Випадкові величини
Тема. Випадкові величини. Лекція №4. Основні поняття
План
- Випадкова величина і функція розподілу
- Властивості функції розподілу
- Дискретна випадкова величина
4. Неперервна випадкова величина
Д.з. (на лекції 4-6) 085-116: 535, 537, 540, 543, 545, 572, 577-579.
Величина Х називається випадковою величиною (випадковим розподілом, розподілом), якщо в результаті досліду вона може набувати різних числових значень в залежності від випадку.
Приклад. При одному киданні кубика Х – кількість очок, що випали на верхній грані (це випадкова величина)
Для будь-якого дійсного числа t можна розглядати подію Х< t і знаходити ймовірність цієї події: Р(Х<t) -- ймовірність того, що Х<t. При різних t ймовірності будуть різні, тобто, отримаємо функцію від t, що називається функцією розподілу випадкової величини:
F(t)=FХ(t)=P(Х<t) – означення функції розподілу випадкової величини Х.
Продовження прикладу. Знайти функцію розподілу Х в точках 1; 2; 1,135 і границю F (+).
F (1)=Р(Х<1)=P()=0, F (2)=P(X<2) =P(X=1) =1/6, F (5)=P(X<5) =4/6=2/3,
F (1.135)=P(X<1.135) =1/6, F (+)=P(X<+) =1.
Властивості функції розподілу (випливають з властивостей ймовірностей подій)
1.Функція розподілу зростає на R.
Доведення. Нехай . Доведемо, що .
Використані аксіома про суму несумісних подій та аксіома про невід'ємність ймовірності
t1 t2
Із доведення першої властивості можна отримати формулу для ймовірності попадання випадкової величини в заданий проміжок: Р()==D F – приріст функції розподілу на даному проміжку. 1 F(t)
2. 0 F(t) 1.
3. F (- ) =. P=D F
4. F (+ ) =. t1 t2
- Функція розподілу неперервна зліва в усіх точках дійсної прямої =.
Доведення.-= = =
=(неперервність ймовірності) = P()== 0.
Тут використана властивість неперервності ймовірності, яка випливає з аксіом теорії ймовірностей (інтервали [ t, t0) при є вкладеними подіями). [[[[ )
F(t) t t0
1
t1 t
Застосування функції розподілу
1. Р()= =- приріст функції розподілу на інтервалі це є ймовірність попадання випадкової величини в цей інтервал.
2.Ймовірність попадання в точку – це скачок функції розподілу в цій точці.
[ ) ) ) )
t1 t2
Доведення. Якщо в попередній властивості перейти до границі , то отримаємо ймовірність попадання випадкової величини в точку:Р(Х=t1) – скачок функції розподілу в точці t1.
=P()==F(t1+)- F(t1).
Якщо функція розподілу неперервна в деякій точці, то скачка не має в цій точці і ймовірність попадання в цю точку є 0.
Приклад. Відомо, що функція розподілу часу очікування тролейбуса має вигляд
0,
F(x) = x -1 0 0+ 2 3 6 7 8 +
F 0 0 0,1 0,14 0,19 0,46 0,73 0,865 1
F
1
0,46
0,1
6 x
Знайти ймовірність того, що час очікування тролейбуса буде лежати в проміжках
1) 2) 3) 4) 5) (0; 6); 6) Знайти ймовірність того, що не треба чекати.
Розв'язання. 1) =0,46+0,54(1-0,5)-0=0,73;
2) =1-(0,1+0,09)=0,81;
3) =0,515;
4)=F(6)-F(0)=0,46-0=0,46; 5)P(0<X<6)=-P(X=0)=0,46-0,1=0,36.
6) P(X=0)=F(0+)-F(0)=0,1 – скачок в точці 0.
Дискретні випадкові величини
Випадкова величина Х називається дискретною, якщо всі її можливі значення можна пронумерувати. Тоді їх скінченна кількість або стільки, скільки натуральних чисел.
Позначимо можливі значення випадкової величини … .
Для дискретної випадкової величини знаходять ймовірності кожного значення х1, х2..., xn ,... .
P (X=x1)=p1 , P(X=x2)=p2 ,....
Оскільки (X=x1), (X=x2),... -- повна група несумісних подій, то p1+р2+…+рn+…=1.
Закон (ряд) розподілу дискретної випадкової величини – це правило, яке всім можливим значенням випадкової величини ставить у відповідність їх ймовірності. Деколи задається формулою, деколи, якщо кількість значень скінченна, задається таблицею:
Р Графік закону розподілу називається многокутником або
полігоном розподілу.
x1 x2 xn х
Приклад. Скласти закон розподілу і побудувати полігон для кількості очок верхньої грані кубика при одному киданні.
Х 1 2 3 4 5 6
Р 1/6 1/61/6 1/6 1/6 1/6 .
Якщо випадкова величина дискретна i має скінченну кількість значень, то графік функції розподілу має ступінчастий вигляд:
F()=Р(Х<) =0. Якщо t<, то також F(t)=Р(Х<t) =0.
F 1 При <t, F(t)=P(X<t)=P(X=)=.
... При <t, F(t)=P(X<t)=P((X=)+(Х=))=.
... ...
При<t, F(t)=P(X<t)=P((X=)+...+(Х=))=
=(несумісні)=.
t При t>, F(t)=P(X<t)=P(W)=1.
Приклад. Побудувати функцію розподілу для прикладу 1.
F (t) = P(X<t)
t1, F (t) =0, 1<t2, F (t) = 1/6, 2<t3, F (t) =1/3, 3<t4, F (t) =1/2,
4<t5, F (t) =2/3, 5<t6, F (t) =5/6, t>6 , F (t) =1.
F
1
5/6
4/6
3/6
2/6
1/6
1 2 3 4 5 6 t
Приклад. Автокран обслуговує два незалежні майданчики. Ймовірність роботи на І-му майданчику дорівнює 0,6; на І І – 0,8. Знайти закон розподілу кількості майданчиків на яких буде робота. X 0 1 2
P(X=0)=P()=0,4*0,2=0,08, P 0,08 0,44 0,48
P(X=1)=P()=0,4*0,8+0,6*0,2=0,44, P(X=2)=P(A1A2)=0,6*0,8=0,48.
Абсолютно неперервні випадкові величини
Розглянемо похідну функції розподілу. Позначимо її f(t).
f(t)== – ймовірність попадання в проміжок
[t; t +t) поділена на довжину проміжку t, при .
Ця функція f(t) називається щільністю розподілу, або диференціальною функцією розподілу f(t)=F'(t)=.
Оскільки, F(t) зростаюча функція, то її похідна f(t)=F'(t) буде невід’ємною функцією. Функція розподілу F(t) це деяка первісна f(t), тому якщо задана щільність розподілу f(t), то за формулою Ньютона-Лейбніца можна шукати функцію розподілу: F(t)=F(t)-F(-) =, (бо F (-) =0). Геометрично цей інтеграл це площа під графіком щільності на інтервалі (-, t).
Означення. Випадкова величина Х називається абсолютно неперервною чи просто неперервною, якщо її функція розподілу F(t) є первісною деякої невід’ємної функції f(t) (або fx(t)) майже в усіх точках, і тоді функція розподілу випадкової величини X знаходиться за формулою F(t)=. Така функція f(t) називається щільністю розподілу або диференціальною функцією розподілу.
при всіх t крім, можливо, скінченної кількості точок.
Оскільки, інтеграл – неперервна функція верхньої межі, то функція розподілу F(t) неперервної випадкової величини буде неперервною функцією на R. Існування похідної на графіку функції означає гладкість графіка (існування дотичної). Отже, функція розподілу неперервної випадкової величини є неперервною гладкою лінією, крім скінченної кількості точок-кутів.
F
1
0 t
Оскільки, не має стрибків в жодній точці, то для неперервної випадкової величини ймовірність попадання в кожну точку дорівнює 0: P(Х=t) = 0, t є R.
Ми вже знаємо, що для будь-якої випадкової величини: Р()= =.
Для неперервної випадкової величини ми можемо писати такі ж формули для ймовірностей попадання випадкової величини в проміжки, не зважаючи чи включаються чи не включаються точки: Р()= =.
D F S
Отже, якщо відома щільність розподілу, то ймовірність попадання випадкової величини на проміжок обчислюється за формулою Р()= – геометрично це площа під графіком щільності на даному інтервалі.
f S=P
t1 t2 t
Властивості щільності: 1) Щільність невід’ємна функція на області визначення R:на R.
2) f(t) інтегрована на будь-якому відрізку [a,b] (a,b є R) або хоча б у невласному сенсі інтеграл на будь-якому відрізку [a,b] є збіжним і=1 – площа під графіком щільності по всій прямій дорівнює 1.
Доведення. F(+)=1, але F(+)=.
Будь-яка функція яка задовольняє ці дві властивості може бути щільністю якогось розподілу.
Якщо відома функція F(t) – неперервна і диференційована в усіх точках крім скінченної кількості
f S==1 точок, то щільність f(t)=F'(t) в тих точках, де існує похідна,
а де не існує похідна, щільності f(t) можна надати будь-яких значень
t (бо визначений інтеграл це площа і не залежить від значень
функції в скінченній кількості точок).
Приклад1. Випадкова величина задана функцією розподілу:
Чи неперервна випадкова величина Х? Якщо так, то знайти F(x) =
щільність розподілу f(x) та побудувати обидва графіки.
F Оскільки F(x) неперервна функція і всюди крім,
х 0 5+ 5,5 6 7 + 1 можливо точок 5 та 6 існує дотична (похідна),
F 0 0 1/8 1 1 1
0 5 6 x то Х – неперервна випадкова величина.
0, x<5
f(x) =
0, x>6 х 0 5+ 5,5 6 6+ +
f f 0 0 3 0 0
3
5 6 x
Приклад 2. Задана щільність розподілу. Знайти функцію розподілу. Побудувати обидва графіки.
0, x<3,
f(x) = , x 3 5
- x>5. f 1/3 2/3
f
2/3
1/3 = =1.
3 5 x F(t)=F(t)-F(-) = - площа під
1) F(t), t<3 графіком щільності на інтервалі (-, t).
,
- F(t), 3<t<5
F(t)==+==,
- F(t), t>5
0, t<3
Отже, F(t) = , 3<t<5
1, t>5
F
1 t 3 4 5
F 0 5/12 1
3 5 t
Випадкові величини