Відносне положення двох прямих Площина. Пряма та точка у площині
Кафедра "Прикладна геометрія інформаційні технології проектування" ТДАТУ
Викладач: доц. Щербина В.М.
Конспект лекції № 2
з дисципліни "Нарисна геометрія, інженерна та комп'ютерна графіка"
Тема лекції: Відносне положення двох прямих Площина. Пряма та точка у площині
Мета та задачі: Дати поняття про визначення площини, завдання площини на комплексному кресленні, інцидентність точки й прямої площині.
Знання та вміння, якi студенти повинні отримати:
Студенти повинні:
Знати: взаємне положення двох прямих. визначники площини, її зображення на епюрі; умови інцидентності точки і прямої площині; особливі лінії площини та їх зображення на комплексному кресленні.
Вміти: визначати взаємне розташування двох прямих за їх проекціями на комплексному кресленні. За виглядом визначника площини на епюрі визначати її положення у просторі; знаходити проекції точки та прямої, які належать до даної площини; будувати особливі лінії площини.
План
2.1.Взаєморозташування двох прямих. Взаємоперпендикулярні прямі. Теорема
про проекціювання прямого кута.
2.2.Проекцiювання багатогранників. Визначення кількості вершин багатогранника по його кресленню
2.3.Визначення площини. Визначники площини. Зображення площини на
комплексному кресленні.
2.4.Положення площини відносно площин проекцій.
2.5.Пряма та точка у площині. Головні (особливі) лінії площини.
Література
- С.13–28.,37–42.
- С. 39-43.
- С.42–72.
- С.47-51.
- Діафільм "Плоскость, особые линии плоскости".
- Плакати Л4-1 ... Л4-6.
- Макети НГ- 9 ... НГ- 12.
2.1. Взаєморозташування двох прямих. Взаємоперпендикулярні прямі. Теорема про проекцiювання прямого кута.
Прямі перетинаються, якщо мають одну спільну точку.
Прямі паралельні, якщо розташовані у одній площині, але не мають спільної точки.
Прямі мимобіжні, якщо не розташовані у одній площині та не мають спільної точки.
Про взаємо розташування прямих судять за їх проекціями:
1. Прямі, що перетинаються ( символ - ).
Прямі перетинаються, якщо точки перетину однойменних проекцій прямих належать до однієї лінії проекційного зв'язку (рис.2.1).
2. Паралельні прямі (символ - // ).
Прямі є паралельними, якщо їх однойменні проекції паралельні між собою (рис.2.2).
3. Прямі мимобіжні (символ - )., якщо не задовольняються умови їх паралельності або перетину (рис.2.3).
Для прямих, що перехрещуються характерним є наявність конкуруючих точок.
Це точки, розташовані на прямих, що перехрещуються та належать до одного проекцiювального променя, тобто їх проекції на одній з площин збігаються.
За їх допомогою визначається видимість геометричних фігур на кресленні (рис.2.3).
Особливий інтерес викликають взаємо перпендикулярні прямі, тому що відрізок перпендикуляра є мірою відстані від точки до прямої, площини, відстані між двома точками, двома паралельними прямими, площинами та т.iн.
Сформулюємо теорему.
Прямий кут перетину або перехрещування проектується на площину у прямий, якщо хоча б одна із сторін цього кута паралельна площині проекцій.
Розглянемо рисунок 2.4.
Відповідно до теореми кут АВС (рис.2.4) спроектується до прямого кута А1, В1, С1, тому що ВС // П1.
Приклади:
Через т.А провести пряму m, перпендикулярну до прямої рівня п.
Якщо поставити вимогу, щоб розшукувана пряма перетиналася із заданою прямою рівня під прямим кутом, то рішення є єдиним (рис.2.5).
У загальному випадку через т.А проходить пучок прямих, що перехрещуються з прямою n під прямим кутом.
Горизонтальні проекції розшукуваних прямих збігаються. Одне з можливих рішень приведено на (рис.2.6).
2.2. Проекцiювання багатогранника. Визначення кількості вершин багатогранника за його кресленням.
Аналогічно вище розглянутому можна побудувати довільний багатогранник, тому що основою його структури є вершини точки.
Кількість вершин розраховується в результаті комплексного розглядання, двох (а іноді трьох) проекцій багатогранника. (Рис.2.7)
2.1. Визначення площини. Визначники площини. Зображення площини на комплексному кресленні.
Площину можна розглядати як окремий випадок поверхні, з якою пряма будь-якого напряму збігається усіма своїми точками.
Площина може бути завданою:
1. Трьома точками, що не лежать на одній прямій - рис.2.8. (базовий визначник).
2. Прямою та точкою поза прямою – рис.2.9.
3. Двома прямими, що перетинаються – рис. 2.10.
4. Двома паралельними прямими – рис. 2.11.
5. Будь яким плоским багатокутником – рис. 2.12.
6. На кресленні площина може бути завданою також слідами, тобто лініями, за якими площина перетинає площини проекцій (рис.2.13)
2.3. Положення площини відносно площин проекцій.
У залежності від положення, яке займає площина по відношенню до площин проекцій, розрізняють:
2.3.1. Площина загального положення - це площина, що не перпендикулярна ні до однiєї з площин проекцій (рис.2.1–рис.2.6).
2.3.2. Площина прекцiююча - це площина, яка перпендикулярна до будь-якої площини проекцій (рис. 2.7...2.9).
Слідом – проекцією називається лінія перетину площини з тією площиною, по відношенню до якої дана площина перпендикулярна.
Збиральна властивість проекцiюючих площин.
Будь-яка пряма, плоска фігура, що належить до проекцiюючої площини, проектується на слід - проекцію цієї площини.
2.3.3. Площина рівня - це площина, паралельна до якої-небудь площини проекцій.
2.4. Пряма та точка у площині.
Пряма належить до площини, якщо дві її точки належать до площини, або коли вона проходить через точку, що належить площині та паралельна до іншої прямої, що належить площині.
Точка належить до площини, якщо вона належить прямій, що належить площині (рис.2.13).
2.5. Головні (особливі) лінії площини.
Горизонталь - пряма, що належить до площини та паралельна горизонтальній площині проекцій (рис.2.14).
Фронталь - пряма, що належить до площини та паралельна фронтальній площині проекцій (рис.2.15).
Сліди площини є горизонталлю та фронталлю нульового рівня. Горизонталь та фронталь часто використовуються для завдання площин, тому що вони дозволяють виявити орієнтацію площини відносно площин проекцій.
Профільна пряма це лінія, що належить до площини та паралельна профільній площині проекцій.
Лінія найбільшого схилу - це пряма, що належить до площин та складає із горизонтальною площиною найбільший кут.
На основі теореми про проекцiювання прямого кута горизонтальна проекція лінії найбільшого схилу є перпендикулярною до горизонтальної проекції горизонталі (рис.2.16).
Рис.2.16.
Аналогічно можна збудувати лінію найбільшого схилу до площини П2.
Лінія найбільшого схилу однозначно визначає площину на комплексному кресленні та у просторі.
В1
А2
В2
А1
С2
С1
x
П1
Рис.2.9.
площина Р(l,А)
П3
x
x
ис.2.10.
площина Р(m х n)
l2
Рис.2.8.
площина Р(А,В,С)
А1
А2
l1
x
n2
n1
m2
А1
А2
m1
P1
x
x
С2
С1
В2
А1
А2
В1
Рис.2.12.
площина Р(ABC)
Рис.2.11.
площина Р(m//n)
P2
P1
m2
m1
n2
n1
П2
С2
P3
Рис.2.13.
x
P2
С1
В2
А1
А2
В1
Рис.2.7.
Горизонтально - проекцiююча площина - РП1
Р1
Р2
Р1
x
С2
С1
В2
А1
А2
В1
Рис.2.8.
Фронтально - проекцiююча площина - РП2
Р2
x
z
y
y
P2
P3
P1
Рис.2.9
Профільно–проекцююча площина - РП3 (Р1,Р2,Р3)–слiд-проекція
А1
А2
В2
В1
С2
С1
С2
С1
В2
В1
А2
А1
С2
С1
В2
В1
А3
А1
С3
x
В3
y
А2
x
z
y
x
Рис.2.12. Профільна
площина R // П3
Рис.2.11. Фронтальна
площина Q // П2
Рис.2.10. Горизонтальна
площина Р // П1
x
С2
С1
В2
D1
D2
В1
Рис.2.13.
Інцидентність точки D площині Р (ABC)
E1
А2
А1
E2
h1
h2
А1
12
x
С2
С1
В2
11
А2
В1
Рис.2.14. Горизонталь
площини Р(ABC)
f1
f2
А1
12
x
С2
С1
В2
11
А2
В1
Рис.2.15. Фронталь
площини Р(ABC)
x
n1
m1
h1
h2
m2
n2
21
12
22
31
32
11
A2
A1
ЛНС
ЛНС
А1
P
Рис. 2.1
Рис. 2.3.
Рис. 2.2.
1222
32
21
3141
11
42
n2
n1
m2
m1
x
A2
A1
m2
m1
n2
n1
n2
m1
m2
x
x
n1
А
П1
Q
В1
В
С1
С
К1
К
Рис.2.4
До теореми про проекціювання прямого кута
К1
К2
n1
x
m2
m1
n2
A1
A2
Рис. 2.5.
Прямі перетинаються
22
1121
12
n1
x
m2
m1
n2
Рис. 2.6.
Мимобіжні прямі
A1
A2
Рис. 2.7
Проекцiювання багатогранника
y
z
y
x
A2
A3
A1
B3
B2
B1
C3
C2
C1
S1
S3
S2
Відносне положення двох прямих Площина. Пряма та точка у площині