Свойства движения общего вида. Основная теорема движений. Равенство геометрических фигур

Лекция 10. Свойства движения общего вида. Основная теорема движений. Равенство геометрических фигур.

Литература. [1] § 41.

Теорема 1. Движения плоскости образуют группу преобразований.

Доказательство. Нам достаточно проверить, что произведение любых двух движений является движением, и обратное преобразование к движению также представляет собой движение плоскости. Рассмотрим два произвольных движения g и h. Тогда для любых двух точек A и B плоскости справедливы соотношения: и . Так как и , то произведение сохраняет расстояние между точками, т.е. является движением.

Пусть f - произвольное движение плоскости. Рассмотрим две точки A и B и обозначим через A' и B' их образы при обратном преобразовании : Тогда . Так как f  движение плоскости, то: . Поэтому . Преобразование обратное к движению также является движением. Теорема доказана.

Параллельный перенос и вращение являются частными видами движений. Можно доказать, что множества всех параллельных переносов, а также множество всех вращений с фиксированным центром, образуют подгруппы в группе движений плоскости. Не трудно показать, что множество всех движений, переводящих фигуру F в себя, образует подгруппу в группе движений. Если такое движение отлично от тождественного, то оно называется симметрией фигуры F, а указанная подгруппа - группой её симметрий. Доказательство этих утверждений проведите самостоятельно.

Выясним, какие множества служат образами прямых, отрезков, лучей, углов и окружностей при движении.

Свойство 1. Пусть f - движение плоскости, A', B' и C'- образы точек А,В и С при движении f. Тогда точки A', B' и C' лежат на одной прямой в том и только в том случае, когда точки А,В и С коллинеарны.

Доказательство. Как известно из школьного курса геометрии, три точки А, В и С лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда для одной из них, например B, выполнено условие: . В этом случае точка В лежит между A и С (рис. 130, а). Предположим, что, A, B и С - коллинеарны и В лежит между A и C. Так как при движении сохраняются расстояния между точками, то:

'. Поэтому точки A', B' и C' коллинеарные.

Пусть точки A, В и С не лежат на одной прямой. Тогда они расположены в вершинах треугольника (рис. 130, б). Поэтому расстояния между ними удовлетворяют неравенствам: . В силу того, что f сохраняет расстояния между точками, то: . Поэтому точки А', B' и C' также лежат в вершинах треугольника. Таким образом, если точки А', B' и C' коллинеарны, то их прообразы не могут лежать в вершинах треугольника. Свойство доказано.

При движении коллинеарные точки преобразуются в коллинеарные, а точки, не лежащие на одной прямой,  в точки, не лежащие на одной прямой.

Свойство 2. При движении образом прямой является прямая линия.

Доказательство. Пусть l - прямая линия, A и B  две её произвольные точки,  некоторое движение, . Обозначим через l' прямую А'В'. В соответствии со свойством 1, точки, принадлежащие прямой АВ, преобразуются в точки, которые лежат на прямой А'В'. Поэтому . Покажем, что прообраз любой точки C' прямой l' лежит на прямой l. Тем самым будет доказано, что . Пусть . При доказательстве теоремы 1 мы проверили, что преобразование также является движением. Так как , a точки А', В' и C' - коллинеарные, то A, В и С также лежат на одной прямой. Свойство доказано.

Для того, чтобы найти образы отрезков, лучей и углов при движении, нам следует воспользоваться свойствами простого отношения точек прямой. Напомним это понятие. Пусть А, В и С различные точки, принадлежащие одной прямой. Число называется их простым отношением ( = (AB,C)), если . При этом, точки A и В называются базисными, a точка С  делящей. Точка С в том и только в том случае лежит на отрезке АВ, когда . Точка С в том и только в том случае лежит на луче прямой AB с началом в точке B, не содержащем A, когда . И, наконец, точка С лежит на луче прямой AB с началом в точке A, не содержащем точку В, тогда и только тогда, когда (рис. 131).

Свойство 3. При движении сохраняется простое отношение точек.

Доказательство. Пусть точка С принадлежит отрезку АВ. Тогда . Так как в силу своего определения простое отношение задается отношением векторов и , то в данном случае оно равно отношению длин отрезков: . Рассмотрим произвольное движение f, обозначим через A', B' и C' образы точек A, В и С при этом движении. Точка С принадлежит отрезку АВ, поэтому лежит между этими точками, следовательно . Так как движение сохраняет расстояния между точками, то . Отсюда вытекает, что точка С лежит между A и В, и

Предположим теперь, что точка В лежит между A и С (см. рис 131). Тогда , и, как следует из определения простого отношения, . В силу того, что f - движение, . Поэтому точка B' лежит между A' и C' и Для рассматриваемого случая свойство доказано. Аналогично проводится доказательство для точек А, В и C, при условии, что точка A лежит между С и B. Доказательство проведите самостоятельно.

Свойство 4. При движении отрезок преобразуется в равный ему отрезок.

Доказательство. Рассмотрим произвольный отрезок . Пусть f некоторое движение, . Точка С в том и только в том случае принадлежит отрезку , когда эти точки коллинеарные и . Обозначим через C' образ точки С при движении f. Из свойств 1 и 3 следует, что точки и коллинеарные и . Поэтому точка С' принадлежит отрезку . Таким образом, . Легко видеть, что прообраз любой точки C' отрезка также принадлежит . Действительно, обратное преобразование также является движением, отсюда следует, что лежит на отрезке . Поэтому . Так как при движении сохраняются расстояния между точками, то отрезки и равны друг другу. Свойство доказано.

Свойство 5. При движении луч преобразуется в луч.

Доказательство. Доказательство этого свойства аналогично предыдущему. Рассмотрим луч l с началом в точке A. Обозначим через В точку луча l, отличную от A. Пусть f - произвольное движение, . Пусть луч с началом в точке , проходящий через . Если С некоторая точка луча l, то она либо лежит на отрезке , либо на его продолжении. Если , то в соответствии со свойством 4, её образ лежит на отрезке . Пусть С принадлежит продолжению отрезка . Тогда . Так как при движении сохраняется простое отношение точек, то . Отсюда следует, что точка C' принадлежит продолжению отрезка луча. Таким образом, . Для доказательства утверждения осталось проверить, что прообраз любой точки C' луча l' принадлежит лучу l. Рассуждения проведите самостоятельно, воспользуйтесь при этом, что обратное преобразование также является движением.

Как известно из школьного курса геометрии, под углом понимаются два луча, имеющие общее начало.

Свойство 6. При движении угол преобразуется в равный ему угол.

Доказательство. Рассмотрим лучи m и n, имеющие общее начало в точке A. При движении f они преобразуются в лучи m' и n' с началом в точке . Поэтому угол преобразуется в угол. Выберем на лучах m и n точки В и C: . Обозначим через B' и C' их образы при движении f. Тогда (рис. 131). Так как то треугольник АВС равен треугольнику А'В'С'. Поэтому ABC=A'B'C'. Свойство доказано.

Выясним, что представляет собой при движении образ окружности.

Свойство 7. Пусть дана окружность радиуса r с центром в точке O. Тогда при движении она преобразуется в окружность того же радиуса, с центром в точке, совпадающей с образом центра O.

Доказательство. Пусть f произвольное движение,  образ центра О при этом движении окружности , радиус которой равен . Обозначим через ' окружность с центром в точке O' радиуса r. Возьмем точку C, принадлежащую . Пусть . Так как , то точка C' принадлежит окружности '. Обратно, пусть C' - произвольная точка окружности ',  ее прообраз при движении. Так как обратное преобразование является движением, то , т.е. точка С принадлежит окружности . Таким образом, '. Свойство доказано.

Ведем необходимое нам понятие репера.

Определение 2. Под аффинным репером плоскости будем понимать упорядоченную тройку неколлинеарных точек.

В дальнейшем аффинный репер R будем обозначать следующим образом , где и - соответственно его первая, вторая и третья точки. Часто слово "аффинный" будем опускать, понимая под репером аффинный репер. Если точки репера удовлетворяют условию: , а угол - прямой, то репер будем называть ортонормированным.

Свяжем с каждым репером аффинную систему координат. Если нам дан репер , то поставим ему в соответствие систему: , где (рис. 133, a). И наоборот, каждой аффинной системе координат поставим соответствие репер, удовлетворяющий указанным условиям. Очевидно, что ортонормированному реперу соответствует прямоугольная декартовая система координат (рис. 133, б), а прямоугольной декартовой системе координат соответствует ортонормированный репер. В дальнейшем под координатами точки относительно репера будем понимать её координаты в соответствующей системе координат.

Легко видеть, что справедливо еще одно свойство движения.

Свойство 7. При движении репер преобразуется в репер, а ортонормированный репер в ортонормированный репер.

Утверждение непосредственно следует из свойств 4 и 6 движения.

Справедливо следующее основное свойство, из которого следует, что любое движение полностью определяется с помощью двух ортонормированных реперов.

Теорема 2 (основное свойство движений). Пусть на плоскости даны ортонормированные реперы и . Тогда существует единственное движение g, переводящее репер R в R': .

Доказательство. Покажем, что такое движение существует. Рассмотрим две прямоугольные декартовые системы координат, соответствующие данным ортонормированным реперам. Первая система образована точкой и векторами: и вторая  . Как было принято в первой части курса геометрии, координаты точек в этих системах будем снабжать индексами 1 и 2: . Поставим в соответствие каждой точке M плоскости с координатами x и y относительно первой системы точку M' с теми же координатами x и y относительно второй системы координат. Ясно, что такое соответствие g является взаимно однозначным отображением плоскости на себя. Покажем, что g - движение точек плоскости. Рассмотрим произвольные точки M и N, координаты которых в первой системе равны: , .Так как система координат прямоугольная декартовая, то расстояние между данными точками вычисляется по формуле: Если M' и N'  образы M и N при преобразовании g, то эти точки имеют те же координаты относительно второй системы: , . Вторая система координат также прямоугольная декартовая. Поэтому: Таким образом, , g  движение точек плоскости. Так как при этом преобразовании сохраняются координаты точек, то (i=1,2,3). Существование движения, переводящего репер R в R' доказано.

Докажем его единственность. Предположим, что существуют два движения f и g, переводящие репер R в R': , , , такие, что для некоторой точки M плоскости . Так как f движение плоскости, то . С другой стороны, g также движение, поэтому: . Следовательно, точка равноудалена от точек и , т.е. принадлежит серединному перпендикуляру от

резка (рис. 134). Аналогично показывается, что и также лежат на этом перпендикуляре. Мы пришли к противоречию, так как из определения 2 следует, что точки и репера R' не могут принадлежать одной прямой. Предположение о существовании двух различных движений, переводящих репер R в R' , - ложно. Теорема доказана.

Следствие. Если f движение плоскости: переводящее ортонормированный репер R в ортонормированный репер R', то каждой точке M плоскости с координатами x и у относительно репера R соответствует точка M'= f(M) с теми же координатами x и у относительно репера R'.

Действительно, при доказательстве теоремы 1 мы построили движении g, удовлетворяющее указанному свойству. Так как существует единственное движение, переводящее репер R в R', то движения f и g совпадают. Введём следующее определение.

Определение 3. Под флагом плоскости будем понимать точку, луч с началом в этой точке и полуплоскость, граница которой содержит этот луч.

Обозначать флаг будем следующим образом: , где М  точка, l  луч, a  полуплоскость флага. Каждому флагу однозначно соответствует ортонормированный репер , где М - точка флага, лежит на его луче, a принадлежит полуплоскости флага (рис 135). Ясно, что каждому флагу соответствует ортонормированный репер и наоборот, каждому такому реперу по указанному правилу однозначно соответствует флаг.

Теорема 3. Пусть даны два флага и . Тогда существует единственное движение g, переводящее флаг F во флаг F': , , .

Доказательство. Рассмотрим ортонормированные реперы R и R', соответствующие флагам F и F'. Координаты x и у точки M, точек луча l и полуплоскости флага F в репере R соответственно удовлетворяют условиям: , и . Таким же условиям подчиняются координаты точки M', точек луча l' и полуплоскости ' флага F' в репере R'. Из теоремы 2 и её следствия вытекает, что существует единственное движение g, переводящее R в R', при котором сохраняются координаты точек относительно этих реперов. Отсюда следует, что существует единственное движение, переводящее флаг F во флаг F'. Теорема доказана.

Ведем следующее определение.

Определение 4. Две фигуры плоскости назовем геометрически равными (или просто равными) если существует движение плоскости, переводящее первую фигуру во вторую.

Ясно, что равные фигуры обладают такими свойствами, которые не меняются (инвариантны) при преобразованиях из группы движений. Введенное определение полностью согласуется с понятием равенства геометрических фигур, изложенным в большинстве школьных курсов геометрии.

Замечание. Зачастую геометрически равные фигуры называются конгруэнтными

В элементарной геометрии основополагающее значение имеет понятие равенства треугольников, признаки которого используются при доказательстве большого числа планиметрических и стереометрических теорем. Применяя основное свойство движений, покажем, что два треугольника равны в том и только в том случае, когда выполнен первый признак равенства треугольников.

Теорема 4. Два треугольника равны между собой в том и только в том случае, когда равны их соответственные стороны и углы между ними.

Доказательство. Из определения равенства геометрических фигур непосредственно следует, что два равных треугольника переводятся друг в друга некоторым движением точек плоскости. Это же движение переводит друг в друга все соответствующие элементы треугольников. Поэтому соответственные стороны и углы равных треугольников равны между собой.

Обратно. Пусть даны два треугольника АВС и А'B'C', стороны и углы которых удовлетворяют условию: , , . Докажем, что существует такое движение g плоскости, при котором: . Присоединим к треугольнику АВС флаг , таким образом, чтобы точка флага совпадала с вершиной A, луч l содержал вершину B, a вершина С принадлежала полуплоскости . Аналогичным образом присоединим флаг к треугольнику A'B'C' (рис. 136). Пусть R и R' - ортонормированные реперы, соответствующие флагам F и F'. Тогда координаты вершин первого треугольника относительно репера R имеют вид: , где , - ориентированный угол BAC треугольника АВС. Так как по условию , и , то в репере R вершины А', В' и C' второго треугольника имеют те же координаты . Из теоремы 3 и вытекает, что существует движение g, переводящее репер R в R', при котором, при котором, как следует из следствия к теореме 2, сохраняются координаты точек. Поэтому . Теорема доказана.

Можно также показать, что для любых двух равных многоугольников справедливо утверждение: два многоугольника равны в том и только в том случае, когда равны их соответствующие стороны и углы.

Свойства движения общего вида. Основная теорема движений. Равенство геометрических фигур