КОВАЛEНКО А Г МАТEМАТИЧEСКИE МОДEЛИ ОДНОПРОДУКТОВОГО РАССРEДОТОЧEННОГО РЫНКА И ИХ ИССЛEДОВАНИE М 2006 27 С 2

<< Пред. стр. 2 (из 2) След. >>

?{(|Bk (Pk (0) ; Ph1(v) (0) ,v?V ?( k ); Ph2(v) (0) ,v?V ? ( k )) | ?
|Bk (Pk (0) ; Ph1(v) (0) ,v?V ?( k ); Ph2(v) (0) ,v?V ? ( k ))+ ?Bk | ) : k? J}=
?{??Bk : k? J } +
?{(|Bk (Pk (0) ; Ph1(v) (0) ,v?V ?( k ); Ph2(v) (0) ,v?V ? ( k )) | ?
|Bk (Pk (0) ; Ph1(v) (0) ,v?V ?( k ); Ph2(v) (0) ,v?V ? ( k ))+ ?Bk | ) : k? J}?
?{??Bk : k? J } +
?{(|Bk (Pk (0) ; Ph1(v) (0) ,v?V ?( k ); Ph2(v) (0) ,v?V ? ( k )) ?
Bk (Pk (0) ; Ph1(v) (0) ,v?V ?( k ); Ph2(v) (0) ,v?V ? ( k ))? ?Bk | ) : k? J}=
?{??Bk : k? J } + ?{(| ? ?Bk | ) : k? J}=0, т.е. ? ? 0.
Откуда получаем требуемое.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЛЕММЫ 2.
Докажем правое неравенство, возможны 2 случая. 1 случай B > 0. Так как функции ?i (x) , i=1,2,3,...m, строго возрастающие, то возрастающей является и функция ?{?i (x) : i=1,2,3,...m} , поэтому из (3.3) следует, что x (B) - x (0) > 0 и тогда (3.4) можно записать
li (x (B) ? x (0) ) ? (?i (x (B) ) - ?i (x (0)) )? Li (x (B) - x (0)). (П.1)
Вычитая из первого равенства (3.4) второе, будем иметь
B=?{?i ( x (B)) ? ?i ( x (0)) : i=1,2,3,...m}, (П.2)
воспользовавшись правой частью (П.1) получим B ? ( x (B) - x (0)) ?{Li : i=1,2,3,...m}. Отсюда
(x (B)- x (0)) ? B / ?{Li : i=1,2,3,...m}. Воспользовавшись левой частью неравенства (П.1) получим
(?i (x (B) ) - ?i (x (0)) ) / B ? li (x (B) ? x (0) ) / B ? li / ?{Lk : k=1,2,3,...m}. (П.3)
2 случай. B < 0. Тогда x (B) - x (0) < 0 и (3.3) примет вид
- li (x (B) - x (0) ) ? - (?i (x (B)) - ?i (x (0)))? - Li (x (B) - x (0) ). (П.4)
Из (3.4) и правой части двойного неравенства (П.4)
?B =?{- (?i (x (B)) - ?i (x (0))): i=1,2,3,...,m}? - ( x (B) - x (0) ) ?{ Li : i=1,2,3,...,m},
поэтому (x (B) - x (0) ) ? B / ?{ Li : i=1,2,3,...,m} . Из левой части (3.8)
(?i (x (B)) - ?i (x (0))) / B ? li / ?{ Lk : k=1,2,3,...,m}
Сравнивая последнее неравенство с (П.3) получаем справедливость правого неравенства.
Докажем левое неравенство леммы, также рассмотрим 2 случая.
1 случай B > 0. Воспользовавшись (П.2) и левой частью (П.1) получим
B? (x (B)- x (0)) ?{li : i=1,2,3,...m}. Отсюда (x (B)- x (0)) ? B / ?{li : i=1,2,3,...m}. Воспользовавшись правой частью неравенства (П.1) получим
(?i (x (B) ) - ?i (x (0)) )? Li (x (B) ? x (0) ) ? B Li / ?{lk : k=1,2,3,...,m}. (П.5)
2 случай. B < 0. Из (П.2) и левой части двойного неравенства (П.4)
? B =?{- (?i (x (B)) - ?i (x (0))): i=1,2,3,...,m}? - ( x (B) - x (0) ) ?{ li : i=1,2,3,...,m},
поэтому (x (B) - x (0) ) ? B / ?{ li : i=1,2,3,...,m} . Из правой части (П.4)
(?i (x (B)) - ?i (x (0))) ? B Li / ?{ lk : k=1,2,3,...,m}
Сравнивая последнее неравенство с (П.5) получаем справедливость левого неравенства.
Лемма доказана полностью.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЛЕММЫ 3. Квадратные матрицы A и B, где A обладает свойствами 1. - 5. леммы, будем называть эквивалентными, если
1. матрица B обладает свойствами 1. - 5. леммы,
2. из detA?0 следует detB?0 и наоборот.
Квадратную матрицу C, обладающую свойствами 1. - 5. леммы будем называть нормализованной, если всех i=1,2,3,..., M cii = 1. Очевидно, что в этом случае | ci j | ?1.
Легко видеть, что умножение строки на положительное число дает эквивалентное преобразование матриц. Для нормализации матрицы достаточно элементы cij каждой i-ой строки разделить на cii . Рассмотрим преобразование полного исключения Гаусса-Жордана, которое не изменяет значения определителя и позволяет привести матрицу к диагональному виду. Пусть выполняется элементарная операция преобразования Гаусса-Жордана нормализованной матрицы A=[aij] в матрицу B=[bij] : элементы строки k (k?N) матрицы B получаются из матрицы A умножение элементов строки i (aii - ведущий элемент, i?N) на число ??0 и сложение с соответствующими элементами строки k, т.е. b k j = a k j +? ai j , все остальные элементы матриц совпадают, т.е. bi j = ai j . Очевидно, что если матрица A удовлетворяет свойствам 3.-4., то этим свойствам удовлетворяет и матрица B. В преобразовании Гаусса-Жордана значение ? выбирается таким, чтобы b ki = a ki + ? aii = 0, т.е. b k j = a k j ? a ki ai j /aii . Пусть j?k, так как a k j < 0, a ki < 0, aii = 1, ai j < 0, то b k j < 0, т.е. для матрицы B свойство 2. выполняется.
Пусть j=k, b k k = a k k ? a ki ai k / aii , так как ak k =1, aii =1, ?1< aki? 0 , ?1 < ai k? 0, то bk k> 0, т.е. для матрицы B также выполняется и свойство 1.
Таким образом получаем, что B ? A .
Положим C (0) = C. Матрица C (i), i=1,2,3,...,M, получается из матрицы C (i?1) нормализацией и выполнением описанной выше элементарной операцией для всех j=1,2,3,..., M, j?t, с разрешающим элементом aii . В результате получим C = C (0)? C (1)? C (2)?... ? C (M). На каждом шаге i=1, 2, 3, ..., M получаем матрицу C (i), которой по сравнению с матрицей C (i?1), в столбце i элемент cii (i)=1, остальные равны нулю. В матрице C (M) на главной диагонали cii (M)=1, поэтому detC (M)=1, следовательно detC ?0.
Лемма доказана полностью.

Аннотация

Используя методы теории гидравлических сетей, исследуются проблемы перехода децентрализованных экономических систем, которые можно описать как модели однопродуктового рассредоточенного рынка, из неравновесных состояний в равновесное. Исследования проводятся при предположениях, которые часто используются в экономико-математическом моделировании, а также предположения, анализ которого известен в современном микроэкономическом анализе, что поведение субъектов каждого пункта приводит к его равновесию.

The summary

Using methods of the theory of hydraulic circuits, we research problems of transition of the not centralized economic systems, which can be described as model of the one-grocery dispersed market, from nonequilibrum condition to equilibrum condition. We spend researches at the assumptions, which frequently are used in economic-mathematical modeling, and also assumption, which analysis is known in the modern microeconomic analysis, that the behaviour of the subjects of each item results in its balance.

Сведения об авторе
Коваленко Алексей Гаврилович, кандидат физико-математических наук, доцент, заведующей секцией математического моделирования экономических систем Самарского государственного университета,
Адрес рабочий :
443011 Самара, ул. ак. Павлова 1, кафедра информатики и вычислительной математики. телефон (846-2) 34-79-92, (846-2) 34-54-55
E-mail koval@ssu.samara.ru

Адрес домашний :
443084 Самара, ул. Нововокзальная 227, кв. 18. Телефон (846-2) 45-18-87
E-mail koval@samaramail.ru

Адрес для переписки лучше домашний.
??

??

??

??

8

1

<< Пред. стр. 2 (из 2) След. >>

Список литературы по разделу