилювачів вивели частинний критерій стійкості.
Згідно Михайлова, щоб САР, яка описується характеристичним рівнянням n-го порядку була стійкою необхідно, щоб годограф АФХ починався на дійсній осі і послідовно проти годинникової стрілки обходив n квадрантів.
Дослідити на стійкість САР, яка описується характеристичним рівнянням по критерію Гурвіца і Михайлова.
12>10 – стійка
;
Системи автоматичного керування