Глава 15. ИНДУКТИВНАЯ ДЕМОНСТРАЦИЯ
Общее в частных случаях познается путем сравнения.
Сократ
Индуктивная демонстрация наравне с дедуктивной является главным видом речевого доказательства. В основе индуктивной демонстрации лежит понятие индукции (лат. induction — наведение) — в широком смысле слова — форма мышления, посредством которой мысль наводится на какое-либо общее правило, общее положение, присущее всем единичным предметам какого-либо класса.
Индуктивное умозаключение сложилось в процессе многовековой практики людей. В течение десятков тысяч лет человек много раз замечал и фиксировал такие, например, явления: когда при изготовлении каменного топора быстро шлифуется один камень о другой, то оба трущиеся камня нагреваются; когда при сооружении лодки выскабливается древесина из ствола дерева, то нагреваются и дерево, и нож; когда во время постройки жилища приходится быстро волочить большое сухое дерево по другим сухим деревьям, то трущиеся стороны деревьев становятся горячими; если быстро покрутить палку в углублении деревянного бруска, то от получившейся в результате трения теплоты может вспыхнуть сухой прут; зимой, когда замерзнут руки, стоит потереть их друг о друга, и они быстро начинают согреваться и т.п.
Так, исследуя явления природы, наблюдая и изучая отдельные предметы, факты и события, люди приходили к общему правилу. Этот процесс познания совершался индуктивно: от единичных суждений человек шел к обобщениям, в которых выражалось знание общего правила, общей закономерности.
Никакое теоретическое мышление вообще не было бы возможно, если бы человек индуктивным путем не приходил к установлению тех или иных общих положений. Пока человек не изучил на практике различные металлы, он не знал общего правила, по которому можно определить пригодность того или иного металла, например, для изготовления сверла или ножа. Пока человек не познакомился с отдельными жидкостями, он не мог знать, что "все жидкости упруги". Пока человек в процессе трудовой деятельности не начал исследовать отдельные газы, он и представления не имел об общем законе равномерного давления газов на стенки сосудов.
Изучение любых областей внешнего мира человек начинает с исследования единичных предметов, а не с изучения общих положений, общих закономерностей. Это не означает, конечно, что из одних общих правил нельзя логически вывести другие. Это не означает также, что то или иное общее правило нельзя почерпнуть из книги или из беседы с другим человеком. Но при этом ясно одно: новые общие правила, полученные логическим путем, не могли бы возникнуть, если бы не было тех общих положений, которые легли в их основу. А исходные общие положения вырабатываются в процессе человеческого опыта.
Одним из первых, кто начал исследовать индуктивные приемы мышления, был Сократ. Знания, говорил он, есть понятия об общем, а общее в частных случаях познается путем сравнения этих случаев между собой, т.е. от частного надо идти к общему. Сократ изобрел ставший хорошо известным метод майевтики (в пер. с греч. — акушерское, повивальное искусство), который является одним из приемов установления истины. Метод Сократа заключается в следующем: с помощью искусно поставленных вопросов и полученных ответов привести собеседника к истинному знанию. Подобно повивальной бабке, помогающей рождению ребенка, Сократ помогал "рождению мысли". Майевтика была родственна элементарным индуктивным приемам. Сократ искал общее в частных случаях путем сравнения этих случаев между собой.
Майевтика всегда выступала в сочетании с другими приемами сократовского метода: 1) иронией, заключающейся в том, что собеседника уличают в противоречивости, а следовательно, в незнании; 2) индукцией, требующей восходить к общим понятиям от обычных представлений, единичных примеров из обыденной жизни; 3) дефиницией, означающей постепенное восхождение к правильному определению понятия в результате исходных определений.
Спор по методу майевтики должен идти таким образом: от собеседника требуют дефиниции (определения) обсуждаемого вопроса; если ответ оказывается поверхностным, собеседники привлекают примеры из повседневной жизни и уточняют первое определение; в результате получается более правильная дефиниция, которая снова уточняется с помощью новых примеров, и так до тех пор, пока не "родится" истинная мысль.
Таким образом, метод майевтики включал в себя элементарные индуктивные приемы. Указав на то, что Сократ стремился делать логические умозаключения, Аристотель писал: "И по справедливости две вещи надо было бы отнести за счет Сократа — индуктивные рассуждения и образование общих определений..." Аристотель много занимался проблемами теории индукции. Он выявил такие виды индукции, как индукция через простое перечисление и неполная индукция. Индукцией особенно заинтересовались в XVII — XVIII вв., когда быстро начали развиваться естественные науки.
В узком смысле слова термин индукция имеет три значения.
Первое значение — индуктивное умозаключение — такое умозаключение, в результате которого на основании знания об отдельных предметах данного класса получается общий вывод, содержащий какое-либо знание о всех предметах класса. Рассмотрим, например, два следующих рассуждения.
Первое рассуждение:
Натриевая селитра хорошо растворима в воде;
Калиевая селитра хорошо растворима в воде;
Аммиачная селитра хорошо растворима в воде;
Кальциевая селитра хорошо растворима в воде;
Никаких иных селитр больше неизвестно;
Все селитры хорошо растворимы в воде.
Второе рассуждение:
Круг пересекается прямой в двух точках;
Эллипс пересекается прямой в двух точках;
Парабола пересекается прямой в двух точках;
Гипербола пересекается прямой в двух точках;
Круг, эллипс, парабола и гипербола —
это все виды конических сечений;
Все конические сечения пересекаются прямой
в двух точках.
Данные умозаключения различаются по содержанию. Форма же связи мыслей в них одна и та же. В обоих случаях рассуждение развивается индуктивно, т.е. от знания об отдельных предметах к знанию о классе, от знания одной степени общности к новому знанию большей степени общности. В индуктивном умозаключении возможен ход мысли не только от отдельных предметов к общему, но и от подклассов к общему.
Индуктивное умозаключение выступает в двух видах: полная индукция и неполная индукция. Полной индукцией называется такой вид индуктивного умозаключения, в результате которого делается общий вывод обо всем классе каких-либо предметов на основании знания о всех без исключения предметах этого класса.
Например:
В понедельник на прошлой неделе шел дождь;
Во вторник шел дождь;
В среду шел дождь;
В четверг шел дождь;
В пятницу шел дождь;
В субботу шел дождь;
В воскресенье шел дождь;
На прошлой неделе все дни шел дождь.
Зная, что неделя не имеет никаких других дней, кроме упомянутых в посылках, вполне правомерно сделать вывод: на прошлой неделе все дни шел дождь.
В результате полной индукции получено в первых двух рассмотренных примерах знание о том, что все селитры хорошо растворимы в воде, а также что все конические сечения пересекаются прямой в двух точках. Полная индукция характеризуется тем, что общий вывод извлекается из ряда суждений, сумма которых полностью исчерпывает все случаи данного класса. То, что утверждается в каждом суждении о каждом отдельном предмете данного класса, в выводе относится ко всем входящим в него предметам. Формула полной индукции такова:
S 1 есть Р;
S 2 есть Р;
S 3 есть Р;
но S 1 , S 2 , S 3 исчерпывают весь класс;
Все S есть P .
Полную индукцию Аристотель называл "силлогизмом по индук ции". Некоторые логики, приводя такой пример:
Меркурий, Венера, Земля и проч. все движутся вокруг Солнца
с запада па восток;
Меркурий, Венера, Земля и проч. суть все известные планеты;
Все известные планеты движутся вокруг Солнца с запада на восток,
считают, фактически следуя Аристотелю, что полная индукция сходна по форме с силлогизмом третьей фигуры, а именно Darapti (см. выше), в котором средний термин состоит в данном примере из группы известных планет.
Другие логики видели в полной индукции разделительный силлогизм (см. выше). Приведенный выше пример они представляли в следующей форме:
Планета есть или Меркурий, или Венера, или Земля, или проч.;
Но Меркурий движется вокруг Солнца с запада на восток;
Венера движется вокруг Солнца с запада на восток и проч.;
Все известные планеты движутся вокруг Солнца с запада на восток.
Посредством полной индукции может быть достигнуто так называемое соединительное доказательство. Например, для доказательства теоремы "всякий вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу", приводятся три случая: 1) когда вписанный угол составлен из диаметра и хорды; 2) когда он составлен из двух хорд, между которыми находится центр круга; 3) когда он составлен из двух хорд, между которыми не находится центр круга. Во всех этих случаях теорема правильна. Никаких других случаев представить себе нельзя. Следовательно, при всех возможных положениях теорема правильна, т.е. вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
Надо знать, что иногда в полной индукции допускается логическая ошибка. Заключается она в следующем. Рассмотрев ряд суждений об отдельных предметах данного класса или об отдельных видах данного рода, мы формулируем общий вывод, не проверив того, полностью ли исчерпаны все случаи данного класса. Между тем заключение в полной индукции правильно только в том случае, если в частных посылках дан полный перечень всех предметов данного класса.
Знания, полученные в результате полной индукции, основанной на истинных посылках, вполне достоверны. Но полная индукция не дает знания о других предметах, которые не встречаются в посылках. В самом деле, общий вывод имеет отношение только к тем предметам, которые мы наблюдали. Значение же полной индукции заключается в том, что, не вооружая нас знанием о новых предметах, она раскрывает рассматриваемые предметы в некотором новом отношении. В выводе мы судим о тех же предметах, но взятых уже в качестве класса, тогда как в каждой частной посылке мы судили об одном предмете и только о нем.
Изучением закономерностей умозаключений по полной индукции занимался русский логик М.Н. Каринский. Он писал о том, что кажется, будто вывод полной индукции есть просто сокращенное выражение существовавшего уже знания, а не новая истина, так как оно не простирается далее тех предметов, о которых говорят посылки. Однако видимо, это не так: "Новость мысли зависит не от того только, что в ней определение распространяется на новый реальный предмет; мысль будет новой, если определение дано было уже предмету, но он характеризовался иначе и поэтому представлялся нам иным предметом. В суждении о логической группе мы приписываем определение не только предметам, характеризованным известными признаками, но всем предметам, так характеризованным; произнося суждение о такой группе, мы утверждаем, что существования в предмете признаков группы совершенно достаточно для отнесения к нему определения, приписанного к группе. Но этот оттенок мысли никак не заключается в суждениях, в которых мы приписываем это определение частным предметам".
Конечно, заключает Каринский, для науки наиболее ценны суждения о таких логических группах, которые обнимают неисчислимое количество экземпляров. И естественно, что выводы на основании полной индукции, в которых суждения частные суть суждения об экземплярах, не могут иметь сколько-нибудь значительного применения в науке. Но нельзя забывать, что полная индукция может оперировать не только с экземплярами, но и с видами, а это неизмеримо увеличивает число предметов, с которыми приходится иметь дело. Такие выводы на основании полной индукции от видов к классу применимы в науках.
Неполной индукцией называется вид индуктивного умозаключения, в результате которого получается какой-либо общий вывод обо всем классе предметов на основании знания лишь некоторых однородных предметов данного класса. Например:
Гелий имеет валентность, равную нулю;
Неон тоже;
Аргон тоже;
Но гелий, неон и аргон — инертные газы;
Все инертные газы имеют валентность, равную нулю.
Здесь общий вывод сделан обо всем классе инертных газов на основании знания о некоторых видах, т.е. части этого класса. Поэтому неполную индукцию иногда называют расширяющей индукцией, так как она в своем заключении содержит большую информацию, чем та, которая содержалась в посылках. Схема умозаключения неполной индукции такова:
A 1 имеет признак В;
А 2 имеет признак В;
А 3 имеет признак В;
Следовательно, и А 4 и вообще все А имеют признак В.
В неполной индукции на основании наблюдения некоторого количества известных фактов приходят к выводу, который распространяется и на другие факты или предметы данной области, еще неизвестные нам.
Неполная индукция выступает в двух видах.
- Неполная индукция, основанная на знании необходимых признаков и причинных связей предметов, явлений, — вид индуктивного умозаключения, в результате которого получается какой-либо общий вывод обо всем классе предметов на основании знания необходимых признаков и причинных связей лишь некоторых предметов данного класса.
- Неполная индукция через простое перечисление, в котором не встречается противоречащих случаев, — вид индуктивного умозаключения, в результате которого получается какой-либо общий вывод обо всем классе предметов на основании знания лишь некоторых предметов данного класса, при том условии, что не встречалось противоречащих случаев. Неполная индукция через простое перечисление дает нам возможность перейти от известных фактов к неизвестным, и этим самым с ее помощью мы расширяем наши знания о мире.
Но такая индукция не дает в заключении, в общем правиле достоверных выводов, а только приблизительные, вероятные. Ведь выводы в данном случае базируются на наблюдении далеко не всех предметов данного класса. И могло случиться, что противоречащий пример случайно не попался нам на глаза. А часто это бывает только потому, что мы еще плохо знаем исследуемую область явлений.
Железо — твердое тело;
Медь — твердое тело;
Цинк — твердое тело;
Золото — твердое тело;
Алюминий — твердое тело;
Железо, медь, цинк, золото, алюминий — металлы;
Все металлы — твердые тела.
Вывод сделан по методу индукции через простое перечисление, в котором не встречается противоречащих случаев. Исследован ряд металлов, а вывод сделан в отношении всех. В результате получился ошибочный вывод, так как, например, ртуть — металл, но она — жидкое тело.
Индукция через простое перечисление, принося известную пользу в нашей повседневной житейской практике, может применяться лишь на начальной ступени исследования, когда происходит процесс накопления фактического материала и совершается первый отбор нужных данных. Она называется популярной индукцией. Издавна популярная индукция считалась самым ненадежным видом неполной индукции. Вероятность ее заключения крайне слабо обоснована, так как единственное основание для ее вывода состоит в незнании случаев, которые противоречили бы ее заключению.
Заключение, полученное в результате такой индукции, постоянно находится под угрозой опровержения его истинности, стоит только обнаружиться противоречащему случаю, как это было с австралийскими черными лебедями, открытие которых опрокинуло державшееся столетиями утверждение, что все лебеди белые. В речевой коммуникации желательно пользоваться только полной индукцией, потому что неполная индукция действительно часто приводит к доказательству неверных тезисов. Рассмотрим пример. Во многих университетах существует правило, в соответствии с которым сильные группы получают лучших преподавателей, которые, таким образом, учат самых способных. Это оправданная педагогическая установка, поскольку усилия профессионала высокого класса, направленные на человека, которому это, может быть, и не нужно, плода не принесут. Это нецелесообразно: вопрос упирается в то, кто что может взять от образования. Пусть лучше крупный специалист в определенной области научит троих, но таких, которые станут его последователями. В этой связи важными являются анализ успеваемости каждого студента и оценка учебных групп по результатам сессии. Предположим, на заседании кафедры английского языка рассматривается успеваемость студентов первой английской группы, которая состоим из девяти человек. Куратор курса дает им следующую характеристику:
Афанасьев И. — очень слабый студент, плохо подготовленный;
Броневой М. — обладает очень посредственными способностями;
Гальперина Т. — усидчивая студентка, но с неразвитым мышлением;
Ежов К. — ленив, пропускает много занятий;
Климов В. — крайне посредственный студент, с трудом сдал сессию на удовлетворительно;
Михенькова С. — легкомысленная студентка, не имеющая склонности к интеллектуальному труду;
Орлов А. — с большими усилиями справляется с материалом, не сдал один экзамен.
После чего куратор говорит: "Я думаю, достаточно. Группа очень слабая".
А теперь представьте, что оставшиеся два студента (Шевцов С. и Юдин Т. — их не рассмотрели, так как фамилии начинаются с последних букв алфавита) — одни из самых блестящих на курсе.
Сотрудники кафедры не задают куратору дополнительных вопросов, и принимается решение, в соответствии с которым в следующем семестре первую английскую группу будет учить молодой неопытный педагог. Что происходит в этой ситуации? Шевцов и Юдин не получают полноценного образования. Может так оказаться, что английский язык они знают лучше нового педагога. Кроме того, в их присутствии другие студенты чисто психологически "немеют" на занятиях, чтобы не потерять авторитета (по этой причине в высшей школе группы формируют по возможности однородные). Административное решение, безусловно, было принято неверное, так как в результате неполной индукции был доказан ложный тезис: "Первая английская группа — очень слабая". Верный же тезис таков: "Первая английская группа неровная: семь студентов — очень слабые, а двое — сильные". И этот тезис был бы доказан при применении полной индукции. Административный вывод соответственно тоже оказался бы другим: "Первую английскую группу следует расформировать, переведя студентов Шевцова и Юдина в другую, сильную группу, которую возьмет лучший преподаватель кафедры".
Второе значение термина индукция — метод исследования, заключающийся в следующем: для того чтобы получить общее знание о каком-либо классе предметов, необходимо исследовать отдельные предметы этого класса, найти в них общие существенные признаки, которые и послужат основой для знания об общем, присущем данному классу предметов. Индуктивный метод исследования заключается также в следующем: исследователь переходит от знания менее общих положений к знанию более общих положений.
Третье значение термина индукция — форма изложения материала в книге, лекции, докладе, беседе, когда от единичных и менее общих положений идут к общим заключениям, выводам, положениям.
Интерес к проблемам индуктивной логики особенно, как мы уже говорили, проявился в XVII — XVIII вв. Английский философ-материалист Фр. Бэкон в своем трактате "Новый Органон" высказал новый взгляд на индукцию. Признав индукцию через простое перечисление ненадежной, он поставил задачу отыскания форм, т.е. чего-то устойчивого в явлениях как основу их внешних связей.
Отыскивать формы Бэкон предлагал с помощью ряда приемов, которые он называл "вспоможествованием" разуму. Найденные факты требовалось распределять по таблицам "присутствия", "отсутствия" и "степеней". В результате, как думал Бэкон, можно будет выявить необходимую связь между явлениями. В бэконовской схеме все бесконечное многообразие явлений мира сводилось к небольшому числу форм. Бэкон призывал изучать факты, ставить научные эксперименты.
Идеи Бэкона, а также английского естествоиспытателя Дж. Гершеля, развил английский логик и философ-позитивист Джон Стюарт Милль. Он предложил простейшие логические методы установления причинных связей между явлениями и вытекающими из них следствиями. Цель этих методов — выяснение вопроса о том, можно ли считать предшествующее явление причиной последующего или нет. Причиной называется такое явление А, при наличии которого имеет место другое явление В, которое называется действием причины А, а при отсутствии явления А отсутствует и явление В.
Предлагается пять логических методов исследования причинных связей, которые выражены в виде следующих правил.
- Метод сходства: "Если два или более случаев подлежащего исследованию явления имеют общим лишь одно обстоятельство, в котором только и согласуются все эти случаи, то оно есть причина или следствие данного явления".
- Метод различия: "Если случай, в котором исследуемое явление наступает, и случай, в котором оно не наступает, сходны во всех обстоятельствах, кроме одного, встречающегося лишь в первом случае, то это обстоятельство, в котором одном только и разнятся эти два случая, есть следствие, или причина, или необходимая часть причины явления".
- Соединительный метод сходства и различия: "Если два или более случая возникновения явления имеют общим одно лишь обстоятельство, и два или более случая возникновения того или иного явления имеют общим только отсутствие того же самого обстоятельства, то это обстоятельство, в котором только и разняться оба ряда случаев, есть или следствие, или причина, или необходимая часть причины изучаемого явления".
- Метод сопутствующих изменений: "Всякое явление, изменяющееся определенным образом всякий раз, когда некоторым особенным образом изменяется другое явление, есть либо причина, либо следствие этого явления, либо соединено с ним какою-либо причинной связью".
- Метод остатков: "Если из явления вычесть ту его часть, которая, как известно из прежних индукций, есть следствие некоторых определенных предыдущих, то остаток данного явления должен быть следствием остальных предыдущих".
Милль утверждает возможность подходить к изучаемому явлению и рассматриваемым в связи с ним обстоятельствам как к отдельным, изолированным событиям и говорить о связи отдельной причины и отдельного действия, т.е. отвлекаться от взаимного влияния обстоятельств данного явления, от обратного действия следствий на причины, между тем как данное явление может быть порождено, как это часто бывает, не одной какой-либо причиной, а совместным действием ряда причин, находящихся между собой в сложных отношениях. Это упрощение обусловливает то, что данные методы, как и любые методы индуктивного исследования, дают в заключении вероятное знание. Так, степень вероятности выводов по методу сходства определяется числом исследованных случаев, но даже если их очень много, то все равно трудно решить, является ли причиной данного явления единственное обстоятельство, оказавшееся сходным во всех случаях, или совместное действие этого единственного обстоятельства и всех остальных обстоятельств. Более вероятное знание дает метод различия. Это объясняется тем, что данный метод сочетается с экспериментом. Но вводимое в эксперимент явление может оказаться сложным, и потому останется невыясненным, является ли причиной все явление или какая-либо часть. Вероятностный характер носят и другие методы.
Милль разъединил индукцию и дедукцию, что привело его к "всеиндуктивизму". О единстве индукции и дедукции прекрасно сказано еще Аристотелем: "Общее нельзя рассматривать без посредства индукции".
В связи со всеми имеющимися у исследователя средствами познания — дедукцией, аналогией, гипотезой и др. — методы исследования причинной связи традиционной логики широко применяются в качестве вспомогательных орудий нахождения причинных зависимостей.
Причинные связи издавна волновали умы людей. Уже в сочинениях древнегреческого философа V в. до н.э. Аристиппа имелось предвосхищение индуктивных приемов исследования причинных связей.
Математическая логика также занимается изучением логического механизма индуктивных умозаключений, используя для этого методы математической логики и теории вероятностей.
Многие ученые полагают, что в настоящее время перед индуктивной логикой ставится задача не изобретать правила открытия научных истин, а найти объективные критерии подтверждения гипотез их империческими посылками и, если возможно, определить степень, в которой эти посылки подтверждают гипотезу. В соответствии с этим должна изменяться форма самой индуктивной логики, ибо она становится вероятностной логикой, а классическая индуктивная логика оказывается частным случаем вероятностной логики. Задача вероятностной логики — оценить вероятность обобщения, так как установление достоверности возможно лишь в крайне простых случаях.
Безошибочность вывода в индуктивном умозаключении зависит, прежде всего, от истинности посылок, на которых строится заключение. Если вывод основан на ложных посылках, то и он ложен. Ошибки в индуктивных умозаключениях очень часто объясняются также тем, что в посылках не учтены все обстоятельства, которые являются причиной исследуемого явления.
Но ошибки могут проникать в индуктивные выводы и тогда, когда посылки являются истинными. Это бывает в тех случаях, когда мы не соблюдаем правил умозаключения, в которых отображены связи единичного и общего, присущие предметам и явлениям окружающего мира. Первая ошибка, связанная с нарушением правил самого хода индуктивного умозаключения в связи с непониманием закона достаточного основания, известна издавна под названием "поспешное обобщение" (лат. fallacia fictae universalitatis ). Существо ошибки заключается в следующем: в посылках не учтены все обстоятельства, которые являются причиной исследуемого явления.
Еще более распространенной в индуктивных выводах является ошибка, также связанная с нарушением закона достаточного основания, которая называется ошибкой заключения по формуле: "после этого, стало быть, по причине этого" (лат. "Post hoc, ergo propter hoc"). Источник этой ошибки — смешение причинной связи с простой последовательностью во времени. Иногда кажется, что если одно явление предшествует другому, то оно и является его причиной. Но это не всегда так. Каждые сутки люди наблюдают, что за ночью следует день, а за днем — ночь. Но если бы на основании этого кто-нибудь стал утверждать, что ночь есть причина дня, а день — причина ночи, то тот оказался бы рассуждающим по формуле "после этого, стало быть, по причине этого". В самом деле, ни ночь не является причиной дня, ни день не является причиной ночи. Смена дня и ночи есть результат суточного вращения Земли вокруг собственной оси. Следовательно, неправомерно заключать о причинной связи двух явлений только на том основании, что одно явление происходит после другого.
Индуктивное доказательство применяется во всех науках, когда тезис является общим суждением. Вот пример индуктивного доказательства тезиса о том, что во всех треугольниках сумма внутренних углов равна двум прямым.
Аргументы: "в остроугольных треугольниках сумма внутренних углов равна двум прямым"; "в прямоугольных треугольниках сумма внутренних углов равна двум прямым"; "в тупоугольных треугольниках сумма внутренних углов равна двум прямым".
Рассуждение: "поскольку, кроме остроугольных, тупоугольных и прямоугольных треугольников, нет больше никаких треугольников, а во всех остроугольных, тупоугольных и прямоугольных треугольниках сумма внутренних углов равна двум прямым, то, следовательно, во всех треугольниках сумма внутренних углов равна двум прямым".
Существо такого доказательства заключается в следующем: надо получить согласие своего собеседника на то, что каждый отдельный предмет, входящий в класс предметов, отображаемый в общем суждении, имеет признак, зафиксированный в нем. Когда согласие на это получено, тогда с необходимостью вытекает истинность тезиса: раз каждый предмет в отдельности имеет этот признак, то естественно, что и все данные предметы имеют этот признак.
Резюмируя, следует сказать, что индуктивное доказательство выводит наличие некоторого свойства S у множества М, состоящего из n элементов, на основании того, что каждый из этих элементов обладает свойством S . Если мы хотим сделать заключение о целом множестве объектов (людей, предметов и т.д.), мы должны рассмотреть каждый элемент этого множества. А отсюда делается естественный и простой вывод: индуктивному доказательству подвергаются только те множества, которые имеют малое количество элементов. Если множество имеет бесконечное количество элементов, строгое индуктивное доказательство построить невозможно. Если количество элементов множества очень велико, но конечно, строгое индуктивное доказательство построить можно, но это очень трудоемкая, а потому обычно малоцелесообразная деятельность, так как каждый элемент в отдельности следует оценить с точки зрения наличия искомого признака. Поэтому строгое индуктивное доказательство распространяется только на так называемые маломощные множества (под мощностью множества понимается количество элементов, входящих в него). Множество мощностью 4 легко подвергается индуктивному доказательству, множество мощностью 100 — уже достаточно трудно, а множество мощностью 10000 почти не подвергается такому доказательству. Индуктивным способом невозможно доказать, скажем, тезис о том, что все москвичи умеют говорить по-русски. Но очень легко можно доказать тезис о том, что в определенной комнате нет ни одного битого стекла, если в этой комнате, скажем, два окна, каждое окно имеет четыре стекла (всего стекол, таким образом, восемь). Можно рассмотреть первое стекло — нет трещин. Рассмотреть второе стекло — нет трещин и т.д. Удостоверившись, что каждое стекло — целое, можно сделать общий вывод: в этой комнате нет ни одного битого стекла, что важно, например, в условиях надвигающейся зимы для принятия решения о замене стекол в помещении.
Наблюдения показывают, что индуктивное доказательство часто вызывает затруднение. Приведем два примера.
- У комнатного цветка 20 листьев. Посмотрим на первый лист: он живой. Посмотрим па второй лист: он живой и т.д. Посмотрим на двадцатый лист: он живой. Значит, можно сделать вывод, что цветок жив. Это неправильно. Ведь если у цветка хотя бы один листик жив, то весь цветок является живым (приведено излишнее доказательство). В логике эта ошибка звучит так: "кто чрезмерно доказывает, тот ничего не доказывает" (лат. qui nimium probat , nihil probat ) — когда доказывается слишком много, из данных оснований следует не только тезис, но и какое-нибудь другое (иногда противоположное или ложное) положение.
- Рассмотрим тезис: Семья Петровых — хорошая. Отец — академик. Мать — профессор. Дочь — очень способная девушка, аспирантка. Сын — подающий надежды молодой физик. Доказательство не получается, потому что хорошая семья — это семья, в которой сохраняются доброжелательные человеческие отношения. Чтобы доказать индуктивным способом искомый тезис, надо установить пары: мама — дочка, мама — сын, папа — дочка, папа — сын, сын — дочка, папа — мама. После этого проанализировать отношения в каждой паре, признать эти отношения благополучными и тогда сделать заключение, что это хорошая семья (и то это будет достаточно неубедительно). Гораздо легче доказать тезис: В семье Петровых все имеют высшее образование. А критерий быть хорошей не является формальным (это вопрос интерпретации), кроме того, слово хороший многозначно. Один человек, наблюдая семью, назовет отношения в ней прекрасными, другой сочтет неблагополучными. Семейные отношения бесконечно сложны: даже драка может быть свидетельством любви. Подобные тезисы лучше оставлять без доказательства. Их истинность или ложность докажет сама жизнь.