Метод проекціювання точки. Проекцiювання точки. Проекцiювання прямої

Кафедра "Прикладна геометрія інформаційні технології проектування" ТДАТУ

Викладач: доц. Щербина В.М.

Конспект лекції № 1

з дисципліни "Нарисна геометрія, інженерна та комп'ютерна графіка"

Тема лекції: Вступ. Метод проекціювання точки. Проекцiювання точки. Проекцiювання прямої.

Мета та задачі: Дати студентам знання про теоретичні основи побудови зображень точки на три площини проекцій, познайомити з теорією розвитку нарисної геометрії, теоретичними основами побудування зображень точки в прямокутних проекціях та аксонометрії, про пряму лінію, її завдання, побудову її проекції на епюрі.

Знання та вміння, якi студенти повинні отримати:

Студенти повинні:

Знати: метод ортогонального відображення точки на площину, побудову аксонометричного зображення точки. визначники прямої лінії, визначення й класифікацію прямих за їх розташуванням відносно площин проекцій та за їхнім взаємним розташуванням.

Вміти: будувати проекції точки i багатогранника на дві та три площини проекцій, аксонометричне зображення точки. Вміти читати епюр точки, прямої.

План

1.1.Основний метод нарисної геометрії. Пряма та зворотна задачі.

1.2.Метод Монжа. Проекціювання точки на дві та три площини проекцій.

Уява про октанти та чверті.

1.3.Визначення прямої. Визначення геометричного образу. Зображення прямої на комплексному кресленні.

1.4.Точка на прямій. Відносне положення прямої на площині проекцій.

1.5.Побудування на кресленні натуральної величини відрізка прямої загального положення та кутів нахилу прямої до площин П1 та П2.

Література

С. 5–16.
С.35-39.
С.9–45.
С.3-21., С.29–32
С.7–20.
Діафільм “Проекцiювання точки”, “Проекціювання прямої.”, 1985
Плакати Л1-I, Л1-2, Л1-3, Л2-1 ... Л2-7,
Макети НГ-1, НГ-2, НГ-4 ... НГ-8.

1.1. Основний метод нарисної геометрії. Пряма та зворотна задачі.

Основним методом нарисної геометрії є метод проекцiювання.

Проекцiюванням називається процес побудови проекцій предмета.

Розрізняють центральне (рис.1.1.) та паралельне (SхP) (рис.1.2.), зокрема ортогональне (S Р) проекцiювання (рис.1.8).

Складові процесу проекцiювання:

П1 - площина проекцій;

S - напрям проекцiювання або проекцiюючий промінь;

А, В - точки, що проекцiюються

А1,В1- проекція точок А та В на площину П1 у напряму S

Надалі буде розглядатись тільки паралельне ортогональне проекцiювання.

Пряма задача нарисної геометрії полягає у побудові проекцій предмету (точки) за заданим апаратом проекцiювання.

Апарат проекцiювання складають центр або напрям проекцiювання (паралельне, ортогональне) та площина проекцій.

Зворотна задача (реконструкція) полягає у визначенні положення та розмірів предмета у просторі за його проекціями.

Для визначення положення та розмірів просторового об'єкта за його проекціями використовують двох проекційні креслення, тому що дві проекції об'єкта визначають його положення у просторі.

1.2 Метод Монжа. Проекцiювання точки на дві та три площини.

Уява про октанти та чверті.

Видатний французький вчений та політичний діяч Гаспар Монж (1746-1818) запропонував свій метод, який полягає у тому, що об'єкт у просторі проекцiюється на дві або три взаємоперпендикулярнi площини (Рис.1.4), якi суміщаються докупи обертанням навколо лінії їх перетину.

Зображення суміщених площин проекцій разом з проекціями предмета називається комплексним кресленням або епюром.(Рис.1.5)

П1 - горизонтальна площина проекцій;

П2 - фронтальна площина проекцій;

П3 - профільна площина проекцій;

А1 - горизонтальна проекція точки А;

А2 - фронтальна проекція точки А ;

А3 - профільна проекція точки А ;

Проекції проекцiюючих променів на площини проекцій утворюють

лінії проекційного зв'язку. А1 А2 - Ох.

Об’єднаємо із площинами проекцій відповідні площини координат прямокутної декартової системи. Якщо точка А у просторі має координати А(х,у,z), то горизонтальна проекція А1(х,у,о), або просто А1(х,у), фронтальна А2(х,о,z), або А2(х,z), профільна - А3(о,y,z), або A3(y,z).

Дві проекції точки дають змогу визначити три її координати та цим самим її положення у просторі.

Дві площини П1 та П2 , якщо їх рахувати нескінченими, розділяють увесь простір на чотири чверті, а площини П1, П2, П3 розділяють увесь простір на вісім октантів.

Октанти розрізняються один від одного знаками координат точок, якi в них розташовані.

1.3 Визначення прямої. Визначник геометричного образу. Зображення прямої на комплексному кресленні.

Прямою зветься лінія, вздовж якої відстань між її точками є мінімальною (рис.1.6).

У нарисній геометрії пряма розглядається як множина точок.

Проекція прямої під час прямолінійного проекцiювання на площину є прямою лінією (рис.1.7).

Пряма визначається двома точками (рис.1.8), або однією точкою і відомим напрямком S (рис.1.9)

Сукупність незалежних геометричних елементів та умов, що однозначно визначають образ у просторі, називається визначником цього образу.

Дві точки А та В (рис.1.8) та точка А з напрямом S (рис.1.9) є визначниками прямої.

Аналогічно до проекцiювання точки, дві проекції прямої однозначно визначають її положення у просторі.

1.4. Точка на прямій. Відносне положення прямої та площини проекцій.

Точка може належати до прямої, або не належати до неї.

Iнцидентнiсть (належність) точки прямій лінії встановлюють за комплексним кресленням: точка належить до прямої, якщо її проекції належать до однойменних проекцій прямої (рис.1.10)

Пряма може займати різноманітні положення відносно площин проекцій:

Пряма загального положення - пряма, що не перпендикулярні до однієї з площин проекцій. На кресленні зображується двома прямими (проекціями) (рис. 1.8; 1.9; 1.10).

2. Пряма рівня - пряма, що паралельна хоча б до однієї з площин проекцій. На кресленні одна з її проекцій паралельна до відповідної осі (рис.1.11, 1.12, 1.13).

3. Проекцiююча пряма - пряма, що перпендикулярна до будь-якої площини проекцій. Одна з проекцій є точкою, а друга є прямою, перпендикулярною до відповідної осі (рис.1.14, 1.15, 1.16).

() – ознака збіжності образів;

Точки, якi належать до однієї проекцiюючоi прямої, називаються конкуруючими, тобто на одній з площин їх проекції збігаються. За їх допомогою визначається видимість геометричних фігур на кресленні (точки А та В на прямій АВ (рис.1.14), точки С та D на прямій СD (рис.1.15), М та N на прямій MN (рис.1.16)).

1.5 Побудування на кресленні натуральної величини відрізка прямої загального положення та кутів нахилу прямої до площин П1 та П2.

Якщо відрізок прямої займає загальне положення у просторі, то ні на одній основній площині проекцій не можна визначати i натуральну величину.

Для того, щоб визначити натуральну величину відрізка прямої, необхідно побудувати прямокутний трикутник, основний катет якого дорівнює проекції відрізка на одну з площин проекцій, а додатковий катет дорівнює різниці відстаней кінців відрізка до тієї площини проекцій, на якій обрано основний катет.

Гіпотенуза побудованого трикутника і буде натуральною величиною відрізка прямої, а кут між гіпотенузою та основним катетом є кутом нахилу прямої до тої площини проекцій, на якій обрано основний катет (рис. 1.17).

Література

Інженерна та комп’ютерна графіка: Підручник / В.Є. Михайленко, В.М. Найдиш, А.М. Підкоритов, І.А. Скидан; – К.: Вища шк., 2000.– 342 с.: іл.
Михайленко В.Е., Пономарев А.М. Инженерная графика: Учебник.– 3-еизд.,пере раб. и доп. –К.: Вища шк, 1990.–303 с.: ил.
Гордон В.О., Семенцов–Огиевский М.А. Курс начертательной геометрии: Учеб. Пособие / Под ред. Ю.Б. Иванова.–23 изд., перераб.–М.: Наука. 1988. – 272с.
Власов М.П. Инженерная графика: Учебное пособие для втузов.– М.: Машиностроение, 1979.– 279 с., ил.
Сборник задач по курсу начертательной геометри. Гордон В.О., Иванов Ю.Б., Солнцева Г.Е.– М.: изд-во «Наука», 1977.–352 с., ил.

П1

В1

А1

В1

А1

П1

S П1

Рис.1.3

Ортогональне

проекцiювання

Рис.1.2

Паралельне

проекцiювання

Рис. 1.1

Центральне

проекцiювання

Рис. 1.5

Комплексне креслення

Рис. 1.4

Аксонометричне зображення

Аy

А1

А2

А3

Аz

Аx

Аy

А1

А2

А3

Аz

Аy

П1

П3

П2

Аx

Рис.1.7

Проекціювання прямої L на площину П1

Рис.1.6

До визначення прямої

П1

В2

В1

А2

А1

А2

А1

Рис.1.8.

Проекціювання прямої АВ на дві площини проекцій П1 і П2

Рис.1.9.

Проекціювання прямої, що задана точкою А та напрямом S,

на дві площини проекцій П1 та П2

В2

В1

А2

А1

Рис.1.10.

Інцидентність точки прямій лінії

С2

С1

Рис.1.11.АВ // П1 –

Горизонтальна пряма

Рис.1.12. CD // П2 –

Фронтальна пряма

Рис.1.13. MN // П3

Профільна пряма

Рис.1.14. АВ П1 –

Горизонтально - проекціюваньна пряма

Рис.1.15. CD П2 –

Фронтально - проекціюваньна .пряма

Рис.1.16 MN П3 –

Профільно - проекціюваньна пряма

A1B1

C2D2

П1

Рис.1.17. Аксонометричне зображення

- кут нахилу АВ до П1

Рис.1.18. Комплексне креслення. А1В0 та А2В0 – натуральна величина відрізку АВ

- кут нахилу АВ до П1 - кут нахилу АВ до П2

Метод проекціювання точки. Проекцiювання точки. Проекцiювання прямої