Взаєморозташування двох площин, прямої лінії та площини. Перпендикулярність прямих та площин
Кафедра "Прикладна геометрія інформаційні технології проектування" ТДАТУ
Викладач: доц. Щербина В.М.
Конспект лекції № 3
з дисципліни "Нарисна геометрія, інженерна та комп'ютерна графіка"
Тема лекції: Взаєморозташування двох площин, прямої лінії та площини. Перпендикулярність прямих та площин
Мета та задачі: Дати поняття про принципи визначення лінії перетину двох площин і побудови точки перетину прямої з площиною за допомогою площин-посередників.
Знання та вміння, які студенти повинні отримати:
Студенти повиннi:
Знати: завдання площин і прямих різного взаємного положення на епюрі; умови інцидентності точки прямій лінії; алгоритм побудови точки перетину прямої з площиною; алгоритм побудови лінії перетину двох площин; теорему про проекціювання прямого кута.
Вмiти: визначати відносне положення прямої та площини, двох площин; знаходити точку перетину прямої та площини; лінію перетину двох площин; будувати пряму лінію, перпендикулярну до площини та другої прямої.
План
3.1. Взаєморозташування двох площин.
3.2. Взаєморозташування прямої лінії та площини.
3.3. Перпендикулярність прямих та площин.
Література
- C.23–30.
- С.51-55.
- С.62-78.
- С.61-67.
- С.28–38.
- Діафільм "Взаимное положение прямых и плоскостей".
- Плакати Л 4-1 ... Л 4-4.
- Макети НГ- 12, НГ- 14, НГ- 16, НГ- 18, НГ- 20.
3.1. Взаєморозташування двох площин.
Площини можуть бути паралельними або перетинатися.
Площини є паралельними, якщо дві прямі, що перетинаються, однiєї площини вiдповiдно паралельнi двом прямим, що перетинаються, іншої площини (рис.3.1).
Дві площини можуть перетинатися під довільним кутом, або бути перпендикулярними.
Рис.3.1. Площини паралельні
Лінією перетину двох площин називають пряму, що належить одночасно до двох площин. Для побудови лінії перетину двох площин (тобто прямої) необхiдно та достатньо визначити:
1. Дві точки, що належать одночасно до обох площин (рис.3.2. а).
2. Одну загальну точку та напрям лінії перетину (рис. 3.2. б).
Метод посередника.
Якщо площини, які перетинаються, задані визначниками такого виду, що безпосереднє визначення загальних для обох площин точок важко або неможливе, то для знаходження спільних точок ці площини перетинають третьою площиною - посередником, обираючи його розташовування так, щоб посередник перетинав кожну задану площину за зручними для побудови прямими. Перетин двох цих прямих i визначає точку, спільну для усіх трьох площин (рис.3.3).
Алгоритмом називають послідовність певних операцій (нарисній геометрії - графічних), необхідних для розв'язання задачі.
АЛГОРИТМ:
1. Проводимо додаткову площину - посередник R (як правило площина рівня або проекцююча).
2. Будуємо лінію перетину площини - посередника із першою площиною
.
3. Будуємо лінію перетину площини - посередника із другою площиною
.
4. Точка перетину побудованих ліній i є точкою розшукуваної лінії перетину
.
Аналогічно знаходимо i другу точку (N).
Отримані дві точки визначають шукану лінію перетину двох площин.
Метод посередників часто використовується i далі для визначення загальних точок різноманітних геометричних образів.
3.2. Взаєморозташування прямої лінії та площини.
Вiдомi такi випадки взаєморозташування прямої лінії та площини:
3.2.1. Пряма належить до площини (див. розділ 3).
3.2.2. Пряма є паралельною до площини, якщо вона є паралельною до прямої лінії даної площини (рис. 3.4).
3.2.3. Пряма перетинається з площиною у точці, для визначення якої використовують умови належності (iнцидентностi) точки до прямої, розглянутi раніше.
Для побудови цiєi точки використовують метод посередника (рис.3.5).
Задача. Визначити точку перетину прямої l з площиною
.
Рис.35.
Побудова точки перетину прямої l з площиною
АЛГОРИТМ
1. Через пряму l проводимо площину - посередник, наприклад, RП2 .
2. Будуємо лінію 1-2 перетину площин Р та R.
3. Визначаємо точку К перетину прямих l та 1-2.
Видимість прямої l (відносно непрозорого АВС) визначається для кожної із проекцій за допомогою конкуруючих точок.
3.3. Перпендикулярність прямих та площин.
3.3.1. Пряма, що перпендикулярна до площини.
Пряма є перпендикулярною до площини, якщо вона перпендикулярна до двох прямих, що належать до площини i перетинаються. Для використання цiєї умови на кресленнi у якостi прямих, що перетинаються, зручно брати фронталь та горизонталь площини (рис.3.6).
Теорема про перпендикулярність прямої та площини.
Пряма є перпендикулярною до площини, якщо горизонтальна проекція прямої перпендикулярна до горизонтальної проекції горизонталі, а фронтальна проекція перпендикулярна до фронтальної проекції фронталi.
Для того, щоб її довести, достатньо скористатися теоремою про проекцiювання прямого кута у випадку, коли площина завдана горизонталлю та фронталлю (рис.3.6).
3.3.2. Взаємо перпендикулярні площини.
Дві площини є взаємо перпендикулярними, якщо одна з них проходить через перпендикуляр до другої площини.
3.3.3. Взаємо перпендикулярні прямі.
Прямі є взаємо перпендикулярними, якщо одна з них лежить у площині, що перпендикулярна до другої прямої.
m1
m2
n2
n1
P2
x
Q2
P1
l2
l1
p2
p1
1
Qx
Px
x
21
22
12
11
С2
С1
В2
В1
А2
А1
Р2
Р1
a)
x
Рис.3.2. Площини, що перетинаються
P1
P2
12
11
h2
h1
R2
x
б)
x
Рис.3.4.
Пряма l паралельна площині
h2
N1
h1
N2
32
М2
М1
31
Рис.3.3.
Побудова ліній перетину двох площин методом посередників
x
Р2
А2
А1
В2
В1
С2
С1
12
11
22
21
Р1
f2
f1
l2
l1
A2
A1
22
21
12
11
R
x
K
2
1
l
P
Рис.3.6.
Пряма, що перпендикулярна до площини
h2
h1
f2
f1
l2
l1
A2
A1
R2 l2
x
l1
А2
А1
В2
В1
С2
С1
12
11
22
21
R1
l
h
f
2
1
П2
П1
x
Взаєморозташування двох площин, прямої лінії та площини. Перпендикулярність прямих та площин