<< Пред.           стр. 4 (из 5)           След. >>

Список литературы по разделу

  Сравнивая выражения (3.15) с (3.9) - (3.11) и (3.16) с (3.5) - (3.6), можно установить, что при поставке с постоянной интенсивностью максимальный объем запаса, минимальное значение функции затрат и частота заказов уменьшаются в раз. Если , то и из формул (3.15) получаем выражения (3.9) - (3.11), а из (3.16) - (3.5) и (3.6).
  Рассмотренные модели управления запасами могут использоваться для определения ориентировочных значений параметров стратегии управления запасами при вероятностном спросе.
  3.3. ОДНОКАСКАДНЫЕ СУЗ ПРИ ВЕРОЯТНОСТНОМ
  ДИСКРЕТНОМ СПРОСЕ
  Главной особенностью управления запасами при вероятностном спросе является то, что теоретически исключить дефицит невозможно, а можно только обеспечить требуемое значение вероятности возникновения дефицита. Поэтому прежде всего рассмотрим методику определения этого показателя для однокаскадной системы управления многономенклатурными запасами при следующих предположениях:
  - дискретный вероятностный стационарный спрос представляет простейший поток требований на предметы запаса интенсивности , п - число номенклатур;
  - стратегия управления запасами типа (Т, уj) - периодическая с пополнением объема запаса по каждой номенклатуре до максимального уровня уj; пополнение запаса по всем номенклатурам осуществляется одновременно;
  - поставка осуществляется мгновенно, а ликвидация дефицита - накоплением требований до очередной поставки.
  Эффективность управления запасами по каждой номенклатуре будем характеризовать вероятностью возникновения дефицита q(уj) или вероятностью его отсутствия в течение периода между поставками.
  Дефицит по j-й номенклатуре в течение периода между поставками отсутствует, если число требований k на предметы запаса данной номенклатуры за период Т не превысит величины уj, то есть - вероятность того, что за время Т в СУЗ поступит не более yj требований.
  Так как спрос представляет простейший поток требований, то вероятность Рjk того, что за время Т в систему поступит ровно k требований на предметы запаса j-й номенклатуры, определяется по формуле Пуассона, то есть
  , (3.17)
 где - среднее ожидаемое число требований на предметы запаса за время Т. Для нестационарного пуассоновского потока
 
  Дефицит отсутствует при k = 0, 1,2,. . ., уj, то есть
  (3.19)
  Эффективность СУЗ в целом можно оценить вероятностью достаточности объема запасов Y = (y1, у2, . . ., yn) на период Т, которая представляет собой вероятность отсутствия дефицита по всем номенклатурам
  , (3.20)
  или вероятностью возникновения дефицита хотя бы по одной номенклатуре
  . (3.20)
  Выполнив умножение в выражении (3.20) и пренебрегая членами, содержащими произведение двух и более величин qj(yj) находим
  (3.21)
  Абсолютная погрешность вычисления Q(Y) по формуле (3.21) не превышает и поэтому ее можно использовать при При определении оптимальных параметров стратегии управления запасами необходимо учитывать и такие характеристики СУЗ, как общая стоимость запасов C(Y), их вес G(Y), требуемая емкость склада V(Y):
  (3.22)
 где cj - стоимость; Gj - вес предмета запаса j-й номенклатуры; Vj - требуемая емкость склада (объем или площадь) для его хранения.
  Полученные зависимости (3.19), (3.21) и (3.22) позволяют сформулировать ряд задач оптимизации объема запасов Y для заданного периода пополнения Т.
  Задача 1. Определить объем запасов так, чтобы их стоимость была минимальной то есть
  (3.23)
 а вероятность его достаточности R(Y) была не ниже заданной Rд, то есть
  , или (3.24)
  и выполнялись ограничения по суммарному весу запасов и требуемой емкости склада
  , (3.25)
 где G - допустимый вес запасов; V - ограничение на емкость склада.
  Задача 2. Определить объем запасов V* так, чтобы
  (3.26)
 или
  , (3.27)
 и выполнялись условия
  (3.28)
 где Сд - объем средств, выделяемых на создание запасов в каждом периоде.
  Если ограничение на вес запасов и (или) емкость склада не накладывается, то соответствующие неравенства в (3.25) или (3.28) не учитываются.
  Рассмотренная математическая модель управления запасами широко используется при определении состава комплектов ЗИПа для технических систем. В этом случае уj - количество запасных элементов j-го типа, a R(Y) - вероятность достаточности комплекта ЗИПа или вероятность нормального функционирования технической системы (без простоев из-за недостачи запасных элементов) .
  Рассмотрим пример. Техническая система состоит из n=10 типов элементов, суммарная интенсивность потока отказов элементов каждого типа , интенсивность потока отказов системы . Определить состав комплекта ЗИПа, необходимого для обеспечения нормального функционирования системы в течение времени T=1000 ч с вероятностью Rд ==0,95.
  Оптимальный состав комплекта ЗИПа можно определить в результате решения задачи (3.23) - (3.25), если заданы стоимостные, весовые и габаритные характеристики элементов системы, а также требования к стоимостным (минимум стоимости), весовым G и габаритным V характеристикам комплекта ЗИПа.
  Если указанные характеристики не заданы, то рациональный состав комплекта ЗИПа определяют из условия обеспечения равной вероятности достаточности запасных элементов каждого типа ("равнопрочный" ЗИП). Решение задачи производится в следующем порядке.
  1. Определить требуемые значения вероятности достаточности rj(yj) или недостаточности qj(уj) из условия
  .
  Для рассматриваемого примера
  .
  2. Вычислить среднее ожидаемое число требований на элементы каждого типа
  .
  3. По формуле (3.18) методом последовательных приближений определить минимальное количество запасных элементов каждого типа, необходимых для обеспечения требуемого значения rj (уj).
  Так, для рассматриваемого примера ; , то есть в состав комплекта ЗИПа достаточно включить по одному элементу каждого типа (всего 10 элементов).
  Рассчитаем состав группового комплекта ЗИПа, необходимого для эксплуатации W=5 одинаковых систем для условий рассматриваемого примера. В этом случае . Для обеспечения в состав комплекта ЗИПа необходимо включить по три запасных элемента каждого типа (всего 30 элементов). Следовательно, создание группового комплекта позволяет уменьшить объем запаса в расчете на одну систему в 10:(30:5)=1,67 раза.
  Пусть за счет применения однотипных элементов удалось сократить количество типов элементов до n=5, интенсивность потока отказов системы осталась прежней, то есть .
  Для обеспечения вероятности в состав индивидуального комплекта необходимо включить по два элемента каждого типа (всего 10 элементов), так как
  ,
 а в состав группового комплекта на W=5 систем - по четыре элемента каждого типа (всего 20 комплектов). Групповой комплект эффективнее индивидуального в 10:(20:5)=2,5 раза. Уменьшение числа типов элементов позволило сократить объем запаса в групповом комплекте в 30:20=1,5 раза. Таким образом, при простейшем потоке требований на предметы запаса целесообразно увеличение количества потребителей, обслуживаемых одним складом (создание групповых комплектов ЗИПа), и уменьшение числа используемых номенклатур (числа ЗИПов элементов в технических системах).
  При управлении запасами дорогостоящих предметов (стоимость предметов запаса значительно превышает стоимость поставки) целесообразно использовать стратегию двух уровней (T, y) при S= y - yкр=1. В этом случае заказ подается каждый раз после выдачи потребителю предмета запаса, то есть пополнение является непрерывным.
  Рассмотрим случай, когда поток требований на предметы запаса - простейший поток интенсивности ?; время пополнения - случайная величина, распределенная по экспоненциальному со средним значением (? - интенсивность пополнения), а величина дефицита не может превысить единицу. Этот случай типичен при обеспечении технических систем дорогостоящими запасными элементами (приборами, агрегатами). Если в момент отказа системы в комплекте ЗИПа нет требуемого элемента, то она простаивает и ее элементы не отказывают (дефицит не может превысит единицы). Пополнение комплекта ЗИПа происходит или за счет поставки из органа снабжения или путем ремонта отказавшего прибора.
  Для определения вероятности возникновения дефицита построим граф состояний СУЗ по одной номенклатуре. При заданном у состояние СУЗ в любой момент времени полностью определяется числом заявок k на предметы запаса, поданных в источник снабжения. Действительно, если СУЗ находится в состоянии Sд (k = 0, 1, . . ., у, у+1), то это означает, что подано k заявок на предметы запаса, а на складе имеется у - k предметов запаса (при k = y +1 имеет место дефицит). Переход СУЗ из состояния Sk в состояние Sk+1 (k = 0, 1, . . ., у) происходит под воздействием потока требований интенсивности ?, а переход из Sk в Sk-1 (k=1, 2, . . .,y+1) под воздействием потока поступлений предметов запаса на склад интенсивности k?..
  Размеченный граф состояний изображен на рис. 3.9 и соответствует (y+1)-канальной СМО с отказами. Следовательно, вероятность возникновения дефицита есть вероятность попадания СУЗ в состояние Sу+1 а стационарное значение этой вероятности определяется формулами Эрланга (2.36), то есть
  (3.29)
 
  Стационарная вероятность достаточности предметов запаса
  (3.30)
  Физически q0(у) - это средняя доля времени, в течение которого на складе имеет место дефицит, а r0(у) - доля времени, в течение которого он отсутствует. Для случая обеспечения технических систем запасными элементами r0(у) - составляющая коэффициента готовности технической системы, характеризующая своевременность обеспечения ее запасными элементами.
  Эффективность многономенклатурной СУЗ можно оценить вероятностью отсутствия дефицита по всем номенклатурам R0(Y) или вероятностью возникновения дефицита хотя бы по одной номенклатуре Q0(Y) в стационарном режиме функционирования системы
  . (3.31)
  Оптимальные параметры стратегии управления запасами можно определить в результате решения задачи (3.23)-(3.25) или (3.26) - (3.28), где вместо R(Y) и Q(Y) используют R0(Y) и Q0(Y) из формул (3.31). Требуемое значение показателя вероятности отсутствия дефицита Rд можно определить исходя из физических особенностей предметов запаса и важности задач, решаемых их потребителями. Так, для случая обеспечения технических систем запасными элементами величину Rд можно определить из условия
 Kг= Rд Kг0
 где Кг - требуемое значение коэффициента готовности; Кг0 - значение коэффициента готовности, вычисленное при условии, что дефицит на запасные элементы не возникает.
 4
 МЕТОДЫ ПРИНЯТИЯ ТЕХНИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
  4.1. ОСНОВНАЯ ФОРМАЛЬНАЯ СТРУКТУРА ПРИНЯТИЯ
  РЕШЕНИЙ
  4.1.1. Матрица решений
  Принятие решения представляет собой выбор одного из некоторого множества рассматриваемых вариантов: . В дальнейшем мы будем изучать наиболее часто встречающийся на практике случаи когда имеется лишь конечное, число вариантов , причем обычно небольшое, хотя принципиально мыслимо и бесконечное множество вариантов При необходимости наше рассмотрение без труда переносится на этот наиболее общий случай.
  Условимся прежде всего, что каждым вариантом Ei однозначно определяется некоторый результат еi. Эти результаты должны допускать количественную оценку, и мы будем для простоты отождествлять эти оценки с соответствующими результатами, обозначая их одним и тем же символом еi.
  Мы ищем вариант с наибольшим значением результата, то есть целью нашего выбора является . При этом мы считаем, что оценки еi характеризуют такие величины, как, например, выигрыш, полезность или надежность. Противоположную ситуацию с оценкой затрат или потерь можно исследовать точно так же путем минимизации оценки или, как это делается чаще, с помощью рассмотрения отрицательных величин полезности.
  Таким образом, выбор оптимального варианта производится с помощью критерия
  (4.1)
  Это правило выбора читается следующим образом: множество E0 оптимальных вариантов состоит из тех вариантов Ei0, которые принадлежат множеству Е всех вариантов и оценка еi0 которых максимальна среди всех оценок еi (логический знак /\ читается как "и" и требует, чтобы оба связываемых им утверждения были истинны).
  Выбор оптимального варианта в соответствии с критерием (4.1) не является, вообще говоря, однозначным, поскольку максимальный результат может достигаться в множестве всех результатов многократно. Необходимость выбирать одно из нескольких одинаково хороших решений на практике обычно не создает дополнительных трудностей. Поэтому в дальнейшем мы лишь упоминаем об этой возможности, не занимаясь ею более подробно.
  Только что рассмотренный случай принятия решений, при котором каждому варианту решения соответствует единственное внешнее состояние (и тем самым однозначно определяется единственный результат) и который мы называем случаем детерминированных решений, с точки зрения его практических применений является простейшим и весьма частным. Разумеется, такие элементарные структуры лежат в основании реальных процедур принятия решений. В более сложных структурах каждому допустимому варианту решения Еi вследствие различных внешних условий могут соответствовать различные внешние условия (состояния) F, и результаты еij решений. Следующий пример иллюстрирует это положение.
  Пусть из некоторого материала требуется изготовить изделие, долговечность которого при допустимых затратах невозможно определить. Нагрузки считаются известными. Требуется решить, какие размеры должно иметь изделие из данного материала.
  Варианты решений таковы:
  Е1 - выбор размеров из соображений максимальной долговечности, т. е. изготовление изделия с минимальными затратами в предположении, что материал будет сохранять свои характеристики в течение длительного времени;
  Еm - выбор размеров в предположении минимальной долговечности;
  Еi - промежуточные решения.
  Условия, требующие рассмотрения, таковы:
  F1 - условия, обеспечивающие максимальную долговечность;
  Fn- условия, обеспечивающие минимальную долговечность;
  Fj - промежуточные условия.
  Под результатом решения еij здесь можно понимать оценку, соответствующую варианту Еi и условиям Fj и характеризующую экономический эффект (прибыль), полезность или надежность изделия. Мы будем называть такой результат полезностью решения.
  Семейство решений описывается некоторой матрицей (табл. 4.1). Увеличение объема семейства по сравнению с рассмотренной выше ситуацией детерминированных решений связано как с недостатком информации, так и с многообразием технических возможностей.
  Конструктор и в этом случае старается выбрать решение с наилучшим результатом, но, так как ему неизвестно, с какими
 Основная формальная структура принятия решений
 Таблица 4.1.
 Матрица решений ||eij||
  F1 F2 F3 ... Fj ... Fn E1 e11 e12 e13 ... e1j ... e1n E2 e21 e22 e23 ... e2j ... e2n E3 e31 e32 e33 ... e3j ... e3n .
 .
 . .
 .
 . .
 .
 . .
 .
 . .
 .
 . .
 .
 . .
 .
 . .
 .
 . Ej ej1 ej2 ej3 ... eij ... emn .
 .
 . .
 .
 . .
 .
 . .
 .
 . .
 .
 . .
 .
 . .
 .
 . .
 .
 . Em Em1 em2 em3 ... emj ... emn
 условиями он столкнется, он вынужден принимать во внимание все оценки eij, соответствующие варианту Еi. Первоначальная задача максимизации согласно критерию (4.1) должна быть теперь заменена другой, подходящим образом учитывающей все последствия любого из вариантов решения Ei.
  4.1.2. Оценочная функция
  Чтобы прийти к однозначному и по возможности наивыгоднейшему варианту решения даже в том случае, когда каким-то вариантам решений Ei могут соответствовать различные условия Fj, можно ввести подходящие оценочные (целевые) функции. При этом матрица решений ||eir||сводится к одному столбцу. Каждому варианту Ei приписывается, таким образом, некоторый результат eir, характеризующий, в целом, все последствия этого решения. Такой результат мы будем в дальнейшем обозначать тем же символом eir.
  Процедуру выбора можно теперь представить по аналогии с применением критерия (4.1). Возникает, однако, проблема, какой вложить смысл в результат eir. Если, например, последствия каждого из альтернативных решений характеризовать комбинацией из его наибольшего и наименьшего результатов, то можно принять
  . (4.2)
  Из сказанного вытекает способ построения оценочных функций, приводимый в табл. 4.2. Наилучший в этом смысле результат имеет вид
  . (4.3)
 Теперь решение можно снова искать в соответствии с критерием (4.1). Формируя таким образом желаемый результат, конструктор исходит из компромисса между оптимистическим и пессимистическим подходами.
  Рассмотрим теперь некоторые: другие оценочные функции, которые в данном примере мог бы выбрать конструктор, а также соответствующие им исходные позиции.
 Таблица 4.2.
 Построение оценочных функций
 E1 e1n E2 e2n E3 e3n .
 .
 . .
 .
 . Ej emn .
 .
 . .
 .
 . Em emn
  Оптимистическая позиция:
  . (4.4)
  Из матрицы результатов решений еij (табл. 4.1) выбирается вариант (строка), содержащий в качестве возможного следствия наибольший из всех возможных результатов. Наш конструктор становится на точку зрения азартного игрока. Он делает ставку на то, что. выпадет наивыгоднейший случай, и исходя из этого выбирает размеры изделия.
  Позиция нейтралитета:
  . (4.5)
 Конструктор исходит из того, что все встречающиеся отклонения результата решения от "среднего" случая допустимы, и выбирает размеры, оптимальные с этой точки зрения.
  Пессимистическая позиция:
  . (4.6)
  Конструктор исходит из того, что надо ориентироваться на наименее благоприятный случай и приписывает каждому из альтернативных вариантов наихудший из возможных результатов. После этого он выбирает самый выгодный вариант, то есть ожидает наилучшего результата в наихудшем случае. Для каждого иного внешнего состояния результат может быть только равным этому или лучшим.
  Позиция относительного пессимизма:
  . (4.7)
  Для каждого варианта решения конструктор оценивает потери в результате по сравнению с определенным по каждому варианту наилучшим результатом, а затем из совокупности наихудших результатов выбирает наилучший согласно представленной оценочной функции.
 Таблица 4.3.
 Влияние вида оценочных функций на выбор размеров кабеля
 Уравнение Оценочная функция Результат (4.6) (4.5) (4.7) (4.4) Ряд таких оценочных функций можно было бы продолжить. Некоторые из них получили широкое распространение в хозяйственной деятельности. Так, если условия эксплуатации заранее не известны, ориентируются обычно на наименее благоприятную ситуацию. Это соответствует оценочной функции (4.6). Нередко используются также функции (4.6) и (4.7).
  В табл. 4.3 показан пример выбора сечения А кабеля при неизвестной токовой нагрузке S с использованием всех четырех вышеназванных оценочных функций. Константа k здесь одна и та же для всех четырех случаев. Отметим, что результаты зависят только от Sмакс и Sмин, т. е. от максимальной и минимальной токовых нагрузок.
  Приведенные результаты существенно различаются. Они упорядочены таким образом, что влияние минимальной токовой нагрузки Sмин нарастает от строки к строке, т. е. получающиеся сечения становятся все меньше и меньше. Решение при этом становится все более оптимистичным. При этом выбор критерия определяется исключительно позицией конструктора. Поясним эти положения.
  Влияние исходной позиции конструктора на эффективность результата решения можно интерпретировать, исходя из наглядных представлений. Простейшим здесь является графическое изображение на плоскости, для чего мы временно ограничимся случаем с двумя (п =2) внешними состояниями при т вариантах решения. Полезно, разумеется, чтобы мы уяснили для себя и, руководствуясь дальнейшими построениями, рассмотрели самостоятельно, как обобщается изложенное на случай большего, чем два, числа состояний, особенно на случай п=3, графически труднее представимый, но хорошо интерпретируемый в пространстве.
  Введем теперь прямоугольную систему координат, откладывая по оси абсцисс значения результата решения еi1, соответствующие внешнему состоянию F1 а по оси ординат - значения еi2, соответствующие состоянию F2, i=1, ..., т. В этом случае каждый вариант решения Ei, соответствует точке (ei1, ei2), i=1, ... т, на плоскости. Точку с координатами мы назовем утопической точкой (УТ). Смысл этого названия в том, что координаты всех точек , соответствующих вариантам решений не могут быть больше, чем у точки УТ, и что УТ встречается среди этих т точек только в том редком, идеальном случае, когда существует вариант решения, дающий максимальный результат для каждого из (двух) возможных внешних состояний. Аналогичное значение имеет и так называемая антиутопическая точка (АУТ), имеющая координаты координаты всех точек , соответствующих вариантам решений , не могут быть меньше, чем у точки АУТ. Отсюда следует, что все m точек лежат внутри прямоугольника, стороны которого параллельны координатным осям, а противоположные вершины - точки УТ и АУТ; мы называем этот прямоугольник полем полезности решений (рис. 4.1).
  Теперь, чтобы сравнить варианты решений с точки зрения их качества, назовем вариант Ei не худшим, чем вариант Еj если для соответствующих точек и выполняются неравенства и . Причем Ei считается лучшим, чем Ej, если хотя бы одно из этих двух неравенств является строгим.
  Очевидно, что при таком определении не любые два варианта решений допускают сравнение в том смысле, что один из них оказывается лучше другого. (Может случиться, что для точек и , соответствующих вариантам Ei и Ej выполняются, например, неравенства и ). На математическом языке это означает, что на множестве вариантов решений установлено так называемое отношение частичного порядка. Это отношение частичного порядка обладает рядом свойств, хорошо усматриваемых на рис. 4.1. Выберем в поле полезности произвольную точку, которую будем называть. рассматриваемой (РТ). С помощью прямых, параллельных координатным осям, разобьем плоскость на четыре части и обозначим их I, II, III и IV. В рассматриваемом нами двумерном случае каждая из этих частей имеет вид (бесконечного) прямоугольника; в случае произвольной размерности они превращаются в так называемые конусы.
  Рассматривая положение точек поля полезности относительно этих четырех .конусов, можно в общем случае сказать следующее. Все точки из конуса I в смысле введенного выше частичного порядка лучше, чем рассматриваемая точка РТ. Поэтому мы называем конус I конусом предпочтения. Соответственно все точки из конуса III хуже точки РТ, и мы будем называть область III антиконусом. Таким образом, оценка качества точек из этих двух конусов в сравнении с точкой РТ проста и однозначна. Оценка же точек в отмеченных штриховкой конусах II и IV является неопределенной, вследствие чего их называют областями неопределенности. Для этих точек оценка получается только с помощью выбранного критерия принятия решения. В случае m вариантов решений и п внешних состояний Fi,...,Fn критерий принятия решения можно представить в виде
 
 или
 .
 Функция п переменных К. характеризует соответствующий критерий и задает одновременно оценочную функцию. Для анализа критерия рассмотрим, полагая ei1=x1, еi2=х2, ..., еin=хп, функцию К на всем n-мерном пространстве Rn. Тогда каждому значению действительного параметра k посредством равенства
 K(x1,...,xп)=k
 ставится в соответствие некоторая гиперповерхность в пространстве Rn, называемая нами поверхностью уровня, соответствующей значению k. В двумерном случае, интересующем нас ввиду его наглядности, мы специально полагаем ei1=x1=u, и еi2=х2=v, отождествляя тем самым еi1-ось с u-осью, а еi2-ось с v-осью, и с помощью равенства
 K(u,v)=k .
 Получаем в этом случае на плоскости (и, v) кривую, называемую линией уровня, соответствующей значению k. При фиксированном уровне k уравнение K(и,v)=k определяет функциональную зависимость между переменными и и v, называемую функцией предпочтения; так же называют и соответствующую кривую на плоскости (u, v).
  Рассмотрим, например, оценочную функцию (4.5). При еi1=и и еi2=v получаем для т=2 семейство функций предпочтения, зависящих от параметра k:
 (u+v)/n=k .
  При графическом изображении это выражение дает прямые, параллельные биссектрисе второго и четвертого квадрантов плоскости (и,v). Поскольку рассматриваемому критерию, в соответствии с которым путем оптимального выбора решения максимизируется среднее значение всех возможных результатов, отвечает нейтральная в известном смысле позиция принимающего решение, мы приписываем название "нейтральной" и соответствующей функции предпочтения (рис. 4.2). Выберем теперь на какой-либо линии уровня этого критерия произвольную точку РТ и проведем через нее "осевой крест", разбивающий плоскость на описанные выше четыре квадранта - конус предпочтения, антиконус и конусы неопределенности.
  Все точки из областей неопределенности, лежащие справа и выше этой линии уровня, в смысле нашего критерия лучше точек, лежащих слева и ниже. Сказанное справедливо и для функций предпочтения любого другого критерия. Всякая функция (кривая) предпочтения объединяет все точки фиксированного уровня; оправа и выше ее располагаются все лучшие точки, то есть точки более высокого уровня, а слева и ниже - худшие, то есть точки более низкого уровня. Если на основе какого-либо критерия получается кривая предпочтения типа штриховой (рис. 4.2), то мы называем такую кривую вогнутой, подразумевая под этим, что в соответствующих ей областях неопределенности имеется меньшее число лучших точек, чем при нейтральном критерии (4.5). Отметим, что такая вогнутая кривая предпочтения характеризует пессимистическую исходную позицию. Кривые предпочтения типа сплошной на рис. 4.2 соответствуют оптимистическому подходу, поскольку на этот раз в сравнении с нейтральным критерием больше точек из областей неопределенности принадлежит к числу лучших; мы называем такие кривые выпуклыми. Предельный случай пессимистического подхода образуют, очевидно, граничные прямые квадранта I, а оптимистического-граничные прямые квадранта III, и чем ближе подходит кривая предпочтения к этим граничным прямым, тем в большей степени соответствующий критерий представляет пессимистическую или, соответственно, оптимистическую точку зрения. Если выбор оценочной функции отдается на усмотрение лица, принимающего решение, то, как показывают табл. 4.3 и рис. 4.2, приходится считаться с возможностью различных результатов для одного и того же решения. Таким образом, принятие решения не есть чисто рациональный процесс. Опасность возникает в тех случаях, когда оценочные функции выбираются интуитивно, иногда даже без выяснения исходной позиции принимающего решение.
  Всякое техническое или экономическое решение в условиях неполной информации - сознательно или неосознанно - принимается в соответствии с какой-либо оценочной функцией описанного выше типа. Как только это бывает признано явно, следствия соответствующих решений становятся лучше обозримыми, что позволяет улучшить их качество. При этом выбор оценочных функций всегда должен осуществляться с учетом количественных характеристик ситуации, в которой принимаются решения.
 Таблица 4.4.
 (m?2)-матрица решений
  F
  E F1 F2 E1 E11 E12 E2 E21 E22 E3 E31 E32 .
 .
 . .
 .
 . .
 .
 . Ei ei1 ei2 .
 .
 .
  .
 .
 . .
 .
 . Em em1 em2
 
 
 Таблица 2.5.
 Фатальная ситуация в принятии решений
  F1 F2 F3 ... Fj ... Fn E1 E11 E12 E13 ... e1j ... e1n 4.1.3. Особые случаи
  Схематическое сопоставление всех возможных полезностей eij различных решений в матрице табл. 4.1 облегчает поначалу их обозрение, не требуя при этом формальной оценки. Эта матрица может быть меньшего объема (табл. 4.4) и даже выродиться в единственный столбец, если будет представлена полная информация о том, с каким внешним состоянием Fj следует считаться. Это соответствует элементарному сравнению различных технических решений. Матрица решений может, однако, свестись и к единственной строке (табл. 4.5). В этом случае мы имеем дело с так называемой фатальной ситуацией принятия решений, когда в силу ограничений технического характера, внешних условий и других причин остается единственный вариант Ei, хотя его дальнейшие последствия зависят от внешнего состояния Fj, и поэтому результат решения оказывается неизвестным.
  Случается и так, что некоторый вариант решения, например Ek, оказывается настолько удачным, что для другого варианта El из матрицы решений выполняются неравенства еkj ? еlj для j = 1, ..., п. Тогда говорят, что вариант Ek доминирует над вариантом El. Вариант Ek в этом случае с самого начала оказывается лучшим, а вариант El, напротив, не представляет далее интереса. Более подробно понятие доминирования будет рассмотрено в конце раздела 4.5.
  Ради возможности графической интерпретации вернемся еще раз к решениям с двумя только внешними состояниями F1 и F2. Все варианты, доминирующие над точкой РТ, лежат на рис. 4.1 в конусе предпочтения (то есть в I квадранте), а варианты, над которыми РТ доминирует, расположены в антиконусе (в III квадранте). Следовательно, для формального оценивания остаются точки из II и IV квадрантов, первоначально названных областями неопределенности. Этими областями мы займемся в следующей главе. В этих квадрантах будут найдены варианты, оптимальные в смысле различных критериев, и даны их количественные оценки. Для этого соответствующие функции предпочтения должны быть в обеих областях разумным образом упорядочены.
 
 4.2. КЛАССИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ
  4.2.1. Минимаксный критерий
  Минимаксный критерий (ММ) [10] использует оценочную функцию (2.6), соответствующую позиции крайней осторожности.
  При
  (4.8)
 и
  (4.9)
 справедливо соотношение
  (4.10)
 где ZMM - оценочная функция ММ-критерия.
  Поскольку в области технических задач построение множества Е вариантов уже само по себе требует весьма значительных усилий, причем иногда возникает необходимость в их рассмотрении с 'различных точек зрения, условие включается во все критерии. Оно должно напоминать о том, что совокупность вариантов необходимо исследовать возможно более полным образом, чтобы была обеспечена оптимальность выбираемого варианта.
  Правило выбора решения в соответствии с ММ-критерием можно интерпретировать следующим образом:
  Матрица решений ||еij|| дополняется еще одним столбцом из наименьших результатов еir каждой строки. Выбрать надлежит те варианты Еi0, в строках которых стоят наибольшие значения еir этого столбца.
  Выбранные таким образом варианты полностью исключают риск. Это означает, что принимающий решение не может столкнуться с худшим результатом, чем тот, на который он ориентируется. Какие бы условия Fj ни встретились, соответствующий результат не может оказаться ниже Zмм. Это свойство заставляет считать минимаксный критерий одним из фундаментальных. Поэтому в технических задачах он применяется чаще всего, как сознательно, так и неосознанно. Однако положение об отсутствии риска стоит различных потерь. Продемонстрируем это на небольшом примере (табл. 4.6).
  Хотя вариант E1 кажется издали более выгодным, согласно ММ-критерию оптимальным следует считать E0={E2}. Принятие решения по этому критерию может, однако, оказаться еще менее разумным, если
  - состояние F2 встречается чаще, чем состояние F1, и
  - решение реализуется многократно.
 Таблица 4.6.
 Пример вариантов решения без учета риска
  F1 F2 eir E1 1 100 1 E2 1,1 1,1 1,1 1,1 Выбирая вариант Ei, .предписываемый ММ-критерием, мы, правда, избегаем неудачного значения 1, реализующегося в варианте E1 при внешнем состоянии F1, получая вместо него при этом состоянии немного лучший результат 1,1, зато в состоянии F2 теряем выигрыш 100, получая всего только 1,1. Этот пример показывает, что в многочисленных практических ситуациях пессимизм минимаксного критерия может оказаться очень невыгодным.
  Применение ММ-критерия бывает оправданно, если ситуация, в которой принимается решение, характеризуется следующими обстоятельствами:
  - о возможности появления внешних состояний FJ ничего не известно;
  - приходится считаться с появлением различных внешних состояний Fj;
  - решение реализуется лишь один раз;
  - необходимо исключить какой бы то ни было риск, то есть ни при каких условиях Fj не допускается получать результат, меньший, чем ZMM.
  4.2.2. Критерий Байеса - Лапласа
  При построении оценочной функции ZMM (согласно ММ-критерию) каждый вариант Ei представлен лишь одним из своих результатов . Критерий Байеса-Лапласа (BL), напротив, учитывает каждое из возможных следствий.
  Пусть qj - вероятность появления внешнего состояния Fj; тогда для BL-критерия
  , (4.11)
  , (4.12)
  (4.13)
  Соответствующее правило выбора можно интерпретировать следующим образом:
  Матрица решений ||еij|| дополняется еще одним столбцом, содержащим математическое ожидание значений каждой из строк. Выбираются те варианты Еi0, в строках которых стоит наибольшее значение eir этого столбца.
  При этом предполагается, что ситуация, в которой принимается решение, характеризуется следующими обстоятельствами:
  - вероятности появления состояний Fj известны и не зависят от времени;
  - решение реализуется (теоретически) бесконечно много раз;
  - для малого числа реализации решения допускается некоторый риск.
  При достаточно большом количестве реализации среднее значение постепенно стабилизируется. Поэтому при полной (бесконечной) реализации какой-либо риск практически исключен.
  Исходная позиция применяющего BL-критерий оптимистичнее, чем в случае ММ-критерия, однако она предполагает более высокий уровень информированности и достаточно длинные реализации.
  4.2.3. Критерий Сэвиджа
  Рассмотрим более подробно критерий Сэвиджа, введенный выше соотношением (4.7). С помощью обозначений
  (4.14)
 и
  (4.15)
 формируется оценочная функция
  (4.16)
 и строится множество оптимальных вариантов решения
 
  E0= . (4.17)
  Для понимания этого критерия определяемую соотношением (4.14) величину можно трактовать как максимальный дополнительный выигрыш, который достигается, если в состоянии Fj вместо варианта Ei выбрать другой, оптимальный для этого внешнего состояния вариант. Мы можем, однако, интерпретировать аij, и как потери (штрафы), возникающие в состоянии Fj при замене оптимального для него варианта на вариант Ei. Тогда определяемая соотношением (4.15) величина eir представляет собой - при интерпретации аij в качестве потерь - максимальные возможные (по всем внешним состояниям Fj, (j=1, ..., n) потери в случае выбора варианта Ei. Теперь, согласно (4.16) и (4.17), эти максимально возможные потери минимизируются за счет выбора подходящего варианта Ei.
  Соответствующее S-критерию правило выбора теперь интерпретируется так:
  Каждый элемент матрицы решений ||еij|| вычитается из наибольшего результата соответствующего столбца.
  Разности aij образуют матрицу остатков ||aij||. Эта матрица пополняется столбцом наибольших разностей еir. Выбираются те варианты Еi0, в строках которых стоит наименьшее для этого столбца значение.
  По выражению (4.16) оценивается значение результатов тех состояний, которые, вследствие выбора соответствующего распределения вероятностей, оказывают одинаковое влияние на решение. С точки зрения результатов матрицы ||еij|| S-критерий связан с риском, однако, с позиций матрицы ||aij||, он от риска свободен. В остальном к ситуации принятия решений предъявляются те же требования, что и в случае ММ-критерия.
  4.2.4. Расширенный минимаксный критерий
  Рассмотрим в заключение еще один метод, допускающий интерпретацию в качестве расширенного минимаксного критерия. В нем используются понятия теории вероятностей, а также теории игр. В технических приложениях этот критерий до сего времени применяется мало.
  Основным здесь является предположение о том, что каждому из n возможных состояний Fj приписана вероятность его появления qj: .
  Сформируем из n вероятностей qj вектор q = (q1, ..., qn) и обозначим через W(n) множество всех n-мерных вероятностных векторов. Выбор какого-либо варианта решения Ei приводит при достаточно долгом применении Ei к среднему результату . Если же теперь случайным образом с распределением вероятностей p=(p1,...,pm)?W(m) смешать m вариантов решений Ei, то в результате получим среднее значение
 .
  В реальной ситуации вектор q=(q1, ..., qn), относящийся к состояниям Fj, бывает, как правило, неизвестен. Ориентируясь применительно к значению e(p, q) на наименее выгодное распределение q состояний Fj и добиваясь, с другой стороны, максимального увеличения e(p, q) за счет выбора наиболее удачного распределения p вариантов решения Ei, получают в результате значение, соответствующее расширенному ММ-критерию.
  Обозначим теперь E(p) обобщенный вариант решения, определяемый с помощью выбора вероятностного вектора , а через - множество всех таких критериев.
 E(p0) = {E(p0)| E(p0)?? e(p0, q0) =},
 где p - вероятностный вектор для Ei, а q - вероятностный вектор для Fj.
  Таким образом, расширенный ММ-критерийзадается целью найти наивыгоднейшее распределение вероятностей на множестве вариантов Ei, когда в многократно воспроизводящейся ситуации ничего не известно о вероятностях состояний Fj. Поэтому предполагается, что Fj распределены наименее выгодным образом.
  4.2.5. Применение классических критериев
  Из требований, предъявляемых рассмотренными критериями к анализируемой ситуации, становится ясно, что вследствие их жестких исходных позиций они применимы только для идеализированных практических решений. В случаях, когда требуется слишком сильная идеализация, можно одновременно применять поочередно различные критерии. После этого среди нескольких вариантов, отобранных таким образом в качестве оптимальных, приходится все-таки волевым образом выделять некоторое окончательное решение. Такой подход позволяет, во-первых, лучше проникнуть во все внутренние связи проблемы принятия решений и, во-вторых, ослабляет влияние субъективного фактора.
  Выбор решения по классическим критериям проиллюстрируем следующим примером.
  Пусть некоторую машину (технологическую установку, конвейер, станок и тому подобные) требуется подвергнуть проверке с приостановкой, естественно, ее эксплуатации. Из-за этого приостанавливается выпуск продукции. Если же эксплуатации машины помешает не обнаруженная своевременно неисправность, то это приведет не только к приостановке работы, но и дополнительно к поломке.
  Варианты решения таковы:
  E1 - полная проверка;
  Е2 - минимальная проверка;
  Е3 - отказ от проверки.
  Машина может находиться в следующих состояниях:
  F1 - неисправностей нет;
  F2 - имеется незначительная неисправность;
  F3 - имеется серьезная неисправность.
  Результаты включают затраты на проверки и устранение неисправности, а также затраты, связанные с потерями в продукции и с поломкой. Они приведены в таблице 4.7.
 
 Таблица 4.7
 Варианты решения о проверках машины и их оценки (в 103)
 согласно ММ- и BL-критериям для qi = 0,33
  F1 F2 F3 ММ-критерий BL- критерий E1 -20,0 -22,0 -25,0 -25,0 -25,0 -22,33 Е2 -14,0 -23,0 -31,0 -31,0 -22,67 Е3 0 -24,0 -40,0 -40,0 -21,33 -21,33
  Согласно ММ-критерию (4.103.3), следует проводить полную проверку (E0={Е1}). BL-критерий в предположении, что все состояния машины равновероятны (qi = 0,33), рекомендует отказаться от проверки (E0={Е1}). Табл. 4.8 иллюстрирует применение S-критерия. Им в качестве оптимальной рекомендуется минимальная проверка.
  Наш пример сознательно выбран так, что каждый критерий предлагает новое решение. Неопределенность состояния, в котором проверка застает машину, превращается теперь в отсутствие ясности, какому же критерию следовать. Таким образом, мы вроде бы мало что выиграли. Самое большее, можно было бы проверить после этого, не принимают ли величины eir для какого-нибудь критерия приблизительно |равные значения, как, например, e2r = 14,0·103 и e3r = 15,0·103 в табл. 4.8;
 
 Таблица 4.8

<< Пред.           стр. 4 (из 5)           След. >>

Список литературы по разделу