<< Пред. стр. 1 (из 2) След. >>
Список литературы по разделу
Министерство образования и науки Украины
Приазовский государственный технический университет
Кафедра физики
Лекции по курсу физики
кандидат физико-математических наук,
доцент О.Н.Буланчук,
"ЭЛЕМЕНТЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ"
Мариуполь 2003
Содержание
Введение 2
Постулаты СТО 2
Эффект замедления времени 2
Лоренцово сокращение длины 4
Экспериментальное обоснование эффекта замедления времени и сокращения длины 4
Преобразования Лоренца 5
Основное уравнение релятивистской механики 7
Кинетическая, полная энергия. Энергия покоя. 8
Примеры решения задач 10
Вопросы для самоконтроля. 11
Задачи для самостоятельного решения 12
Литература 12
Элементы специальной теории относительности (СТО).
Введение
Одним из следствий законов Ньютона было уничтожение понятия абсолютного пространства (абсолютного покоя). Это обусловлено тем, что все законы механики инвариантны (имеют одинаковый вид) относительно любых инерциальных систем отсчета, и никакими механическими опытами нельзя определить, движется система или находится в состоянии покоя. Отметим, что сам Ньютон был очень обеспокоен этим неожиданным следствием его механики, поскольку полагал пространство вместилищем вещей, а ход времени -независящим от пространства. С другой стороны, из анализа самого процесса измерения времени, которое производится путем сопоставления длительности данного процесса с эталонным периодическим движением, интуитивно можно сделать вывод о существовании взаимосвязи времени и пространства. Решающим шагом на пути понимания этой связи стал "отрицательный" результат опыта Майкельсона-Морли (1887г.), в котором была сделана попытка обнаружения скорости движения света (электромагнитных волн) относительно мирового эфира. В то время полагали, что светоносный эфир пронизывает все пространство и именно с ним связана изначальная абсолютная система отсчета для всей Вселенной. В эксперименте сопоставлялись скорости света, движущегося под разными углами по отношению к скорости движения Земли. К большому удивлению экспериментаторов, они обнаружили, что скорость света во всех направлениях оказалась одинаковой. Этот результат (об инвариантности скорости света) стал экспериментальной основой специальной теории относительности1.
Постулаты СТО
Постулаты специальной теории относительности:
1. Принцип постоянства скорости света: скорость света одинакова во всех инерциальных системах отсчета.
2. Принцип относительности: все законы физики инвариантны относительно любых инерциальных систем отсчета.
3. Никакие объекты, сигналы, энергия и действие не могут распространяться со скоростью, превышающей скорость света в вакууме м/с, которая является максимальной скоростью в природе (постулат о предельной скорости).
Следует отметить, что третий постулат не является строго обоснованным, однако его правильность косвенно следует из принципа причинности.
Из принципа постоянства скорости света с неизбежностью следует вывод о зависимости промежутков времени и расстояний от выбора инерциальной системы отсчета.
Эффект замедления времени
Покажем, что временной интервал между событиями изменяется при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую и зависит от относительной скорости движения систем отсчета. Для этого рассмотрим следующий мысленный опыт (Рис.1): пусть мы имеем некоторую линейку длины , у нижнего конца которой находится датчик света, а на верхнем конце установлено зеркальце. В момент, когда нижний конец проходит над точкой производится короткая вспышка света (современные источники могут генерировать импульсы длительностью с). Свет, распространяясь вверх, достигает зеркальца, отражается в точке и затем фиксируется датчиком в точке . С точки зрения наблюдателя, движущегося вместе с линейкой, промежуток времени, прошедший с момента испускания и поглощения света, может быть рассчитан по формуле:
Для неподвижного наблюдателя между этими событиями пройдет промежуток времени
.
Из прямоугольного треугольника найдем
Учитывая, что и подставив в , получим:
Подставив в значение из , получим уравнение относительно :
Из найдем соотношение для временных интервалов между данными событиями
.
Из следует, что (поскольку ). Это означает, что в системе координат, относительно которой объект покоится (такая система отсчета называется собственной системой отсчета, а промежуток времени -собственным временем), время течет медленнее, поскольку между одними и теми же событиями (испусканием и регистрацией вспышки света) проходит меньший промежуток времени. Изменение временных интервалов при переходе из одной инерциальной системы координат в другую получило название эффекта замедления времени.
Лоренцово сокращение длины
Покажем, что при переходе из одной инерциальной системы координат в другую расстояния также изменяются. Рассмотрим ситуацию, когда движущаяся линейка (Рис.1) параллельна оси (Рис.2). В этом случае промежуток времени, прошедший с момента испускания и регистрации вспышки света в системе отсчета, относительно которой линейка движется равен
,
где -время, прошедшее с момента вспышки до отражения от зеркальца в точке ,-временной интервал от момента отражения до регистрации в точке . При движении света слева направо правый конец линейки пройдет расстояние , пока будет настигнут вспышкой. После отражения от зеркальца в точке свет будет двигаться навстречу линейке, левый конец которой сместится на расстояние .
Из Рис.2 видно, что
,
,
где -длина линейки в неподвижной системе отсчета. Подставив в , получим:
.
В системе отсчета, которая движется вместе с линейкой, между этими событиями пройдет время
,
где -длина линейки в собственной системе отсчета.
Подставив и в , получим уравнение, связывающее между собой длины линеек:
Из следует, что длина объекта будет короче в системе отсчета, относительно которой он движется (длина объекта в системе отсчета, относительно которой он покоится, называется собственной длиной ). Уменьшение размера объекта в направлении его движения по сравнению с его собственной длиной получило название Лоренцова сокращения длины. Этот эффект противоположен по характеру эффекту замедления времени.
Экспериментальное обоснование эффекта замедления времени и сокращения длины
Эффект замедления времени и сокращения длины имеет надежное экспериментальное обоснование как в явлениях микромира (явления распада микрочастиц), так и в макроскопических условиях:
* В течении одной минуты несколько десятков мюонов (-мезонов-нестабильных частиц с зарядом и массой в 207 раз больше массы электрона) пронизывают человеческое тело, оставляя за собой следы из разрушенных молекул и ионизированных атомов. Мюоны образуются в верхних слоях атмосферы на высотах порядка 10км под воздействием космического излучения. Исследования показали, что среднее время жизни медленного (покоящегося) мюона с, а средняя кинетическая энергия космических мюонов эВ. При такой энергии скорость движения мюона м/с, а среднее пройденное расстояние м. Т.е., мюоны не должны были бы долетать до поверхности Земли. С учетом эффекта замедления времени, в системе координат связанной с Землей из получим: с, м, что подтверждается регистрацией мюонов вблизи поверхности Земли. Аналогичные результаты были получены и при исследовании движения пучка -мезонов в циклотроне.
* Для обнаружения релятивистского замедления хода времени в макроскопических условиях измерялась разность времени, которое показывали атомные цезиевые часы, установленные на борту реактивных самолетов, взлетевших одновременно и движущихся со скоростью км/час в восточном и западном направлении (опыты Хафеля и Китинга, октябрь 1971г., США). После приземления разность показаний часов была нс. Теоретическое значение нс удовлетворительно согласуется с данными, полученными экспериментально.
С эффектом замедления времени связан знаменитый парадокс "близнецов". Если один из близнецов братьев (или сестер) остается на Земле, а второй отправляется в длительное космическое путешествие со скоростью, близкой к скорости света, то с точки зрения земного наблюдателя, время в космическом корабле течет медленнее. Когда астронавт возвратится на Землю, он окажется гораздо моложе своего брата-близнеца, оставшегося на Земле. Парадокс заключается в том, что подобное заключение может сделать и второй близнец, находящийся в корабле, полагая, что он находится в состоянии покоя, а его брат удаляется от него вместе с Землей (поскольку все инерциальные системы отсчета равноправны). Для него медленнее течет время на Земле и он может ожидать, что по возвращению на Землю он обнаружит, что его брат-близнец, гораздо моложе его. Разрешение парадокса заключается в том, что вследствие постулата постоянства скорости света, в инерциальных системах отсчета часы не могут быть синхронизированы (сопоставлены) в принципе. Однажды, сопоставив часы во время вылета, близнецы никогда уже не смогут встретиться и определить, кто из них состарился. Если же один из них вернется на Землю, то для этого ему придется сделать разворот, что приведет к возникновению ускорения его системы отсчета. Таким образом, системы отсчета уже не будут эквивалентными, и моложе окажется брат, отправившийся на космическом корабле в путешествие.
Следует отметить, что сокращение длины не есть истинное сокращение "измеренной" длины (необходимо уточнение понятия измерение длины для движущегося объекта). Это связано с тем, что для того, чтобы измерить, нужно вначале увидеть, а для того, чтобы увидеть, свет должен от предмета дойти до наблюдателя. Т.е., требуется конечное время для движения света от объекта до наблюдателя. Таким образом, сокращение представляет собой лишь следствие нашего способа рассматривать материальные объекты, а не какое-то изменение физической действительности.
То, что величины, которые мы называем длиной и временем, становятся короче, или длиннее, как только мы начинаем двигаться, -это реальные свойства не предметов, а пространства-времени.
Преобразования Лоренца2
Приведем упрощенный вывод преобразования координат при переходе из одной инерциальной системе координат в другую. Будем полагать, что в начальный момент времени начала отсчета совпадают, и вторая (штрихованная) система движется вдоль оси со скоростью . Из Рис.2 следует, что координата конца линейки относительно неподвижной системы координат равна
В собственной системе отсчета с использованием получим:
,
где . Поскольку движение происходит только вдоль оси , то значения остальных координат не изменяются
.
Если полагать штрихованную систему отсчета неподвижной, то в этом случае система будет двигаться относительно нее со скоростью . Тогда обратное преобразование для координат (в силу равноправности систем отсчета) будет иметь вид, аналогичный с точностью до знака перед :
Для получения соотношения, связывающего между собой времена в различных инерциальных системах отсчета, подставим из в :
.
Преобразуем выражение
Подставив в , получим:
Действуя по аналогии, можно вывести выражения для прямого преобразования:
Из преобразований Лоренца следует ряд выводов:
1. Временные и пространственные интервалы изменяются при переходе из одной инерциальной системы в другую.
2. Существует инвариант, который не изменяется при переходе от одной системы координат к другой. Этот инвариант называется интервалом между событиями
Существование абсолютной величины свидетельствует о том, что пространство и время органически взаимосвязаны и образуют единую форму существования материи: пространственно-временной континуум. Движение в таком континууме происходит вдоль линий, называемых мировыми геодезическими кривыми. Инвариантность интервала означает, что, несмотря на относительность длин и временных интервалов, ход событий имеет объективный характер и не зависит от выбора системы отсчета.
3. В случае малых скоростей преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея (выполняется принцип соответствия).
4. Уравнения волнового фронта имеют одинаковый вид в различных инерциальных системах отсчета: сферическую форму волнового фронта при распространении света в вакууме. Покажем, что уравнение волнового фронта имеет вид сферы в любой инерциальной системе отсчета. В неподвижной системе форма волнового фронта задается уравнением
Подставив в значения пространственных переменных и времени , получим
,
т.е., уравнение волнового фронта в движущейся системе координат также имеет вид сферы.
5. Если два события являются пространственно разделенными в одной системе координат и одновременными , , то в другой системе координат эти события будут неодновременными. Определим интервал времени между этими событиями в движущейся системе координат
Из следует, что при второе событие наступит позже, а при раньше, чем первое. Таким образом, из преобразований Лоренца следует нарушение очередности событий в различных инерциальных системах отсчета. Однако можно показать, что для причинно обусловленных событий порядок их следования не изменяется (сын не может появиться на свет раньше отца).
6. Закон преобразования скоростей можно получить, вычислив дифференциал от , и разделив на получим:
Аналогично можно получить формулы для обратного преобразования
Из , видно, что при переходит в преобразования Галилея для скоростей
Основное уравнение релятивистской механики
Из требования Лоренц-инвариантности для закона сохранения импульса следует, что формула для вектора количества движения зависит от скорости тела более сложным образом, чем в случае механики Ньютона:
Оказывается, что в этом случае второй закон динамики сохраняет свою форму (при условии, что сила преобразуется определенным образом3)
Следовательно, в релятивисткой динамике, в отличие от механики Ньютона, сила не является инвариантной величиной. Из видно, что при возрастании скорости () импульс тела может неограниченно увеличиваться. Этот эффект наблюдается экспериментально при разгоне заряженных частиц в кольцевых ускорителях. На начальном этапе скорость частиц быстро приближается к скорости света. Затем ускоряемые частицы и дальше продолжают получать энергию, но их скорость изменяется уже незначительно, приближаясь к . И тем не менее, необходимо и дальше увеличивать индукцию магнитного поля, удерживающего частицы на круговой орбите, поскольку импульс частиц продолжает расти по мере роста . Следует отметить, что некоторые исследователи трактуют релятивистское возрастание импульса в , как результат возрастания массы движущегося тела, полагая (где -"масса покоя"). Однако измерить массу движущегося тела можно только в эксперименте, где происходит изменения импульса. Поэтому с точки зрения современной методологии физики под массой подразумевают только массу покоящегося тела, которая не изменяется в процессе движения.
Из следует, что, в отличие от нерелятивистского случая, ускорение не является параллельным силе. Покажем это, вычислив производную в левой части :
Представив скорость в виде , преобразуем выражение в правой части
Подставим в и затем в , получим:
Умножив левую и правую часть скалярно на , найдем
,
где составляющая силы вдоль скорости (, где -единичный вектор, перпендикулярный скорости и направлен к центру кривизны траектории).
Подставив в , найдем ускорение
Из следует, что ускорение будет направлено вдоль вектора силы только в двух случаях:
а) сила коллинеарна вектору скорости , тогда
б) сила перпендикулярна скорости
Покажем, что формула , в отличие от классической механики, удовлетворяет постулату о предельной скорости. Для этого рассмотрим одномерное движение из состояния покоя. В этом случае
При больших временах ():
Кинетическая, полная энергия. Энергия покоя.
Получим выражение для кинетической энергии в релятивистском случае. Для этого воспользуемся законом сохранения энергии
Если тело в начальный момент времени находилось в состоянии покоя, то (). В этом случае кинетическая энергия численно равна работе , которую необходимо выполнить внешней силе , чтобы разогнать тело до скорости :
Уравнение умножим скалярно на , чтобы справа получить такое же выражение, как и в :
Тогда левая часть буде равна . Над произведем ряд несложных математических преобразований, используя правило вычисления производной от произведения двух функций
Поскольку
,
то
Таким образом, с использованием получим, что
Проинтегрируем по времени (используя интегрирование по частям)
Интеграл в правой части вычислим с помощью внесения под дифференциал
Подставив в , получим формулу для кинетической энергии в релятивистском случае, которая отличается от выражения классической механики :
В случае малых скоростей , приближенно можно представить . Тогда кинетическая энергия будет иметь такой же вид, как и в механике Ньютона:.
Слагаемое получило название полной энергией тела, а -энергии покоя. Введение полной энергии оправдано тем, что именно она оказывается сохраняющейся величиной при столкновениях частиц, в отличие от кинетической энергии . Существование энергии у покоящегося тела (энергии покоя) явилось очень важным результатом СТО, поскольку устанавливало эквивалентность массы и энергии. Таким образом, масса и энергия,-разные названия для одной и той же физической сущности. Поэтому, можно утверждать, что всякая масса эквивалентна энергии, однако не всякая энергия эквивалентна массе.
Из эквивалентности массы и энергии следует, что масса системы взаимодействующих частиц может быть меньше суммы масс частиц, входящих в систему. Покажем это на примере покоящегося атома водорода, который состоит из неподвижного протона и вращающегося вокруг него электрона. Полагая скорость электрона в атоме , запишем выражения для полной энергии покоя системы:
,
где -потенциальная энергия взаимодействия электрона с протоном. Поскольку электрон вращается с центростремительным ускорением под действием силы Кулона, то:
Подставив в и учитывая, что масса атома водорода , получим
Из видно, что масса атома меньше, чем масса частиц входящих в систему.
Экспериментально эффект превращения массы покоя в другие виды энергии имеет место при взрыве атомной бомбы, в атомных реакторах, аннигиляции частицы и античастицы (например электрон-позитронная аннигиляция). В этом случае первоначальная масса-энергия покоя электрона и позитрона сконцентрирована в двух малых областях пространства. После аннигиляции эта же масса существует в форме энергии двух электромагнитных -квантов, которые, двигаясь со скоростью света, "размазывают" ее по пространству. Возможен также обратный процесс, в котором энергия -квантов преобразуется в электрон-позитронную пару.
Непосредственной проверкой можно убедиться, что будет инвариантом относительно преобразований Лоренца.
Примеры решения задач
1. Стержень движется вдоль линейки с некоторой постоянной скоростью. Если зафиксировать положение обеих концов данного стержня одновременно в системе отсчета связанной с линейкой, то разность отсчетов по линейке м. Если же положение обоих концов зафиксировать одновременно в системе отсчета связанной со стержнем, то разность отсчетов по этой же линейке м. Найти собственную длину стержня и его скорость относительно линейки.
Условие:
м
м
Решение:
Длиной движущегося стержня в покоящейся системе отсчета называется расстояние между двумя точками в этой системе, мимо которых концы стержня проходят одновременно. Из условия задачи следует, что является длиной движущегося стержня в покоящейся системе отсчета. Используя формулу , получим:
.
Если же перейти в собственную систему стрежня, тогда, по условию задач, и длина движущейся относительно стержня участка линейки равна его собственной длине:
.
Разделив почленно на , получим:
Подставив в , найдем скорость стержня
Подставив численные значения, получим:
м.
=0.745с
2. Определить, во сколько раз увеличится скорость и импульс электрона с кинетической энергией, равной энергии покоя, если при прохождении им ускоряющей разности потенциалов его кинетическая энергия увеличилась в раза. Проанализировать случаи очень больших и малых энергий.
Условие:
Решение:
Из найдем связь между скоростью и кинетической энергией электрона
Определим связь между импульсом и кинетической энергией, подставив в выражение для модуля импульса значение скорости из :
Используя и , получим:
Из решения задачи следует, что при больших значениях энергии частицы, ее импульс увеличивается быстрее, чем скорость. Из и видно, что в случае малых энергий () можно записать: , , т.е., импульс пропорционален скорости. Для больших энергий ():,-скорость почти не изменяется, а импульс увеличивается прямо пропорционально кинетической энергии.
Вопросы для самоконтроля.
1. Цель, схема и результат опыта Майкельсона-Морли. Сформулируйте постулаты СТО и их "обоснование".
2. Докажите, что из постулата о постоянстве скорости света следует формула . В чем суть парадокса "близнецов"?
3. Покажите, что из постулата о постоянстве скорости света следует эффект лоренцова сокращения длины . Является ли сокращение длины движущегося тела "реальностью" или "видимостью"?
4. Получите формулы преобразований Лоренца и проанализируйте следствия из них.
5. Покажите, что основное уравнение релятивисткой механики (в отличие от классической механики) не противоречит постулату о предельной скорости в природе. Найти скорость частицы и пройденный ею путь в зависимости от времени .
6. Докажите, что кинетическая энергия в СТО должна вычисляться по формуле . Какой вид будет иметь эта формула при малых и больших скоростях (обоснуйте)?
7. Докажите, что для частицы величина является инвариантом. Каково значение этого инварианта?
Задачи для самостоятельного решения
1. Собственное время жизни некоторой нестабильной частицы нс. Какой путь пролетит эта частица до распада в неподвижной системе отсчета, где ее время жизни нс.
2. Найти собственную длину стрежня, если относительно неподвижной системы отсчета его скорость , длина м и угол между ним и направлением движения .
<< Пред. стр. 1 (из 2) След. >>
Список литературы по разделу