<< Пред. стр. 4 (из 10) След. >>
Список литературы по разделу
Рис. 6.3. Зависимости, отражающие скидки с цены продукции:
а - дискретная ("ступенчатая") зависимость и ее аппроксимация прямой, формула (6.14);
б - нелинейные зависимости скидок, формула (6.15): 1 (а0 = 0,7; в0 = 0,99);
2 (а0 = 0,5; в0 = 0,99).
Таблица 6.2
Изменение цены и затраты на хранение от размера партии
Номер
Размер партии поставки, ед.
Цена единицы товара Cnj,
Доля от цены на хранение единицы товара i
Затраты на хранение единицы товара Cxj, у. е.
у. е.
1
янв.99
2,5
0,24
0,6
2
10000-19999
2,0
0,20
0,4
3
20000 и более
1,5
0,20
0,3
Запишем систему уравнений для общих издержек с учетом данных, приведенных в табл.6.2, а также следующих условий [17]: А=106 ед.; С0=2,5 у.е.; ? = 0,5
(6.13)
С помощью формулы (6.3) находим оптимальные величины заказа для каждой партии: S01=9130 ед.; S02=11180 ед.; S03=12910 ед.
Поскольку величины заказов S 01 и S 02 лежат в пределах граничных значений, то они должны быть выбраны в качестве оптимальных. Для третьей величины S 03 ограничение на размер партии не соблюдается, поэтому рассчитываются минимальные общие издержки на границе при S = 20 000 ед.
Проведя аналогичные расчеты для второго уравнения при S02, т.е. для оптимальной партии, находим С2min = 2000450 у.е.
Следовательно, наименьшие общие затраты, связанные с запасами, соответствуют величине партии S= 20000 ед.
При увеличении количества ступеней "лестницы скидок", вместо системы уравнений (6.13) используются непрерывные зависимости, рис. 6.3.,
(6.14)
или
(6.15)
где ?, ai, bi - коэффициенты.
Рассмотрим пример определения Cn и коэффициента ? уравнения (6.14) на основании данных, приведенных в табл. 6.3.
Таблица 6.3
Скидки с цены за объем закупок [2]
Расходы, дол.
Объем закупок, ед.
5,0
1-99
4,5
100-200
4,0
201-300
3,5
301-400
3,0
401-500
Из рис.6.3. видно, что можно применить разные зависимости: по минимуму, по максимуму или средней величине объема закупок при одинаковой цене за единицу товара. Если выбрана зависимость для максимальных значений, то в качестве опорных точек могут быть взяты любые значения из правого столбца таблицы, например 99 ед. и 300 ед. Тогда, уравнения для определения Cn и ? запишутся в виде
5 = C n (1- ? ? 99),
4 = C n (1- ? ? 300).
После преобразований находим Cn =5, 492, ? = 0,0009 , т.е. Cs = 5,492 (1-0,0009 S), 1 ? S < 1110.
Рассмотрим зависимость (6.15), рис.6.3. б. Коэффициент a0 отражает предельное снижение цены единицы продукции Cп при S ??. Допустим, что коэффициент а1 = 1 - а 0.
Коэффициенты b0 и b1 позволяют охарактеризовать изменения кривой Cs. Предположим, что 0 < b0 < 1 и коэффициенты b0 и b1 связаны соотношением b1 = 1 - b0 .
В табл. 6.4. приведены значения функции Cs при Cn = 1 для различных величин заказа S (от 10 до 500), при а 0 =0,7 и а 0 =0,5, а также различных коэффициентах b 0 . Из анализа данных табл. 6.4. следует, что функция (6.15) позволяет довольно гибко учитывать зависимость между величиной скидки и объемом заказа.
Для примера рассчитаем коэффициенты аi и bi по данным табл. 6.3.
Поскольку предельное уменьшение цены Cmin = 3 дол., то а0 = 3/5=0,6 и, соответственно, а1 =0,4.
Для определения коэффициента b0 воспользуемся значениями S = 250 ед., Cs = 4,0 долл., и после подстановки в уравнение (6.15) получим:
откуда b0 =0,996, b1 = 1 - b0 = 0, 004.
Определим оптимальный размер заказа с учетом скидки по формуле (6.14) и введения коэффициента ? при учете оплаты за хранение. Тогда, критериальное уравнение запишется в виде
, (6.16)
Приравняв частную производную , после преобразований находим
aS3 + bS2 + d = 0, (6.17)
где: а = 2??Сni; b = -?Сni; d = C0A.
Таблица 6.4
Изменение величины скидки в зависимости от объема заказа,
формула (6.15)
Заказ S, шт.
Коэффициенты b0 (при a0=0,7)
Коэффициенты b0 (при a0=0,5)
0,7
0,9
0,99
0,7
0,9
0,99
10
0,780
0,860
0,975
0,635
0,751
0,959
50
0,719
0,751
0,901
0,532
0,584
0,836
100
0,710
0,728
0,850
0,516
0,546
0,751
200
0,705
0,714
0,800
0,508
0,524
0,667
300
0,703
0,710
0,775
0,505
0,516
0,625
400
0,702
0,707
0,760
0,504
0,512
0,600
500
0,702
0,705
0,750
0,503
0,509
0,583
Для решения кубического уравнения (6.17) можно воспользоваться аналитическим или численным (итерационным) способами.
Аналитический способ. Один из вариантов сводится к следующему:
1. Вводится новая переменная y = S+(b\3a).
2. При подстановке в уравнение (6.17), после преобразований находим:
y3 + 3py + 2q = 0, (6.18)
где p = -b2/9a2;
3. Число действительных корней уравнения (6.18) зависит от знака дискриминанта
D = q2 + p3
При D>0 действительный корень равен (формула Кардана)
, (6.19)
При D < 0 для определения корней уравнения (6.18) используются специальные формулы.
Приближенный способ (метод итераций). Запишем уравнение (6.17) в виде
, (6.20)
где S0 рассчитывается по формуле (6.12).
Подставив в правую часть S=S0, находим первое приближение S1 и сравним с S0, затем подставляем S=S1 и находим S2 и т.д. Процесс повторяется несколько раз до достижения заданной точности.
Пример. Определим оптимальную величину заказа при учете скидок, формула (6.14), и следующих исходных данных: А=1200 ед., С0=60,8 у.е.; Сn=29,3 у.е., i=0,22; ?=0,5 и ?=0,001. Тогда, уравнение суммарных затрат запишется в виде
, (6.21)
Для исследования зависимости C?=f(S), выполним вспомогательные расчеты (см. табл. 6.5) и построим график C?=f(S), рис.6.4. Из рис.6.4 видно, что учет скидок приводит к изменению традиционной зависимости C?=f(S); в данном случае у зависимости суммарных затрат C? наблюдается не только минимум, но и максимум. Это говорит о том, что если величина заказа ограничена, например S
Для определения S0 воспользуемся формулой (6.12)
Тогда первое приближение
Второе приближение
Продолжив вычисления, находим S3=191,5; S4= 192,2. В виду того, что ?S=|S4-S3|<1, примем Sопт.=192.
Пример 2. Определены зависимости составляющих суммарных затрат С? при следующих исходных данных: С0 = 19 долл.; А = 2400 шт.; ? = 0,5; i = 0,2 [2]. Скидки учтены в виде зависимости (6.14); Сn = 5,492 дол.; ? = 0,0009. Таким образом, выражение для суммарных затрат запишется в виде:
(6.22)
Таблица 6.5
Расчет составляющих и суммарных затрат на выполнение заказа с учетом скидок на величину заказа, формула (6.21)
Величина заказа, S ед.
Затраты на выполнение заказа
Затраты на хранение
Суммарные затраты
С х
С ?
Без учета скидки
С учетом скидки
Без учета скидки
С учетом скидки
100
729,6
322,0
290,1
1051,6
1019,7
150
486,4
483,5
411,0
969,9
897,4
200
364,8
644,6
515,7
1009,4
880,5
250
291,8
805,5
604,3
1097,3
896,1
300
243,2
967,0
676,8
1210,2
919,8
400
182,4
1289,2
773,3
1474,6
955,7
500
145,9
1611,5
805,3
1757,4
951,1
600
121,6
1933,8
773,3
2055,4
895,1
700
104,2
2256,1
676,8
2360,3
781,0
800
91,2
2578,4
515,7
2669,6
606,9
На рис.6.5 представлены составляющие затрат, связанные с заказом и хранением, а также с учетом и без учета скидок на цену товара от величины заказа (вспомогательные расчеты - табл. 6.6).
В отличие от ранее приведенных зависимостей на рис.6.1 и рис.6.4 у С? = f(S) при учете скидок не наблюдается минимума. Это имеет принципиальное значение, поскольку в данном случае невозможно рассчитать значение EOQ - оптимальную величину заказа и она должна быть определена как "экономичная" величина исходя из других критериев или ограничений.
Таблица 6.6
Расчет составляющих сумм-х затрат с учетом скидок на величину заказа, формула (21)
Величина заказа ,
Затраты на выполнение заказа
Затраты на хранение
Суммарные затраты
S ед.
С х
С ?
Без учета скидки
С учетом скидки
Без учета скидки
С учетом скидки
100
456
54,9
50
510
506
200
228
109,8
90,1
337,8
318,1
300
152
164,8
120,3
318,8
272,3
400
114
219,7
140,6
333,7
254,6
500
91,2
274,6
151,1
365,8
242,3
600
76,0
329,5
151,7
405,5
227,7
700
65,1
384,4
142,4
449,5
207,5
800
57,0
439,4
132,2
496,4
180,2
Рис. 6.4. Суммарные затраты на выполнение заказа с учетом скидок на величину заказа, зависимость (6.21.):
1 - затраты на выполнение заказа; 2 - затраты на хранение с учетом скидок; 3 - суммарные затраты с учетом скидок; 4 - затраты на хранение (без учета скидок); 5 - суммарные затраты без учета скидок.
Рассмотрим вариант при использовании зависимости (6.15). Тогда уравнение (6.15) запишется в виде:
, (6.23)
Примем, что а0=0,6; а1=0,4; b0=0,996; b1=0,004.
Исследуем зависимость C?=f(S). При подстановке исходных данных: С0=19 долл., А0=2400; ?=0,5; Сn=5 долл.; i=0,2 находим
, (6.24)
Вспомогательные расчеты приведены в табл.6.7. Графики составляющих и суммарных затрат на рис. 6.6. Из рис.6.6 видно, что при учете скидок минимум С? смещается в область больших величин заказа S, при этом сохраняется подобие с зависимостью С?, рассчитанной без учета скидок.
Для точного определения оптимальной величины заказа воспользуемся стандартной процедурой, т.е. найдем Sопт. из решения уравнения dC?/dS=0, где С? описывается выражением (6.1). После преобразований находим
KS4 + LS2 + M2 + NS + Q = 0 (6.25)
где K = ?cniaob12; L = 2?cniaobob1; M = ?cniaobo2 + ?bocnia1 - coAb12; N = -2coAbob1; Q = -cAbo2.
Анализ показал, что наиболее приемлемым является приближенный способ, при этом итерационное уравнение можно записать в виде:
(6.26)
Рассчитаем коэффициенты уравнения (6.25):
К=0,5·5·0,2·0,6·0,0042=4,8·10-6
L=2·0,5·5·0,2·0,6·0,996·0,004=2,39·10-3
M=0,5·5·0,2·0,6·0,9962+0,5·0,996·5·0,2·0,4 - 19·2400·0,0042= -0,2328
N= -2·19·2400·0,996·0,004= -363,3
Q= -19·2400·0,9962= - 45236
При подстановке численных значений в уравнение (6.26) получим
(6.27)
В качестве начальной итерации примем S0=300. При подстановке в (6.27) находим S1= 389,6.
Последующие значения: S2=360,1; S3=374,7; S4=368,2; S5=371,3; S6=370. Следовательно, шестая итерация позволяет получить приемлемую точность ?=|S6 - S5|~1.
Рис. 6.5. Составляющие суммарные затраты на выполнение заказа с учетом скидок на величину заказа, зависимость (6.22):
1 - затраты на хранение с учетом скидок; 2 - затраты на хранение (без учета скидок); 3 - затраты на выполнение заказа; 4 - суммарные затраты.
Рис. 6.6. Составляющие суммарные затраты на выполнение заказа с учетом скидок на величину заказа, зависимость (6.24):
1 - затраты на выполнение заказа; 2 - затраты на хранение; 3 - суммарные затраты; 4 - суммарные затраты с учетом скидки.
Таблица 6.7
Расчет составляющих и суммарных затрат с учетом скидок на величину заказа
Величина заказа ,
Затраты на выполнение заказа
Затраты на хранение
Суммарные затраты
S ед.
С х
С ?
Без учета скидки
С учетом скидки
Без учета скидки
С учетом скидки
100
456
50
44,3
506
500,3
150
304
75
63,8
379
367,8
200
228
100
82,3
328
310,3
250
182,4
125
100
307,4
282,4
300
152,0
150
117,3
302
269,3
400
114,0
200
150,8
314
264,8
500
91,2
250
183,4
341,2
274,6
600
76
300
215,3
376
291,3
700
65,1
350
246,9
415,1
312,0
В заключении сопоставим различные варианты расчета EOQ - экономического размера заказа. Для проведения расчетов были выбраны следующие исходные данные:
* А = 2400 ед., С0 = 19 долл., Сn = 5 долл., i = 0,2;
* коэффициент ?, учитывающий затраты на хранение, принимался равным 0,25, 0,5 и 0,75;
* значения цены Сn с учетом скидок были взяты из табл.6.3. и составили 5, 4 и 3 долл.; при расчете суммарных затрат с учетом скидок (дискретная зависимость) учитывались затраты на заказ и хранение;
* учет снижения цены Сn производился для двух зависимостей - линейной (уравнение (6.14), ?=0,0009) и нелинейной (уравнение (6.15),
a0=0,6, b0=0,996).
Таблица 6.8
Результаты расчета оптимальной величины заказа
Варианты
Коэффициент ?
0,25
0,5
0,75
Основная модель (формула Уилсона)
С учетом скидок (дискретная зависимость)
* СS1(<200)
* СS2(201-400)
* СS3(401-600)
С учетом скидок
* линейная зависимость
* нелинейная зависимость
Примечания: *) в числителе - величина заказа, в знаменателе - суммарные затраты;
**) отсутствует оптимальное значение
Анализ результатов табл. 6.8 позволяет констатировать:
* величина заказа S0 для различных вариантов расчета колеблется в широких пределах: от минимального значения S0min=246 ед. до максимального S0max=551 ед., т.е. более, чем в два раза;
* при ?=const (например, ?=0,5) колебания S0 невелики - от 302 ед. до 370 ед.;
* суммарные затраты для представленных вариантов изменяются от 83 долл. до 378 долл., т.е. более чем в четыре раза.
* при ?=const (?=0,5) диапазон значений уже - от 151 до 328 долл.
Таким образом, учет особенностей формулы Уилсона и ее модификаций позволяет повысить точность расчета путем выбора вариантов наиболее полно соответствующей системе осуществления заказов и хранения партий продукции конкретного предприятия.
Приведенные варианты определения оптимальной величины заказа расширяют границы ограничений принятых при выводе классической формулы Уилсона-Харриса и позволяет учесть влияние разных факторов, связанных с затратами на хранение партии товара на складе и скидок с оптовой цены в зависимости от размера заказываемой партии. С теоретической точки зрения при различном сочетании составляющих уравнения (6.1) возможно получение различных аналитических зависимостей - уравнений третьего, четвертого и более высоких порядков, в частности, кубического уравнения аналогичного уравнению Ван-дер-Вальса, используемого в термодинамике.
7. Применение методов прогнозирования в логистике
7.1. Основные положения теории прогнозирования
В снабженческой, производственной и распределительной логистиках широко используются методы прогнозирования, поскольку значения прогнозных оценок развития анализируемых процессов или явлений являются основой принятия управленческих решений при оперативном, тактическом и стратегическом планировании. Очевидно также, что от точности и надежности прогноза зависит эффективность реализации различных логистических операций и функций: от оценки вероятности дефицита продукции на складе до выбора стратегии развития фирмы.
Различным аспектам теории прогнозирования посвящено значительное количество исследований. В большинстве работ по прогнозированию, прогноз определяется как вероятностное научно обоснованное суждение о перспективах, возможных состояниях того или иного явления в будущем и (или) об альтернативных путях и сроках их осуществления. Под методологией прогнозирования понимается область знаний о методах, способах и системах прогнозирования, а именно:
- метод прогнозирования - способ исследования объекта, направленный на разработку прогноза;
- методика прогнозирования - совокупность одного или нескольких методов;
- система прогнозирования - упорядоченная совокупность методик и средств реализации.
Известно, что теория прогнозирования включает анализ объекта прогнозирования; методы прогнозирования, подразделяющиеся на математические (формализованные) и экспертные (интуитивные); системы прогнозирования, в частности, непрерывного, при котором за счет мониторинга осуществляется корректировка прогнозов в процессе функционирования объекта.
В работах по теории прогнозирования при анализе объектов производится классификация прогнозов, при этом в качестве основных признаков указываются следующие:
- масштабность, отражающая количество значащих переменных при описании объекта;
- сложность, характеризующая степень взаимосвязи переменных;
- детерминированность или стохастичность переменных;
- информационная обеспеченность периода ретроспекции, включая все возможные варианты от объектов с полным количественным обеспечением до объектов, у которых такое обеспечение отсутствует.
Одним из основных классификационных признаков является также период прогноза, при этом большинство авторов выделяют три вида прогнозов: краткосрочные, среднесрочные и долгосрочные. Естественно, что временные интервалы прогнозов зависят от природы объекта, то есть изучаемой области деятельности. Так, при рассмотрении технико-экономических показателей деятельности фирм период краткосрочного прогноза не превышает 1 года, среднесрочные прогноз - от 1 до 5 лет, долгосрочный - свыше 5 лет.
Наконец, математические методы прогнозирования подразделяются на три группы:
- симплексные (простые) методы экстраполяции по временным рядам;
- статистические методы, включающие корреляционный и регрессионный анализ и другие;
- комбинированные методы, представляющие собой синтез различных вариантов прогнозов.
При формировании методики прогнозирования целесообразно, на наш взгляд, рассматривать прогноз в узком (I тип прогноза) и в широком (II тип прогноза) смысле.
В узком смысле прогноз выполняется при условии, что основные факторы, определяющие развитие прогнозируемого процесса или явления, не претерпят существенных изменений.
Прогнозы I типа осуществляются с применением симплексных или статистических методов на основе временных рядов;
число значимых переменных включают от 1 до 3-х параметров, то есть по масштабности они относятся к сублокальным прогнозам;
при использовании одного параметра, например, времени, такие прогнозы считаются сверхпростыми, при двух-трех взаимосвязанных параметрах - сложными;
по степени информационной обеспеченности периода ретроспекции прогнозы I типа могут быть отнесены к объектам с полным информационным обеспечением.
Для повышения точности и достоверности прогнозных оценок I типа целесообразно использование комбинированных методов, при этом желательно использование большого количества вариантов прогноза, рассчитанных на основе различных подходов или альтернативных источников информации.
Прогноз II типа (в "широком" смысле) подразумевает, что исходные данные для получения оценок определяются с использованием опережающих методов прогнозирования: патентный, публикационный и др. Как правило, прогнозы II типа используются для долгосрочного прогнозирования и разбиваются на два этапа: первый - получение прогнозных оценок основных факторов; второй - собственно прогноз развития процесса или явления. Учитывая объективную сложность и трудоемкость выполнения прогнозов II типа, можно констатировать, что наибольшее распространение получили методы прогнозирования I типа.
Наиболее часто для прогнозирования I типа используется метод экстраполяции. В общем случае модель прогноза включает три составляющие (рис.7.1.) и записывается в виде:
, (7.1.)
где yt - прогнозные значения временного ряда;
- среднее значение прогноза (тренд);
vt - составляющая прогноза, отражающая сезонные колебания (сезонная волна);
- случайная величина отклонения прогноза.
В частных случаях количество составляющих модели меньше, например, только yt и .
Подробно вопросы прогнозирования с использованием методов экстраполяции изложены в ряде работ, но в виду отсутствия общепринятого алгоритма обработки временных рядов может быть предложена следующая последовательность расчета.
1. На основе значений временного ряда на прогнозном периоде (интервале наблюдения) с использованием метода наименьших квадратов определяются коэффициенты уравнения тренда , видом которого задаются. Обычно для описания тренда используются полиномы различных порядков, экспоненциальные, степенные функции и т. п.
2. Для исследования сезонной волны значения тренда исключаются из исходного временного ряда. При наличии сезонной волны определяют коэффициенты уравнения, выбранного для аппроксимации vt.
3. Случайные величины отклонения определяются после исключения из временного ряда значений тренда и сезонной волны на прогнозируемом периоде. Как правило, для описания случайной величины используется нормальный закон распределения.
4. Для повышения точность прогноза применяются различные методы (дисконтирование, адаптация и другие). Наибольшее распространение в практике расчетов получил метод экспоненциального сглаживания, позволяющий повысить значимость последних уровней временного ряда по сравнению с начальными.
Рис. 7.1. Прогнозирование на основе временных рядов:
1 - экспериментальные данные на интервале наблюдения (А); 2 - тренд; 3 - тренд и сезонная волна; 4 - значение точечного прогноза на интервале упреждения (В); 5 - интервальный прогноз.
7.2. Пример прогноза текущего запаса на складе
Рассмотрим применение методов прогнозирования на основе данных расхода деталей на складе, взятом из работы [2]. В табл. 7.1. приведены три реализации текущего расхода; для каждой реализации даны величины расхода за день и интегральные характеристики, представляющие собой расход деталей со склада за соответствующий цикл.
Проиллюстрируем возможные варианты прогнозов для одной реализации и для ансамбля из трех реализаций.
Пример 1. Воспользуемся первой реализацией. Допустим, что нам известны значения расхода деталей со склада за пять дней работы, табл.7.2.
Выберем уравнение тренда в виде линейной зависимости
yt = a0 + a1 t (7.2.)
Расчет коэффициентов уравнения a0 и a1 производится по формулам:
a0 = (7.3.)
a1 = (7.4.)
Напомним, что формулы (7.3.),(7.4) получены на основе метода наименьших квадратов.
Входящие в формулы значения сумм рассчитаны в табл. 7.2. Подставляя их значения, находим a0 = 45,2, a1 = -3,0. Таким образом, уравнение прогноза пишется в виде
yt = 45,2 - 3,0t
Таблица 7.1.
Динамика спроса в течение трех циклов расхода запасов
1-й цикл
2-й цикл
3-й цикл
День j
Спрос ед.
Всего с начала цикла
День j
Спрос ед.
Всего с начала цикла
День j
Спрос ед.
Всего с начала цикла
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
9
2
1
3
7
5
4
8
6
5
9
<< Пред. стр. 4 (из 10) След. >>
Список литературы по разделу