Розгортки поверхонь
Кафедра "Прикладна геометрія інформаційні технології проектування" ТДАТУ
Викладач: доц. Щербина В.М.
Конспект лекції № 9
із дисципліни "Нарисна геометрія, інженерна та комп'ютерна графіка"
Тема лекції : Розгортки поверхонь.
Мета та задачі: Показати, що не всі лінійчаті поверхні розгортаються, дата умови розгортання поверхонь та засоби побудови розгорток поверхонь.
Знання та вміння, які студенти повинні отримати:
Студенти повинні:
Знати: умови розгортання поверхонь; види розгорток поверхонь; засоби побудови розгорток.
Вміти: провести апроксимацію криволінійної поверхні багатогранника.
План лекції
9.1. Розгортні поверхні.
9.2. Види розгорток.
9.3. Властивості, що зберігаються при розгортанні поверхонь.
9.4. Основні способи побудови розгорток.
Література
1. Михайленко В.Е., Пономаренко А.М. "Инженерная графика" К., 1990. 8 (стр.152-162).
2. Власов М.П. "Инженерная графика" М., 1979 & 45 (стр.100-107).
3. Гордон В.О., Семенцов-Огиевский М.А. "Курс начертательной геометрии" М., 1988. & 68-70 (стр.227-233).
4. Плакати Л15-1... Л15-4.
5. Дiафiльм "Развертки".
9.1. Розгортні поверхні.
Поверхню будемо розглядати як гнучку, нерозтяжну оболонку. Розглянемо таку її деформацію, коли не утворюються розриви та складки поверхні. Поверхні, які можна сполучити всіма своїми точками з площиною у результаті вказаної вище деформації, називаються розгортними. Фігуру, що одержана при сполученні відсіку поверхні, що розгортається з площиною називають розгорткою. Побудова розгорток викликає великий інтерес при конструюванні різних оболонок, сосунів, резервуарів, поверхонь робочих органів сільгоспмашин та машин по кормоприготуванню i т.iн.
Істотно, що не всі поверхні є розгортними. Вказаною властивістю можуть володіти лиш поверхні, що одержані переміщенням прямої лінії (лінійчаті поверхні) та задовольняють певним умовам. Ці умови формуються у курсі диференціальної геометрії та мають різну ступінь точності та загальності. Ми розглянемо найпростішу ознаку розгортностi поверхні.
Якщо дві нескінченно близько розташовані прямолінійні твірні поверхні перетинаються або паралельні, то така поверхня – розгортна.
9.2. Види розгорток.
Розгортки умовно класифікуються таким чином.
а) точні - розгортки, що розраховані аналітично або одержані натуральним моделюванням;
б) наближені - розгортки, що побудовані графічно;
в) умовні - розгортки нерозгортних поверхонь.
9.3. Властивості, що зберігаються при розгортанні поверхонь (див. рис.9.1).
– довжина двох відповідних ліній розгортки та поверхні, співпадає;
– кути, що утворені лініями на поверхні, та кути між відповідними лініями на розгортці дорівнюють один одному;
– замкнута лінія на поверхні та відповідна їй лінія на розгортці обмежують фігури з однаковою площею.
.
Наслідки із властивостей:
– площа поверхні дорівнює площі її розгортки;
– прямій на поверхні відповідає пряма на розгортці (але не навпаки);
Лінії поверхні, що відповідають прямим лініям на розгортці називаються геодезичними. Геодезичні лінії існують i на нерозгортних поверхнях та визначаються як лінії, що найкоротшим шляхом з'єднують дві точки поверхні.
а) б)
Рис.9.1. Зображення поверхні та її розгортки
а) поверхня;
б) розгортка
Геодезичні лінії відіграють велику роль у розрахунках різних техпроцесів ( наприклад, граничною траєкторією руху частки ґрунту по лемiшно–вiдвальнiй поверхні є геодезична лінія), та особливо в конструюванні різних тентових покрить та оболонок. Так як відрізки цих ліній є найкоротшими на поверхні, то завдання поверхні сіткою геодезичних ліній дозволяє істотно економити метал, спрощує розрахунок.
9.4. Основні способи побудови розгорток.
Побудова точних розгорток (аналітично), як правило, пов'язана із складними аналітичними перетвореннями, а для складних поверхонь - з рішенням диференціальних рівнянь, які, як правило в елементарних функціях не розв'язуються. Тому удаються до графічних (графоаналітичних) побудов наближених та умовних розгорток. Основними способами побудови наближених розгорток є:
9.4.1. Спосіб нормального перерізу.
Суть способу розглянемо на прикладі побудови розгортки тригранної призми.
Для побудови розгортки способом нормального перерізу (рис.9.2) призму перетинають площиною R(RП2) перпендикулярно до бокових ребер, та визначають натуральні величини сторін фігури, що утворилась у перерізі. З точок, що є початком та кінцем кожної дільниці прямої, проводять перпендикулярні їм лінії. На цих лініях відкладають натуральні величини відрізків, що відповідають відрізкам бокових ребер многогранника, та послідовно з'єднують усі точки. Утворюється розгортка бокової поверхні. Для одержання повної розгортки многогранника до бокової поверхні додаються поверхні основ (рис.9.2).
Рис.9.2. Побудова розгортки тригранної призми способом нормального перерізу
9.4.2. Спосіб розкатки.
Спосіб розкатки застосовується в окремих випадках, коли ребра призми або твірні циліндра паралельні одній з площин проекцій, а основи - іншій площині проекцій. Розглянемо приклад побудови розгортки призми (рис.9.3), основи якої паралельні П2, а ребра паралельні П1.
Уявимо горизонтальну площину, що проходить через ребро АЕ, з якого сполучаються бокові грані призми. Грань АЕСG - площина, в якій ребро АЕ - горизонталь (h1, h2). Щоб сумістити грані АЕСG з горизонтальною площиною, що проходить через ребро АЕ, будемо обертати точку С навколо горизонталі.
Суміщене положення точки Со можна визначити таким чином.
А2С2 є натуральною величиною ребра АС, з точки А1 проводиться засiчка радіусом А2С2 на сліді площини обертання, що проходить через точку С1.Одержусмо точку Со. Аналогічно визначається суміщене положення точок Во, Fо та Ао, Ео.
Рис.9.3. Побудова розгортки призми способом розкатки
Рис 9.3. побудова розгортки
Методом розкатки може бути побудована розгортка циліндричної поверхні. У цьому випадку розгортається вписана в циліндричну поверхню багатогранна призматична поверхня.
9.4.3. Спосіб тріангуляції (трикутників).
Спосіб тріангуляції полягає в апроксимації (наближеній заміні) заданої поверхні багатогранною, яка складається з секторів - трикутників, з наступною розгорткою одержаного багатогранника.
Суть способу покажемо на конкретному прикладі.
Побудувати розгортку відсіку конічної поверхні (рис.9.4). Для побудови розгортки конічної поверхні її спочатку апроксимуємо поверхнею піраміди. На основі конічної поверхні вибираємо ряд точок (1,2,3,4), з'єднуємо їх з вершиною S та між собою. Таким чином крива лінія основи замінюється ламаною, а бокова поверхня - трикутними гранями.
Для побудови розгортки вписаного в конічну поверхню многогранника необхідно визначити натуральні величини ребер основи (хорд) та бокових твірних. Натуральну величину твірних піраміди визначаємо обертанням навколо проекцiюючої осі. Розгортка складається із послідовного ряду трикутників (граней піраміди), що побудовані за трьома сторонами (засiчками).
Спосіб тріангуляції застосовується для побудови умовних розгорток, хоча апроксимація поверхні (заміна її ділянок трикутниками) - процес не простий i вимагає певних знань про поверхню, навичок та аналізу побудов.
Розглянемо відсік поверхні, що не розгортається, та проходить через коло та відрізок прямої (рис.9.5). Апроксимацію поверхні трикутниками здійснюють таким чином, щоб плоскі трикутники якомога ближче прилягали до поверхні. Проводимо ряд твірних та апроксимуємо ділянку поверхні між суміжними твірними відсіками площин (рис.9.5 а). Натуральні величини сторін трикутників визначаємо методом прямокутного трикутника (рис.9.5 б). Будуємо розгортку заданої поверхні (рис.9.5 в).
Якщо здійснити пропорційний поділ напрямних (пряма 1-4 та дуга 5-8), то одержана поверхня називається поверхнею з пропорційною розбивкою напрямних.
Розгортки поверхонь