<< Пред.           стр. 3 (из 5)           След. >>

Список литературы по разделу

  6. Среднее время ожидания обслуживания - математическое ожидание времени пребывания заявки в очереди.
  7. Среднее время пребывания заявки в системе
  , (2.23)
 где - среднее время от момента начала обслуживания до момента окончания обслуживания ().
  8. Экономическая эффективность СМО может быть оценена средней прибылью, получаемой в единицу времени при функционировании системы :
 ; (2.24)
 где c0 - прибыль, получаемая при обслуживании заявки; c - функция стоимости потерь; cз - стоимость эксплуатации прибора в единицу времени; сп - стоимость единицы времени простоя прибора; сож - стоимость потерь, связанных с простаиванием заявка в очереди в единицу времени; сy - стоимость убытков, связанных с уходом заявки из системы.
  Выбор показателя для оценки эффективности конкретной СМО определяется как особенностями системы (ее типом) и ее назначением, так и задачами проводимого исследования.
  Определим показатели эффективности для СМО рассматриваемых типов, при этом сначала рассмотрим систему с конечной очередью, а затем полученные результаты используем при анализе других систем.
  2.3.3. СМО с конечной очередью
  СМО с конечной очередью длины т характеризуется тем, что при поступлении очередной заявки возможны три исхода:
  - заявка немедленно принимается на обслуживание, если в системе в данный момент находится k заявок и k   - заявка становится в очередь, если п ? k   - заявка получает отказ и покидает систему, если k=n+m. Следовательно, в любой момент времени система может находиться в одном из п+т+1 состояний, то есть множество состояний
  Увеличение числа заявок в системе происходит только под воздействием потока заявок интенсивности ?, а уменьшение числа заявок в системе - только в результате завершения обслуживания одной из заявок, то есть
 
  (k занятых приборов порождают поток обслуженных заявок интенсивности k ?).
  Размеченный граф состояний СМО с конечной очередью для п=3, т=2 изображен на рис. 2.5.
  Для определения вероятностей состояний системы в формулы (2.16) и (2.17) подставим значения
 
 и получим:
 - для k?n
  ;
 - для k   .
  Полагая в уравнении (2.17) N=n+m, находим
  (2.25)
  Учитывая, что ?0/0!=1 и вычисляя сумму т членов геометрической прогрессии со знаменателем ?, находим
  (2.26)
  Из уравнения (2.16) находим вероятности состояний
  ; (2.27)
  (2.28)
  На основании формул (2.25) - (2.28) определим основные показатели эффективности системы.
  1. Вероятность отказа в обслуживании - это вероятность того, что в СМО имеется п+т заявок, то есть
  (2.29)
  Зная Ротк по формулам (2.19) - (2.21), можно вычислить абсолютную и относительную пропускную способность системы, среднее число занятых приборов, коэффициенты их загрузки и простоя.
  2. Вероятность того, что поступившая в систему заявка застанет все каналы занятыми (не будет немедленно принята на обслуживание),
  . (2.30)
  3. Средняя длина очереди
  ,
  где Pn+r - вероятность того, что в очереди находится ровно r заявок (k=n+r).
  Подставляя в полученное выражение Pn+r, находим
  ; (2.31)
  . (2.32)
  4. Среднее время ожидания в очереди определяется как математическое ожидание. Если к моменту поступления заявки в очереди находится r=0, 1, . . ., т-1 заявок, то она поступит на обслуживание после завершения обслуживания r+1 заявок, то есть
  ;
  . (2.33)
  Среднее время ожидания - это среднее время накопления очереди длиной L.
  Среднее число заявок, находящихся в СМО, и среднее время пребывания заявки в системе определяются по формулам (2.22) и (2.23) с учетом формул (2.31) - (2.33).
  Из полученных соотношений следует, что показатели Ротк, q, Nз, L, Y не зависят от конкретных значений ? и ?, а только от их соотношения ?. Показатели напротив, чувствительны к изменению не только параметра ?, но и к изменению ? при ?=const. Так, например, при увеличении ? и ? в два раза Ротк, q, NЗ и L не изменяются, Q увеличивается, а уменьшается в два раза, то есть при одновременном увеличении плотности потоков заявок и обслуживании характеристики процесса обслуживания улучшаются.
  2.3.4. СМО с отказами
  СМО с отказами является частным случаем СМО с конечной очередью при m=0. Полагая в формулах (2.25) - (2.29) т=0, найдем показатели эффективности СМО с отказами:
  - вероятность простоя всех обслуживающих приборов из выражения (2.26)
  ; (2.34)
  - вероятность того, что в системе находится k заявок, из формулы (2.27)
  ; (2.35)
  - вероятность отказа в обслуживании из выражения (2.29)
  ; (2.36)
  - абсолютная и относительная пропускная способность системы и среднее число занятых приборов
  (2.37)
  Зависимости (2.34) - (2.36) были впервые получены датским инженером А.К.Эрлангом и поэтому известны как формулы Эрланга.
  Советский ученый Б.А.Севастьянов доказал, что формулы Эрланга справедливы при любом законе распределения времени обслуживания, но при конечном и постоянном значении его математического ожидания. Это позволяет использовать соотношения (2.34) - (2.37) для решения широкого класса практических задач.
  2.3.5. Чистая СМО с ожиданием.
  Чистая СМО с ожиданием характеризуется тем, что любая заявка, поступившая в систему, будет обязательно обслужена (Ротк=0). Вероятности состояний для этой системы можно получить из уравнений (2.25) - (2.28) в результате предельного перехода при т??.
  Так как сумма в формуле (2.25) сходится только при ?<1, то в рассматриваемой системе стационарный режим имеет место только при ?<1; если ??1, то очередь неограниченно возрастает. Так как при ?<1, то из выражения (2.26) находим
 , (2.38)
  Вероятности состояний системы Рk, рассчитываются по формулам (2.27) и (2.28), где Р0 вычисляется по формуле (2.38).
  Показатели эффективности чистой СМО с ожиданием:
  - относительная и абсолютная пропускная способность системы из формулы (3.19) при Ротк=0
  q=1; Q=?; (2.39)
  - среднее число занятых каналов
  ; (2.40)
  - вероятность того, что заявка, поступившая в систему, будет ожидать обслуживания, из формул (2.30) и (2.38)
 ; (2.41)
  - средняя длина очереди, как следует из формулы (3.32) при т??,
  ; (2.42)
  - среднее время ожидания
  ; (2.43)
  - вероятность пребывания заявки в очереди более t единиц времени
  . (2.44)
  Методику вычисления рассмотренных показателей эффективности СМО поясним на примере.
  На пункте технического обслуживания (ПТО) оборудованы две линии по обслуживанию техники. Время обслуживания одной единицы техники распределено по показательному закону с параметром Число единиц техники, одновременно находящихся на ПТО, не должно превышать четырех единиц. Поток техники на обслуживание простейший поток заявок интенсивности ?=0,5ед./ч. Определить показатели эффективности работы ПТО.
  Решение. Анализ задачи показывает, что ПТО можно рассматривать как СМО с конечной очередью, параметры которой n=2, m=2, ?=0,5 ед./ч, ?=0:5 ед./ч, ?= 1, ?=0,5.
  Результаты вычислений для различных значений п и т (различных вариантов организации ПТО) приведены в табл. 2.1.
  Расчет показателей СМО целесообразно производить в последовательности, указанной в таблице. Если ?=1 (для п=1, m=3), то Р0 и L рассчитывают непосредственно по формулам (2.25) и (2.31).
  Из полученных данных видно, что уменьшение п при постоянном значении п+т=4 позволяет значительно (в 1,7 раза) повысить коэффициент загрузки линий Kз Однако эффективность обслуживания техники значительно снизилась: при п=1 каждая пятая машина (Ротк=0,2) уходит с ПТО необслуженной, а при n=2 только одна из 25 машин (Ротк=0,044) получает отказ; среднее время пребывания машины на ПТО при n=1 , а при п=2 .
 Таблица 2.1
 Показатели п=2, т= 2 п=1, т= 3 п=2, т=0 п=2, т?? Р0 0,348 0,2 0,4 0,333 Pож 0,304 0,8 - 0,333 Ротк 0,044 0.2 0,2 0 q = 1-Ротк 0,956 0,8 0,8 1,0 Q (ед./ч) 0,478 0,4 0,4 0,5 Nз (ед.) 0,956 0,8 0,8 1,0 Кз (%) 47,8 80 40 50 L (ед.) 0,174 1,2 - 0,333 (ч) 0.348 2,4 - 0.666 Исключение очереди на ПТО (п=2,т=0) приводит к значительному возрастанию вероятности отказа (с 0,044 до 0,2). Отсутствие ограничения на длину очереди (п=2, m??) несколько повышает загрузку линий, однако приводит к увеличению времени ожидания почти в два раза (с 0,348 до 0,666 ч). Для этого случая целесообразно определить вероятность того, что число машин, одновременно находящихся на ПТО, превышает 4:
  ,
 то есть пятую часть времени на ПТО находится более четырех машин одновременно.
  Приведенный пример наглядно показывает важность сравнения различных вариантов организации СМО и учета при синтезе СМО экономических показателей.
  2.3.6. Смешанные системы массового обслуживания
  СМО с ограниченным временем ожидания характеризуется тем, что уменьшение числа заявок в ней происходит как в результате завершения обслуживания одной из заявок, так и в результате ухода заявок из очереди с интенсивностью v.
  Если число заявок в системе k  
  Таким образом, для СМО с ограниченным временем ожидания
  (2.45)
  Граф состояний системы изображен на рис. 2.6 (п=2).
  Подставляя выражения (2.45) в формулы (2.16) и 2.17), как и в случае СМО с конечной очередью, получим
  (2.46)
  (2.47)
 
  . (2.48)
  Определим основные показатели эффективности системы. Средняя длина очереди
  (2.49)
  На каждую из L заявок, находящихся в очереди, действует поток уходов интенсивности v, то есть в среднем в единицу времени из очереди уходит Lv заявок. Следовательно, абсолютная пропускная способность
  ; (2.50)
  относительная пропускная способность
  (2.51)
  вероятность отказа в обслуживании
  ; (2.52)
  среднее число занятых приборов
  ; (2.53)
  вероятность того, что любая заявка будет обслужена,
  (2.54)
  При вычислениях в формулах (2.46) и (2.49) в качестве приближенного значения для бесконечных сумм берется сумма конечного числа l-1 членов, а остаток оценивается следующим образом :
  .
  Из выражений (2.50) - (2.54) следует, что основные показатели СМО можно вычислить через Ротк, причём для определения Ротк используют таблицы с тремя входами: n, ?, ?.
  СМО с ограниченным временем пребывания характеризуется тем, что заявка может уйти необслуженной как из очереди, так и после начала обслуживания. Интенсивность перехода данной системы из состояния Sk в Sk-1 (уменьшения числа заявок)
  Подставляя выражения (2.9) и (2.55) в формулы (2.16) и (2.17), можно определить вероятности состояний данной системы.
  Если одновременно накладывается ограничение на время ожидания (пребывания) и длину очереди, то число состояний системы конечно и равно п+т+1, а интенсивности переходов определяются формулами (2.45) или (2.55), в которых r = 1, 2, . . ., т. Типичным примером системы данного типа является вычислительное устройство, которое может одновременно обрабатывать п сообщений и имеет буферную память для хранения т сообщений. Поток сообщений - простейший поток интенсивности ?, время обработки одного сообщения , информация теряет свою ценность через время . Граф состояний для случая n=2, m=3 изображен на рис. 2.7.
  2.3.7. Особенности применения моделей массового обслуживания
  Рассмотренные модели массового обслуживания находят широкое применение при исследовании надежности технических систем, организации их эксплуатации и использования по назначению, а также при анализе и синтезе автоматизированных систем управления. Достаточно подробно вопросы практического применения моделей СМО рассмотрены в работе [1].
  При решении прикладных задач необходимо прежде всего правильно определить, насколько аппроксимирующие предположения, принятые при разработке математических моделей СМО, приемлемы для реальной системы и каким образом ее специфические особенности можно учесть в типовой модели.
  Основными аппроксимирующими предположениями при разработке моделей СМО были предположения о том, что все потоки событий являются простейшими. Широкое использование указанных предположений обусловливается следующими факторами.
  1. Простейший поток событий, как уже отмечалось, носит предельный характер и поэтому часто встречается в практических задачах. Так, например, Н. М. Седякин показал, что поток отказов элементов технических систем сводится к простейшему, если
  , (2.56)
 где ti - среднее время наработки i-го элемента данного типа на отказ, а п - число элементов. Если n>10, то это условие выполняется и тогда, когда каждый из элементов отказывает через постоянные интервалы времени.
  2. Простейший поток заявок ставит СМО в наиболее тяжелые условия. И. Н. Коваленко показал, что система, рассчитанная на обслуживание простейшего потока, будет обслуживать любой другой поток с одинаковой интенсивностью более надежно.
  3. При простейшем потоке заявок показатели эффективности СМО с отказами и ограниченным временем ожидания практически не зависят от вида закона распределения времени обслуживания, а определяются его средним значением. Показатели эффективности реальной СМО при простейшем потоке заявок не хуже значений этих показателей, вычисленных в предположении об экспоненциальном распределении времени обслуживания.
  4. При указанных предположениях можно получить аналитическую модель системы и на основе ее исследования найти ее оптимальные параметры. Простая модель позволяет разобраться в основных закономерностях явления, наметить "ориентиры" для построения статистической модели системы, позволяющей учесть те особенности реальной системы, которые трудно (или невозможно) учесть при аналитическом исследовании. Сочетание простых аналитических моделей и статистического моделирования вероятностных систем на ЭВМ - один из основных методов современного научного исследования.
  При решении прикладных задач всегда необходимо учитывать возможность использования результатов исследования стационарного режима для оценки эффективности системы на конечных интервалах времени. Характеристики стационарного режима с достаточной для практики точностью можно использовать для процессов длительностью (3?4)?1/? [1].
  При исследовании СМО предполагалось, что обслуживающие приборы абсолютно надежны. Если вероятность успешного обслуживания заявки Р<1, то ее влияние на эффективность СМО можно учесть через Pотк В этом случае
  ,
 где Р0отк - вероятность отказа для системы с абсолютно надежными приборами (Р=1).
  Все рассмотренные модели СМО относятся к классу так называемых разомкнутых систем, в которые поступает неограниченный поток заявок и его параметры не зависят от процесса обслуживания. Однако на практике часто встречаются системы, когда поток заявок ограничен и его параметры зависят от процесса обслуживания (замкнутые системы).
  Типичным примером замкнутой системы является следующая система. Имеется п ремонтных мастерских, которые предназначены для обслуживания и ремонта т технических систем. Технические системы отказывают только в период эксплуатации с интенсивностью ? (в период ремонта ?=0), производительность каждой мастерской ?. Число возможных состояний данной системы m+1 (k=0, 1, 2, ..., т - число технических систем, требующих ремонта). Граф состояний данной системы для п=2, т=5 (рис. 2.8) свидетельствует о том, что для ее исследования нельзя использовать ни одну из рассмотренных моделей СМО. При ее исследовании необходимо непосредственно использовать выражения (2.16) и (2.17) для процесса "гибели и размножения".
  Приведенный пример показывает, что при выборе модели СМО для решения конкретной задачи ошибки можно исключить, если построить размеченный граф состояний. На основе анализа размеченного графа состояний в некоторых случаях можно установить, что для исследования системы, по формальным признакам не относящейся к системам массового обслуживания, можно использовать одну из известных моделей СМО.
  При решении прикладных задач следует также всегда отличать показатели эффективности L, от ограничений, накладываемых на параметры СМО: т, . Показатели L, используются для оценки эффективности СМО, а параметры т, определяются спецификой процесса обслуживания и физическими свойствами заявок (например, емкость хранилищ в ремонтном органе, время старения информации и так далее).
  Задачи, решаемые с помощью моделей СМО, можно разделить на два основных класса. К первому классу относятся задачи анализа эффективности систем и определения числа обслуживающих приборов, обеспечивающих требуемые значения показателей ее эффективности. Ко второму классу относятся задачи определения числа и типа (производительности) обслуживающих приборов.
  3
 УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ
  3.1. СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ
  Важнейшим условием успешного функционирования экономических, технических систем различного назначения является своевременное обеспечение их соответствующими материальными ресурсами (товарами, сырьем, комплектующими элементами, горюче-смазочными материалами, транспортными средствами и так далее). Качественное решение этой задачи предполагает создание запасов. Это обусловливается тем, что в большинстве случаев либо физически невозможно, либо экономически нецелесообразно полностью совмещать объем и сроки поставки материальных ресурсов с моментами возникновения потребности в них. Первый случай имеет место тогда, когда расход ресурса носит случайный характер, а пополнение возможно только в дискретные моменты времени или длительность интервала между моментом подачи заявки на материальные ресурсы и моментом их поступления представляет случайную величину. Второй случай имеет место тогда, когда затраты на поставки ресурсов соизмеримы с затратами на создание запасов, их хранение и обслуживание.
  Создание запасов связано с дополнительными затратами и поэтому вступает в противоречие с требованием своевременного обеспечения потребителей материальными ресурсами. Необходимость разрешения этого противоречия и стимулировала развитие теории управления запасами, которая изучает системы, связанные с накоплением, расходованием и пополнением материальных ресурсов и называемые системами управления запасами (СУЗ).
  СУЗ - это совокупность баз сосредоточения запасов (складов, пунктов хранения) и обслуживающих организации подразделений, связанных между собой линиями связи и транспортными средствами. При анализе и синтезе СУЗ необходимо учитывать: структуру системы и ее параметры, свойства предметов запаса, характер спроса и характер пополнения.
  Структура СУЗ - это совокупность взаимосвязей и отношений между ее элементами. Она определяется числом уровней, характером взаимосвязи между складами и организацией управления.
  По числу уровней различают однокаскадные и эшелонированные (многокаскадные) системы. В однокаскадных системах непосредственно обслуживают потребителе все склады, а в эшелонированных - только склады первого уровня. Запас склада k-го уровня предназначен для пополнения запасов склада k-1-го уровня и может использоваться для обслуживания потребителей, если отсутствуют запасы на складах низших уровней. Пополнение склада старшего уровня производится из источника снабжения, который обладает неограниченным запасом.
  По характеру взаимосвязи между складами различных уровней различают системы с линейной и пирамидальной (разветвленной структурой. В линейных системах (рис 3.1.) склад k-го уровня обслуживает один склад уровня, а в пирамидальных (рис 3.2.) - несколько складов k-1-го уровня.
  По характеру взаимосвязи между складами одного уровня различают системы с разрешенным и запрещенным обменом запасами.
  Управление в СУЗ может быть децентрализованным и централизованным. В первом случае заказы подаются в направлении, обратном движению запасов, а во втором - вся информация о наличии запасов, их расходовании и пополнении сосредоточиваются в едином центре управления, из которого поступают указания о перемещении запасов. Централизованное управление характерно для автоматизированных СУЗ.
  Предметы запасов. В зависимости от количества хранимых на складах номенклатур различают однономенклатурные и многономенклатурные системы. В последнем случае необходимо учитывать наличие "взаимосвязи" между номенклатурами (изделия разных типов могут заменять друг друга, дополнять друг друга и так далее). Своеобразной формой "взаимосвязи" между номенклатурами является наличие в СУЗ предметов запаса в различной степени готовности к удовлетворению заказов потребителей (сырье, полуфабрикаты, частично собранные узлы, готовые к использованию предметы запаса).
  Важной характеристикой предметов запаса является стабильность из свойств (параметров). Различают системы с наличием и отсутствием естественной убыли запасов. Например, запасные элементы для технических систем могут отказывать в период их хранения.
  Спрос характеризуется моментами времени, в которые он возникает и объемом. Каждая из этих величин может быть либо детерминированной, либо случайной. Детерминированность спроса определяется ролью случайных факторов в процессе расходования материальных ресурсов. Если роль случайных факторов относительно невелика (например, для завода с жесткой производственной программой), то спрос можно считать детерминированным. В противном случае имеет место вероятностный спрос. Как детерминированный, так и вероятностный спрос может быть стационарным или нестационарным, непрерывным или дискретным.
  Характер пополнения. Системы, в которых предусматривается пополнение запасов, называют системами с неограниченным запасом (источник снабжения неисчерпаем). Если пополнение не предусматривается, имеем систему с ограниченным запасом.
  При анализе процессов пополнения запасов необходимо учитывать задержки поставки во времени относительно момента подачи заказа, способ ликвидации недостач и тип стратегии управления запасами.
  По первому признаку различают системы с мгновенной поставкой (задержка отсутствует или пренебрежимо мала), с задержкой на фиксированный срок и с задержкой на случайный интервал времени.
  Недостачи ликвидируются или путем экстренной поставки из уровня, в котором имеются требуемые предметы запаса, или источника снабжения, или путем накопления заявок до очередной поставки.
  Стратегия управления запасами - это совокупность правил, в соответствии с которыми определяется момент подачи заказа и его объем.. Определение стратегии управления запасами и ее параметров является основной задачей теории управления запасами.
  По правилу определения момента заказа различают периодические стратегии и стратегии с критическим уровнем. В первом случае заказ подается через равные промежутки времени T (период пополнения), а во втором - он подается, если в момент контроля объема запасов текущий объем запаса
 , где yкр - минимально допустимый уровень запаса на складе.
  Объем заказа S может быть постоянным или определяется по правилу
  , (3.1)
  где y - максимальный уровень запаса на складе; y0(t) - объем запаса на складе в момент tз подачи заказа (отрицательные значения y0(tз) имеют смысл накопленного дефицита).
  Возможные комбинации этих правил определения момента заказа и его объема дают четыре типа простейших стратегий.
  Стратегия (T, S) - периодическая с постоянным объемом заказа - не содержит элемента обратной связи (ее параметры T и S не изменяются при изменении параметров спроса). Нечувствительность к спросу определяет применимость данной стратегии только в условиях стабильного спроса. Она соответствует нормативному снабжению.
  Стратегия (T, S) - периодическая с пополнением до максимального уровня. Объем заказа определяется правилом (3.1.) для tз =T, 2T, 3T, ... Эта стратегия содержит элемент обратной связи (ее параметр S учитывает действительный расход запасов). Реализация функции y0(t) для случая мгновенной поставки отображена на рис. 3.3.
  Недостатком данной стратегии является излишняя чувствительность к спросу и повышенный средний объем запаса. Поэтому ее целесообразно использовать в системах, где высок штраф из-за возникновения дефицита, а также в многономенклатурных системах, где может быть достигнута экономия за счет совмещения моментов заказа и поставки по нескольким номенклатурам. В последнем случае применяется стратегия (T,Y) в векторной форме, то есть , когда значения Tj кратны некоторому базовому периоду (система кратных периодов).
  Стратегия (yкр, S) характеризуется тем, что заказ объема S подается в момент контроля при снижении объема запаса ниже yкр. На рис. 3.4, а изображен график изменения текущего объема запаса при мгновенной поставке и контроле с периодом tк. Стратегия (yкр, S) реагирует на спрос более медленно, чем (T, y). Ее недостатком является возрастание частоты заказов при стабилизации спроса на высоком уровне.
  Стратегия (yкр,, y) - стратегия двух уровней - является наиболее гибкой, так как в ней спрос определяет и момент подачи заказа, и его объем. Реализация функции y0(t) для этой стратегии при мгновенной поставке и непрерывном контроле отображена на рис. 3.4. б. Данная стратегия позволяет поддерживать средний объем запаса вблизи yкр при достаточно редких поставках. Можно показать, что для однономенклатурных систем стратегия (yкр,, y) является наилучшей. Это стратегия удобна в автоматизированных СУЗ.
  Совокупность рассмотренных классификационных признаков определяет тип системы управления запасами, объем задач, решаемых при их синтезе, и математические методы исследования.
  Из общей характеристики основных компонентов СУЗ (структура, предметы запаса, спрос, пополнение запасов) следует, что при их создании необходимо определить структуру системы (число уровней, число и места расположения складов, способ управления и характер взаимосвязи между складами), способы пополнения запасов и ликвидации недостач, тип стратегии управления запасами и ее параметры.
  Структуру системы и ее параметры, а также способ ликвидации недостач определяют, как правило, на основе накопленного опыта функционирования подобных СУЗ с учетом взаимосвязей между потребителями запасов и важности решаемых ими задач.
  В настоящее время в теории управления запасами наиболее полно разработаны вопросы определения параметров стратегии управления запасами для заданных условий спроса и пополнения. Решение этой задачи включает два основных этапа. На первом этапе определяют функцию затрат, связанных с реализацией данной стратегии, а на втором - выбирают такие значения параметров стратегии, при которых функция затрат достигает минимума, то есть находят оптимальные параметры стратегии.
  Функция затрат представляет собой затраты, связанные с функционированием СУЗ в течение некоторого периода или в единицу времени, и имеет три составляющие:
  С=сп+си+сд (3.2)
 где сп - стоимость поставок; си - издержки хранения, сд - штрафы из-за дефицита (несвоевременного обеспечения потребителей).
  При определений сп учитывают постоянную составляющую и составляющие, пропорциональные суммарному объему заказа и количеству заказываемых номенклатур.
  При определении издержек хранения учитывают стоимость складских помещений, расходы на содержание обслуживающего персонала, потери от естественной убыли запасов, убытки от снижения потребительских качеств запасов, потери от омертвления средств, вложенных в запасы. В большинстве случаев при аналитическом исследовании предполагают, что издержки хранения пропорциональны среднему запасу и времени его существования.
  Величина штрафа зависит от самого факта возникновения недостачи, величины дефицита и времени его существования. Характер зависимости величины штрафа от указанных параметров может быть самым разнообразным.
  Функция затрат является показателем экономической эффективности СУЗ. Однако, во-первых, показатель экономической эффективности не всегда является определяющим, а во-вторых, в некоторых случаях через функцию затрат невозможно достаточно полно учесть все факторы, связанные с созданием запасов и возникновением дефицита.
  Указанные обстоятельства являются типичными для медицинских СУЗ, когда величина ущерба, связанного с недостачей материальных ресурсов, связана со здоровьем людей. Поэтому для оценки эффективности СУЗ используют и такие показатели как вероятность возникновения дефицита, величина возможного дефицита или среднее время его существования. В этих случаях задача оптимального управления запасами заключается в определении стратегии (или ее параметров), минимизирующей затраты на создание и функционирование СУЗ при заданном значении одного из указанных показателей.
  Возможна также постановка и обратной задачи - определить стратегию управления запасами и ее параметры так, чтобы при ограниченном количестве средств, выделенных на создание и функционирование СУЗ, вероятность возникновения дефицита (объем дефицита или среднее время его существования) была минимальной.
  Следует отметить, что определение допустимых (требуемых) значений указанных показателей представляет самостоятельную, достаточно сложную задачу. В некоторых случаях эти величины можно определить исходя из требуемой эффективности систем, которые используют создаваемые запасы.
  При решении задач оптимального управления запасами необходимо также учитывать возможные ограничения на максимальный объем запасов, их вес, стоимость, общий объем поставки, число поставок в заданном интервале времени и так далее.
  Таким образом, решение задачи оптимального управления запасами предполагает разработку математической модели функционирования СУЗ с целью установления зависимости между показателями ее эффективности и параметрами. На этом этапе широко используются модели массового обслуживания, метод динамики средних и метод статистических испытаний. На втором этапе при выборе оптимальных параметров СУЗ используют методы математического программирования.
  Методику разработки математических моделей СУЗ и типовые задачи оптимального управления запасами рассмотрим на примере исследования простейших однокаскадных и эшелонированных систем.
  Функция затрат представляет собой затраты, связанные с функционированием СУЗ в течение некоторого периода или в единицу времени, и имеет три составляющие:
  С=сп+си+сд (3.2)
 где сп - стоимость поставок; си - издержки хранения, сд - штрафы из-за дефицита (несвоевременного обеспечения потребителей).
  При определений сп учитывают постоянную составляющую и составляющие, пропорциональные суммарному объему заказа и количеству заказываемых номенклатур.
  При определении издержек хранения учитывают стоимость складских помещений, расходы на содержание обслуживающего персонала, потери от естественной убыли запасов, убытки от снижения потребительских качеств запасов, потери от омертвления средств, вложенных в запасы. В большинстве случаев при аналитическом исследовании предполагают, что издержки хранения пропорциональны среднему запасу и времени его существования.
  Величина штрафа зависит от самого факта возникновения недостачи, величины дефицита и времени его существования. Характер зависимости величины штрафа от указанных параметров может быть самым разнообразным.
  Функция затрат является показателем экономической эффективности СУЗ" Однако, во-первых, показатель экономической эффективности не всегда является определяющим, а во-вторых, в некоторых случаях через функцию затрат невозможно достаточно полно учесть все факторы, связанные с созданием запасов и возникновением дефицита.
  Для оценки эффективности СУЗ используют и такие показатели как вероятность возникновения дефицита, величина возможного дефицита или среднее время его существования. В этих случаях задача оптимального управления запасами заключается в определении стратегии (или ее параметров), минимизирующей затраты на создание и функционирование СУЗ при заданном значении одного из указанных показателей.
  Возможна также постановка и обратной задачи - определить стратегию управления запасами и ее параметры так, чтобы при ограниченном количестве средств, выделенных на создание и функционирование СУЗ, вероятность возникновения дефицита (объем дефицита или среднее время его существования) была минимальной.
  Следует отметить, что определение допустимых (требуемых) значений указанных показателей представляет самостоятельную, достаточно сложную задачу. В некоторых случаях эти величины можно определить исходя из требуемой эффективности систем, которые используют создаваемые запасы.
  При решении задач оптимального управления запасами необходимо также учитывать возможные ограничения на максимальный объем запасов, их вес, стоимость, общий объем поставки, число поставок в заданном интервале времени и так далее.
  Таким образом, решение задачи оптимального управления запасами предполагает разработку математической модели функционирования СУЗ с целью установления зависимости между показателями ее эффективности и параметрами. На этом этапе широко используются модели массового обслуживания, метод динамики средних и метод статистических испытаний. На втором этапе при выборе оптимальных параметров СУЗ используют методы математического программирования.
  Методику разработки математических моделей СУЗ и типовые задачи оптимального управления запасами рассмотрим на примере исследования простейших однокаскадных и эшелонированных систем.
  3.2. УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ ПРИ
  ДЕТЕРМИНИРОВАННОМ СТАЦИОНАРНОМ СПРОСЕ
  Рассмотрим задачу управления запасами по одной номенклатуре на одиночном складе при детерминированном стационарном спросе ? единиц запаса в единицу времени. Для управления запасами используется стратегия типа (Т, у) - периодическая с пополнением до максимального уровня: Необходимо определить оптимальные параметры стратегии Т* и у* и на их основе установить момент подачи заказа t3 и его объем S.
  При определении параметров Т* и у* необходимо учитывать характер пополнения и допустимость возникновения дефицита. В практике управления запасами чаще всего имеют место следующие случаи:
  - поставка осуществляется мгновенно, а возникновение дефицита не допускается;
  - поставка осуществляется мгновенно, допускается возникновение дефицита;
  - поставка осуществляется с постоянной интенсивностью ? допускается возникновение дефицита;
  - поставка осуществляется с постоянной интенсивностью ? возникновение дефицита не допускается.
  Фиксированную или случайную задержку поставки можно учесть при определении точки заказа t3.
  Во всех случаях при определении параметров стратегии управления запасами будем предполагать, что стоимость поставки не зависит от объема заказа, то есть сп =с0 издержки хранения пропорциональны среднему объему запаса на складе и времени его хранения (с1 - стоимость хранения единицы запаса в единицу времени), величина штрафа за дефицит пропорциональна среднему дефициту и времени его существования (с2- величина штрафа за дефицит единицы запаса в единицу времени). Рассмотрим эти случаи.
  3.2.1. Мгновенная поставка, возникновение дефицита не допускается.
  Этот случай имеет место тогда, когда .
  Так как интенсивность спроса постоянна, то текущий объем запаса (рис. 3.5) изменяется в пределах одного периода по линейному закону
 ,
  Функция затрат за период определяется выражением
  (3.3)
  Интеграл определяет произведение среднего объема запаса на время его существования [площадь фигуры, ограниченной осями координат и линией y0(t)]. Средние затраты в единицу времени
 
  Так как возникновение дефицита не допускается, то объем запаса в начале периода должен быть равен спросу за период, то есть y=?T . Учитывая, что находим
  (3.4)
  Приравнивая нулю производную этой функции по у, находим
  (3.5)
  Подставляя у* из формулы (3.5) в выражение (3.4), определим минимальные затраты на пополнение и хранение запасов в единицу времени:
  (3.6)
  Формулы (3.5) и (3.6) известны как формулы Уилсона, причем у* - это экономический размер заказа.
  Если пополнение осуществляется мгновенно, то заказ подается в моменты времени tз=T*, объем заказа S=y'*.
  При задержке поставки на фиксированное время т заказ необходимо подавать в момент снижения объема запасов до величины
  ,
 где ?? - спрос за время поставки. В этом случае поставка будет поступать на склад в момент исчерпания запаса.
  При случайной задержке поставки точку заказа определяют по правилу
  ,
 где и - математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение времени задержки поставки. Коэффициент k определяет резервный запас, который "демпфирует" случайные колебания времени задержки поставки. Значениям k=1, 2, 3 соответствуют вероятности возникновения дефицита q=0,17; 0,025; 0,005 - для нормального; q=0,13; 0,05; 0,018 - для экспоненциального и q= 0,211; 0,067; 0 - для равномерного закона распределения времени задержки поставки.
  Если требуемое значение q не соответствует указанным значениям, то коэффициент k рассчитывают следующим образом.
  Очевидно, что дефицит отсутствует, если время задержки поставки в данном периоде не превышает величины , то есть
  ,
 где - плотность распределения времени задержки поставки. Для экспоненциального распределения
 
  Аналогично точку заказа определяют, если имеют место случайные колебания как времени задержки поставки, так и спроса.
  Следует подчеркнуть, что такой подход к определению параметров стратегии управления запасами при случайной задержке поставки и (или) вероятностном спросе является приближенным. Для определения оптимальных параметров стратегии управления запасами необходимо исследовать вероятностную модель СУЗ.
  3.2.2.Мгновенная поставка, возникновение дефицита
  допускается.
  График изменения текущего объема запаса показан на рис. 3.6, где y1 - максимальный уровень запаса, Т1 - период пополнения.
  Начальный запас в каждом периоде будет исчерпан к моменту времени t1, то есть .
  На интервале [0, t] y0(t)>0 и имеют место издержки хранения
 
  На интервале [t1, T1] y0(t)<0 (имеет место дефицит), и склад выплачивает штраф в размере
 
  Знак "минус" перед интегралом учитывает, что дефицит равен объему запаса с противоположным знаком.
  Функция затрат в единицу времени
  (3.7)
  Для определения оптимальных параметров стратегии управления запасами приравниваем производные функции (3.7) по у1 и T1 нулю, то есть
 
 
  Из первого уравнения находим
  (3.8)
 и, подставляя его во второе уравнение, получим
 
  (5.9)
  Подставляя выражение (3.9) в уравнение (3.8), находим
  (3.10)
  Из формулы (3.7) с учетом выражений (3.9) и (3.10) находим минимальные затраты в единицу времени на пополнение, хранение запасов и выплату штрафов:
  (3.11)
  Из выражений (3.9) - (3.11) и формул Уилсона (3.5) и (3.6) следует, что задалживание спроса (то есть ликвидация недостач путем накопления требований до очередной поставки и выплаты штрафов) позволяет в раз уменьшить максимальный уровень запаса, минимальное значение функции затрат и частоту заказов (увеличить период пополнения) по сравнению со случаем отсутствия дефицита. Если c2>>c1, то и формулы (3.9) - (3.11) совпадают с формулами Уилсона.
  Объем заказа при наличии дефицита
  (3.12)
 превышает объем заказа при отсутствии дефицита в раз.
  При фиксированной задержке на время ? заказ подается в момент t3 снижения объема запаса до уровня
 
  Учитывая выражения (5.10) и (5.12), находим
 
  Если ? = 0, то в момент подачи заказа на складе имеет место максимальный дефицит объемом .
  3.2.3. Поставка с постоянной интенсивностью
  Характерна для заводского склада, когда продукция производится партиями и с момента запуска ее в производство поступает на склад с постоянной интенсивностью ? >? (если ? < ?, то система не работает). Запуск производства вызывает фиксированные затраты c0 на переналадку оборудования, которые не зависят от объема партии.
  График изменения текущего объема запаса изображен на рис. 3.7.
  Период времени между поставками содержит четыре интервала:
  [0, t1] - интервал накопления запасов с интенсивностью (? -?), максимальный уровень запаса у2 будет накоплен за время t1, то есть
  ;
  [t1, t2] - интервал расходования запаса с интенсивностью ?, весь запас будет израсходован к моменту времени t2, то есть
  (3.13)
  [t2, t3] - интервал накопления дефицита, за время (t3-t3) будет накоплен максимальный дефицит
  (3.14)
  [tз, Т2] -интервал ликвидации дефицита с интенсивностью (? -?), дефицит будет ликвидирован за время T2 - t3, то есть
 
  Подставляя в это уравнение t3 из выражения (3.14) и t2 из формулы (3.13), находим
 
  Затраты на хранение запасов в течение периода имеют место на интервале [0, t2] и пропорциональны площади треугольника 0AВ, то есть
 
  На интервале [t2, Т2]склад выплачивает штраф, размер которого пропорционален площади треугольника BCD, то есть
 
 
  Функция затрат в единицу времени
 
 
 
  Приравнивая производные этой функции по у2 и Т2. нулю и решая полученную систему уравнений, находим
  (3.15)
  Если возникновение дефицита не допускается (рис. 5.8), то
  и параметры Стратегии управления запасами
 
  (3.16)

<< Пред.           стр. 3 (из 5)           След. >>

Список литературы по разделу