<< Пред.           стр. 1 (из 19)           След. >>

Список литературы по разделу

 
 Учебники «Феникса»
 П. П. Ниворожкина, 3. А. Морозова,
  П. А. Герасимова., П. В. Житников
 ОСНОВЫ СТАТИСТИКИ С ЭЛЕМЕНТАМИ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ
 Руководство для решения задач
 Рекомендовано
 Министерством общего
 и профессионального образования
 Российской Федерации
 в качестве учебного пособия
 для студентов
 высших учебных заведений,
 обучающихся по экономическим
 специальностям и направлениям
 
 
 Ростов-на-Дону «Феникс» 1999
 
 УДК 311(075.8)
  ББК 606я73
  Н60
 
 
 
 Рецензенты:
 Заслуженный деятель науки РФ, доктор экономических наук, профессор В. С. Князевский
 Кафедра высшей математики Московского государствен­ного института стали и сплавов
 Учебно-методический совет по специальности «Статисти­ка» УМО при Московском государственном университете экономики, статистики и информатики
 Ниворожкина Л. П., Морозова 3. А.,
  Герасимова И. А., Житников И. В.
  Основы статистики с элементами теории вероят­ностей для экономистов: Руководство для решения задач. — Ростов н/Д: Феникс, 1999. — 320 с. — (Учебники «Феникса»).
 ISBN 5-222-00560-7
 В пособии кратко и просто изложены основные понятия статисти­ки и теории вероятностей, даны методические указания по решению типовых задач. В конце каждой главы приведены 20 вариантов задач, условия которых приближены к практическим ситуациям в области маркетинга, аудита, финансов и др.
 Предназначено для студентов и аспирантов экономических вузов, преподавателей колледжей, вузов, а также для практических работ­ников, желающих научиться использовать современные статистичес­кие методы и их практические приложения при планировании своей деятельности.
 
 
 ISBN 5-222-00560-7
 ©Ниворожкина Л. И., Морозова 3. А.,
  Герасимова И. А., Житников И. В., 1999
  ©Оформление. Издательство «Фе­никс», 1999
 
 
 ПРЕДИСЛОВИЕ
 
 Рыночная экономика существенно повышает тре­бования к качеству подготовки конкурентоспособных выпускников экономических вузов. Для этого необходимо владеть современным инструментари­ем математико-статистического анализа данных. Предлагаемое учебное пособие знакомит читателя с рядом важнейших разделов статистики и теории вероятностей, формирует основы статистического мышления. В пособии переработан и переосмыслен ряд методических подходов, используемых при чте­нии курсов по прикладной статистике и элементар­ной теории вероятностей на экономических факуль­тетах в США и Европе.
 В процессе экономического образования математико-статистические дисциплины традиционно считаются наиболее сложными для студентов. Предла­гаемое пособие ставит своей целью помочь тем, кто осваивает эти курсы, особенно в системе заочного образования, понять прикладной, практический смысл проблем, решаемых с помощью статистики, а также помочь самостоятельно выполнить домашние задания по представленным темам.
 Каждая глава начинается с краткого изложения основных теоретических понятий и формул. Авто­ры стремились подать этот материал так, чтобы, избегая громоздких математических доказательств, на доступном уровне донести до читателя сложные понятия современной статистики.
 Для всех основных типов задач, которые можно решить на базе изложенного теоретического материала, приведены методики их решения, которые не только дают «рецепты» для получения ответов, но, прежде всего, помогают читателю освоить основы ста­тистического вывода при решении различных задач из области практической деятельности. Если чита­тель поймет, для чего необходимо использовать тот или иной статистический метод, ему легче будет ос­воить и его формальный вычислительный алгоритм, увидеть, что полученный результат — не просто чис­ло, а сконцентрированное выражение того, что ис­ходные данные несут в себе об изучаемом явлении.
 Для того чтобы процесс обучения носил актив­ный характер, тексты задач максимально прибли­жены к реальным ситуациям в различных облас­тях экономики, таких, как бухгалтерский учет и аудит, финансы, маркетинг и т. д. Решение их по­может понять универсальность статистического ана­лиза как инструмента решения проблем, связанных с риском и неопределенностью.
 В книге приведены основные таблицы математи­ческой статистики, необходимые для решения за­дач (приложения 1-6), а также список рекомендуе­мой литературы.
 
 
 
 1. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
 Этот материал не относится непосредственно к теории вероятностей и математической статистике, однако необходим в дальнейшем при расчетах ве­роятностей.
 Комбинаторика происходит от латинского слова «combinatio» — соединение.
 Группы, составленные из каких-либо предме­тов (безразлично каких, например, букв, цветных шаров, кубиков, чисел и т. п.), называются соеди­нениями (комбинациями).
 Предметы, из которых состоят соединения, называются элементами.
 Различают три типа соединений: размещения, перестановки и сочетания.
 1.1. Размещения
 Размещениями из п элементов по т в каждом называются такие соединения, из которых каждое содержит т элементов, взятых из числа дан­ных n элементов, и которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одним), либо лишь порядком их расположения.
 Число размещений из п элементов по т в каж­дом обычно обозначается символом Аnm и вычисля­ется по следующей формуле*:
 * Выводы формул для числа размещений, а в последующем изложении — для числа сочетаний, опускаются. Их можно найти в курсе элементарной алгебры.
 
 1.2. Понятие факториала
 Произведение п натуральных чисел от 1 до n обо­значается сокращенно п!, т. е. 1·2·3·...·(n -1)·n= n! (читается: п факториал). Например:
 5!=1·2·3·4·5=120.
 
 Считается, что 0! = 1.
 Используя понятие факториала, формулу (1.1) можно представить так:
 где 0 „ т„ n.
 Очевидно, что Аn1= п (при m = 1) и Аn0=n (при m= 0).
 Пример 1. Правление коммерческого банка вы­бирает из 10 кандидатов 3 человек на различные должности (все 10 кандидатов имеют равные шан­сы). Сколько всевозможных групп по 3 человека можно составить из 10 кандидатов?
 Решение. В условии задачи речь идет о расчете числа комбинаций из 10 элементов по 3. Так как
 группы по 3 человека могут отличаться и составом претендентов, и заполняемыми ими вакансиями, т. е. порядком, то для ответа необходимо рассчитать число размещений из 10 элементов по 3:
 N=А310=10·9·8=720
 
 Ответ. Можно составить 720 групп по 3 человека из 10.
 1.3. Размещения с повторениями
 Размещение с повторениями из n элементов по m(mn) элементов может содержать любой элемент сколько угодно раз от 1 до m включительно, или не содержать его совсем, т. е. каждое размещение с повторениями из n элементов по m элементов мо­жет состоять не только из различных элементов, но из m каких угодно и как угодно повторяющихся элементов.
 Соединения, отличающиеся друг от друга хотя бы порядком расположения элементов, считаются различными размещениями.
 Число размещений с повторениями из n элемен­тов по m элементов будем обозначать символом Аnm(c повт.) . Можно доказать, что оно равно nm:
 
 Аnm(c повт.) =nm (1.3)
 Пример 2. Изменим условие примера 1. Правле­ние коммерческого банка выбирает из 10 кандидатов 3 человек на 3 различные должности. Предпо­ложим, что один и тот же отобранный из 10 претендентов кандидат может занять не только одну, но и 2, и даже все 3 различные вакантные должности. Сколько в данном случае возможно комбинаций замещения 3 вакантных должностей?
 Решение. Как и в предыдущей задаче, комби­нации замещения вакантных должностей могут отличаться и составом претендентов и заполняе­мыми ими вакансиями, т.е. порядком. Следовательно, и в этом случае для ответа на вопрос зада­чи необходимо рассчитать число размещений. Од­нако теперь вакантные должности могут замещать­ся одним и тем же претендентом, а значит, здесь речь идет о расчете числа размещений с повторе­ниями.
 По условию задачи п = 10, т = 3. Следователь­но, Аnm=103=1000.
 Ответ. Можно составить 1000 комбинаций.
 1.4. Сочетания
 Сочетаниями из п элементов по m в каждом называются такие соединения, из которых каж­дое содержит т элементов, взятых из числа дан­ных п элементов, и которые отличаются друг от друга по крайней мере одним элементом.
 Число сочетаний из п элементов по m в каждом обозначается символом Cnm и вычисляется так:
 или
 Пример 3. Правление коммерческого банка вы­бирает из 10 кандидатов 3 человек на одинаковые должности (все 10 кандидатов имеют равные шан­сы). Сколько всевозможных групп по 3 человека можно составить из 10 кандидатов?
 Решение. Состав различных групп должен отли­чаться по крайней мере хотя бы одним кандидатом и порядок выбора кандидата не имеет значения, сле­довательно, этот вид соединений представляет собой сочетания. По условию задачи п = 10, т = 3. Подставив данные в формулу (1.5), получаем
 
 Ответ. Можно составить 120 групп из 3 человек по 10.
 Замечание. Надо уметь различать сочетания от раз­мещений. Например: если в группе 25 студентов и 10 человек из них, выйдя из аудитории на перерыв, стоят вместе и беседуют, то порядок, в котором они стоят, несуществен. Число всех возможных групп из 25 человек по 10 в данном случае — сочетания. Если же студенты отправились на перерыве в буфет или в кассу за стипендией, то тогда существенно, в каком, порядке они стали, т. е. кто из них первый, второй и т. д. В этой ситуации при подсчете возможных групп из 25 человек по 10 необходимо состав­лять размещения.
 1.5. Сочетания с повторениями
 Сочетание с повторениями из n элементов по m (n I m) элементов может содержать любой элемент сколько угодно раз от 1 до m включительно или не содержать его совсем, т. е. каждое сочетание из n элементов по m элементов может состоять не толь­ко из m различных элементов, но из m каких угод­но и как угодно повторяющихся элементов.
 Следует отметить, что если, например, два со­единения по m элементов отличаются друг от друга только порядком расположения элементов, то они не считаются различными сочетаниями.
 Число сочетаний с повторениями из n элементов по m будем обозначать символом (Cnm)c повт и вычислять по формуле
 Замечание, т может быть и больше n.
 Пример 4. Сколькими способами можно выбрать 6 пирожных в кондитерской, где есть 4 разных сорта пирожных?
 Решение.
 Ответ. Существует 84 различных способа выбора пирожных.
 1.6. Перестановки
 Перестановками из п элементов называются та­кие соединения, из которых каждое содержит все п элементов и которые отличаются друг от друга лишь порядком расположения элементов.
 Число перестановок из п элементов обозначается символом Pn, это то же самое, что число размещений из п элементов по n в каждом, поэтому
 Пример 5. Менеджер ежедневно просматривает 6 изданий экономического содержания. Если порядок просмотра изданий случаен, то сколько суще­ствует способов его осуществления?
 Решение. Способы просмотра изданий различа­ются только порядком, так как число, а значит, и состав изданий при каждом способе неизменны. Сле­довательно, при решении этой задачи необходимо рассчитать число перестановок.
 По условию задачи п = 6. Следовательно,
 
 Рn = 6! =1·2·3·4·5·6 = 720.
 Ответ. Можно просмотреть издания 720 способами.
 1.7. Перестановки с повторениями
 Число перестановок с повторениями выражает­ся формулой
 Пример 6. Сколькими способами можно разде­лить т + п + s предметов на 3 группы, чтобы в одной группе было т предметов, в другой n пред­метов, в третьей — s предметов?
 Решение.
 Задачи к теме 1
 1. Во многих странах водительское удостовере­ние (автомобильные права) имеет шифр, состоящий из 3 букв и 3 цифр. Чему равно общее число воз­можных номеров водительских удостоверений, счи­тая, что число букв русского алфавита, используе­мых для составления шифра, — 26, а буквы занима­ют первые 3 позиции шифра? Если шифр состоит только из 6 цифр, то чему в этом случае равно об­щее число всех возможных номеров удостоверений, если: а) цифры в шифре не повторяются; б) повто­ряются?
 2. Сколько существует способов составления в случайном порядке списка из 7 кандидатов для выбора на руководящую должность? Какова вероят­ность того, что кандидаты будут расставлены в спис­ке по возрасту (от меньшего к большему)?*
 3. Руководство фирмы выделило отделу рекла­мы средства для помещения в печати объявлений о предлагаемых фирмой товарах и услугах. По рас­четам отдела рекламы выделенных средств хватит для того, чтобы поместить объявления только в 15 из 25 городских газет. Сколько существует спосо­бов случайного отбора газет для помещения объяв­лений? Какова вероятность того, что в число отобранных попадут 15 газет, имеющих наибольший ти­раж?*
 4. Менеджер рассматривает кандидатуры 8 чело­век, подавших заявления о приеме на работу. Сколько существует способов приглашения кандидатов на собеседование в случайном порядке? Какова ве­роятность того, что они случайно будут приглаше­ны на собеседование в зависимости от времени их прихода в офис?*
 5. На железнодорожной станции имеется 5 путей. Сколькими способами можно расставить на них 3 состава? Какова вероятность того, что составы слу­чайно будут расставлены на путях в порядке возрастания их номеров?*
 6. Покупая карточку лотереи «Спортлото», иг­рок должен зачеркнуть 6 из 49 возможных чисел от 1 до 49. Если при розыгрыше тиража лотереи он угадает все 6 чисел, то имеет шанс выиграть значительную сумму денег. Сколько возможных комби­наций можно составить из 49 по 6, если порядок чисел безразличен? Чему равна вероятность угадать все 6 номеров?*
 7. Четыре человека случайно отбираются из 10 согласившихся участвовать в интервью для выяснения их отношения к продукции фирмы по производ­ству продуктов питания. Эти 4 человека прикреп­ляются к 4 интервьюерам. Сколько существует раз­личных способов составления таких групп? Если выбор случаен, чему равна вероятность прикрепле­ния определенного человека к интервьюеру?*
 8. Сколькими способами можно рассадить 5 гос­тей за круглым столом? Какова вероятность того, что гости случайно окажутся рассаженными по ро­сту?*
 9. Девять запечатанных пакетов с предложения­ми цены на аренду участков для бурения нефтяных скважин поступили утром в специальное агентство утренней почтой. Сколько существует различных способов очередности вскрытия конвертов с пред­ложениями цены? Какова вероятность того, что конверты случайно окажутся вскрытыми в зависимос­ти от величины предлагаемой за аренду участков цены?*
 10. Фирма нуждается в организации 4 новых складов. Ее сотрудники подобрали 8 подходящих одинаково удобных помещений. Сколько существу­ет способов отбора 4 помещений из 8 в случайном порядке? Какова вероятность того, что в число ото­бранных попадут 4 помещения, расположенные в многоэтажных зданиях?*
 11. Для разгрузки поступивших товаров менедже­ру требуется выделить 6 из 20 имеющихся рабочих. Сколькими способами можно это сделать, осуще­ствляя отбор в случайном порядке? Какова вероят­ность того, что в число отобранных войдут самые высокие рабочие?*
 12. Руководство фирмы может обратиться в 6 туристических агентств с просьбой об организации для своих сотрудников 3 различных туристичес­ких поездок. Сколько существует способов распре­деления 3 заявок между 6 агентствами, если каждое агентство может получить не более одной заявки? Какова вероятность того, что заявки получат агент­ства с наибольшим оборотом, причем, чем крупнее агентство, тем крупнее заявку оно получает?*
 13. Для доступа в компьютерную сеть оператору необходимо набрать пароль из 4 цифр. Оператор забыл или не знает необходимого кода. Сколько все­возможных комбинаций он может составить для набора пароля: а) если цифры в коде не повторяют­ся; б) если повторяются? С какой вероятностью мож­но открыть замок с первой попытки?*
 14. Сколько существует способов составления списка 20 деловых звонков случайным образом? Какова вероятность того, что список окажется со­ставленным в алфавитном порядке?*
 15. На рынке представлено 8 различных пакетов программ для бухгалтерии с приблизительно равными возможностями. Для апробации в своих фи­лиалах фирма решила отобрать 3 из них. Сколько существует способов отбора 3 программ из 8, если отбор осуществлен в случайном порядке? Какова вероятность того, что среди отобранных случайно окажутся 3 программы, занимающие наименьший объем памяти?*
 16. Выделены крупные суммы на выполнение 4 крупных правительственных программ, сулящих исполнителям высокую прибыль. Сколько существует способов случайного распределения этих 4 программ между 6 возможными исполнителями? Какова ве­роятность того, что средства на выполнение про­грамм при таком распределении получат 4 испол­нителя, имеющие наибольшую прибыль, причем ве­личина выделяемых средств зависит от величины прибыли исполнителей?*
 17. Брокерская фирма предлагает акции различных компаний. Акции 10 из них продаются по наименьшей среди имеющихся акций цене и обладают одинако­вой доходностью. Клиент собирается приобрести ак­ции 3 таких компаний — по 1 от каждой компании. Сколько существует способов выбора 3 таких ак­ций из 10, если выбор осуществляется в случайном порядке? Какова вероятность того, что в число слу­чайно отобранных попадут акции, рост цен на ко­торые будет наибольшим в следующем году?*
 18. Фирмы Fl, F2, F3, F4, F5 предлагают свои условия по выполнению 3 различных контрактов Cl, C2 и СЗ. Любая фирма может получить только один контракт. Контракты различны, т. е. если фирма Fl получит контракт Cl, то это не то же самое, если она получит контракт C2. Сколько спо­собов получения контрактов имеют фирмы? Если предположить равновозможность заключения кон­трактов, чему равна вероятность того, что фирма F3 получит контракт?*
 19. По сведениям геологоразведки 1 из 15 участ­ков земли по всей вероятности содержит нефть. Однако компания имеет средства для бурения только 8 скважин. Сколько способов отбора 8 различных скважин у компании? Какова вероятность того, что случайно отобранные для бурения участки окажутся, например, самыми северными?*
 20. На 9 вакантных мест по определенной специ­альности претендуют 15 безработных, состоящих на учете в службе занятости. Сколько возможно ком­бинаций выбора 9 из 15 безработных?
 * Для вычисления вероятностей здесь и далее ознакомьтесь с материалом гл. 2.
 
 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
 2.1. Определение вероятности и свойства, вытекающие из ее определения, классификация событий, диаграммы Венна
 Под вероятностью в широком смысле понимают количественную меру неопределенности или число, которое выражает степень уверенности в наступле­нии того или иного случайного события. Напри­мер, нас может интересовать вероятность того, что объем продаж некоторого продукта не упадет, если цены вырастут, или вероятность того, что строи­тельство нового дома завершится в срок.
 Случайным называется событие, которое может произойти или не произойти в результате некото­рого испытания. В дальнейшем для простоты мы будем опускать термин «случайный».
 Испытание (опыт, эксперимент) — это процесс, включающий определенные условия и приводящий к одному из нескольких возможных исходов. Исхо­дом опыта может быть результат наблюдения или измерения (табл. 2.1).
 Единичный, отдельный исход испытания назы­вается элементарным событием.
 Случайное событие может состоять из несколь­ких элементарных событий, подразделяющихся на достоверные, невозможные, совместные, несовместные, единственно возможные, равновозможные, противоположные.
 Таблица 2.1
 ИспытаниеИсход испытания
 Подбрасывание монеты
 Контроль качества деталей
 Продажа квартиры
 Результат футбольного матчаЦифра, герб
 Годная, бракованная
 Продана, не продана
 Победа, проигрыш, ничья
 
 
 Событие, которое обязательно произойдет в ре­зультате испытания, называется достоверным. На­пример, если в урне содержатся только белые шары, то извлечение из нее белого шара есть событие дос­товерное; другой пример, если мы подбросим вверх камень, то он обязательно упадет на землю в силу действия закона притяжения, т. е. результат этого опыта заведомо известен. Достоверные события ус­ловимся обозначать символом W.
 Событие, которое не может произойти в резуль­тате данного опыта (испытания), называется не­возможным. Извлечение черного шара из урны с белыми шарами есть событие невозможное; выпадение выигрыша на все номера облигаций в каком-либо тираже выигрышного займа также невозможное событие. Невозможное событие обозначим o.
 Достоверные и невозможные события, вообще го­воря, не являются случайными.
 Несколько событий называются совместными, если в результате эксперимента наступление од­ного из них не исключает появления других. Например, при бросании 3 монет выпадение цифры
 на одной не исключает появления цифр на других монетах.
 В магазин вошел покупатель. События «В мага­зин вошел покупатель старше 60 лет» и «В магазин вошла женщина» — совместные, так как в магазин может войти женщина старше 60 лет.
 Несколько событий называются несовместны­ми в данном опыте, если появление одного из них исключает появление других. Например, выигрыш, ничейный исход и проигрыш при игре в шахматы (одной партии) — 3 несовместных события.
 События называются единственно возможными, если в результате испытания хотя бы одно из них обязательно произойдет (или 1, или 2, или... или все события из рассматриваемой совокупности со­бытий произойдут; одно точно произойдет). Напри­мер, некая фирма рекламирует свой товар по радио и в газете. Обязательно произойдет одно и только одно из следующих событий: «Потребитель услы­шал о товаре по радио», «Потребитель прочитал о товаре в газете», «Потребитель получил информа­цию о товаре по радио и из газеты», «Потребитель не слышал о товаре по радио и не читал газеты». Эти 4 события единственно возможные.
 Несколько событий называются равновозможными, если в результате испытания ни одно из них не имеет объективно большую возможность появления, чем другие. При бросании игральной
 кости появление каждой из ее граней — события равновозможные.
 Два единственно возможных и несовместных со­бытия называются противоположными. Купля и продажа определенного вида товара есть события противоположные.
 Совокупность всех единственно возможных и не­совместных событий называется полной группой событий.
 Различные события и действия с ними удобно рассматривать с помощью так называемых диаграмм Венна (по имени английского математика-логика Джона Венна).
 Изобразим полную группу событий в виде квад­рата, тогда круг внутри квадрата будет обозначать некоторое событие, скажем. А, а точка - элемен­тарное событие - Е (рис. 2.1).
 Рис. 2.1 демонстрирует два противоположных со­бытия А и не А, которые дополняют друг друга до полной группы событий. Противоположное событие обозначается A.
 Пересечение А и В (обозначается как А C В) есть набор, содержащий все элементы, которые являются членами и А и В (рис. 2.2).
 
 Рис. 2.2
 Объединение А и В (обозначается A E В) есть набор, содержащий все элементы, которые являются членами или А, или В, или А и В вместе.
 Полную группу можно определить так:
 тогда {А1, А2, ..., Аn} — полная группа событий.
 Вероятностью появления события А называют отношение числа исходов, благоприятствующих наступлению этого события, к общему числу всех единственно возможных и несовместных элемен­тарных исходов.
 Обозначим число благоприятствующих событию А исходов через М, а число всех исходов — N:
 P(A)=M/N, (2.1)
 где М — целое неотрицательное число, 0 ? М ? N.
 Другой тип объективной вероятности определя­ется исходя из относительной частоты (частости) появления события. Например: если некоторая фирма в течение времени провела опрос 1 000 покупателей нового сорта напитка и 20 из них оценили его как вкусный, то мы можем оценить вероятность того, что потребителям понравится новый напиток как 20/1 000 = 0,02. В этом примере 20 — это час­тота наступления события, а 20/1 000 = 0,02 — это относительная частота.
 Относительной частотой события называется от­ношение числа испытаний т, при которых собы­тие появилось, к общему числу проведенных ис­пытаний п.
 
 W(A) == т/п (2.2)
 где т — целое неотрицательное число, 0 ? т? п.
 Статистической вероятностью события А назы­вается относительная частота (частость) этого со­бытия, вычисленная по результатам большого числа испытаний. Будем обозначать ее Р*(А). Сле­довательно,
 При очень большом числе испытаний статисти­ческая вероятность приближенно равна классичес­кой вероятности, т. е.
 Для определения вероятности выпадения 1 или 2 при подбрасывании кости нам необходимо только знать «модель игры», в данном случае — кость с 6 гранями. Мы можем определить наши шансы теоретически, без подбрасывания кости, это априорная (доопытная) вероятность. Во втором примере мы мо­жем определить вероятность только по результатам опыта, это — апостериорная (послеопытная) веро­ятность. То есть классическая вероятность — апри­орная, а статистическая — апостериорная.
 Какой бы вид вероятности ни был выбран, для их вычисления и анализа используется один и тот же набор математических правил.
 Свойства вероятности, вытекающие из классического определения.
 1. Вероятность достоверного события равна 1, т. е. P(W) =1.
 Действительно, если событие А = W, то М = N, значит,
 Р(W) = N/N = 1.
 2. Если событие невозможное, то его вероятность равна 0, т. е.
 Р(?)= 0.
 Если А = ?, то оно не осуществится ни при од­ном испытании, т. е.
 М = 0 и Р(?) = 0/N = 0.
 3. Вероятность случайного события есть поло­жительное число, заключенное между 0 и 1.
 В самом деле, так как 0? M ? N, 0? M/N ? 1, т. е. 0 ? Р(А) ? 1.
 4. Сумма вероятностей противоположных собы­тий равна 1, т. е. Р(А) + Р(А) = 1. В самом деле,
 Р(А) = (N - M)/N = 1 - M/N = 1 - P(A), следовательно,
 Р(А)+Р(А)=1. (2.3)
 Например, если вероятность извлечения туза из колоды, состоящей из 52 карт, равна 4/52, то вероятность извлечения карты, не являющейся тузом, равна
 1 - 4/52 = 48/52
 Пример 1. Магазин в целях рекламы нового товара проводит лотерею, в которой 1 главный приз, 5 вторых, 100 — третьих и 1 000 — чет­вертых. В конце рекламного дня выяснилось, что лотерейные билеты получили 10 000 покупателей. По правилам розыгрыша после извлечения выигрышного билета он возвращается в урну, и поку­патель не может получить более одного выигрыша. Чему равна вероятность того, что покупатель, который приобрел рекламируемый товар: а) вы­играет 1-й приз; б) выиграет хотя бы 1 приз; в) не выиграет ни одного приза?
 Решение, а) Определим событие А: «Покупатель выиграл 1-й приз». Согласно условию задачи, в лотерее участвовало 10 000 покупателей, отсюда общее число испытаний N = 10 000, а число исходов, благо­приятствующих событию А, М = 1. Все исходы явля­ются равновозможными, единственно возможными и несовместными элементарными событиями. Следо­вательно, по формуле классической вероятности:
 б) определим событие В: «Покупатель выиграл хотя бы 1 приз». Для этого события число благоприятствующих исходов
 М = 1 + 5 +100 + 1 000 = 1 106. P(B) = M/N = 1106/10 000 = 0,1106;
 в) событие «Покупатель не выиграет ни одного при­за» — противоположное событию В: «Покупатель вы­играет хотя бы один приз», поэтому обозначим его как . По формуле (2.3) найдем
 Р(В) =1- Р(В) = 1 - 0,1106 = 0,8894 .
 Ответ. Вероятность того, что покупатель выигра­ет 1-й приз равна 0,0001, один приз — 0,1106, не выиграет ни одного приза — 0,8894.
 Пример 2. Структура занятых в региональном отделении крупного банка имеет следующий вид (табл. 2.2):
 Таблица 2.2
 СтруктураЖенщиныМужчины
 Администрация2515
 Операционисты3525
 
 
 Если один из служащих выбран случайным об­разом, то какова вероятность, что он: а) мужчина-администратор; б) женщина-операционист; в) муж­чина; г) операционист?
 Решение.
 а) В банке работают 100 человек, N = 100.
 Из них 15 - мужчины-администраторы, М = 15. следовательно,
 Р(мужчина-администратор) = 15/100 = 0,15.
 б) 35 служащих в банке - женщины-операцио­нисты, следовательно,
 P(женщина-операционист) == 35/100 = 0,35.
 в) 40 служащих в банке - мужчины, следова­тельно,
 Р(мужчина) = 40/100 = 0,40.
 г) Из общего числа служащих в банке 60 - операционисты, следовательно,
 P(операционист) = 60/100= 0,60.
 
 2.2. Правила сложения и умножения вероятностей. Зависимые и независимые события
 Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их со­вместного наступления
 Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ),
 или (2.4)
 Р(А E В) - Р(А) + Р(В) - Р(А C В).
 Для несовместных событий их совместное на­ступление есть невозможное событие, а вероятность его равна нулю, следовательно, вероятность сум­мы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
 или (2.5)
 Р(А E В) = Р(А) + Р(В).
 Правило сложения вероятностей справедливо и для конечного числа п попарно несовместных событий
 В случае нескольких совместных событий необ­ходимо по аналогии с рассуждениями о пересечении двух совместных событий исключить повтор­ный учет областей пересечения событий. Рассмот­рим три совместных события (рис. 2.3).
 Рис. 2.3
 Для случая трех совместных событий можно записать
 Р(А + В + С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) - Р(АВ)- Р(АС) - Р(ВС) + Р(АВС).
 Сумма вероятностей событий А1, А2, А3 , ..., Аn, образующих полную группу, равна 1
 Р(А1) + Р(А2) + Р(А3) + ... + Р(Аn) = 1.
 или
 
 Пример 3. Компания производит 40 000 холо­дильников в год, которые реализуются в различ­ных регионах России. Из них 10 000 экспортиру­ются в страны СНГ, 8 000 продаются в регионах Европейской части России, 7 000 продаются в стра­ны дальнего зарубежья, 6 000 в Западной Сибири, 5000 в Восточной Сибири, 4 000 в Дальневосточ­ном районе. Чему равна вероятность того, что определенный холодильник будет: а) произведен на эк­спорт; б) продан в России?
 Решение. Обозначим события:
 А - «Холодильник будет продан в странах СНГ»;
 В - «Холодильник будет продан в Европейской части России»;
 С - «Холодильник будет продан в страны даль­него зарубежья»;
 D - «Холодильник будет продан в Западной Си­бири»;
 Е — «Холодильник будет продан в Восточной Сибири»;
 F — «Холодильник будет продан в Дальневосточ­ном районе».
 Соответственно, вероятность того, что холодиль­ник будет продан в странах СНГ:
 Р(А) = 10000/40000 =0,25;
 вероятность того, что холодильник будет продан в Европейской части России:
 Р(В) = 8 000/40 000 = 0,20;
 вероятность того, что холодильник будет продан в страны дальнего зарубежья:
 Р(С) = 7 000/40 000 = 0,175;
 вероятность того, что холодильник будет продан в Западной Сибири;
 Р(D) = 6 000/40 000 = 0,15;
 вероятность того, что холодильник будет продан в Восточной Сибири:
 
 Р(Е) = 5 000/40 000 = 0,125;
 вероятность того, что холодильник будет продан на Дальнем Востоке:
 P(F) = 4 000/40 000 =0,10. События А, В, С, D, Е, F — несовместные.
 1) Событие, состоящее в том, что холодильник произведен на экспорт, означает, что холодильник будет продан или в страны СНГ, или в страны даль­него зарубежья. Отсюда по формуле (2.5) находим его вероятность:
 Р(холодильник произведен на экспорт) = Р(А + В) = Р(А) + Р(В) = 0,25 + 0,175 = 0,425.
 2) Событие, состоящее в том, что холодильник будет продан в России, означает, что холодильник будет продан или в Европейской части России, или в Западной Сибири, или в Восточной Сибири, или на Дальнем Востоке. Отсюда по формуле (2.6) нахо­дим его вероятность:
 Р(холодильник будет продан в России) = Р(А +D+E+ F) = Р(В) + P(D) + Р(Е) + P(F) = 0,20 + 0,15 + +0,125 + 0,10 = 0,575.
 Этот же результат можно было получить рассуж­дая по-другому. События «Холодильник произве­ден на экспорт» и «Холодильник будет продан в России» — два взаимно противоположных события, отсюда по формуле (2.3):
 Р(холодильник будет продан в России) = 1 - Р(холодильник произведен на экспорт) = 1 - 0,425 = =0,575.
 
 Пример 4. Опыт состоит в случайном извлече­нии карты из колоды в 52 карты. Чему равна вероятность того, что это будет или туз, или карта масти треф?
 Решение. Определим события: А — «Извлече­ние туза», В — «Извлечение карты трефовой мас­ти». Вероятность извлечения туза из колоды карт Р(А) = 4/52; вероятность извлечения карты трефо­вой масти — Р(В) = 13/52; вероятность их пересече­ния — извлечение трефового туза - Р(АВ) = 1/52 (рис. 2.4).
 События А и В — совместные, поскольку в коло­де есть трефовый туз.
 Согласно условию задачи, нас интересует веро­ятность суммы совместных событий А и. В. По формуле (2.4) получим
  Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ) = 4/52 + 13/52 - 1/52 = 16/52 = 1/2.
 Пример 5. В урне 2 белых и 3 черных шара. Чему равна вероятность появления белого шара: а) при 1-м извлечении из урны; б) при 2-м извлечении из урны?
 Решение. Здесь возможны 2 случая.
 1-й случай. Схема возвращенного шара, т. е. шар после 1-го извлечения возвращается в урну.
 Пусть событие А — «Появление белого шара при 1-м извлечении», так как N = 5, а М = 2, то Р(А) = 2/5.
 Пусть событие В — «Появление белого шара при 2-м извлечении», так как шар после 1-го извлечения возвратился в урну, то N=5,а М=2 и Р(В) = 2/5.
 Таким образом, вероятность каждого из событий не зависит от того, произошло или не произошло другое событие. События А и В в этом случае явля­ются независимыми.
 Итак, события А и В называются независимы­ми, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошло или нет другое событие.
 Вероятности независимых событий называют­ся безусловными.
 2-й случай. Схема невозвращенного шара, т. е. шар после 1-го извлечения в урну не возвращается.
 Вероятность появления белого шара при 1-м извлечении Р(А) = 2/5. Белый шар в урну не возвращается, следовательно, в урне остались 1 бе­лый и 3 черных шара. Чему равна вероятность события В при условии, что событие А произошло? N = 4, М = 1.
 Искомую вероятность обозначают Р(В/А) или Р(В)A или РA(В). Итак, Р(В/А) = 1/4 называют ус­ловной вероятностью, а события А, В — зависимыми. В предыдущем примере с картами Р(А) = 4/52;
 Р(А/В) = 4/16.
 Например, тот факт, что человек работает науч­ным сотрудником, не является независимым от наличия у него высшего образования; событие, состо­ящее в том, что станок может выйти из строя, не является независимым от срока его эксплуатации; событие, состоящее в том, что цена акций компа­нии пошла вверх, не является независимым от того с прибылью или с убытком сработала компания в прошлом периоде; и т. д.
 Таким образом, события А и В называются за­висимыми, если вероятность каждого из них зависит от того произошло или нет другое событие. Вероятность события В, вычисленная в предполо­жении, что другое событие А уже осуществилось, называется условной вероятностью.

<< Пред.           стр. 1 (из 19)           След. >>

Список литературы по разделу