Криві лінії та поверхні. Конiчнi перерізи
Кафедра "Прикладна геометрія інформаційні технології проектування" ТДАТУ
Викладач: доц. Щербина В.М.
Конспект лекції № 6
з дисципліни "Нарисна геометрія, інженерна та комп'ютерна графіка"
Тема лекції: Криві лінії та поверхні. Конiчнi перерізи.
Мета та задачі: Показати способи утворення кривих ліній і поверхонь, їх завдання на комплексному кресленні, а також їхні основні параметри і властивості.
Знання та вміння, які студенти повинні отримати:
Студенти повинні:
Знати: 1.Способи утворення кривих ліній і поверхонь.
2.Умову інцидентності точки і лінії поверхні.
3.Назву і проекційні властивості кривих другого порядку.
4.Утворення кривих другого порядку – як результат перетину конічної поверхні.
Вміти: знаходити точку па поверхні; використовувати площини–посередники для визначення точок на поверхні.
План
6.1. Криві лінії та поверхні.
6.2. Локальні характеристики кривої. Дотична до плоскої кривої.
6.3. Основні властивості кривої, що зберігаються під час паралельного проекціювання.
6.4. Криві поверхні, їх утворення та завдання на кресленні. Поверхні обертання.
6.5. Інцидентність точки та лінії поверхні.
6.6. Переріз криволінійної поверхні площиною.
6.7. Конічні перерізи.
Література
- С. 52–60.
- С. 92-94., 106-108., 131-142.
- С. 125 – 139., 150-156., 170- 193.
- С. 32-35., 39-47., 67-71.
- С. 155–173.,187–196.
- Діафільми "Кривые линии".
- Плакати Л 8-1 ... Л 8-3.
- Макети НГ- 14, НГ- 15.
6.1. Криві лінії та поверхні.
Криву лінію розглянемо, як траєкторію переміщення точки за деяким законом.
Криві лінії бувають плоскими та просторовими.
Плоска крива усіма своїми точками належить до однієї площини (рис.6.1), у протилежному випадку вона просторова (рис.6.2).
Криві лінії можуть задаватися аналітично та графічно, можуть бути алгебраїчними або трансцендентними.
Алгебраїчними кривими лініями називаються ті, що описуються у прямокутній декартовiй системі координат алгебраїчними рівняннями. Порядком кривої є ступінь її рівняння.
Наприклад: – рівняння еліпсу,
– рівняння параболи,
де (F – фокус)
- рівняння кола.
Плоска крива називається трансцендентною, якщо вона описується відповідним трансцендентним рівнянням.
Трансцендентна крива не визначається у декартових координатах алгебраїчним рівнянням.
Приклади трансцендентних кривих.
у=sinх; у =lnx.
Порядок просторової алгебраїчної кривої у більшості випадків визначається кількістю точок перетину кривої з площиною (рис.6.4), а для плоскої кривої – з прямою лінією (рис. 6.5, 6.6, 6.7).
6.2. Локальні характеристики кривої. Дотична до плоскої кривої.
Дотична t до кривої у точці М - це граничне положення січної, коли точка М1, залишаючись на кривій, нескінченно близько наближається до точки М (рис.6.8).
Нормаллю (n) плоскої кривої у точці М є пряма, розташована у площині кривої, що проходить через точку М перпендикулярно до дотичної в цій точці (рис.6.8).
Криві лінії, що мають у кожній точці єдину дотичну називаються гладкими.
На кривих розрізняють (рис.6.9) особливі точки: точка звороту першого роду (а); точка звороту другого роду (б); точка перетину (в); кратна точка (г), точка зламу (д) та ін.
Найважливішою характеристикою кривої є її кривина.
Кривина плоскої кривої є межею, до якої прямує відношення кута суміжності між дотичними у точках А та А/ до дуги АА/ = S під час прямування точки А/ до А (рис.6.10).
,
коли .
Радіус кривини плоскої кривої
є величиною, оберненою до кривини .
6.3. Основні властивості кривої, що зберігаються під час паралельного проекцiювання.
1. Належність точки кривій при проекцiюваннi зберігається.
2. Дотична до кривої проекцюється у дотичну до її проекції.
3. Порядок алгебраїчної кривої зберігається при проекцiюваннi, за винятком випадків її проекцiювання на площину симетрії. Тут порядок кривої зменшується в стільки разів, скільки точок кривої розташовано на одному проекцюючому промені.
6.4. Криві поверхні. Їх утворення та завдання на кресленні. Поверхні обертання.
Поверхні можуть задаватися аналітично та графічно, як i криві, вони можуть бути алгебраїчними та трансцендентними. Порядок алгебраїчної поверхні графічно визначається кількістю точок перетину поверхні з прямою лінією та дорівнює ступеню алгебраїчного рівняння.
Визначник поверхні складається з геометричної частини (сукупність геометричних елементів) та алгоритмічної частини, що надає спосіб побудови точок та ліній поверхні.
Поверхня задається на кресленні проекціями геометричних елементів визначника, а алгоритмічна частина записується текстом та служить для побудови проміжних положень лінії на поверхні.
Нами розглядаються кінематичні поверхні, тобто траєкторії переміщення точок твірної лінії, що визначаються законом переміщення. Цей закон визначається алгоритмічною частиною визначника поверхні. Розглянемо визначник поверхонь обертання (рис.6.12...6.15).
Поверхні обертання загального виду.
Поверхня обертання утворюється обертанням твірної навколо осі [m,i,Аоб.], де Аоб. – алгоритм обертання.
Найвужча частина поверхні називається горлом. Площина, що проходить через вісь поверхні обертання називається меридіональною площиною, вона є площиною симетрії поверхні обертання та переріза поверхню за меридіаном. Усі площини, що перпендикулярні до осі обертання, паралельні одна одній та перетинають поверхню за колами, що звуться паралелями.
6.5. Iнцидентнiсть точки та лінії поверхні.
Поверхня задана на кресленні, якщо за однією проекцією точки, що належить до поверхні, можна побу–дувати її другу проекцію (рис.6.14).
Приклад. За фронтальними проекціями точок Д , Д, що належать до поверхні обертання, побудувати їх горизонтальні проекції (рис.6.14).
6.6. Переріз криволінійної поверхні площиною.
При побудові лінії перерізу криволінійної поверхні з площиною необхідно:
1. Провести аналіз заданої поверхні.
а) визначити положення прямолінійних твірних та кіл (паралелей) на заданій поверхні;
б) визначити вид кривої, її симетрію та її проекції.
2. Визначити опорні точки лінії перерізу, які відрізняються особливим положенням по відношенню до площин проекцій.
До них відносяться:
а) екстремальні точки - найближча та найвіддаленіша відносно будь-якої площини проекцій;
б) точки видимості, що розташовані на контурі (або на обрисі) поверхні;
в) точки, які характеризують параметри кривої (наприклад, кінці осей еліпса).
Кожна опорна точка визначається, як правило, своїм прийомом побудови.
6.7. Конічні перерізи (рис.6.16).
Конічні перерізи (конiки) – криві другого порядку, отримувані від перерізу конічної поверхні площиною:
– кут нахилу твірної конуса до осі (i).
– кут нахилу січної площини до осі конуса (i);
1. = 90 – Площина Р – коло (Р i);
2. 90 > > – площина Q – еліпс;
3. = – площина R – парабола;
4.–площина Т – гіпербола;
5. – площина - дві січні прямі.
Покажемо, як визначаються характерні елементи кривих другого порядку на комплексному кресленні, що отримані від перерізу конуса обертання проекцюючою площиною, у залежності від її положення:
1. Січна площина перетинає усі твірні - лінія перетину є еліпсом.
Площина Р перетинає конус за еліпсом, який на площині П2 проекцюється у відрізок прямої, а на площину П2-у вигляді еліпса. Знайдемо осі еліпса – проекції. Велика вісь еліпса АВ розташовується вздовж лінії схилу січної площини, менша СД – вздовж лінії рівню та розподіляє відрізок АВ нарівно. Проміжні точки I та II побудовані з використанням прямолінійних твірних конуса, а III та IY - кола площини R, що паралельна площині П2.
1
3
4
2
П1
x
F
0
y
Рис.6.1. Плоска крива.
ис.6.2. Просторова крива.
m
x
2
1
n=2
Рис.6.3. Еліпс – крива другого порядку.
m
2
1
n=2
Рис.6.5.
Коло – крива другого порядку
1
3
4
2
П1
Рис.6.4.
Визначення порядку просторової кривої
1
n=1
Рис.6.6.
Пряма – лінія першого порядку
m
2
1
n=4
4
3
Рис.6.7.
Крива – лінія четвертого порядку
M
M1
t M
n
m
Рис.6.8. Дотична та нормаль кривої
a)
t
n
m
M
б)
t
n
m
M
в)
t
n
m
M
д)
t1
t2
M
г)
t
n
m
M
Рис.6.9. Особливі точки кривих
А/
А
S
Рис.6.10.
Рис.6.13.
Утворення однополосного
гіперболоїда обертання
Рис.6.12.
Утворення конуса
Рис.6.11.
Утворення циліндра
m / i
i
m
m x i
i
m
m//i
i
m
Рис.6.16. Конічні перерізи
Рис.6.17. Перетин конічної поверхні
площиною Р
P2(P//П1)
R2(R//П1)
T2(T//П1)
J2(J//П1)
Q2(Q//П1)
Рис.6.14. Зображення поверхні обертання загального вигляду
Горло
Рис.6.15. Завдання поверхні
обертання на кресленні
Криві лінії та поверхні. Конiчнi перерізи