ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ. ВИДЫ ПОГРЕШНОСТЕЙ И ПРИЧИНЫ ИХ ВОЗНИКНОВЕНИЯ

Лекция №7.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ.

ВИДЫ ПОГРЕШНОСТЕЙ И ПРИЧИНЫ ИХ ВОЗНИКНОВЕНИЯ.

Любые измерения сопровождаются неизбежными погрешностями. Изучение свойств и закономерностей этих погрешностей, составляет предмет теории погрешностей, которая в свою очередь является разделом теории вероятностей и математической статистики.

Обозначим истинную величину через Х, измеренное значение через L, а разность между ними, через . (= L – X).То есть, измеренное значение минус истинная величина есть истинная погрешность. Все измерения сопровождаются погрешностями (ошибками), которые подразделяются на грубые, систематические и случайные.

Грубые ошибки возникают при наблюдении работ наблюдателем и являются результатом его просчетов (невнимательность при замерах). Эти ошибки могут быть устранены при повторном или контрольном измерениях.
Систематические ошибки входят в результат измерений по некоторому закону и происходят от определенного источника, которыми могут являться несовершенство изготовления и юстировки приборов, влияния факторов внешней среды, личные ошибки. Правильная организация измерений позволяет исключить эти ошибки.
Случайные ошибки неизбежны в процессе измерений и не могут быть исключены. Изучение свойств этих ошибок позволяет разработать методы оценки точности результатов измерений и определить вероятнейшие значения этих величин.

Случайные погрешности характеризуются следующими свойствами:

а) При определенных условиях измерений случайные погрешности, по

абсолютной величине, не могут превышать известного предела.

б) Малые по абсолютной величине положительные и отрицательные

погрешности равновозможны, причем малые погрешности появляются

в измерениях чаще, чем большие.

в) Средне - арифметическое, случайных погрешностей, из измерений одной

и той же величины стремится к нулю, при неограниченном числе

измерений.

Последнее свойство случайных погрешностей математически можно записать следующим образом.

(7.1)

Где 1; 2; 3….n случайные погрешности, n – число этих погрешностей.

В данной лекции [ ] – знак суммы, т.е. 1 + 2 + 3 …. n = [].

Формула (7.1) выражает свойства компенсации случайных погрешностей. Это свойство сохраняет и сумма попарно произведенных случайных погрешностей, т.е.

АРИФМЕТИЧЕСКОЕ СРЕДНЕЕ И ЕГО ХАРАКТЕРИСТИКА.

На основе формулы (7.1) установлен принцип, по которому получают наиболее надежный результат из совокупности измерений одной и той же величины. Предположим, что было произведено n число равноточных измерений. Равноточными называются измерения, проведенные в одинаковых условиях, однотипными инструментами, одинаковое число раз, наблюдателями равной квалификации.

Имеем: L1 – X = 1

L2 – X = 2

L3 – X = 3

……………

Ln – X = n

Просуммировав эти равенства, получим:

L1 + L2 + L3….. + Ln – nX = 1 + 2 + 3 …. + n (7.2)

Отсюда запишем Х = –

Допустим , что число измерений неограниченно велико и n

= (7.3)

Из формулы (7.3) следует, что предел среднего арифметического при неограниченном числе измерений стремится к истинному значению величины. Но количество измерений всегда ограничено и вместо равенства мы имеем неравенство Х , отличающееся от равенства на очень малую

величину, имеющую своим пределом 0. Введем понятие х – среднее арифметическое, тогда х = (7.4)

На основании формулы (7.4) можно утверждать, что среднее арифметическое из одинаково точных измерений, является наиболее точным результатом при любом числе измерений, если n > 1. Поэтому среднеарифметическое из результатов измерений называют ВЕРОЯТНЕЙШИМ ЗНАЧЕНИЕМ измерений величины, а отклонение результатов от среднеарифметического ВЕРОЯТНЕЙШЕЙ ПОГРЕШНОСТЬЮ.

Например, в замкнутом многоугольнике истинные значения измеряемых величин являются известными в виде суммы горизонтальных углов или суммы превышений.

СРЕДНЯЯ КВАДРАТИЧЕСКАЯ ПОГРЕШНОСТЬ.

Имея ряд измерений одной и той же величины, можно оценить точность как одного измерения, так и арифметической середины. Для оценки точности одного измерения в теории погрешности применяется введенная Гауссом средняя квадратическая погрешность:

m = = (7.5)

Cреднеквадратическая погрешность имеет ряд преимуществ по сравнению, со средней погрешностью. Она обладает достаточной устойчивостью и поэтому при сравнительно небольшом числе измерений ее величина получается с большей достоверностью.

Например: имеем два ряда погрешностей измерений:

1 ряд 5,6,8,9,10,12,13

2 ряд 3,4,5,8,10,15,18

Средние погрешности этих рядов одинаковы 1 = 2 = = 9.

Среднеквадратическая погрешность этих рядов будет равна:

m1 = = +9.4, m2 = = + 10.4, следовательно m2 > m1, что объясняется наличием во втором ряду больших погрешностей, таких как 15 и 18. Влияние этих погрешностей на величину не сказалось в отличие от величины m2.

Таким образом, можно сделать вывод, что среднеквадратичная погрешность лучше характеризует точность измерений.

Связь между и m выражается формулой: m = 5/4 = 1.25 (7.6)

Кроме средней погрешности в прикладных вопросах пользуются вероятной погрешностью r, которая связана со средней квадратической погрешностью соотношением r = 2/3m (7.7)

Для нахождения вероятной погрешности все погрешности данного ряда по абсолютной величине располагают в порядке их возрастания и выбирают то значение, которое занимает среднее положение. Установлено, что погрешности измерений, превышающие среднеквадратическую погрешность в 2 раза, встречаются редко и не превышают 4.5% от всех погрешностей. Число погрешностей превышающих среднюю квадратическую погрешность в 3 раза не превышает 0.3%.Поэтому утроенную квадратическую погрешность называют предельной. Пред. = 3m. Измерения, содержащие погрешности больше предельных, бракуют.

Оценку точности величин длины, площади, объемов и др. часто производят с помощью относительной погрешности. Относительной погрешностью называется отношение абсолютной погрешности к величине измеряемого объекта, она всегда пишется в виде дроби, числитель которой абсолютная погрешность, а знаменатель измеренное значение данной величины.

Например: m = ± 0.21 v, D = 575 м,

Примером определения средней квадратической относительной погрешности может служить измерение расстояний нитяным дальномером. Дан расстояние 200 метров, измеренное нитяным дальномером 16 раз, расхождение (в метрах) по сравнению с истинным расстоянием составили:

-0.4,-0.6.+0.5,-0.6,+0.7,+0.4,-0.5,+0.4,-0.4,+0.6,-0.5,-0.6,-0.5,-0.4,-0.6,+0.5. Эти значения принимаются за истинные погрешности (1,2,3,….n). После возведения в квадрат этих погрешностей и суммирования их по формуле (7.5), определяем среднюю квадратическую погрешность:

m = = ± 0.52 м.

Относительная погрешность будет равна: ± = ±

ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ФУНКЦИЙ ИЗМЕРЕННЫХ ВЕЛИЧИН.

Очень часто приходится оценивать точность не самих измеренных величин, а их функции. Например суммы или разности, произведения или частного и т.д.Исходными величинами в таких случаях являются средние квадратические погрешности измеренных величин.

Пусть для определения значения некоторой величины u, измерены другие величины х,у,z,….., с которыми определяемая величина связана функциональной зависимостью. x,у,z – независимые переменные аргументы.

u = f (x,y,z,…).

Если средние квадратические погрешности измеренных величин равны mx, my,mz …., то среднюю квадратическую погрешность определяемой величины вычисляют по формуле:

mu2 = 2x + m2y + m2z + ….. (7.8)

Конкретные варианты формулы (7.8) для частных случаев функции u

Номер функции	Вид функции	Средняя квадратическая погрешность.
1	u = kx	mu = kmx
2	u = x1+x2 +…..xn	mu =
3	u = x - y	mu = +
4	u = k1x1 +k2x2 + knxn	m =

Пример: Диаметр окружности d = 6.32м, измерен несколько раз со средней квадратической погрешностью md = +2cм. Определить среднюю квадратическую погрешность в длине С окружности Мс и среднюю квадратическую погрешность определения длины окружности.

Решение: С = d = 3.14 · 6.32 = 19.84 м. По формуле 1 см. таблицу №1 определяем Мс = md = 3.14 ·2см. = 6.3 см.

Средняя квадратическая погрешность определения длины окружности будет равна:

= =

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ РАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ.

Для определения величины Х выполнен ряд равноточных измерений и получены результаты l1,l2,…ln, то за окончательное значение L принимают величину, вычисляемую как среднеарифметическое из всех результатов.

L = =

Для контроля вычислений находят вероятнейшие погрешности (уклонение от среднеарифметического).

V1 = L – L1; V2 = L – L2 …… Vn = L – Ln.

Сумма вероятнейших погрешностей должна равняться нулю при любом числе измерений. Значение поправок(погрешностей) позволяет вычислить среднюю квадратическую погрешность по формуле:

m = (7.9)

Эта формула называется формулой Бесселя и имеет большое практическое значение.

Так как все измерения равноточны, то средняя квадратическая погрешность m в равной мере дает оценку точности l1,l2,… ln, и является обобщенной оценкой погрешности данного ряда измерений. Для оценки точности среднего арифметического х0 вычисляют среднеквадратическую погрешность по формуле М = m/ следовательно число измерений точности М можно определить по формуле: n = m2/М2.

Пример: Дана длина линии между осями колонны измеренная 6 раз. Результаты измерений и их обработка даны в таблице №2. Требуется определить среднее значение длины линии, среднюю квадратическую погрешность отдельного измерения и его предельную погрешность, а также среднюю квадратическую и относительную погрешности среднего значения измеренной длины линии. Таблица №2.

Номер измерения	Результаты измерения l м.	Уклонение от вероятнейшего значения. V=L-ln м.	Значение v2 см.
1	225.26	+6	36
2	225.23	+3	9
3	225.22	+2	4
4	225.14	-6	36
5	225.23	+3	9
6	225.12	-8	64
	L = 225.20	[v] = 0	[v2] = 158

А) Среднее значение измеренной линии определяется по формуле (7.4)

L = = 225.20

Б) Средняя квадратическая погрешность отдельного измерения вычисляется по формуле (7.9)

m = = 5.6 см.

В) Предельную погрешность измерений определяют по утроенной средней квадратичной погрешности:

пред. = 3 · 5.6 см. = 16.8 см.

Г) Среднюю квадратическую погрешность среднего арифметического значения измерения линии находим по формуле:

М = m/ = 5.6/ = 2.3 см.

Д) Относительную погрешность среднего арифметического значения измеренной линии находим по формуле:

m/l =1/N = 0.023/225.20 = 1/9800

ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ПО РАЗНОСТЯМ ДВОЙНЫХ РАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ.

В геодезической практике широко распространены двойные измерения. Так превышения связующих точек при геометрическом нивелировании, определяются дважды, по черной и красной сторонам реек, расстояние лентой измеряется в прямом и обратном направлениях и т.д.Различие двух результатов одной и той же величины несет информацию о величине погрешности измерений. Имея разность измерений ряда величин, можно вычислить среднюю квадратическую погрешность одного измерения.

m = (7.10)

Где d – разность двойных измерений; n – число двойных измерений.

Пример: Длина здания измерена 5 раз в прямом и обратном направлениях. Результаты измерения и их обработка приведены в Таблице№3, Требуется определить среднюю квадратическую погрешность одного измерения длины здания по разности двойных измерений.

Таблица №3.

m = = 3.6 см.

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ НЕРАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ.

Неравноточными называются измерения, выполненные приборами различной точности, разным числом приемов и в различных условиях. Для обработки таких измерений каждому измерению присваивается свой вес, вычисляемый по формуле: p = c/m, где (с) произвольное число.

Имея ряд результатов измерений l1,l2,l3,….ln, полученные со среднеквадратическими погрешностями m1,m2,m3,….mn, определяют соответствующий им вес:

P1 = c/m21, p2 = c/m22,…..pn = c/m2n

Окончательное значение измеряемой величины находят как общую арифметическую середину или среднее весовое по формуле:

L0 = = (7.11)

Контролем правильности вычисления среднего весового служит равенство [pv]=0, где поправки vi вычисляются по формулам:

= (7.12)

Оценку точности вероятнейшего значения L0 находят по формуле:

М0 =

Пример: Направление угла поворота трассы измерено 5 раз. Каждый результат получен как среднее из нескольких приемов. Данные измерений и их обработка приведены в таблице №4. Требуется определить среднее весовое значение угла и средние квадратические погрешности полученного значения и измерения с весом единица.

Таблица№4.

Определить общую арифметическую середину или среднее весовое значение по формуле (7.11)

L = 48°16’ + = 48°16’42.9”

Б) Вычисляют среднюю квадратическую погрешность одного измерения, имеющего вес, равный единице, по формуле: (7.12)

= = 6.4”

D) Находим среднюю квадратическую погрешность среднего весового значения по формуле (7.13)

М0 = 6.4/ = 1.6

ИСТОЧНИКИ ПОГРЕШНОСТЕЙ И ИХ УСТРАНЕНИЕ.

Точность измерений при строительно-монтажных работах увязывается со значениями строительных допусков, необходимо знать их величины погрешностей, источники их появления и методы устранения или ослабления. Примером источников этих погрешностей могут служить погрешности при измерении длин линий мерными инструментами (лентой или рулеткой) таких как :

а) отклонение конца ленты от створа линий.

б) несоответствие силы натяжения ленты при измерениях и др.

Источники погрешностей, довольно разнообразны, при всех видах геодезических замеров, подробное их описание и методы устранения, описаны в многочисленных работах, а также в ведомственных инструкциях и строительных допусках.

PAGE 1

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ. ВИДЫ ПОГРЕШНОСТЕЙ И ПРИЧИНЫ ИХ ВОЗНИКНОВЕНИЯ