<< Пред. стр. 2 (из 4) След. >>
Список литературы по разделу
1. Вычисляется значение М-статистики (Мнабл.);
2. Мнабл. сравнивается со значениями ma и mb в строке k табл. 12 приложения; если при всех С1 величина ma ? M, то гипотезу о равенстве дисперсий Н0 отвергают, если же при всех С1 имеет место М ? mb, то Н0 не отвергается.
3. В тех случаях, когда max ma > M ? min mb, вычисляют С1 и по табл. 12, приложения находят ma(?; k; C1) и mb(?; k; C1); если ma(?; k; C1) ? M, то Н0 отвергается; если же М < mb(?; k; C1), то Н0 не отвергается.
4. При ma(?; k; C1) > M ? mb(?; k; C1) вычисляется значение m(?); если m(?) ? M, то Н0 отвергается; если же M < m(?), то Н0 не отвергается.
Пример 2. По данным табл. 11 проверить однородность оценок дисперсий экспорта продовольственных товаров и сырья для их производств, тыс. долл [17], из субъектов Российской федерации в 2000 г.
Таблица 11
Экспорт продовольственных товаров и сырья для их производства из субъектов Российской Федерации в 2000 г.
№ п/п
Субъект Российской Федерации
Экспорт (тыс. долл)
1
Субъекты РФ, экспортирующие максимум товаров
m*1 (y)= 151,7
Москва
152,2
Камчатская область
115,0
Ростовская область
187,8
2
Северо-Западный федеральный округ
m*2 (y) = 34,9
Санкт-Петербург
54,7
Калининградская область
34,5
Мурманская область
37,5
Новгородская область
13,0
3
Южный федеральный округ и Самарская область
m*3 (y) = 31,6
Краснодарский край
65,6
Ставропольский край
23,0
Астраханская область
16,2
Московская область
57,6
Волгоградская область
16,7
Самарская область
26,9
Белгородская область
15,4
4
Уральский и Сибирский федеральный округ
m*4 (y) = 31,7
Курганская область
40,9
Челябинская область
12,4
Алтайский край
34,9
Новосибирская область
17,0
Омская область
53,3
5
Дальневосточный федеральный округ
m*5 (y) = 49,5
Приморский край
81,2
Хабаровский край
16,3
Сахалинская область
51,1
Решение. Вычисляя по каждому j-му округу оценки математических ожиданий и дисперсий величин экспорта, их заносят в табл. 12.
Таблица 12
Вычисление параметров для нахождения М-статистики
№
п/п
D*i (y)
ki
1/ki
kiD*i (y)
lnD*i (y)
kilnD*i (y)
1
1325
2
0,5
2650,4
7,1893
14,3786
2
292,9
3
0,33
878,6
5,6797
17,039
3
441,6
6
0,17
2649,7
6,0904
36,5425
4
287,5
4
0,25
1150,0
5,6612
22,6450
5
1054,8
2
0,5
2109,7
6,9611
13,9223
?
17
1,75
9438
104,5274
М-статистика равна
Так как при уровне значимости ? = 0,05 и числе степеней свободы k =5 - 1 = 4 величина М-статистики mb(0,05; 4; C1) при любых C1 больше Мнабл. (по табл. 12 приложения минимальное значение mb(0,05; 4; 0,0) = 7,81), то гипотеза об однородности дисперсий не отвергается.
Замечание 1. Если предположить, что наблюдаемое значение М-статистики получилось равным 8,3, тогда необходимо было бы вычислить значение С1, оно было бы равно:
Используя линейную интерполяцию, по табл. 12 приложения получают mb(0,05; 4; 1,69) = 8,41. Поскольку оно превышает Мнабл., то и в этом случае гипотеза об однородности дисперсий не отвергалась бы.
2. Если предположить, что наблюдаемое значение М-статис-тики Мнабл. = 8,5, т. е. согласно табл. 12 приложения получится, что mb < Mнабл. < ma, то сначала нужно вычислить С3, С, ?С:
.
Далее вычисляется величина m(?):
Поскольку предполагаемое Мнабл = 8,5 < m(?) = 9,01, то гипотеза об однородности дисперсий и в этом случае не отвергалась бы.
2. АНАЛИЗ ФАКТОРОВ, ОБУСЛАВЛИВАЮЩИХ УСПЕХ УПРАВЛЕНИЯ МАРКЕТИНГОМ
2.1. Оценка значимости местонахождения пункта продаж на средние цены автомобилей
При воздействии на систему множества факторов (оцениваемых количественно или качественно) устанавливается связь между ними и признаком. Факторы - независимые случайные переменные, признак - зависимая случайная переменная. В качестве характеристики изменения признака используется полная дисперсия. Задача дисперсионного анализа - разложение полной дисперсии на составляющие:
, (2.1)
где - полная дисперсия, характеризующая изменчивость признака у в данной серии экспериментов; - cоставляющая полной дисперсии, обусловленная изменчивостью i-го фактора или взаимодействия факторов; ?i - коэффициент, характеризующий объем наблюдений; - дисперсия, характеризующая ошибку эксперимента и действие неучтенных факторов
Для решения вопроса о том, существенно ли влияние данного фактора на признак, используется критерий Фишера:
, (2.2)
где ? - уровень значимости, характеризующий вероятность, с которой определяется существенность исследуемого фактора; fi - число степеней свободы дисперсии (у), характеризующее количество информации, использованное для ее вычисления; fош - число степеней свободы дисперсии , характеризующее количество информации, использованное для ее определения, т.е. значимость оценивается на фоне шумового поля, создаваемого действием неучтенных факторов и ошибки эксперимента.
Модель однофакторного дисперсионного анализа
уik = ? + Ai + ?ik , (2.3)
где уik - значение признака у, когда фактор А находится на i-м уровне при k-м повторении опыта; ? - математическое ожидание признака у, оценка которого вычисляется по результатам всех наблюдений; Аi - влияние на изменчивость признака фактора А, когда он находится на i-м уровне (эффект фактора А); ?ik ошибка эксперимента и действие неучтенных факторов, когда фактор А находится на i-м уровне при k-м повторении опыта.
Для проведения анализа необходимо фактору А придавать различные значения, т. е. исследовать на различных уровнях i,
i = 2, 3,..., а; аmin = 2; k - число наблюдений на каждом уровне, k = 3, 4, ..., n; kmin = 3. В случае однофакторного дисперсионного анализа общее число наблюдений N = a · n.
Проведя опыты, можно найти общую среднюю и средние значения по уровням наблюдений и определить суммарные квадраты.
Q = - полный суммарный квадрат, характеризующий полную изменчивость признака.
- суммарный квадрат, характеризующий отклонения групповых средних от общей средней, он определяет изменчивость признака от действия фактора А и межгрупповой ошибки эксперимента, число степеней свободы f1 = a - 1.
- суммарный квадрат, характеризующий ошибку эксперимента и действие неучтенных факторов внутри групп наблюдений.
Поскольку опыты производятся в однородных условиях (это предпосылка проведения дисперсионного анализа), то межгрупповая дисперсия ошибки эксперимента и действия неучтенных факторов и общая дисперсия ошибки эксперимента и действия неучтенных факторов однородны. По сути, это одна и та же дисперсия, оценки которой вычисляются по разному объему выборок из одной и той же совокупности экспериментальных данных, поэтому ее оценка , где f2 - число степеней свободы, f2 = N - a. Учтя это и определив оценку дисперсии , можно записать
,
откуда
и . (2.4)
Вклад фактора в изменчивость признака вычисляется по формуле
Ввкл = [S2A(y)/S2п(у)]·100 %, (2.5)
где S2A(y), S2п(y) - соответственно оценка дисперсии, характеризующая вклад фактора в изменчивость признака, и полная дисперсия, характеризующая полную изменчивость признака.
Расчетные зависимости для рационального подсчета численных значений суммарных квадратов имеют вид
; ;
. (2.6)
Пример. По данным источника [13] исследовать влияние местонахождения пункта продаж (Минск, Москва) на средние цены (тыс. долл США) легковых подержанных автомобилей марок БМВ, "Опель-Астра", "VW-Гольф", "Форд-Мондео" в ноябре 2000 г., имеющих в первом приближении одинаковое техническое состояние.
В табл. 13 приведены цены на автомобили в Минске и Москве, а также необходимые расчетные параметры.
Таблица 13
Вычисление показателей для расчета влияния местонахождения пункта продаж на средние цены подержанных автомобилей
№ п/п
Местонахождение пункта продаж
Суммы
Минск
Москва
1
2
3
4
1
5,0
6,8
2
3,1
4,1
3
2,3
5,0
4
4,1
5,1
5
5,3
7,2
6
2,8
4,2
1
2
3
4
7
3,4
5,4
8
3,8
5,4
i
3,7
5,4
j
1,1
1,2
?у
29,8
43,2
= 73
?у2
118,6
241,9
= 360,5
(?у)2
888,0
1866,2
= 2754,2
Решение. Приведенные значения параметров вычисляют по следующим формулам:
Вначале проверяют однородность оценок дисперсий по уровням наблюдений. Вычисляют значение F-статистики:
.
Следовательно, оценки дисперсий однородны, дисперсионный анализ можно проводить, поскольку с достаточным уровнем доверительной вероятности неучтенные факторы и неизбежная ошибка эксперимента существенно не повлияли на изменчивость признака.
Значения сумм для первого столбца данных (Минск):
?у = 5,0 + 3,1 + ...+ 3,8 = 29,8;
?у2 = 5,02 + 3,12 +...+ 3,82 =118,6;
(?у)2 = 29,82=888,0.
Для второго столбца (Москва):
?у = 6,8 + 4,1 +...+ 5,4 = 43,2;
?у2 = 6,82 + 4,12 +...+ 5,42 = 241,9;
(?у)2 = 43,22 = 1866,2.
Для третьего столбца (суммы):
= 29,8 + 43,2 = 73;
= 118,6 + 241,9 =360,5;
= 888,0 + 1866,2 =2754,2.
Вычисляют значения суммарных квадратов:
Оценка дисперсии, характеризующая изменение признака от воздействия фактора (местонахождения пункта продаж) и внутригрупповой ошибки эксперимента и действия неучтенных факторов при числе степеней свободы f1 = a - 1 = 2 - 1 = 1
Оценка дисперсии, характеризующей воздействие на признак ошибки эксперимента и действия неучтенных факторов при числе степеней свободы f2 = N - a = 16 - 2 = 14
Значимость фактора (местонахождения пункта продаж) оценивается F-критерием при уровне значимости ? = 0,05 и числах степеней свободы f1 = 1 и f2 = 14 (табл. 10 приложения), проверяется нулевая гипотеза Н0: S21(y) > S22(y) при конкурирующей Н1: S21(y) ? S22(y):
Поскольку значение F-статистики превышает критическое значение Fкр, гипотеза о существенности фактора не отвергается.
Значение оценки дисперсии S2А(у):
Величина оценки полной дисперсии
S2п(у) = 1,26 + 1,16 = 2,42.
Вклад фактора - местонахождения пункта продаж автомобилей - в формирование цены на подержанный автомобиль
Ввкл = (1,26 / 2,42)100% = 52 %.
Следовательно, цена на подержанный автомобиль на 52% зависит от места нахождения пункта продаж.
2.2. Влияние квалификации специалистов на продолжительность технического обслуживания машин
Пример. Исследовать влияние квалификации специалистов, привлекаемых к проведению технических обслуживаний (ТО) машин, на продолжительность ТО. Специалисты разбиты на четыре группы (четыре уровня фактора А) в зависимости от их квалификации, оцениваемой стажем работы по специальности. В первую группу вошли слесари, имеющие стаж работы по специальности - не менее 8 лет, во вторую - не менее 12 лет, в третью - не менее 15 лет, в четвертую - не менее 20 лет. Из 20 автомобилей ЗИЛ-4314 (N = 20), имеющих приблизительно одинаковое техническое состояние, для каждого из специалистов случайным образом выбирается один и подается на таким же образом случайно выбранное рабочее место, причем все рабочие места имеют одинаковое техническое оснащение (эксперименты, поставленные в условиях, обеспечивающих случайный характер их проведения, называются рандомизированными). Результаты эксперимента приведены в табл. 14.
Таблица 14
Продолжительность проведения ТО по группам специалистов, мин
№
машины
Группа специалистов
1
2
3
4
1
56
60
45
42
2
55
61
46
39
3
62
52
45
45
4
59
55
39
43
5
60
56
43
41
Решение. Для упрощения вычислений при ручном счете вычитается из всех данных 50 и формируется табл. 15.
Таблица 15
Расчетные значения параметров дисперсионного анализа
№
машины
Группа специалистов
Суммы
1
2
3
4
1
6
10
-5
-8
2
5
11
-4
-11
3
12
2
-5
-5
4
9
5
-11
-7
5
10
6
-7
-9
42
34
-32
-40
4
386
286
236
340
1248
1764
1156
1024
1600
5544
8,3
13,7
7,8
5,0
Суммы ?yik рассчитываются следующим образом: например, для второго столбца по первой группе специалистов 6 + 5 + +12 + 9 + 10 = 42.
Суммирование полученных значений по горизонтали дает следующий результат:
42 + 34 + (-32) + (-40) = 4.
Суммы рассчитываются так: например, для второго столбца по первой группе специалистов
62 + 52 + 122 + 92 + 102 = 386.
Суммирование полученных значений по горизонтали дает результат
386 + 286 + 236 + 340 = 1248,
который записывается в шестой столбец.
Суммы получают, возводя в квадрат соответствующие суммы по группам специалистов:
422 = 1764; 342 = 1156; (-32)2 = 1024; (-40)2 = 1600.
Суммируя вычисленные значения по горизонтали, получают сумму шестого столбца:
1764 + 1156 + 1024 + 1600 = 5544.
Проверяют однородность оценок дисперсий в соответствии с критерием Кокрена, вычисляют значение G-статистики:
G = 13,7/(8,3 + 13,7 +7,8 + 5,0) = 0,3940 < Gкр (0,05; 4; 4) = 0,6287.
Гипотеза об однородности оценок дисперсий не отвергается, предпосылки дисперсионного анализа не нарушаются, т. е. оценки внутригрупповой и общей дисперсии однородны.
Оценки суммарных квадратов, характеризующие общую дисперсию признака, дисперсию признака от воздействия фактора А, дисперсию признака от воздействия неучтенных факторов и ошибки эксперимента:
Q = 1248 - (42 / 20) = 1247,2; Q1 = (5544 / 5) - (42 / 20) = 1108;
Q2 = 1248 - (5544 / 5) = 139,2.
Оценки дисперсий, соответствующие Q1 и Q2 при числах степеней свободы f1 = а - 1 = 4 - 1 = 3; f2 = N - a = 20 - 4 = 16.
.
Существенность фактора А проверяют с помощью F-критерия:
Значит, влияние квалификации на длительность ТО автомобилей существенно.
Чтобы количественно оценить вклад фактора А (квалификации специалистов) в изменчивость длительности ТО, находят оценки дисперсии вклада фактора А и полной дисперсии:
Вклад фактора А - квалификации специалистов в изменчивость продолжительности ТО
Ввкл = (72,1 / 80,8) 100 % = 89,3 %.
Следовательно, гипотеза о значимости влияния квалификации специалистов на продолжительность технических обслуживаний автомобилей ЗИЛ-4314 не отвергается и продолжительность проведения ТО при данных условиях оснащенности рабочих мест на 89,3 % определяется квалификацией специалистов.
2.3. Оценка существенности влияния двух факторов и их взаимодействия на показатели маркетинга
Модель двухфакторного дисперсионного анализа имеет вид
, (2.7)
где уijk - значение признака у, когда фактор А находится на i-м уровне, фактор В - на j-м уровне при k-м повторении опыта; ? - среднее значение признака по результатам всех опытов; Аi - влияние на изменчивость признака фактора А, когда он находится на i-м уровне (эффект фактора А); Вj - эффект фактора В; АiВj - эффект взаимодействия факторов А и В, когда фактор А находится на i-м уровне, а фактор В - на j-м уровне; ?ijk - эффект ошибки эксперимента и действия неучтенных факторов.
В случае двухфакторного дисперсионного анализа полная дисперсия, обуславливающая изменчивость признака в серии опытов, дифференцируется на составляющие ее дисперсии, обусловленные варьированием независимых случайных переменных (факторов), ошибкой эксперимента и действием неучтенных факторов.
Пример 1. Оценить существенность влияния двух факторов (А - местонахождение пункта продаж автомобилей, В - время, месяц, год) на формирование цены подержанных легковых автомобилей. Данные приведены в табл. 16.
Решение. Вычисляют оценки математических ожиданий и дисперсий по группам наблюдений:
(2.8)
Оценка математического ожидания признака - цены подержанного легкового автомобиля, когда факторы А и В находятся на первом уровне (первый уровень фактора А - местонахождение пункта продаж - Минск, первый уровень фактора В - ноябрь 2000 г.)
Оценка дисперсии
Оценка математического ожидания цены подержанного легкового автомобиля, когда местонахождение пункта продаж - Минск (первый уровень фактора А), а событие происходит в июле 2001 г. (второй уровень фактора В)
Оценка дисперсии цены
Оценка математического ожидания цены, когда местонахождения пункта продаж - Москва (второй уровень фактора А), а распродажа осуществлялась в ноябре 2000 г. (первый уровень фактора В)
Оценка дисперсии цены
Оценка математического ожидания цены, когда факторы А и В находятся на втором уровне (пункт продажи - Москва, событие совершалось в июле 2001 г.)
Оценка дисперсии
Проверка однородности оценок дисперсий осуществляется с помощью критерия Кокрена, вычисляется значение G-статистики:
Поскольку при уровне значимости ? = 0,05, четырех независимых оценках дисперсий (k = 4) и равных числах степеней свободы оценок дисперсий f = 3 критическое значение Gкр(0,05;4;3) = = 0,7814 > Gнабл.= 0,287 (табл. 11 приложения), то гипотеза об однородности оценок дисперсий не отвергается. Дисперсионный анализ можно проводить, так как с достаточно высоким уровнем доверительной вероятности можно предположить, что неучтенные факторы и ошибка эксперимента существенно не повлияли на цену подержанных легковых автомобилей ни в Минске, ни в Москве, ни осенью, ни летом.
Таблица 16
Влияние фактора А - местонахождения пункта продаж и фактора В - времени года на цены подержанных легковых автомобилей
Уровень, сумма фактора В
Уровень фактора А
1
2
1
5,0
6,8
3,1
4,1
2,3
5,0
4,1
5,1
?1у
14,5
21
35,5
35,52 = 1260,25
(?1у)2
210,25
441
170,77
2
5,3
7,2
2,8
4,2
3,4
5,4
3,8
5,4
?2у
15,3
22,2
37,5
37,52 = 1406,25
(?2у)2
234,09
492,84
189,73
29,8
43,2
73,0
888,04
1866,24
2666,50
2754,28
118,64
241,86
360,5
m*11=3,625 D*11=1,39
M*12= 5,25 D*12= 1,27
m*21=3,825 D*21=1,14
M*22= 5,55 D*22= 1,53
Вычисление сумм, представленных в табл. 16, производилось следующим образом.
Суммы для первого уровня фактора В:
?11у = 5,0 + ...+ 4,1 = 14,5; ?12у = 6,8+ ... + 5,1 = 21;
; ;
(?11у)2 = 14,52 = 210,25; (?12у)2 = 212 = 441;
Суммы для второго уровня фактора В:
?21 у = 5,3 + ... + 3,8 = 15,3; ?22 у = 7,2 + ...+ 5,4 = 22,2;
; ;
(?21 у)2 = 15,32 = 234,09; (?22 у)2 = 22,22 = 492,84;
;
Далее рассчитаем суммы по уровням фактора А:
;
Сделаем промежуточную проверку
т. е. 29,8 + 43,2 = 35,5 + 37,5 = 73.
; ; ;;;
;
;
Последняя сумма дает проверку правильности вычислений, так как должно иметь место равенство
Считаем суммы, входящие в формулы для определения суммарных квадратов:
; ;
;
;
Полный суммарный квадрат
=
Суммарный квадрат, характеризующий эффект фактора В - времени года,
=
Суммарный квадрат, характеризующий эффект фактора А - местонахождения пункта продаж,
Суммарный квадрат эффекта взаимодействия
;
Суммарный квадрат, характеризующий ошибку эксперимента и действие неучтенных факторов,
;
Оценки дисперсий, соответствующие суммарным квадратам,
; (2.9)
где f - число степеней свободы дисперсии.
При общем числе наблюдений
N = abn = 2?2?4 = 16,
здесь а - число уровней фактора А, а = 2; b - число уровней фактора В, b = 2; n - число повторений опытов на каждом уровне, n = 4.
f0 = N - 1 = 16 - 1 = 15; f1= b - 1 = 2 - 1 = 1;
f2 = a - 1 = 2 - 1 = 1; f3 = (b - 1)(a - 1) = (2 - 1)(2 - 1) = 1;
f4 = ab(n - 1) = 2?2(4 - 1) = 12.
Оценки полной дисперсии и дисперсий, характеризующих изменчивость признака по всем наблюдениям,
; ; ;
;
Существенность оценок дисперсий проверяют на фоне ошибки эксперимента и действия неучтенных факторов при нулевой гипотезе Н0: S2(y) > S24 (y) и конкурирующей Н1: S2 ? S24(y), используя критерий Фишера:
,
т. е. нуль-гипотезу отвергают при уровне значимости ? = 0,05 и числах степеней свободы f1 = 1 и f4 = 12, принимается конкурирующая гипотеза (фактор времени года незначим).