Числові характеристики випадкових величин

Лекція 6. Числові характеристики випадкових величин

План

1. Математичне сподівання випадкової величини і її властивості

2. Дисперсія випадкової величини і її властивості

3. Моменти, асиметрія, ексцес

4. Мода, медіана і квантилі

Математичне сподівання

Математичним сподіванням або середнім значенням дискретної випадкової величини називають число, яке обчислюється за формулою: (1)

Математичним сподіванням або середнім значенням абсолютно неперервної випадкової величини називається число, яке обчислюється за формулою: (2)

Не кожна випадкова величина має математичне сподівання тому, що ряд або інтеграл може бути розбіжний.

Статистичний зміст математичного сподівання

Нехай провели велику кількість N незалежних спостережень над вип. величиною Х (Х – дискретна, з можливими значеннями ). Обчислимо середнє арифметичне

() всіх значень в.в. Х, які отримали. Позначимо їх . Тоді

(без повторів)=

= при великих N.

Отримали формулу (1).

Отже, математичне сподівання це приблизно середнє арифметичне результатів багатьох незалежних спостережень над випадковою величиною – статистичний зміст математичного сподівання.

Геометричний (фізичний) зміст

За такою формулою (2) обчислюється абсциса центра мас нескінченної криволінійної трапеції, обмеженої лініями y=f(x), y=0, якщо її площа дорівнює 1. Отже, математичне сподівання це абсциса центра мас криволінійної трапеції під графіком щільності.

ц.м.

MX x

Властивості математичного сподівання

Із статистичного змісту середнього значення випливають властивості

МС=С (С – стала випадкова величина)
Якщо X 0, тобто Р(X 0)=1, то МХ 0
Якщо Х Y, тобто Р(Х Y)=1, то МХ МY
Р(а X b)=1, то МХ є [а; b]
М(X+С)=МХ+С (С– стала випадкова величина)
М(сX)=cМХ, c – число
М(X+Y)=МХ+МY
М(X-Y)=МХ-МY
М(с1X1+с2X2+…+сnXn)=c1MX1+c2MX2+…cnMXn , с1,с2,...,сn – числа
Якщо X, Y – незалежні випадкові величини ( тобто, для будь-яких чисел t, s

Р((X<t)(Y<s))=P(X<t)(Y<s)), тоді М(ХY)=МХМ Y

Доведення для дискретних випадкових величин:

...

у1

у2

…

уk

…

х1у1

x1у2

…

x1уk

x2у1

...

х2уk

p1q1

p1q2

…

p1qk

p2q1

...

p2qk

Тут використано те, що Р(ХY = х1у1)=Р((X=х1)(Y=у1)) (незал.)= р1q1 і т. д.

М(ХY )= (х1у1 р1q1+х1у2 р1q2 +...+х1уn р1qk)+(х2у1 р2q1 +...+х2уn р2qk)+...=

=(х1р1+х2р2…хnpn)(y1q1+y2q2+…ynqn)

11. Якщо випадкові величини X1, X2 ,..., Xn незалежні в сукупності, то

М(X1 X2 …Xn)=МХ1МХ2…МХn

12. Нехай X – дискретна випадкова величина. Y=g(X) – теж випадкова величина (g – дійсна функція дійсного аргументу). Тоді Mg(X)=g(x1)р1+g(x2)p2+...

13. Нехай X – неперервна випадкова величина, Y=g(X), тоді .

Дисперсія і середнє квадратичне відхилення

Відхиленням випадкової величини Х називають випадкову величину Х-МХ, тобто відхилення від її середнього значення.

Дисперсією випадкової величини називають математичне сподівання квадрату її відхилення.

Середнім квадратичним відхиленням випадкової величини Х називають квадратний корінь з дисперсії

Механічний зміст дисперсії: Дисперсія це момент інерції підграфіка щільності відносно вертикальної прямої х=МХ.

Якщо Х – дискретна випадкова величина то DX=М(Х-MX)2=(x1-MX)2p1+(x2-MX)2p2+... ( з властивості 12 МХ).

Якщо Х – неперервна випадкова величина то (з властивості 13 МХ).

Властивості дисперсії

DX0
DX=MX2-(MX)2

Доведення. DX=M(X-MX)2=M(X2-2XMX+(MX)2)=MX2-2MXMX+(MX)2=MX2-(MX)2

Врахувавши вл.1, отримуємо, що MX2(MX)2

DC=0
D(Х+c)=DX
D(сX)=с2DX

D(сX)=M(сX-MсX)2=M(с2(X-MX)2)=с2 DX

Якщо Х, Y – незалежні випадкові величини, то D(Х±Y)=DX+DY.

Доведення. D(X±Y)=(вл.2)=M(X±Y)2-(M(X±Y))2=MX2 ±2МХМY+MY2 - (MX)2 2МХМY – (MY)2=DX+DY.

(Тут використана властивість математичного сподівання добутку незалежних випадкових величин M(XY)=MXMY.)

Якщо Х1,…, Хn – попарно незалежні випадкові величини, то

D(Х1+…+ Хn)=DХ1+…+DХn (доводиться аналогічно).

Задача. Автокран обслуговує 2 будівельних майданчика. Ймовірність того, що на протязі дня буде потреба в роботі на першому майданчику рівна 0,6, а на другому – 0,8. Знайти закон розподілу кількості майданчиків на яких буде потреба в роботі, обчислити МХ, DX, .

Х	0	1	2
Р	0,08	0,44	0,48

А1 – перший майдан потребує роботи Р(А1)=0,6

А2 – другий майдан потребує роботи Р(А2)=0,8

Р(Х=0)=Р()=0,40,2=0,08

Р(Х=1)=Р()=0,60,4+0,40,8=0,44

Р(Х=2)=Р(А1А2)=0,48

МХ=00,08+10,44+20,48=1,4

DX=MX2 - (MX)2

MX2=020.08+120.44+220.48=2.36

DX=2,36-(1,4)2=2,36-1,96=0,4 =0.63

Задача. Задана функція розподілу .

Знайти МХ, DX, .

f(x)= =

DX=MX2-(MX)2 , DX=

Моменти, асиметрія, ексцес

Моментом (початковим моментом) порядку к називають число mk=MXk

m1=MX – математичне сподівання

DX=MX2 - (MX)2 =m2 - m12

Центральним моментом порядку к називається число k=M(X-MХ)k

Абсолютним моментом порядку к називається число М|X|k

Абсолютним центральним моментом порядку к називається число

ск=М|X-MX|k

Можна встановити зв’язок між центральними та початковими моментами. Наприклад, 2= m2-m12 3= M(X-MХ)3=m3-3m2m1+3m13-m13 = m3-3m2m1+2m13.

Вправа. Виразити 4 через початкові моменти.

Асиметрією випадкової величини Х називають число АsX= 3 /

Якщо графік щільності розподілу симетричний відносно прямої Х=МХ, то всі непарні центральні моменти рівні нулю і AsХ=0.

Ексцесом випадкової величини Х називають число ЕхХ= 4 / -3.

Мода, медіана, квантилі

Медіаною випадкової величини Х називають число Т=МеХ, для якого ймовірність

Р(Х<Т)1/2, i P(X>T) )1/2.

F(T) 1/2 1- F(T+0)1/2

F(T+0)1/2

Ме x F f

f 1

S1 S2 1-g S1= 1-g S2=g

Me x

Випадкові величини можуть мати одну або безліч медіан.

Квантилем рівня g називають таке число Т, що виконується формулa

F(T)1-g, F(T+0)1-g. При g=1/2 квантиль – це медіана. Позчається

Мода для неперервних випадкових величин. Розподіл випадкової величини називається одновершинним, якщо щільність розподілу має єдину точку максимуму і є неперервною зліва або справа в цій точці. Тоді ця точка максимуму називається модою, якщо розподіл не одновершинний, то моди немає.

f(MоX)>f(t) , t e R, tMоХ.

y=f(t) P

МоХ t

Модою дискретної випадкової величини називають найбільш імовірне її значення, тобто точка максимуму многокутника розподілу, якщо вона єдина.

Р(Х=МоХ) >Р(Х=t) при t МоХ.

Якщо графік щільності або многокутник розподілу одновершинний і симетричний відносно прямої t=, то = МХ= МоХ= МеХ, AsX=0.

Якщо МХ> МeХ> МoХ і AsX>0, то кажуть, що є правостороння асиметрія, якщо поміняти всі знаки > на < то – лівостороння, в інших випадках кажуть, що асиметрія нечітко виражена.

правостороння асиметрія.

f центр мас

MoMeMX

Числові характеристики випадкових величин